О частном решении неоднородного уравнения свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций

Пусть ш — весовая функция. д* — сопряжены;:-<я по Юнгу с д_ш(x) = ш(е^х ). Пространством ультрадифференцируемых функций (УДФ) Берлинга нормального типа на числовой прямой, задаваемым весом ш, называется следующее пространство бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций на R:

E 1 )(R) = If € C “(R) : If V-Д = sup sup    ^{l f} (j^ ¹   < ^ (V q G (0,1), V l E (0, ^))|.

(ш)                               jGNo jxj^i exp qC ON

Пространства УДФ нормального типа (как на числовой прямой, так и на конечном интервале) достаточно активно изучаются в последние 10-15 лет. Одним из основных направлений является исследование уравнений свертки в указанных пространствах. В частности, в E^(R) к настоящему времени полностью изучена (см. [1]) задача о разрешимости неоднородного уравнения свертки

Tf = g. (i)

Здесь T^ — оператор свертки, действующий линейно и непрерывно в E^)(R); ц — его символ, т. е. целая функция, удовлетворяющая определенным условиям роста. Затем в работе [2] рассматривался вопрос о частном решении уравнения (1) определенного вида. Именно, по символу ц уравнения (1) строилась последовательность точек (vj )j=i действительной и мнимой оси так, чтобы система { e-'^lVjx : j Е N} была абсолютно представляющей системой (АПС) в E^(R) и чтобы для |^(vj)|, j Е N, выполнялись подходящие оценки снизу. Это позволило установить, что если правая часть g уравнения (1) разложена в абсолютно сходящийся ряд Д)j=i 9j e ^iVjх, то функция

∞ f = Е j=1

gj ц⁽д)

e - iν j x

является решением уравнения (1) в пространстве E^ (R). Естественным недостатком результатов работы [2] можно считать то, что система точек (vj)j=i строится неконструктивно. Вызвано это тем, что в [2] рассматривается случай произвольного веса ш.

В настоящей работе исследуется важный с точки зрения приложений случай весов ш(t) = t^p(t). где p(t) ^ р Е (0,1) — некоторый уточненный порядок. Соответствующие пространства E^)(R) представляют собой обобщенные проективные аналоги известных классов Жевре. Известно, что в этих пространствах все уравнения свертки представляют собой дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами

∞

Е akf ^(k) = g. №) k=0

Основной результат работы заключается в явном построении последовательности (vj )j=i, которая позволяет выписать частное решение уравнения (3) в виде (2). Заметим, что точки Vj выбираются симметрично на действительной оси. Доказательство базируется на аналогичных результатах из [3], полученных для случая конечного интервала, а также на свойстве устойчивости слабо достаточных множеств (СДМ) и АПС из [4].

• 2.    Предварительные сведения

В настоящем параграфе содержатся все необходимые сведения о рассматриваемых пространствах и операторах свертки в них. Кроме того, приводятся некоторые понятия и факты из теории СДМ и АПС, нужные для дальнейшего.

Начнем с более подробного определения исследуемых пространств. Напомним, что настоящая работа посвящена пространствам E^(R) УДФ Бердинга нормального типа на числовой прямой, порождаемым весами ш(t) = t^p(t), p(t) ^ р Е (0,1) — некоторый уточненный порядок. Однако для удобства изложения мы введем пространства в случае произвольного веса ш и на произвольном интервале.

Итак, пусть ш — неквазианалитическая весовая функция, т. е. непрерывная неотрицательная неубывающая функция на [0, то), обладающая определенными свойствами (см. [3]). Положим ш(z) := ш(|z|). z Е C: у_ш (x) := ш(е^х). x > 0; у* (y) = sup{xy-у_ш(x) : x > 0}, y > 0. Для заданной величины 0 < a ^ то определим пространство УДФ Верлита нормального типа на интервале I = (-a, a) (который может быть как конечным, так и бесконечным):

E^(I ) = f Е C ' ^Z) : IfUq,i < то (V q Е (0,1), Vl Е (0,a))}.

Величина |f |_ш,_q,l была определена во в ведении. Пространство Е^ДД ) наделяется естественной топологией, задаваемой набором преднорм {| • |_ш,_q,l : q Е (0,1), l Е (0, a)}, и является с ней (FS)-npocTpaHCTBOM (см. [5]).

