О частично компактных по мере неограниченных линейных операторах в l2

Пусть ( X, р ) — прост!>апство с ст-коиспиоп положительной мерой р. Атомом мери р называется множество положительной меры из X, не представимое в виде объединения двух непересекающихся множеств с положительными мерами. Будем говорить, что мера р не является чисто атомической, если в X есть множество положительной меры, не содержащее атомов меры р. Через L2 ( p ) • = L2 ( X, р ) обозначим пространство всех клас сов р-эквивалентных р-измеримых функций па. X с суммируемым квадратом. Через || • || II (• , •) будем обозначать норму и скалярное произведение в L2(рY

Пуств H. Hi — гильбертовы пространетва. Оператор F : D f С H ^ Hi называ ется замкнутым, если из fn Е Df, fn ^ u, F fn ^ v следует u Е D f и Fu = v. Оператор T *, сопряженный к плотно определенному замкнутому линейному оператору T : D t С H ^ H i. плотно определен 11 замкнут, при этом T ** = T [1. гл. Ш, §5].

Пуств T : DT С L2M ^ L₂(р₁) • = L₂(X₁,р₁) — линейны! 1 оператор. || • |1 — норма в L₂ ( р₁)- Назовем T компактным по мере, если из fn Е Dt. | f n| 6 1. ||Tf n|i 6 1. n = 1, 2,..., вытекаот. что {Tfn} содержит подпоследовательиость. сходящуюся по мере р 1 на каждом множестве конечной меры. Если DT = L2^) и T — ограниченный оператор, то это определение совпадает с известным определением из [2]. Линейный оператор T : D t С L2M ^ L2M назовем частично компактным по мере, если найдется множество е С X. ре >  0. такоеь что PeT компактен по мере: здесь Pef = ^xef. f Е L₂ ( р). ^xe — характеристическая функция множества е.

Будем говорить, что нуль принадлежит предельному спектру ст_с(М ) оператора M : D m С H ^ H. если в D m существует ортонормированная последовательность {hn} такая, что Mhn ^ 0.

Теорема 1. Пусть мера р a-конечна, не является чисто атомической и множество с, 0 < рe <  то. не имеет а томов меры р. T : DT С L₂(р) ^ L₂(р) - плотно определенный линейный оператор. PeT компактен по мер с п замкнут. Тогда 0 G ac(T * ).

C Определим оператор ie : L2 (р) ^ L2(e) • = L2(e,p) равенством i_eh(s) = h(s) для всех h G L2M и в сох s G е ii рассмотрим замкнутый оператор т = i_eT : D t С L2 ( р ) ^ L2(e). Пользуясь полярным разложением замкнутого оператора [1, гл. VI, §3], пред ставим т * в виде т * = VS. где S = (т ** т*) 2 — самосопряже:шый оператор в L 2 (e ). V : L2 ( e ) ^ L2M ~ частично изометричс'ский оператор. Имеем т ** = SV *. Отсюда. S = т **V = тV = i_eTV. Оператор ieT компактен по мере. Значит. S компактен по мере. Покажем, что 0 G ac(S ). Предположим противное. Тогда размерность под пространства ker S копечп;к здесь ker S = {g : g G L2(e), Sg = 0}. ii можно считать, что ker S = { 0 } (в противном случае постаточно перейти к оператору S + P. где P — ортопроектор на ker S). Из ker S = {0} и 0 / ac(S ) следует, что существует обратный оператор S^-1 : L2(e) ^ D s С L2(e) и этот оператор ограничен. Возьмем любую ортонор-мированную равномерно ограниченную последовательность {^n} С L2(e). В качестве {^n} можно выбрать систему обобщенных функций Радемахера {rn,_e}, определенных на e [3] (см. также [4, с. 11-12]). Нетрудно проверить, что {^n} не содержит подпоследовательностей, сходящихся по мере на e. Рассмотрим функции fn = S^-1 ^n. Имеем НО 6 || S^-1 kk ^ n II = k S^-1 |. k Sf nk = k ^ n II = 1. n = 1, 2,... Из компактности по мере оператора S вытекает, что полелователыюсть {^n} = {Sfn} компактна по мере. что. как отмечалось выше, невозможно. Значит, 0 G a_c(S). Тогда существует ортонорми-рованная система {h_n} С L2(e) такая, что Shn ^ 0. Пол ожив hn = ^xeh_n, получим T ^fn = T*Pehn = т*hn = VSh_n ^ 0. Таким образом. 0 G ac(T *). B

