О численном решении системы основных и сопряженных уравнений диффузии и переноса

Автор: Мурадов Ф.А., Набиева С.С., Эгамкулов А.Ш., Набиева И.С.

Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j

Статья в выпуске: 2 (44), 2019 года.

Бесплатный доступ

В статье приведены математическая модель и результаты численных расчетов на ЭВМ для определения основных физических параметров, воздействующих на процесс переноса и диффузии аэрозольных выбросов в атмосфере с целью мониторинга и прогнозирования экологической ситуации в промышленных регионах. При выводе математической модели исследуемого процесса, были учтены основные параметры: скорость и направление ветра, изменяющиеся по времени, коэффициент поглощения аэрозольных частиц в атмосфере, мощность и координаты источников выброса вредных веществ, а также такой существенный параметр как рельеф местности рассматриваемого региона. Приводится краткий обзор литературы, посвященной вопросам математического моделирования и вычислительного эксперимента, применительно к процессу распространения вредных веществ. На основе разработанных модели и алгоритма авторами была проведена серия вычислительных экспериментов на ЭВМ. Результаты расчетов проиллюстрированы в виде графиков и снабжены соответствующими комментариями и выводами.

Еще

Математическая модель, численный алгоритм, вычислительный эксперимент, перенос и диффузия вредных веществ, погодно-климатический фактор, орография местности

Короткий адрес: https://sciup.org/140274271

IDR: 140274271

Текст научной статьи О численном решении системы основных и сопряженных уравнений диффузии и переноса

В частности, работа [1] посвящена созданию информационной системы для моделирования процессов распространения вредных веществ в атмосфере, выброшенных из промышленных объектов, с использованием прикладного программного обеспечения «ArcGIS», отражающей реальное состояние атмосферного воздуха на местах. Следует отметить, что в рамках данной системы результаты могут быть получены только в отдельных точках, и они не могут дать адекватной картины состояния воздуха на остальной территории.

В статье [2] разработана математическая модель динамики и кинетики процесса распространения аэрозольных частиц в пограничном слое атмосферы как многокомпонентной среды с учетом фотохимической трансформации и образования аэрозолей в тропосфере северного полушария, а также кинетических процессов энуклеации, конденсации и коагуляции.

Автором статьи [3] разработано математическое обеспечение для исследования экологического состояния рассматриваемого региона, размещения пожароопасных объектов и их оптимизации с учетом рельефа местности и пространственной формы.

Статья [4] посвящена разработке компьютерной модели для мониторинга и прогнозирования процесса переноса и диффузии аэрозольных частиц в окружающую среду автотранспортными средствами. Авторы приводят результаты численной реализация модели на ЭВМ с использованием метода контрольного объема на основе разработанного распределенного алгоритма расчета.

В [5] разработана математическая модель процесса распространения вредных веществ в атмосфере с учетом поля ветровых течений на основе системы уравнений Навье-Стокса с учетом сжимаемости и турбулентности воздушной среды, рельефа местности. В качестве численного метода используется SIMPLE-алгоритм.

Исследование [6] проводилось на основе разработанных региональных моделей процесса диффузии веществ, описываемым гидротермодинамическим уравнением, а именно уравнением молекулярной теплопроводности в активном слое почвы с учетом теплового баланса подстилающей поверхности (вода, земля). Разработанная исследователями комплексная математическая модель состоит из отдельных блоков, каждый из которых представляет математическую модель, описывающую гидротермодинамические процессы в отдельных объектах окружающей среды. В работе рассматривается экологическая проблема, связанная с распределением загрязняющих веществ от известных источников и определяется вероятное местонахождение источника в водной среде.

Процесс переноса и диффузии аэрозольных частиц в атмосфере с учетом различных погодно-климатических факторов и внешних возмущений рассмотрен в работе [7]. В статье обсуждены перенос загрязнителей воздуха от источника с учетом адвекции загрязняющих веществ от среднего движения воздуха, смешивание загрязняющих атмосферной турбулентности и массовой диффузии. Также в работе проводится исследование процесса распространения аэрозольных частиц при различных физических и математических аспектах, связанных с транспортом и диффузией загрязнителей воздуха в пограничном слое атмосферы при слабом и сильном ветрах.

Выбросы промышленных предприятий могут состоять из нескольких компонентов аэрозолей, часть которых под влиянием водяного пара в атмосфере, кислорода, азота и других соединений образует цепочку последовательно превращающихся химических веществ различной токсичности.

