О безопасных и опасных точках бифуркации в периодических динамических системах

просмотреть копию этой лицензии, посетите

В статье изучаются типы границ областей устойчивости динамических систем при переходе параметрами систем этих границ. Границы области устойчивости могут быть принципиально двух разных типов: безопасные и опасные. Следуя Н.Н. Баутину [1, 2], под термином безопасные границы области устойчивости системы понимают такие границы (или части границ), пересечение которых параметрами системы приводит лишь к малым обратимым изменениям состояния системы; соответственно, под опасными понимают такие границы, пересечение которых параметрами системы приводит к значительным и необратимым изменениям в поведении системы.

Основным объектом исследования статьи является неавтономная нелинейная динамическая система, зависящая от скалярного параметра а :

dx

— = f ( x , t , А ), dt

x е R N ,

где функция f ( x, t , а ) является непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных и T - периодической по t , т. е. f ( x , t + T , А ) = f ( ^x , t , А ) .

Так как предполагается, что функция f ( x, t , а ) является непрерывно дифференцируемой по совокупности переменных, то ее можно разложить в ряд Тейлора. Тогда систему (1) можно представить в виде:

dx

— = A(t, А)x + b(x, t, а) + d(t, А), x е RN, dt где A(t, a) = f ‘(x*(a), t, А) - матрица Якоби правой части системы (1) в точке x*(а) , матрица A(t, а) , нелинейность b(x, t, а) и вектор-функция d(t, а) являются T -периодическими по t .

Предположим, что все три слагаемые в правой части системы (2) при x = x *( а ) являются линейно зависимыми. Тогда система f ( x , t, а ) = 0, имеет стационарное решение x * ( а ) . Предположим, что это решение единственно при всех а , при этом пусть функция x *( а) является непрерывно дифференцируемой.

Рассмотрим линейную часть системы (2):

dx

— = A(t , a) x , x е R N . dt

Свойства устойчивости точки равновесия x *( а ) системы (1) определяются по свойствам системы (3).

Обозначим через X(t , а ) фундаментальную матрицу решений (ФМР) линейной системы (3). Тогда V ( а ) = X(T , А ) является матрицей монодромии системы (3).

Областью устойчивости решения x *( д ) уравнения (1) будем называть область Q в пространстве П параметров д этой системы, при которых решение x *( д ) асимптотически устойчиво; другими словами, µ ∈ Ω , если и только если все собственные значения матрицы V ( Д ) по модулю меньше 1 ( см. [3]). Некоторую точку д будем называть граничной точкой области устойчивости Ω , если в любой окрестности точки µ содержатся точки как из области устойчивости Ω , так и из области неустойчивости. Множество всех граничных точек области устойчивости Ω будем называть границей области устойчивости Ω .

Значение д является точкой бифуркации, если матрица V ( д ) имеет хотя бы одно собственное значение, равное единице по модулю и не имеет собственных значений больших одного по модулю (см. [3]). В соответствии с общей теорией бифуркаций каждая граничная точка области устойчивости является точкой бифуркации динамической системы.

Шильниковым Л.П. [1] приводятся определения безопасной и опасной точки бифуркации для автономных динамических систем. По аналогии с ним приведем определения тех же понятий для периодических динамических систем. Будем говорить, что точка бифуркации д является безопасной , если решение x * ( д ) системы (1) при д = д асимптотически устойчиво; точка д является опасной , если решение x *( Д ) системы (1) при µ = µ неустойчиво.

Случай, когда решение x* ( д ) будет устойчивым (по Ляпунову), но не асимптотически, в приведенных в конце статьи источниках не рассматривается. В данной статье этот случай также не приводится.

Задача исследования границ областей устойчивости является одной из важных и интересных задач теории динамических систем, теории нелинейных колебаний и их приложений. Изучению этой задачи посвящены работы многих авторов (см. [1 ̶ 9]). Детальное исследование этого вопроса проведено в работах [1, 3], в которых дана достаточно полная классификация границ областей устойчивости точек равновесия и периодических траекторий динамических систем, приведены списки безопасных и опасных границ, а также описаны сценарии бифуркационного поведения системы при переходе ее параметров через указанные границы. Отметим, что полученные в указанных работах результаты относятся к автономным дифференциальным уравнениям, которые предварительно редуцированы на соответствующие центральные многообразия и преобразованы с помощью метода нормальных форм (см. [1]).

В работе [10] предложены новые результаты в задаче исследования границы области устойчивости динамических систем, описываемых двупараметрическими неавтономными периодическими дифференциальными уравнениями. В настоящей работе предлагаются достаточные условия опасных и безопасных границ области устойчивости динамических систем, описываемых неавтономными периодическими дифференциальными уравнениями, зависящие от скалярного параметра.

Основные результаты получены в терминах самих уравнений и не требуют перехода к нормальным формам и использования теоремы о центральном многообразии.

