О частично интегральном представлении линейных положительных операторов

Теория частично интегральных операторов имеет многочисленные приложения в различных областях математики (см. [1–4]). Различные свойства этих операторов изучались в работах [5–8]. Следуя монографии [2], приведем наиболее общее определение частично интегрального оператора. Частично интегральным оператором называется оператор вида P = C + L + M + N , где

Cx(t, s) := c(t, s)x(t, s),

Lx(t, s') := У

T

l(t, s, т ) x ( t, s) d^(T ),

# Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда, проект № 24-71-10094 .

Mx(t, s) := У

T

m(t, s, a)x(t, a) dv (a),

Nx(t,s):= У

T x S

n(t, s, т, а)х(т, a) dц 0 v ( t, a).

Здесь (T, А ( Т ),ц), (S, A(S),ц) — измеримые пространства с сепарабельными мерами ц и v соответственно, ц 0 v — произведение мер ц и v. Коэффициент c = c(t, s'), а также ядра l = l(t,s,T ), m = m(t,s,a) и n = (t,s,T,a) — измеримые функции, а интеграл понимается в смысле Лебега. Бухвалов в своей работе [10] привел критерий интегральной представимости линейных операторов, действующих в идеальных функциональных пространствах. Целью данной работы является доказать аналогичный критерий представимости положительного оператора в виде частично интегрального оператора вида (1). Необходимые сведения теории векторных решеток и положительных операторов можно найти в монографиях [10–12].

Всюду далее (Q, X, ц), (S, F , m) — измеримые пространства с a-конечными полными мерами ц и m соответственно, (Q х S, X 0 F , ц 0 m) — произведение этих пространств. Символом L ⁰ (ц) := L ⁰ (Q, X, ц) будем обозначать пространство всех действительных измеримых ц-почти всюду конечных функций, L⁰(ц) := L ⁰ (Q, X, ц) — пространство классов эквивалентности функций из L ⁰ (Q, X,ц). Как обычно, функции f,g G L ⁰ (ц) называются эквивалентными, если они равные µ -почти всюду.

• 2.    Основной результат

Всюду далее E и F — идеальные пространства в L ⁰ (Q х S, X 0 F ,ц 0 m), E ₊ := { x G E : x ^ 0 } и T : E ^ F — линейный оператор. Оператор T называется положительным и пишут T ^ 0, если Tf G F ₊ для всех f G E + , L ^ (ц)-однородным, если T(hf ) = hT(f ) для всех f G E и h G L “ (Q, X,ц). Положительный оператор T : E ^ F называется порядково a-непрерывным, если для любой последовательности (f_n) n=i С E такой, что f i >  f 2 >  ... и inf _п f _n = limn f n = 0 следует Tf i >  Tf >  ... и inf _n Tf n = 0. Символически, из условия f _n ^ 0 следует Tf _n ^ 0. Напомним, что порядковые и алгебраические операции в E и F вычисляются почти всюду поточечно. Таким образом, запись f n I 0 означает, что f n (^, t) >  f n+i (^, t) для всех n G N и inf n f n (^, t) = limn f n (u,t) = 0 для ц 0 m-почти всех (ш,t) G Q х S . Аналогично, запись f _n f f будет означать, что f n (^,t) <  f n+i (^,t) для всех n G N и supn f n (^,t) = limn f n (^,t) = f (w,t) для ц 0 m- почти всех (w,t) G Q х S .

Определение 1. Будем говорить, что оператор T : E ^ F является частично интегральным, если существует измеримая функция k G L ⁰ (Q х S х S, X 0 F 0 F , ц 0 m 0 m) такая, что справедливо представление

(Tf )(^,t) = J

S

k(w, t, s)f (ш, s') dm(s)

для всех f G E и для ц 0 m-почти всех (ш, t) G Q х S.

Из определения видно, что частично интегральный оператор является L “ (ц)-одно-родным.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность (fn) “ =i С L 0 (Q, Т,ц) сходится к нулю по мере ц и при этом писать f n ^ 0 по мере ц, если (fn) “ =i сходится к нулю по мере ц на любом подмножестве в Q конечной меры.

Лемма 1. Пусть (Q, Т,ц) — пространство с a-конечной мерой, k,f G L 0 (Q, Т,ц), kf G L 1 (Q, Т,ц) и последовательность (f n ) n=1 С L 0 (Q, Т,ц) такая, что 0 <  f n С f ц-почти всюду. Если f n ^ 0 по мере ц, то справедливо соотношение

У k(u)f n (u) dц(w) ^ 0.

