О бесконечных группах Фробениуса
Автор: Мазуров Виктор Данилович, Журтов Арчил Хазешович, Лыткина Дарья Викторовна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.20, 2018 года.
Бесплатный доступ
В работе исследуется строение периодической группы, удовлетворяющей следующим условиям: (F1) Группа G является полупрямым произведением подгруппы F на подгруппу H; (F2) H действует свободно на F относительно сопряжения в G, т. е. fh=f для элементов f∈F, h∈H только в случаях f=1 или h=1. Иными словами, H действует на F как группа регулярных автоморфизмов. (F3) Порядок любого элемента g∈G вида g=fh, где f∈F, 1≠h∈H, равен порядку h; иными словами, любой нетривиальный элемент из H индуцирует при сопряжении в G расщепляющий автоморфизм подгруппы F. (F4) Подгруппа H порождается элементами порядка 3. В частности, показывается, что ранг любого главного фактора группы G внутри F не превосходит четырех. Если G - конечная группа Фробениуса, то условие (F3) - следствие условий (F1) и (F2). Для бесконечных групп с условиями (F1) и (F2) условие (F3) может не выполняться, и группой Фробениуса мы будем называть группу, для которой выполнены все три условия (F1)-(F3). Основной результат статьи дает описание периодических групп Фробениуса, обладающих свойством (F4).
Периодическая группа, группа фробениуса, свободное действие, расщепляющий автоморфизм
Короткий адрес: https://sciup.org/143162461
IDR: 143162461 | УДК: 512.54 | DOI: 10.23671/VNC.2018.2.14724
On infinite Frobenius groups
We study the structure of a periodic group G satisfying the following conditions: (F1) The group G is a semidirect product of a subgroup F by a subgroup H; (F2) H acts freely on F with respect to conjugation in G, i.e. for f∈F, h∈H the equality fh=f holds only for the cases f=1 or h=1. In other words H acts on F as the group of regular automorphisms. (F3) The order of every element g∈G of the form g=fh with f∈F and 1≠h∈H is equal to the order of h; in other words, every non-trivial element of H induces with respect to conjugation in G a splitting automorphism of the subgroup F. (F4) The subgroup H is generated by elements of order 3. In particular, we show that the rank of every principal factor of the group G within F is at most four. If G is a finite Frobenius group, then the conditions (F1) and (F2) imply (F3). For infinite groups with (F1) and (F2) the condition (F3) may be false, and we say that a group is Frobenius if all three conditions (F1)-(F3) are satisfied. The main result of the paper gives a description of à periodic Frobenius groups with the property (F4).
Список литературы О бесконечных группах Фробениуса
- Мазуров В. Д. Обобщение теоремы Цассенхауза//Владикавк. мат. журн. 2008. Т. 10, № 1. C. 40-52.
- Журтов А. Х. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса//Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 2. C. 329-338.
- GAP: Groups, algorithms, and programming. http://www/gap-system.org.
- Isaacs I. M. Character theory of finite groups. Providence (R.I.): American Math. Soc. Chelsea Publ., 2006. 304 p.