Пусть Lo(p) •= Lo(X, р) — пространств о всех классов р-эквивалаентных р-изме- римых р-почти всюду конечных функций на X ii Lo ( X х X, р х р ) — аналогичное пространство. Оператор K : D k С L2(р) ^ L2M называется интегральным, если существует функция K G Lo(X х X, р х р) такая, что для всех f G D k

Kf (s) = /

X

K (s,t)f (t) dр(t)

для почти всех s G X. Интервал в (1) понимается в лебеговом смысле. Фуикния K(s,t) называется ядром интегрального оператора K. Будем говорить, что ядро K (s,t) порождает интегральный оператор K по формуле (1).

Из теоремы 1 ив [4, теоремы 1.6.2] вытекает следующая

Теорема 2. Пусть K : DK С L₂(р) ^ L₂(р) - плотно определенный интегральный оператор, мера р a-копепиа и не является чисто атомической. Если K продолжается до линейного интегрального оператора K : L2(р) ^ Lo(р), то 0 G ac(K *).

Важным примером интегрального оператора, продолжаемого на все L₂(р) (со значе ниями в Lo ( р)). может служитв пптегр;ствиый оператор с ядром K(s,t) удовлетворяю щим условию К арлемана.

У |K(s,t)|2 dр(t) < то

X для почти всех s G X.

Не каждый плотно определенный замыкаемый интегральный оператор в L2(р) продолжается на все L2(р) со значениями в Lo(р) с сохранением интегральности. Соответствующий пример построен в [5].

В [6] показано, что необходимым и достаточным условием продолжимости интегрального оператора T : D t С L2M ^ L2M ^{с Я}ДР^ом K (s,t) Д° интегрального оператора из L2(p) в Lo(^) является существование положительной функции a G LoM такой. что

У | K(s,t)a(s) dp(s) G L^)-

X

Приведем приложение теоремы 1 к линейным функциональным уравнениям 1-го и 2-го родов с неограниченными операторами. Рассмотрим уравнение ax(s) — ATx(s) = f (s),                                  (2)

где f G L 2 (^ ). a ii A — числовые параметры. T : D t С L 2 (^) ^ L 2 (^) ~ плотно опреде ленный частично компактный по мере линейный оператор, решение x ищется в DT.

Ниже доказывается теорема о редукции уравнения (2) к более простому эквивалентному интегральному уравнению, к которому применимы различные точные или приближенные методы решения. В формулировке этой теоремы нам понадобятся следующие определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть ( Y, v ) — прост!"ашетво с ст-коиечиой положительной мерой v. L2(v ) • = L2(Y, v), |||J||, h^ •) — норма и скаляр ное произведение в L2 (v). One ратор J : L2(v ) ^ L2(v) называется ядерным, если

∞

Jh = ^hh,gnihn, h G L2(v),                           (3)

n =1

где {gn}. {hn} С L2(v) 11

∞

E fc" I Mil h n lll < ” .                                (4)

n =1

Ядсрпой нормой оператора J называется число

∞ kJki = inf E Il »> ill • illhn ill • n=1

где инфимум берется по всевозможным {g_n}, {h_n}, удовлетворяющим (4) и участвующим в (3). Ясно, что || J|| 6 || J|| 1. г,де ||J || — операто!тая норма J.

Ядерный оператор является интегральным, его ядро J(Фп) принадлежит простран ству L2(Y X Y, v X v) II имеет ВИЧ

∞

j(^,п) = X М£) gn(n),                           (5)

n =1

где ряд в (5) сходится к J(ф п) в силу (4) абсолютно по норме L2(Y X Y, v X v) и абсолютно ( v X v )-почтн всюду в Y X Y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть {^n} С L2(v), {e_n} — последовательность попарно непере-секающихся множеств из Y с конечными положительными мерами. Функцию

H (Фп) = X X ^X en⁽l⁾ ^"Ш) νe n n =1

назовем квазивироаюденним карлемановским ядром.

Теорема 3. Пусть меры р, v не являются чисто атомическими и н-конечны, L2 (р), L2(v) — сепарабельные щхэстрапства. оператор T в уравпенни (2) удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и замыкаем Пмда для любого е> 0 можно построим. не зависящий от a. Хи f ушмаривш оператор U : L2(p) ^ L2 (v). приводящий уравнение (2) заменой y = Ux, g = U f к эквивалентному интегральному уравнению ay(O - Х У

Y

[N (€, п) + C (£> п)] У(п) dv (п)

= g(a

где C (£, п) ~ квазивырожденное карлемановское ядро, функция N (£, п) порождает ядер-пып оператор в L2(v ) с ядериои норм)й мепвшей. чем е.