Сильное сопряженное пространство (E^ (I)) в посредством преобразования Фурье — Лапласа функционалов

F : у Е (E^I ))‘ ^ y(z) := . •), z Е C, реализуется (см. [6]) в виде следующего весового пространства целых функций:

^H(ш),1 = U U ^Нш^Л qE (0,1) lE (0,a)

где

H„,q,l = f Е H(C) : M Ik,,., = sup---- ⁽    I f(z]¹      -

< то.

z e c exp (qш(z) + l| Im z|

Пространство H^y i наделяется естественной индуктивной топологией и относится к классу (DFS(-пространств (см. [5]).

Оператор свертки Т^ в пространстве E(^)(I) определяется как сопряженный к оператору умножения Л^ : f н- ц/. действутотпему в пространство H^)/- Ошивол ц представляет собой целую функцию, являющуюся мультипликатором пространства H(^) р В общем случае действие оператора Т^ на функции из E(^)(I) определяется равенством

(Tf)(x):= (^,f(x + •», x Е I, f Е Et)(I).

Здесь ^ := F 1(ц) Е (Et/I))'•

Известно (см. [3] и бибиографию там), что если целая функция ц(z) = ДОДо ao(-i)0zk является сильным мультипликатором пространства H1^ л т. е. удовлетворяет условию suP ДДД < то (Vе> 0), zEC , z' '

то оператор Т^ представляет собой дифференциальный оператор бесконечного порядка с постоянными коэффициентами: Tf = ^O=0 aof(O), f Е E(^)(I)•

В заключение параграфа приведем необходимые сведения, касающиеся С ДМ, АПС и связи между ними. В соответствии с [7], последовательность (xj)j=i элементов локально выпуклого пространства E называется АПС в E, если любой элемент x Е E расклады-∞ вается в абсолютно сходящийся ряд x = 2^j=1 Cjxj-

Далее, пусть заданы нормированные пространства целых функций

Ho = р Е H(CN)

Ilfllo = sup -^fz^U < то}, zECN exp У0 (z)

k Е N,

где 0 < Vk С Vk+1 < го, k G N, — некоторые заданные функции. Тогда можно ввести пространство H = Uk=1Hk и наделить его топологи ей индуктивного предела indk Hk. Множество S С CN называется слабо достаточным для H (см. [8]), если исходная топология indk Hk совпадает с топологией indk Hk-S индуктивного предела полунормиро-ванных пространств

Hk;S = ff G H (CN)

Ilf Ilk = sup ^{| f ( z )}   <  to! , k G N.

zeS ^exP Vk^(z)

Результат о связи АПС и С ДМ содержится, например, в [9, теорема К].

• 3.    Основной результат

Итак, мы будем исследовать неоднородное уравнение свертки Tf = g в пространстве E(^)(R), задаваем ом весом w(t) = t^p(t), p(t) ^ р G (0,1) — некоторый уточненный порядок. Положим p(z) := p(|z|), z G C. Напомним, что в соответствии с введенными выше обозначениями, (E^)(R))в — H^) r-

Будем предполагать, что символ ц(z) = ^k=g ak (— i)^kz^k рассматриваемого уравнения задан своими простыми нулями:

∞

Gz)=п (1 - is) • s=1 х        7

| λ s| ↑ ∞ ,

причем последовательность нулей удовлетворяет условию lim s→∞

s

|AS|P (As)

= 0 .

Равенство (4) обеспечивает то, что ц имеет нулевой тип при порядке р(г), а значит, является сильным мультипликатором пространства H^) r- Соответственно, исследуемое уравнение свертки представляет собой дифференциальное уравнение бесконечного порядка с постоянными коэффициентами (3).