Ω

<1 Предположим сначала, что ц(Q) < то. Введем множества Qm по формуле Qm := {w G Q : |k(w)| < m} для всех m G N. Тогда XQm\kf | t |kf | G L 1(Q, Т,ц) и в силу теоремы Леви справедливо равенство lim mi^

У | ^{k ( w ) f ( w} )^{| d} ц^{( w} ) = J |^{k(w)f ( w} )^{| d} ц^{( w} ).

Ω _m

Ω

Поэтому для любого e >  0 найдется номер m(e) G N такой, что

У 1 k(w)f (w)|dц(w) С e Q\Qm для всех m ^ m(E). Зафиксируем m ^ m(E). Так как на множестве Qm выполняется неравенство | kfn | С m\fn| для всех n G N, то из условия леммы следует, что kfn ^ 0 по мере на множестве Qm. Следовательно, в виду теоремы Лебега выполняются соотношения

У k(w)f _n (w) dц(w) С У \ k(w)f (w)^|dц(w) + У ^|k(w)f n (w)^|dц(w)

Ω

Q \ Q m

С e + J \ k(w)f n (ш') \ dц(ш')

Ω _m

→ ε

Ωm при n ^ то. Таким образом, в силу произвольности e > 0

У k(w)f n (w) dц(w) ^ 0

Ω

при условии, что ц(Q) <  то .

Рассмотрим общий случай. Пусть Q = Up=i Qp, где ц(Qp) < то для всех p G N. Тогда X^p\kf 11 \kf | всюду на Q, и так как kf G L 1(Q, Т,ц), то по теореме Леви выполняется соотношение plim /\k(w)f (ш)|dц(ш)= ^\k(w)f (w')|dц(w').

Ω p

Ω

Поэтому для любого e >  0 найдется номер p ( e ) G N такой, что

У 1 k(w')f (w)|dц(w) С Е Q\Qp для всех p ^ p(e). Следовательно, в виду формулы (2) справедливы соотношения

У k(w)f n (w) d^w) <  У \k(w)fn(w)\ dц(w) + J \ k(w)f n (w) \ dц(w)

Q

Q \ Q p

Q p

< У \k(w)f(w)|d^(w) + У \k(w)fn(w)\dц(w) ^ e

Q \ Q p

Q p

при n ^ от . В силу произвольности e > 0 получим требуемое. О

Лемма 2. Пусть (Q, Х,ц), (S, F ,m) — пространства с a-конечными мерами и k G L ⁰ (Q х S, S 0 F). Тогда k ^ 0 (к = 0) ц 0 m-почти всюду в том и только в том случае, когда k(w, t) ^ 0 (k(w, t) = 0) для ц-почти всех w G Q при m-почти всех t G S.

• < Пусть k ^ 0 ц 0 m-почти всюду и A := { (w,t) G Q х S : k(w,t) <  0 } . Тогда выполняются равенства

0 = ц 0 m(A) = J ц(A _t ) dm(t),

S где At := {w G Q : (w,t) G A} (t G S). Следовательно, ц(At) = 0 при m-почти всех t G S. Последнее означает, что k(w,t) ^ 0 для ц-почти всех w G Q при m-почти всех t G S.

Обратно. Пусть k(w,t) ^ 0 для ц-почти всех w G Q при m-почти всех t G S. Тогда ц 0 m(A) = У ц(At) dm(t) = 0.

S

Следовательно, k ^ 0 ц 0 m-почти всюду. Случай k = 0 доказывается аналогично. >

Лемма 3. Пусть (Q, S, ц) — измеримое пространство с a-конечной мерой ц и X — идеальное пространство в L ⁰ (Q, Я,ц). Тогда существует последовательность (f _n )П =1 С X + такая, что f i Л f j = 0 для всех i = j, и всякий элемент g G X + имеет представление

Ж g = sup g n = Y'gn , n ^N     n =1

где g _n из полосы B f _n в X, порожденной элементом f _n , n G N.