Пусть в области G в точке A размещено промышленного предприятие, выбрасывающее на высоте z=h аэрозольные компоненты различных видов. Пусть это будет a1, a2,…. Они распространяются в атмосфере под данным регионам, частично осаждаясь на поверхности и загрязняя окружающую среду. В процессе переноса и диффузии часть таких аэрозольных соединений под влиянием химических реакций в атмосфере переходит в другие формы и описывается следующей системой дифференциальных уравнений.

L ' Ф,,0 + Tj,0 • Vj.» = L>

L • Фр ⁺ ^T , .1 • Ф , ,1 - ^т j ,0 • Ф , ,0 = ⁰ ,

L • ф,А + , • Фь1 - а,л • Ф,л = »,

L • ф. ,+ <т •• ф. .-т • ф = 0, т j, m-1 ,, m-1 т j, m-1 j, m-2 т j, m-2

L-(p — ст , -(p. , =0.

, , m j, m - 1 , , m - 1

ф^ = 0, на z = Q, дФ, л

^" = aj • Фц на z = Q0, дz дф.

—— = 0 на z = Q_H .

д z H

Ф, , i (r, T ) = ф, , i (r ,0), i = 0,1,2,..., m; j = 1,2,..., n где

.f i = Й , • 3 ( r - r 0, _y ) , r 0, j = ( x 0,j ,y 0, j , ^z 0, j ) ,

Систему дифференциальных уравнений (1) запишем в векторно-матричной форме

	LФ j - A ,		Ф , = F j				(3)
где			Ф j = ( ф,р	, Ф , ,1 ,-.., Ф ,;	m - 1 ^, ^ф j , m ) ,
			F j =(. f j ,⁰	,0,...,0,0 ) .
		^<-т j ,0	0	0 ...	0	0	0 "
		^T j ,0	^-т j ,1	0 ...	0	0	0
	A j =	0	^т j ,1 -	" ^Tj ,2 ...	0	0	0
		0	0	0 ...	^T j , m -2 -	- ^Tj , m - 1	0
		I ⁰	0	0 ...	0	т , j , m - 1	⁰ J

Матрица Aj является матрицей специального типа. Ранг матрица A равен m. Нетрудно убедиться, что собственными числами является:

^ j ,0 = ^-Т j ,0 , ^ j ,1 = ^-Т j ,1 , ^ j , m - 1 = ^-CT j , m - 1 , 2j^ m =^-CT , , m , ^j = ¹,²,..., n .

т.е. все собственные числа действительные и простые и матрицу можно представить в виде

Aj = Bj^ ,B-1, где Bj является собственные вектора матрицы Aj, соответствующей с

B ^— ¹

собственному X J . Преобразуем систему (3), умножая её на ^J

L Y + а2. • y(1) = f(1)

yj,г j ,1 yj ,1 i, i где в—^^MyVL^),

J J J ^Y J ,°^, ^Y J ,1 , ^, ^Y J , m ’

D—1p _p(1)_( Z(1) HD

B J F j F J ( Jj ,° , ^Jj ,1 » — ’ Jj , m )

а ² _B =— X p X < °, i = °, 1,2,—, m ; J = 1,2,..., n.

,J ,

Собственно, преобразуются и краевые условия (2)

<) = °,

на

о,

dz SYS dz

= ^a ■ yJ

= °

на

О ° ,

H .

Итак, система дифференциальных уравнений сводилась к независимым дифференциальным уравнениям виде

— + div(u ,)

dz v 7

d d

—

d z d z

U^ фW+CTVU/W r Yj,i J,iYj,I J J,i

с краевыми условиями (5).

С решением уравнений (6) мы ознакомились выше.

Y(1)

Решая задачу (6)-(5) находим функции ^J , i , и с помощью (4) от функции

^Y ^j , i переходим к функции ^Y ^j , i решения задачи (1) - (2).

