О циклических подгруппах группы GL_k (F)
Автор: Шокуев В.Н.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.3, 2001 года.
Бесплатный доступ
В заметке дается описание циклических подгрупп полной линейной группы GL_k(F) степени k над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль при условии, что характеристические корни матриц, порождающих эти подгруппы, являются попарно различными.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318037
IDR: 14318037
Текст научной статьи О циклических подгруппах группы GL_k (F)
Пусть GLk(F) — полная линейная группа степени к над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль, u Е GLk(F) и рассмотрим характеристическое уравнение
- ОДЖ^ - • • • - С1к -- 0(1)
матрицы и. Согласно теореме Гамильтона — Кэли матрица и является корнем своего характеристического полинома, т. е.
п .к _ к — 1 । _ к — 2 О/оА
16 — Од!! “г ^2^ — ' ' ' — ^к^ ))
где ak = det (u), u° — единичная матрица (порядка к). Отсюда имеем un = a^"1 + а^и11"2-----akun~k (п ^ к, n Е Д ak ^ 0),(3)
т. е. линейное однородное рекуррентное уравнение порядка к.
Воспользуемся следующим результатом автора ([2], с. 65, теорема 10.7).
Если корни cti, «2, • • •, «з уравнения (1) простые (т. е. попарно различные), то решение линейного однородного рекуррентного уравнения порядка к
^п — ®1^п — 1 + ®2^п—2 " " " С1кКп — к (п ^ к, Qk ^ 0), с коэффициентами а^ из алгебраически замкнутого поля характеристики нуль определяется по формуле ип
к г=1
n Uk-1 - 8цНк_2 + Si2Uk_3 -----k( —1)^ 1Si,k_iU0 a ---------------------------------------------------------2------- г («г — O?i)(ai — «2) • • • («г — а?г-1)(аг — Cti-1-1) . . . (o^ —
«Д
n У к,
где Sij — элементарный симметрический многочлен степени j от од, «2, ■ ■ ■ , ai,-G сц-ц,... , ak.
Применяя это к рассматриваемому случаю, приходим к следующему предложению:
Если характеристические корни «1, «2, ■ •■,ak матрицы u Е GLk(F) простые, то для любого натурального числа п ^ к элемент ип циклической подгруппы (и) группы GLk(F) определяется формулой
и
п
к
= Е«?
г=1
(д? 1 - 8цНк 2 + 8^Нк 3----- h (~l)k 1Siik iU0) («г — «1) . . . («г — «i_i)(«i — «г4-1) . . . («г — «ft)
Чтобы найти представление для u-n в виде (4) при любом натуральном п ^ к, достаточно заметить, что u-n = (м-1)п, и изложенное относительно матрицы и повторить для матрицы и-1 (обратной к матрице и). При этом составление характеристического уравнения матрицы и-1 может быть заменено на следующие выкладки: ввиду того, что det (u) = ак ^ 0 из (2) следует рекуррентное уравнение
(и-1)" = -а^ак-х^У""1 + a^1afc_2(u"1)n"2 - ...
—a^1a1(u-1)n-k+1 + a^1un-k, rzfe1 / 0. п ^ к, которое решаем описанным в [2] путем.
Можно воспользоваться и тем, что u-n = (м-1)п, и обращение матрицы un найти из формулы (4) (если вычисление u-n связано с практической задачей, то предварительно должны быть вычислены матрицы и2, и3,. .., ик-1у
Для малых значений к можно получить полное описание циклических подгрупп (и) групп GLk(F) без ограничений на характеристические корни матриц и, исходя из формулы (4); при к = 2 и к = 3 подробные выкладки содержатся в заметках автора [3, 4].
Список литературы О циклических подгруппах группы GL_k (F)
- Кострикин А. И. Введение в алгебру.-М.: Наука, 1977.-496 с.
- Шокуев В. Н. Гауссовы коэффициенты: Учебное пособие.-Нальчик: Изд-во КБГУ, 1988.-98 с.
- Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы GL_3(F)//Известия КБНЦ РАН.-2001.-№ 2 (6).-С. 75-77.
- Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы GL_2(F)//Известия КБНЦ РАН.-2001.-№ 2 (7).-С. 72-74.