• <1 В виду [14, лемма IV.7.1, теоремы IV.5.2 и IV.5.3] существует семейство { f : € G H } С X + такое, что f i Л f j = 0 для всех i = j (i,j G H) и всякий элемент g G E + имеет представление

g = suP g^, £G= где g^ принадлежит полосе Bf^ в X, порожденной элементом f для всех € G H. Остается показать, что множество H не более, чем счетно.

Предположим сначала, что мера ц конечна. Пусть C( 1 ) обозначает полную булеву алгебру классов эквивалентности характеристических функций множеств из σ -алгебры S. Тогда в силу [12, §1.1.6(1)] C( 1 ) имеет счетный тип. Следовательно, в виду [14, теорема VI.2.3] и замечания, следующего за ней, подмножество { f : € G H } не более, чем счетное подмножество в X С L ⁰ (Q, 2,ц).

Рассмотрим общий случай, когда мера ц является a-конечной. Пусть Q = U^=1 Qn, 0 < ц(Qn) < от для всех n G N, Qi П Qj = 0 для всех i = j. Введем новую меру ц1 : X ^ [0,1] по формуле

m(A) :=

га

Е n=1

MA n Qn) ц(Q n )2 ⁿ

для всех A G X. Тогда ц 1 — конечная мера, эквивалентная ц, т. е. ^ i (A) = 0 тогда и только тогда, когда ц(A) =0 (A G X). Следовательно, L ⁰ (Q, X,ц) и L ⁰ (Q, Е,Д 1 ) совпадают как векторные решетки и, как было показано выше, { f : £ G S } не более чем счетное подмножество в L ⁰ (Q, X,^ i ) = L ⁰ (Q, X,ц). Таким образом, множество Н не более чем счетно. Можно считать, что Н = N. Равенство sup _ne N g n = ММ i g n следует из того, что g i Л g j = 0 для всех i = j. о

Теорема 1. Пусть (Q, X, ц) и (S, F , m ) — пространства с a-конечными мерами, E и F — идеальные пространства в L ⁰ (Q х S, X 0 F, ц 0 m), T : E ^ F — положительный L ^ (ц)-однородный оператор. Тогда равносильны следующие утверждения.

• (1)    Существует измеримая функция k G L ⁰ (Q х S х S, X 0 F 0 F) такая, что k ^ 0 ц 0 m 0 m-почти всюду и справедливо представление

  (Tf )M,t) = у

  S

  
  

  k(w, t, s)f (w, s) dm(s)

  
  
  
  

для всех f G E и ц 0 m-почти всех (w,t) G Q х S.

• (2)    Для любой последовательности (fn)n =i C E такой, что 0 С f n С f G E, f n ^ 0 по мере ц 0 m и любого множества C G X 0 F такого, что выполняется условие Х с Tf G L 1 (Q х S, X 0 F, ц 0 m), справедливо соотношение

J Х с (w,t)Tf n (w,t) dц(w) ^ 0

Ω для m-почти всех t G S.

• <1    (1) ^ (2). Пусть последовательность (f n ) n=i C E такая, что 0 С f n С f G E, f n ^ 0 по мере ц 0 m. Возьмем произвольное множество C G X 0 F такое, что Х с Tf G L 1 (Q х S, X 0 F , ц 0 m). По лемме 2 k(w, t,s) ^ 0 для ц 0 m-почти всех (w, s) при m-почти всех t G S. Тогда в виду теоремы Тонелли (см. [13, теорема I.6.12]) и леммы 1 справедливы соотношения

j Х с (w,t)Tf n (w,t) dц(w') = У \[ х с (w,t)k(w,t,s)f n (w,s) dm(s)} dц(w) Ω                          Ω S

= У Хс(w,t)k(w,t,s)fn(w,s) dц 0 m(w,s) ^ 0 QxS для m-почти всех t G S.

• (2)    ^ (1). Покажем сначала, что оператор T является порядково a-непрерывным. Пусть последовательность (f n ) n=i C E такая, что f n ^ 0 и g := inf _n Tf n = limn Tf n G F + . В силу [13, следствие IV.3.1] существует неубывающая последовательность множеств (Ci)“ 1 C X 0 F такая, что х с _i Tf i G L 1 (Q х S, X 0 F , ц 0 m ) для всех i G N и 0 С Х с _i Tf i t Tf 1 . По теореме Лебега и заданному предположению справедливы соотношения

  
  

  С

  
  

  j х с i ^{( w,t )}g^{( w,t ) d} ц^{( w )}

  Ω

  
  

  = lim Iх C i (w,t)Tf n (w,t) dц(w) ⁿ

  
  

  Ω

  
  

  =0

  
  

для m-почти всех t G S и всех i G N. Следовательно, x c i (w,t)g(w,t) = 0 для g-почти всех w G Q при m-почти всех t G S и всех i G N. В силу леммы 2 последнее означает, что X c i (w, t)g(w, t) = 0 для g 0 m-почти всех (w, t) G Q x S и всех i G N. Так как 0 <  x c i g t g, то получим g = 0 g 0 m-почти всюду. Таким образом, T является порядково ст-непрерывным.