Основные результаты

Предположим, что функция b( x, t , Д ) имеет вид:

b ( x, t , Д ) = b ₂ ( x, t , Д ) + Ь з ( x , t , Д ) + + b₄ ( x , t , Д ), (4)

где b ₂( x , t, и ) и b ₃( x , t , и ) содержат соответственно квадратичные и кубические по x слагаемые, а b₄ ( x , t , и ) является гладкой и удовлетворяет соотношению: ||Ъ ₄ ( x, t , и )|| = O(\x ||⁴) при x ^ 0 равномерно по t и и .

Также будем рассматривать случай, когда d (t, и) = 0. Тогда уравнение (2) предста- вится в виде:

dx

— = A(t , и )x + b ( x , t , и ), x ^е R N .                           (5)

dt

Пусть при некотором и = и точка равновесия x* = x*(ио) системы (2) является негиперболической, т.е. матрица монодромии Vo = V (и) имеет хотя бы одно собствен- ное значение, равное одному по модулю.

Ниже будем рассматривать следующие основные случаи негиперболичности, когда матрица V имеет:

U1. простое собственное значение 1;

где 0 <  ^ <  р причем ^ ^ ^ и

U2. пару простых собственных значений e^±2п^ ⁰¹

^ 0

1 ≠ .

В этих случаях предполагается, что остальные собственные значения матрицы V меньше 1 по модулю.

Замечание 1. Случаи θ = и θ = соответствуют сильному резонансу и здесь не рассматриваются.

Замечание 2. Предлагаемый в статье подход может быть модифицирован и для решения поставленных задач в более общих чем в U1 и U2 условиях. Например, для ситуаций, когда матрица V имеет кратные полупростые собственные значения, равные 1 или кратные полупростых собственных значений e±^{2п& 0} i .

Случай U1. В этом случае качественная перестройка поведения системы (2) в окрестности точки x * ( и ) при переходе параметра и через и , как правило, состоит в возникновении нестационарных Т -периодических решений малой амплитуды в окрестности точки x *( и ₀) (см., например, [3, 8]). Такую перестройку поведения системы обычно называют бифуркацией вынужденных колебаний системы (2).

Бифуркация вынужденных колебаний систем (2) и (5) может реализовываться по различным сценариям, основными из которых являются седло-узловая бифуркация вынужденных колебаний (для системы (5)), транскритическая бифуркация вынужденных колебаний и бифуркация вынужденных колебаний типа вилки (для системы (2)). Более детально эти сценарии описаны, например, в [3, 8].

Здесь мы ограничимся приведением признаков безопасности (опасности) точки бифуркации µ . С этой целью обозначим через e и g собственные векторы матрицы V и транспонированной матрицы V * , соответственно, отвечающие собственному значению 1. Эти векторы можно считать нормированными равенствами || е || = 1, ( e, g ) = 1.

Обозначим через P и P0 действующие в RN линейные операторы, определенные равенствами:

P 0 x = ( x, g ) е, P ⁰ = I - P .

Если N = 1, то px = x и P⁰x = 0 . Положим B _o = I - V _o + p . По построению оператор B _o : Rⁿ ^ Rⁿ обратим.

T Z ,Z—1z

Положим        l2 =  (X T,P)b(%(t),t,P),g)dT,(7)

TT l3 = I n (b2 x %0T )Т, Po) B0 P b 2%o(T)T, Po) g ) dT + I „ (X (т, Po) b3(%T )’T, Po), g) dT

0*0

T

Z = Jo (AP(TPo)e,g)dT здесь b‘x- матрица Якоби квадратичной нелинейности b2 (x, t, р) , % (t) = X(t, p0)e, т.е. % (t) -это Т-периодическое решение линейной системы (3) при p = p0, стартующее при t = 0 из точки x = e е RN (такое решение системы (3) существует в силу условия U1).

В частном случае, когда матрица A ( t , р ₀) является постоянной, формулы (7) и (8) упрощаются:

T

¹ 2 = „ ^{( b} 2 ⁽ e ^{, T} , P o ), g ) ^{d T} , 0

Tz,z          xn-lnO, l3 = I „ (b2x (e,T, Po)B0 P b2(e,T, Po), g)dT + 0

T

⁺ „ ^{( b} 3 ⁽ e T , P o ), g ) d ^T . 0

Теорема 1. Пусть выполнено условие случая U1 и верно соотношение l₂Z ^ 0 .

В этом случае точка µ является опасной точкой бифуркации системы (2).

Доказательство. Систему (2) будем ассоциировать с дискретной динамической системой:

xn+1 = V(P)xn + +V(P) JTX-1(s, P)[b(xn (s, P) + d(s, t), s, P)]ds, n = 0,1,2,.... x е RN,                                      (9)

где x_n+ Д t , р) это решение уравнения (2) с начальным условием x *( p₀ ) = x_n . Отметим, что неподвижные точки системы (9) определяют Т- периодические решения исходной системы (2), а циклы периода q определяют qT -периодические решения системы (5).

