О циклических подгруппах полной линейной группы третьей степени над полем нулевой характеристики

n говое поле, алгебраическое замыкание поля.

В работе дается явный вид любого элемента каждой циклической подгруппы полной линейной группы GL3 ( F ) третьей степени над произвольным полем F нулевой характе ристики. При этом, опираясь на такой результат, в группе GL3(F) над полем F одного специального вида выделяются некоторые конечные циклические подгруппы. Первые исследования циклических подгрупп полной линейной группы GLn ( F ) над полем F при n = 2 и n = 3 по спектру ее матриц были начаты в [1, 2].

Как и в работе [3] мы даем усиление результатов из [2], относящихся только к случаю алгебраически замкнутого поля. При этом мы используем несколько иной подход, основанный на свойствах характеристических корней многочлена от матрицы (см. [4, с. 60],

[5, с. 65]).

Следующий результат, основанный на свойствах спектра многочленной матрицы, позволяет вычислять любой элемент циклической подгруппы полной линейной группы GL3 ( F ) в случае char F = 0 (предварительное сообщение дано в [6]). Отметим, что вычисление высоких степеней матрицы используется при определении наибольшего по модулю собственного значения матрицы (см. [7, с. 354-355]).

Теорема 1. Если а, в, Y ^— характеристические корни матрицы M G GL3 (F ), то циклическая полгруппа hM i порождена;гя матрицей M нал полем F нулевой характе ристики, определяется равенствами:

M ⁿ

Ai

(а — в)2

M ²

-

^А 2

(а - в)2

M -

^А 3

(а - в)2

M0,

M ^п = ^A M ² + ^A M + ^A 3 M 0,

	w	w	w
при различных а, в, Yi
		а 2 а 1
	w =	в 2 в 1	,
		y 2 y 1

Ai — определитель. mулученный заменой i-ro столбца определителя w столбцом t(aⁿ,eⁿ,Yn);

где а — двукратный корень; в — простой корень; Ai — определитель, полученный заменой i-ro столбца ощхлегптегя а2 а 1

2а 1 0

в ² в 1

столбцом ^t(аⁿ,nа^{n 1} ,в ^п):

Mn = n(n- 1) ^m2 + (2n - n2) аn-1M + 2 (n - 1) (n - 2) апM0, где а — трехкратный характеристический корень матрицы M.

<1 1): Пусть M G GL3 (F) и а, в, Y ^— различные характеристические корни матри- пы M. вообще говоря, принадлежащие кубическому расширению поля F. По теореме Гамильтона — Кэли (см., например, [5, с. 120]) и по формулам Виета при n = 3, спра-

F

M ³ = (а + в + y ) M ² — (ав + ад + вй) M + aвYM ⁰ .

Из равенства (1) следует, что M ⁴ тоже можно выразить через M 2, M и M 0, умножая для этого обе пасти (1) па M и заменяя появляющуюся в левой части матрицу M ³ правой частью (1), и вообще, повторяя последовательно этот процесс нужное число раз, мы получим равенство

M^п = pnM ² + qnM + rnM ⁰ , (2)

при некоторых p_n,q_n,r_n G F, n >  3, M ⁰ = E — единичная матрица третьего порядка.

Пусть А — собственное значение матрицы M. Тогда, как известно (см., например, [5, с. С1]). если f ( M ) — многочлен от матрицы M. то собственное значение матрицы f ( M ) равно f ( А). Поэтому ввиду (2) элементы p_nA² + q _n A + r_n 11 A n являются собственными значениями матрицы M^п.

Тогда, учитывая, что а ^п. в ^п- Y n ~ собственные ':нюнеиия матрицы M^п получаем систему уравнений

Рпа² + qna + Гп = а ^п ,

< Рпв ² + qnв + Гп = в^п,                               (3)

, Рпй ² + qnY + Гп = 7 ^п -

Определитель этой системы w =

α2 α

β2 β

γ2  γ

= (а - в) (а - y ) (в — Y) = 0

— есть определитель Вандермонда третьего порядка. Решая систему (3) по правилу Крамера, находим коэффициенты pn, qn, rn

Pn = A, q* = A, rn = A, www где

	а*	α	1		а2	α n	1		а2	α	а*
A1 =	в n	β	1	, A2 =	в2	β n	1	, Да =	в 2	β	в*
	y n	γ	1		y2	γ n	1		y2	γ	y n

тем самым и. 1 доказан.

2): Случай двукратного корня. Пусть а, в, Y ^— характеристические корни матри цы M. причем а — двукратный, в — простой корень и. значит, y = а.

Пусть M удовлетворяет уравнению (2). Тогда рассматриваем многочлен f (x) = xn - p*x2 - q*x - r*.

Так как а — двукратный корень этого многочлена, то он является также корнем производной многочлена f (x), т. е.

па*-1 - 2р*а - q* = 0.

Тогда получаем систему pno? + qnа + r* = а*, < 2р*а + qn = па*-1,

₁Pnв² + qnв + rn = в*.

Так как но условию а = в- ^т° определитель этой системы -(а - в) 2 = 0. и решая относительно pn, qn, r* по правилу Крамера, получаем

_ Д         Д     _ Да

p* =   („ - в)2'  qn = (а - в)2,  r* =   (а - в)2, где Ai — определитель. п<пученный 'заменой i-ro столона определителя

α2 α 1 2а 1 0 β2 β 1 столбцом t(а*,па*-1, в*) и тем самым формула для Mп в рассматриваемом случае доказана.