Возьмем произвольный f G E + и обозначим через I f идеал в E, порожденный элементом f. В силу [13, следствие IV.3.1] для Tf ^ 0 существует неубывающая последовательность множеств (C _n )П =1 С X 0 F такая, что x c n Tf G L 1 (Q x S, X 0 F , g 0 m) и XC '_n Tf t Tf . Введем множества C i := C 1 , C _n := C_n \ С_п- 1 для всех n = 2, 3,... Тогда C i 0 C j = 0 для всех i = j, и выполняется соотношение ^” =i Xc n Tf = Tf , где сумма вычисляется g 0 m-почти всюду. Так как для любой функции g из полосы B f , порожденной функцией f , выполняется supp(g) С supp(f), то последняя сумма справедлива для всех g G B f , т. е. имеет место равенство га

£ x c n Tg = Tg                          ⁽⁴⁾

n =1

для всех g G B f .

Зафиксируем произвольный n G N. Так как xc n Tg G L 1 (g 0 m) для всех g G I f , то мы можем определить оператор T_n : I f ^ L°(S, F ,m) по формуле

(T _n g ) (t) := /

Ω

x c n ^{( w,t )(}Tg^{)( w,t )} dg^

для m-почти всех t G S и для всех g G If. Тогда Tn ^ 0 и удовлетворяет всем условиям теоремы Бухвалова [9, теорема 1]. Поэтому существует функция kn G L0(Q x S x S') такая, что выполняется равенство jXcn(w,f)(Tg)(w,t) dg(w) = J kn(w,s,t)g(w,s) dg 0 m(w,s)

Ω

QxS для m-почти всех t G S и для всех g G If. В виду [10, лемма 4] k ^ 0 g 0 m 0 m-почти всюду. Применяя теорему Фубини к правой части последнего равенства, получим

У X c n ^{( w,t )( T} g^{)( w,t )} dg^{( w )} =

Ω

k _n (w,s,t)g(w,s) dm(s)

Ω S

)

dg(w)

для m-почти всех t G S и для всех g G I f оператора T выполняются равенства

Следовательно, в силу L “ (g)-однородности

j X c n ^{( w,t )(}Tg^{)( w,t )} dg^{( w )}

A

= У X c n ^{( w,t}) ^{( T} X A g)^{( w,t}' ⁾ dg^{( w )} =

Ω

=   X A (w)X c _n (w, t)(T g)(w, t) dg(w)

Ω

/ (/ k n (w,s,t)X A (w)g(w,t) dm(s)^ dg(w)

Ω ^S

k _n (w,s,t)g(w,s) dm(s)

AS

)

dg(w)

для всех A G X, m-почти всех t G S и всех g G I f . Тогда равны подынтегральные выражения, т. е. имеет место равенство

χ C n

(w,t)(Tg)(w,t) = J k n (w,s,t)g(w,s) dm(s)

S для всех g G If и ^0m-почти всех (w, t) G Q x S (т. е. равенство (5) выполняется m-почти всюду для µ-почти всех ω). Положим по определению kn(w,t,s) := kn{w,s,t)

для всех (w, t,s) G Q x S x S. Тогда kn G L0(Q x S x S), и подставляя функцию k вместо kn в формулу (5), получим xcn (w,t)(Tg)(w,t) = у

S

k n (w, t, s)g(w, s) dm(s)

для всех g G I f и ^ 0 m-почти всех (w, t) G Q x S .

