О циклических подгруппах группы GL_k (F)

Пусть GL_k(F) — полная линейная группа степени к над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль, u Е GL_k(F) и рассмотрим характеристическое уравнение

- ОДЖ^ - • • • - С1к -- 0(1)

матрицы и. Согласно теореме Гамильтона — Кэли матрица и является корнем своего характеристического полинома, т. е.

_п .к      _ к — 1 ।      _ к — 2                 О/оА

16 — Од!!    “г ^2^    — ' ' ' — ^к^ ))

где ak = det (u), u° — единичная матрица (порядка к). Отсюда имеем un = a^"1 + а^и11"2-----akun~k (п ^ к, n Е Д ak ^ 0),(3)

т. е. линейное однородное рекуррентное уравнение порядка к.

Воспользуемся следующим результатом автора ([2], с. 65, теорема 10.7).

Если корни cti, «2, • • •, «з уравнения (1) простые (т. е. попарно различные), то решение линейного однородного рекуррентного уравнения порядка к

^п — ®1^п — 1 + ®2^п—2 " " " С1кКп — к (п ^ к, Qk ^ 0), с коэффициентами а^ из алгебраически замкнутого поля характеристики нуль определяется по формуле ип

к г=1

n Uk-1 - 8цНк_2 + Si2Uk_3 -----k( —1)^ 1Si,k_iU0 a ---------------------------------------------------------2------- г («г — O?i)(ai — «2) • • • («г — а?г-1)(аг — Cti-1-1) . . . (o^ —

«Д

n У к,

где Sij — элементарный симметрический многочлен степени j от од, «2, ■ ■ ■ , ^ai,-G сц-ц,... , a_k.

Применяя это к рассматриваемому случаю, приходим к следующему предложению:

Если характеристические корни «1, «2, ■ •■,^ak матрицы u Е GLk(F) простые, то для любого натурального числа п ^ к элемент и^п циклической подгруппы (и) группы GLk(F) определяется формулой

и

п

к

= Е«?

г=1

(д? ¹ - 8цН^{к 2} + 8^Н^{к 3}----- h (~l)^{k 1}S_iik iU⁰) («г — «1) . . . («г — «i_i)(«i — «г4-1) . . . («г — «ft)

Чтобы найти представление для u^-n в виде (4) при любом натуральном п ^ к, достаточно заметить, что u^-n = (м^-1)^п, и изложенное относительно матрицы и повторить для матрицы и^-1 (обратной к матрице и). При этом составление характеристического уравнения матрицы и^-1 может быть заменено на следующие выкладки: ввиду того, что det (u) = а_к ^ 0 из (2) следует рекуррентное уравнение

(и^-1)" = -а^ак-х^У""¹ + a^¹a_fc_₂(u"¹)ⁿ"² - ...

—a^¹a₁(u^-1)^n-k+1 + a^¹u^n-k, rz_fe¹ / 0. п ^ к, которое решаем описанным в [2] путем.

Можно воспользоваться и тем, что u^-n = (м^-1)^п, и обращение матрицы uⁿ найти из формулы (4) (если вычисление u^-n связано с практической задачей, то предварительно должны быть вычислены матрицы и², и³,. .., и^к-1у

Для малых значений к можно получить полное описание циклических подгрупп (и) групп GLk(F) без ограничений на характеристические корни матриц и, исходя из формулы (4); при к = 2 и к = 3 подробные выкладки содержатся в заметках автора [3, 4].