C Представим с помощью полярного jлгпожоиня [1] замкнутый оператор T * в виде T* = WL. где L — самосопряженный пеотрппательпый оператор в L2(p). W — частично изометрический оператор в L2(р). По теореме 10 G nc(T *). Отсюда и из L = W*T * следует, что 0 G a c (L).

Пусть {Ед} — спектральное семейство неотрицательного самосопряженного опера тора L. Ho = ker L. Hn = (Ei/n - Ei /n +i)L2(p). Gn = (En+1 - En)L2(p) Удалив 113 совокупности подпространств Ho, Hn, Gn, n = 1,2,..., совпадающие с {0} (если таковые имеются), получим семейство принадлежащих D l попарно ортогональных подпространств, ортогональная сумма которых равна L2(p). Построим из элементов этих подпространств ортонормированный базис {u_n } пространства L2(p)- Базис {u_n} при надлежит D l = D t * 11 содержнт в силу 0 G oc(L) Поспеловательность {z_n}. кот*>рую L отображает в сходящуюся к 0 последовательность. Имеем T*z_n = WLzn ^ 0.

Зафиксируем е > 0 н выберем полноследовательность {v_n} С {zn } так. чтобы 522 =1 l|T*vnk < е- Положим {w_n } = {un } \ {v_2n} и определим унитарный оператор U : L 2( p ) ^ L 2( v ) равенствами

Uwn

χ_{e n}

^, νen

^Uv2n     en , ⁿ 1, ², ‘‘‘ ,

где {e^} — ортонормированный базис ортогонального дополнения к замкнутой линейной оболочке ортонормированной последовательности {^xe_n/^ven}. Здесь {e_n } — произвольная последовательность попарно не пересекающихся множеств из Y с конечными положительными мерами. Обозначив через (•, •) скалярное произведение в L2(v) и разлагая элементы UTU ^-1h в ряд по ортонормированному базису {e^, ^xe_n/^ven} пространства L2(v), пол учим UTU ^-1 = N + C, где оператор N определяется равенством

∞

∞

^ (h,UT*V2n(e2, n=1

Nh = X ( UTU ^-1 h, e^ ( e2

n =1

оператор C представляется в виде

∞

Ch = X \^UTU—1h, n =1

χ_{e n}

νen

χ

e n

νen

∞

X ( h, UT*wn)

n =1

χe

n

. νen

В силу ^22=1 |T* V2nk < е оператор N ядерный и его ядерная норма меньше, чем е. Так как множества e_n попарно не пересекаются, то C — интегральный оператор с квазивы-рожденным карлемановским ядром

∞ с (£,п) = Х n=1

^Xen⁽l⁾ (UT * Wn)(n). νen

Сделав в (2) замену y = Ux. будем иметь aU-1y — ATU-1y = f.

Применим к обеим частям этого уравнения оператор U. Тогда ay — AUTU-1y = Uf = g.

Отсюда, ii из UTU ¹ = N + C получим ypавиеиие (G). B

Если в (6) a = 0, то, умножив обе его части на функцию

∞ kT *wnk + 1

χ_{e n}

Хе. Х^Д”

n =1

где eo = Y \ Un=i en придем к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода, с ядерным оператором. К такому уравнению применимы теорема. Пикара. [7, с. 102] и регуляризационные методы решения, например, метод А. Н. Тихонова. [8, гл. 4, п. 4.3].

Пусть в (6) a = 0. Выберем в теореме Зе < щ. Записав (6) в виде a(1 — a N)y — ACy = g ii сделав замену z = F\y. где F\ = 1 — aN получим эквива лентное интегральное уравнение 2-го рода, с квазивырожденным карлемановским ядром

∞

Ка(^,п) = Е

n=1

^^S (F-1)*^ (п), νe n ^λ

где yn = UT*wn. К этому уравнению применимы приближенные методы решения, предложенные в [7, с. 134-139].

Замечания:

• 1.    Результаты статьи справедливы и в случае вещественных пространств Ь2(р) L 2 ( v )

• 2.    Условия теорем 1, 2, 3 охватывают важный случай, когда X, Y — произвольные измеримые по Лебегу множества евклидовых пространств, а ц, v — меры Лебега.