3): Случай трехкратного характеристического корня: а = в = 7- Тогда корень а является корнем многочлена (4) и его первой и второй производной. Поэтому для коэффициентов равенства (2) получаем

= n ⁽ n 2 1) a^{n 2}, qn = ^2n - n²^ аⁿ 1,   г * = | (n - 1) (n - 2) аⁿ. ▻

Доказанная теорема 1 позволяет исследовать вопрос о конечных циклических подгруппах полной линейной группы GL3 (К⁽ⁿ⁾) над n-круговым полем К ⁽ⁿ⁾ являющемся полем разложения двучлена xn — 1 над полем К нулевой характеристики (свойства таких полей изложены в [8, с. 84]). Обозначим через Е ⁽ⁿ⁾ множество корней многочлена xn — 1. Введем также обозначение N3 (К⁽ⁿ⁾) для числа циклических подгрупп порядка n в груп-ne GL3 (К(n^Y Тогда имеет место следующая

Теорема 2. Для любого простого числа р количество циклических подгрупп порядка р, порождаемых диагонализируемыми матрицами в полной линейной группе GL₃ (К(^р)) над р — круговым полем К ^(p) нулевой характеристики задается формулой

N3 (к ^(p)) = р² + р + 1.

C Сначала будем рассматривать случай матриц с простым спектром, т. е. пусть мат рица M Е GL3 К ^(p)) имеет различные хар;^ктеристические корпи а. в- Y- принадле жащие, вообще говоря, алгебраическому замыканию поля К^(p). Построим циклическую подгруппу hM i <  GL3 К ^(p)) простог*) порядка р. порожденную матрицей M. Для это го в теореме 1 положим n = ри потребу ем, чтобы |hM )| = р, M^p = Е, Mk = Е при 1 6 k 6 р, где Е — единичная матрица третьего порядка.

В силу теоремы 1 это требование равносильно тому, что

Д1 = 0, Д2 = 0, Д3 = w.

При этом заметим, что для получения равенства M^p = Е другое требование W M ² + ^)2 M = 0, где 0 — нулевая матрица, не будет иметь места.

Тогда в силу теоремы 1 имеем систему уравнений

α

считать M =

0 в 0 а, в, Y Е Е (p)-

0 y

Рассмотрим теперь случай матрицы M, имеющей двукратный характеристический корень а и простой корень в, пока считая их принадлежащими алгебраическому замыканию поля К ^(p). Поскольку любую матрицу над алгебраически замкнутым полем можно

α

x

α

y z           x.

β

y. z — некоторые элементы из алгебраического замыкания поля К ^(p). Тогда имеем

	α p	рар 1x
Mp = I	0	α p
	0	0

αp-βp α-β αp-βp α-β

β ^p

y z

их

ап а 1 вп в 1 Yn Y 1 = 0, а2 ап в2 вп y2 yn 1 1 1 = 0, а2 в2 Y2 α β γ αn βn γn = w.          (6) Решив эту систему относительно ап, вn , Yn, αn а2 а ап = βn = = yn Подставляя в третье равенство системы (6), будем иметь в 2 Y2 β γ αn αn = w, откуда ап = 1, но тогда я вп = 1- Yn = 1- 11 311 a4nL a,e,Y Е К(p). точнее а. в. Y Е ЕЛ Но так как матрица M по условию имеет простой спектр, то над алгебраическом замыкании поля К(p) она приводится к диагональному виду. Поэтому не нарушая общности рассуждений можно

Требуя теперь, чтобы Mp = E. будем иметь, что pap ¹x = 0. откуча x = 0. поскольку поле K ^(p) имеет нулевую характеристику.

( a 0 у 0 az

0 0 в

α порядка р, порождаемые такими матрицами из N3 (K(p)) циклических подгрупп группы GL3 KK(p)).

В случае трехкратного характеристического корня a (7) будет иметь вид

a 0 и значит, циклические подгруппы

0в будут включены в конечную совокупность

/ a^p 0 pap ¹ у \ M^p =    0 ap pa ^p-1 z .

0 0      a ^p

Тогда матрица M будет порождающим элементом циклической подгруппы порядка р. только тогда, когда a p = 1 11 у = 0. z = 0. т. е. a Е E (p).

Таким образом, нами установлено, что порождающая матрица M = E циклической подгруппы порядка р группы GL 3 K ^(p)) должна иметь диагональный вид, причем ее диагональные элементы принадлежат E^(p).

Перейдем теперь к подсчету числа циклических подгрупп порядка р в GL3 K(p^y M вторениями Ap = р3. Выберем произвольную матрицу М1, порождающую циклическую подгруппу hM1i пор>тдка р в группе GL3 KK(p)). Строим вторую циклическую подгруппу hM2i пор!тдка рв GL3 K(p)} так. чтобы hM1i С hM2) = {E}. Продолжая этот процесс, на последнем шаге строим циклическую подгруппу hMsi, г де s = N3 (K(p)), при этом hMi i ный набор трех элементов из E(p), вообще говоря, с повторениями таких элементов. Так как в этих циклических подгруппах имеется только один общий элемент E, повторяющийся р раз, то из общего количества матриц, входящих во все циклические подгруппы нужно исключить N3 (K(p)) — 1 едшшчпьix матриц E ив результате получим р3 матриц. Поэтому имеем pN3 (K(p)) — (N3 (K(p)) — 1) = р3. откуда N3 (K(n)) = р2 + р + 1. в