Будем также считать, что последовательность (As) образует R-множество (см. [10]): точки As расположены внутри углов с общей вершиной в начале координат, не имеющих других общих точек, причем если перенумеровать точки множества (As) внутри любого из этих углов в порядке возрастания их модулей, то для точек, попавших внутрь одного угла,

|A_s+i|-|A_s| >d|A_s|^1-p(As), s G N, d> 0. (5)

При этом ц будет иметь вполне регулярный роет при порядке р(г). так что вне некоторого исключительного множества кружков Cs = {z : |z — As| < rs}, s G N, будет выполняться асимптотическое равенство

При каждом p G N возьмем число y ^{( р )} так, чтобы выполнялись следующие условия: Y^(p)< 4^^; Y^(p+1)< Y^(p); псклтоннтел!>иые кружки cS^p) = {z : |z — A_s| < Y^(p)}- s = 1, 2,..., вне которых выполняется равенство (6), попарно не пересекаются. Рассмотрим функцию sin2^Pz и ее положительные нули (jn. n G N. Разобьем их на две возрас- (р) (р)              (p) (р)                                              । (p)

тающие последовательности 41 Д2 , • • • ^и П1 , П2 , • • • ^п0 правилу: точки ±nj не попадают в исключительные кружки cS^p), a 4j^P) ил и —(jp) попадают в cS^p). Будем считать, что точек 4 ( ^{р )} бесконечно много, поскольку это наиболее сложная ситуация. Положим K± = {z : |z Т j)| (p)}- j G N.

Далее, на основании теоремы 1.2.3 из [11] выделим из последовательности (— + nn)^_1 подпоследовательность (zkp))k=1 такую, что ±zkp) / Us CSP\ Для которой lim k→∞

k

= ¹ tg у; п 2

<К1 — 5’ >dp(

1-P(Zk^P)).

k G N, dp > 0.

При этом zkp^ / Uj Kyi- k G N-

Построенные последовательности (nk^P))^_1 и (Zk^P))^_1 объединяем в одну возрастающую последовательность (vj^(p))°_ 1. При этом система {1,e^^{iVj х}}°_ будет АПС в пространстве E^ (I ^(p)), г де I ^(p) = (—2^P, 2 ^р ) (более подробно об этом см. ниже в доказательстве леммы 1). Кроме того, все точки ±vj^(p) лежат вне исключительных кружков cS^p).

Отметим некоторые очевидные свойства последовательностей (vj(p))°_ 1, p Е N. Во-первых. понятно, что (vj(p))°_ 1 С (vj(p+1))°_r p Е N. Далее, если обозначить через n(p)(r). r > 0. количество элементе)в последовательности (vj(p))°=1 на. прозюжутке (0, г], то lim sup n^pllrl < », p G N. r→∞ r

Действительно, на любом полуинтервале длиной п количество элементов последовательности (vj^(p))°=1 не пре витает 2^p+1. Следоватеявно, если 1п < r ^ (l + 1)п. l Е N. то n^(p)(r) < (l + 1)2^p+1< ( П + 1)2^p+1. Таким <збразом. limsupr ,^ nfTW ^ ^ПД. < _то

Сделаем еще одно полезное замечание. Понятно, что если нули As символа ^(z) отграничены от действительной оси, т. е. если

| Im As| >  5 q , s ^ so,

то при каждом p E N в канеетве точек nkp) можно взятв nkp) = n^k. k Е N.

Перейдем, наконец, к построению искомой последовательности (vj )^= 1. Возьмем элементы последовательности (vj⁽¹⁾)°= 1, лежащие на промежутке (0,11п] (натуральные числа 11 < I2 < ••• будут выбраны ниже). Занумеруем их по возрастанию: V1, • • •, Vj1. Затем выберем элементы последовательности (vj⁽²⁾)°= 1, попадающие на промежуток (11П, (11 + ^2)п]. и обозначим их Vj₁₊1,..., vj₂. Далее. пусть Vj₂+1,..., vj₃ — за-(3) ^

нумерованные по возрастанию элементы последовательности (vj jj._ 1 из промежутка

((11 + ^)п, (li + I2 + 1з)п]. Продолжая этот процесс далее, получим возрастающую последовательность (vj)j=i положительных чисел. При этом по построению каждая последовательность (Vj(p))°=i, p Е N, за исключением конечного числа элементов будет подпоследовательностью последовательности (vj)j=p Кроме того, все точки ±vj будут находиться вне исключительных кружков функции ц. Следовательно, для каждого е > 0 найдется номер j(e) Е N такой. что l^(±vj)| > exp { - ev^j)}, j > j(e).