Система (9) при р = р₀ имеет точку равновесия x * = x *( р ₀). Значение р = р ₀ будем называть точкой бифуркации дискретной динамической системы (9), если матрица моно-дромии V ( р ) в уравнений (9) при р = р ₀ имеет хотя бы одно собственное значение, равное 1 по модулю и не имеет собственных значений больших одного по модулю. Согласно этому определению, значение µ = µ является точкой бифуркации системы (9).

Для доказательства теоремы 1 достаточно показать, что решение x* = x *( р ₀) уравнения (2) при µ = µ является неустойчивым. В свою очередь, для этого достаточно показать, что решение x = x *( р ₀) дискретной системы (9) является неустойчивым.

Согласно теореме о центральном многообразии (см. [11] стр. 186) и методу нормальных форм (см. [11] стр. 198), задача о локальных бифуркациях для N - мерной системы (9) может быть сведена (см. [1, 3]) к исследованию равносильной (в естественной постановке) задаче для одномерного уравнения:

u n + 1 = u n ^{+ 1} 2 u n ^{2 +} o ⁽ u n ³⁾,                                        ⁽¹⁰⁾

где число l определяется равенством (7).

В уравнении (10) коэффициент перед u равен 1, поэтому устойчивость решения u_n определяется знаком коэффициента перед и 2 . Так как l₂ * 0 и l ₂ > 0, то решение и_п уравнения (10) является неустойчивым.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть имеет место случай U1 и выполнено соотношение l₂£ * 0. В этом случае точка д ₀ является опасной точкой бифуркации системы (5).

Таким образом, для систем (2) и (5) значение д ₀, как правило, является опасной точкой бифуркации.

Теорема 3. Пусть имеет место случай U1 и выполнено соотношение l2 = 0 и l3Z * 0. В этом случае точка д0 является безопасной (опасной) точкой бифуркации системы (5), если l3 < 0 (l3 > 0).

Теоремы 2 и 3 доказываются по такой же схеме, что и теорема 1.

Таким образом, если l2 * 0 (в частности нелинейность (4) начинается с квадратич ных по x слагаемых), то значение д0 параметра a, как правило, является опасной точ кой бифуркации системы (5). Если же l2 = 0 (в частности нелинейность (4) начинается с кубических по x слагаемых), то значение д0 параметра а может быть как безопасной, так и опасной точкой бифуркации системы (5).

Случай U2. В этом случае, как правило, при переходе параметра а через точку д0 в системе (5) реализуется сценарий бифуркации Андронова-Хопфа. Более детально этот сценарий описан, например, в [7].

Приведем признаки безопасности (опасности) точки бифуркации д0. С этой целью обозначим через e, g, e*, g* e RN ненулевые векторы такие, что выполняются равенства:

V ,( e + ig ) = e ^{П )}\e + ig ),     V'(e * + ig *) = e ^-n ° i (e * + ig *) .              (11)

Далее в этом подразделе для простоты будем считать, что система (5) двумерна, т.е. N = 2, а матрица Vo имеет вид

V q =

cos 2 ^6

- sin 2 п6

sin 2 ^6 cos 2.^6

Пусть также для простоты нелинейность b ₂ ( x , t , a ) в равенстве (4) является нулевой b₂ ( x , t , a ) = 0. Общий случай может быть рассмотрен по той же схеме, но приводит к более громоздким формулам.

Положим

2 п T

К о =      f f ( Ь з ( h ( t , ^ ), t , A ) ), h ( t , ^ )) dtd ^ ,                          (12)

^{2 n} 0 0

где h ( t , ^ ) =

cos(2 n6 1 + ^ ) sin(2 n6 t + ^ )

Теорема 4. Пусть имеет место случай U2 и выполнено соотношение к₀ * 0 . Тогда точка A является безопасной (опасной) точкой бифуркации системы (5), если к₀ <  0 ( К о >  0).

Теорема 4 следует из общих теорем о локальных бифуркациях в динамических системах [6, 9].

Пример.

Рассмотрим уравнение u" + u2 u' + \(2~0 )2 + (1 + cos t )^] u = 0,

где 0 <  0_O < ^, при этом 0_O ^^ и 0_O ^ ^.

Уравнение (13) может быть сведено к уравнению вида (5) при T = 2п и x е R2 и в котором:

—X| x2

b ₂ ( x , t , ^ ) = 0, b ₃ ( x , t , ^ ) =

При ^ = 0 имеет место случай U2, т.е. имеет место сценарий бифуркаций Андронова-Хопфа.

Проведя вычисления по формуле (12) получим, что к ₀ = — 0,25 п .

Тогда, согласно теореме 4, значение параметра ^ = 0 является безопасной точкой бифуркации для уравнения (13).

Заключение

В статье получены достаточные признаки опасности и безопасности точки бифуркации для динамических систем, описываемых неавтономными нелинейными дифференциальными уравнениями, содержащими скалярный параметр.