Покажем, что формула (6) справедлива для любого элемента из полосы B f в E , порожденной элементом f G E. Достаточно показать справедливость формулы (6) для положительных элементов. Пусть 0 С g G B f . Тогда последовательность g i := g Л if (i G N) содержится в I f и удовлетворяет условию 0 С g i t g. Кроме того, в виду (6) имеет место неравенство

I k n (w,t,s)g i (w,s) dm(s) С x C n (w,t)(Tg)(w,t)

S для ^ 0 m-почти всех (w, t) G Q x S и для всех i G N. Следовательно, в виду порядково σ-непрерывности T и теоремы Леви справедливы равенства

X C n ^(w,t)^{( T} g)^{( w,t )} = lim x c n ^{( w} ,t)^{( T} g i ^{)( w,t )} = / k n ^{( w} , s,t)g^{( w} , s ^{dm (}s) i →∞

S для ц 0 m-почти всех (w,t) G Q x S. Таким образом, мы получили, что для каждого n G N существует функция kn G L0(Q x S x S)+ такая, что справедливо представление xcn (w,t)(Tg)(w,t) = J kn (w,t,s)g(w,s) dm(s)

S для всех g G Bf и ^ 0 m-почти всех (w,t) G Q x S .В силу формулы (4), следствия из теоремы Леви и порядково σ-непрерывности T выполняются равенства

∞∞

Tg^{( w,t )} = ^⁽ x c n ^T g^{)( w,t )} = ^ / ^k n ^{( w,t,s )}g^{( w,s ) dm ( s )} n = 1                 n=1 S

∞ kn(w, t, s)g(w, s) dm(s)

S n ⁼¹

для всех g G Bf и ^ 0 m-почти всех (w,t) G Q x S. Следовательно, для всех g G Bf существует ^^=1 kn(w, t, s)g(w, s') < ж ^0m0m-почти всюду. Положим по определению kf (w, t,s) = <

∞

£ kn(w,t,s), n=1

0,

если (w,s) G supp(f), если (w, s) G Q x S \ supp(f),

для всех (w,t,s) G Q x S x S. Тогда 0 <  k f G L ⁰ (Q x S x S), и в виду формулы (8), а также соотношения supp(g) C supp(f), получим

Tg^{( w,t )}

∞

^2 k n (w,t,s)g(w,s) dm(s) = / k f (w

S ^{n =1}                           S

, t, s ) g ( w, s ) dm ( s )

для всех g G B f и ^ 0 m-почти всех (w,t) G Q x S . Таким образом, справедливо представление

T g ( w, t ) = J k f (w,t, s)g(w, s) dm(s)                          (10)

S для всех g G Bf и ^ 0 m-почти всех (w, t) G Q x S.

Так как мера ц 0 m ст-конечна, то по лемме 3 существует последовательность (f _n ) “ =1 C E + такая, что f i Л f j = 0 для всех i = j, и всякий элемент g G E имеет представление

∞ g = ^gn,                                 (11)

n =1

где 0 С g _n из полосы B f n в E, порожденной элементом f _n (n G N). Пусть g = En° =i g n G E + , где 0 С g _n G B f n для всех n G N. Тогда в виду формулы (10) найдется последовательность (k f n )n =1 C L ⁰ (Q x S x S ) ₊ такая, что

Tg n (w,t) = J k f n (w,t,s)g n (w,s) dm(s)                      (12)

S

для всех n G N. Из определения (9) ясно, что supp(kf _n (> t, • )) C supp(f _n ) для всех t G S и n G N. Поэтому мы можем определить функцию k по формуле

k f _n ( w, t, s ) ,

если (w,s) G supp(fn)

k ( w, t, s ) =

если (w, s) G Q x S \ ( U supp(f_n)) • ' n=1

для всех (w, t, s) G Q x S x S . Тогда k = £“ =1 k f n G L ⁰ (Q x S x S) ₊ и в силу порядково σ -непрерывности T , следствия теоремы Леви и формул (11), (12) справедливы равенства

T g ( w, t )

∞∞ £ (Tgn)(w,t) = £ n =1 n =1

k f _n ( w, t, s ) g n ( w, s ) dm ( s )

S

∞

£ k f n ^{( w,t,} s)g n ^{( w,} s) d ^{m ( s )} = /

_S n =1                            _S

k ( w, t, s ) g ( w, s ) dm ( s )

для всех 0 С g € E и № 0 m-почти всех (w,t) G Q х S. Следовательно, в виду разложения g = g + — g - для любого g G E получим представление

Tg^t) = У

S

k(w, t, s)g(w, s) dm(s)

для всех g G E и g 0 m-почти всех (w,t) G Q х S. >