Теперь рассмотрим сопряженное уравнение соответствующей (1)

L • Y *,° + ^a j ,° • Y *,° = ^PJ,o ^,

L • Y j ,, + ^a j

j _ ,1 • ^Y J ,1 ^— ^a J ,1	* • Y j,2 =	J ,
, m .
°,	на	О ,
= a . • y* , i ^y j , i	на	O ° ,
= °	на	^О H

i = °,1,2,..., m;

^L • Y j , m = ^P j

Y j, = d Y j,, d z

^BYJ, d z y J i ( r , T ) = y J i ( r ,° ) ,

j = 1,2,..., n

Систему дифференциальных уравнений (7)

напишем в векторно-

матиричном виде

L^ i + A» F j

B *

где столбцами матрицы j являются собственные векторы матрицы

где
			Ф j =	( „ j ..j ⁽ ^ф ,0^, ^ф ,1 ,..	^ф , m )
			F =	⁽ P j,0, P /1 1,-	, ^р , m ) ,
		" ⁷ j,0	^- ⁷ j ,0 ⁰ .		.0	0 ^
		0	⁷	⁷ .	.0	0
	A j =	...	...	... ..	. ...	...
		0	0	0 ..	• ⁷ j , m - 1 ^-	7 , j , m - 1
		V ⁰	0	0 ..	.0	⁰ J
	A *
Ранг	матрицы	^j равен m,		а собственные числа
	1 j _ j = ⁷ j ,0 ,	я =	j	* ^A j,2 = ⁷ j ,2 ,	* .••^, ^Aj, m - 1 = ⁷j-	,, Я = 0 m - 1 , j , m

A *

Матрицу j можно представить в виде

Aj = Bj K*Bj", приходим к

B *

умножая (9) на ^j

A j

Я*

, соответствующей собственному числу j,i ,

уравнению

L У^+ст².^.^/¹)

^ф / . i j . ^ф / . i j . i (10)

где

⁷ j , i = ^ j, i , i = 0,¹,²,..., m ^- 1, ⁷ j , m = ^ j ', m = ⁰

B *-'Ф * = ( _р *.„⁽-> , _р *.₁^|-> ,..., _р *. „ <■> ) ,

* - 1 * * (1) _f * (1) _f * (1)

B Fj ⁽ fj ,0 ’ fj ,1 ^,..., fj , m ) . (11)

Соответственно, преобразуются и краевые условия (8)

Ф *д⁽¹ = 0, на ^ ,

* ⁽¹⁾

^ j , i

_Qz = ^a j , i • ^ j , i ^на ^Q 0 ,

d ^ * i⁽¹⁾

—-— = 0 на Н_я.

^d ^z (12)

ф / i ⁽¹⁾ ( r , T ) = Ф * i ⁽¹⁾ ( r ,0 ) , i = 0,1,2,..., m ; j = 1,2,..., n

Задача (10) - (12) решается разностным методом и с помощью (11) находим решение задачи (2) -( 8).

Зная ϕ ^j ^, ⁱ ^, ϕ ^j ^, ⁱ – можно находить функционал, характеризующий загрязнения экологически значимых зон.

Список литературы О численном решении системы основных и сопряженных уравнений диффузии и переноса

Смирнов Е.А. Информационная система для моделирования распространения загрязнения атмосферного воздуха с использованием ArcGIS // Актуальные вопросы технических наук: материалы междунар. науч. конф. - Пермь, 2011. - С. 27-31.
Алоян А.Е. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. - М.: ИВМ РАН, 2002. - 201 с.
Чуб А.И. Математическая модель оптимизационной задачи размещения пожароопасных объектов с учетом рельефа области размещения // Радiоелектронiка, iнформатика, управлiння выпуск. - 2013. - № 1. - С. 88-93.
Сухинов А.И., Гадельшин В.К., Любомищенко Д.С. Математическая модель распространения вредных выбросов от автотранспортных средств на основе метода контрольного объема и ее параллельная реализация на кластере распределенных вычислений // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2009. - № 2. - Том 91. - C. 8-14
Гадельшин В.К., Любомищенко Д.С., Сухинов А.И. Математическое моделирование поля ветровых течений и распространения загрязняющих примесей в условиях городского рельефа местности с учетом k-ε-модели турбулентности // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2010. - № 6. - Том 107. - C. 48-67.
Kordzadze А. Mathematical modelling of dynamical and ecological processes in the system sea-land-atmosphere // Air, Water and Soil Quality Modelling for Risk and Impact Assessment. - 2007. - PP. 181-193.
Sharan M., Gopalakrishnan S.G. Mathematical modeling of diffusion and transport of pollutants in the atmospheric boundary layer // January pure and applied geophysics. - 2003. - Vol. 160. - Issue 1-2. - PP. 357-394.

Еще

Статья научная