Отметим еще одно полезное свойство последовательности (vj )j=p Именно, оценим величину n(r) — количество элементов последовательности (vj)jj=i па проаюжутке (0,г]. Зафиксируем r > ^п и найдем p Е N такое, что ^p=ⁱ ljп < r ^ Ep=i 1jп- Тогда n(r) ^ Ep=_i 1j • 2^j+i ^ p • li • 2^p+i. При этом r > Ep=i 1jп > 1_p-i • п > 1_p-i. Исходя из полученных опенок, числа 1_p подберем так. чтобы

n ( r ) lim -—- r^^ r^i+e

0 (Vе> 0).

2 _

Возьмем, например. 1_p = 2^p . Тогда

n(r) p • 2^p2 • 2^p+i r^i+e ^ 2(ⁱ+^e)(P^-i)2

= p • 2

:^-ep2+^3p+^2pe-e ^ 0, p ^ to,

так что условие (9) выполнено.

Прежде чем переходить к основным результатам работы, приведем конкретный пример построения последовательности (vj-)j=p

Пример 1. Пусть w(t) = 12. Нули (As )S=i сим вола ^(z) = HS=i (1-у") удовлетворяют условиям (5), (6) и (7). Тогда можно взять является АПС в E^) (I(p))- Обусловлено это неточностью в достаточной части теоремы 3 из [12]. Именно, у функции L(z) помимо точек, фигурирующих в показателях экспонент, других нулей быть не должно. Поскольку построенная в [3] функция L(z) имеет нули в точках 0, ±vjp) (других нулей у нее нет), то можно гарантировать, что система __. (p)

{^e^j j _{будет АПС в} Eyi (p)) p _Е n

Сделаем еще одно полезное замечание, касающееся результатов из [3]. Нетрудно видеть, что свойства (А), (В) и (Г) функции L(z) инварианты относительно деления на многочлен. Другими словами, если этими свойствами обладает функция L(z), то ими же будет обладать и функция L(z) = pP^zp P (z) — многочлен (естественно, при условии, что L(z) — целая функция). Это означает, что если из системы {1, e< "j x}°=i отбросить любое конечное число элементов, то она останется АПС в Ep)(I^(p))-

Учитывая только что сделанное замечание и тот факт, что каждая последовательность (vjp))^!, p Е N, начиная с некоторого номера, является подпоследовательностью последовательности (vj )j=i. делаем вывод. что система {eT^iVjx}^! будет АПС в каждом пространстве E^ (I^(p)), p Е N. Следовательно, в силу [9, теорема К], множество S = {±Vj : j Е N} является С ДМ для каждого пространства H M,/(p)’ Р ^Е N

На основании свойства устойчивости С ДМ (см. [4, теорема 2]) заключаем, что множество S слабо достаточно для Н(_ш) r- Действительно, как нетрудно видеть, если положить в теореме 2 из [4]

hk(z) = qk (шД) + | Im z|), z Е C, 0 < qk f 1;

bm(z) = (2^m — 2^m-1)| Im z|, z Е C, m Е N;

то все условия указанной теоремы будут выполнены (даже в случае произвольного веса ш; и, в частности, для ш(t) = t^p(t)). Заметим, что при этом необходимо воспользоваться известными свойствами весовых функций (см., например, [3, свойство (y)] и [6, неравенство (5)]).

В заключение снова применяем теорему К из [9] и получаем, что система {e^iy?x}°=i является АПС в пространстве E(^)(R). Тем самым лемма доказана. >

Лемма 1 позволяет разложить правую часть уравнения (3) в абсолютно сходящийся ряд по системе {ec "jx}°=i и найти частное решение данного уравнения также в виде ряда по указанной системе. В этом заключается основной результат работы, который представлен в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть символ ^(z) уравнения (3) удовлетворяет перечисленным условиям; (vj )j=i — построенная последовательность положительных чисел. Предположим, что правая часть уравнения (3) разложена в абсолютио сходящийся ряд g = ^2°=₁ g+ e^-tVjx + ^°=_i g^-e^Wj x Тогда функция

~ g+         ю g j    -iνjx             j     iνjx f (x) £ T(vj) e     + j=i g(—Vj) e является частным решением уравнения (3) в пространстве E(^)(R) (последний ряд сходится абсолютно в E^)(R)).

<1 Доказательство данного результата базируется на неравенстве (8), а также на оценках норм |e^^{iVj х}\_{ш q}p q Е (0,1), l Е (0, то), из [6, лемма 3]. В целом оно практически дословно повторяет доказательство теоремы 1 из [3], поэтому здесь мы его опускаем. >