О дискретности спектра оператора Шредингера с ограниченным потенциалом

DOI:

Известно, что структура спектра оператора Лапласа — Бельтрами на римановом многообразии зависит от геометрии многообразия. Характер зависимости различных свойств спектра в различных условиях исследуется множеством авторов начиная с последней четверти прошлого века (см., например, [8; 9; 11; 16; 18; 19]). При этом свойства спектра оператора Шредингера, очевидно, зависят не только от геометрии многообразия, но и от поведения потенциала. Поэтому их исследование является более сложной задачей даже в случае R”. Результатов относительно структуры спектра оператора Шредингера на римановых многообразиях в несколько раз меньше, чем для лапласиана. В частности, можно отметить публикации [12; 17; 20]. Во всех этих работах накладываются разные условия на геометрию многообразия, но основным результатом в них являются утверждения о дискретности спектра оператора Шредингера при определенном поведении потенциала на бесконечности. В этом смысле процитированные исследования наиболее близки к представляемому в данной статье. Наиболее существенным отличием является класс изучаемых многообразий и методы работы с ним.

где d0 2 — метрика на S^ а q i (r) — гладкие положительные на R 0 функции.

На многообразии М нас будут интересовать оператор Лапласа — Бельтрами

• — А = - div V

и оператор Шредингера

L = —А + c(r, 0), где c(r, 0) — произвольная функция на многообразии. Кроме того, введем обозначение s(r) = q^1 (r) qkk (r). Заметим, что такие многообразия являются простым обобщением искривленных произведений порядка к, поведение решений различных эллиптических уравнений на которых достаточно подробно изучено А.Г. Лосевым, Е.А. Мазепой, С.А. Корольковым (см., например, [2; 13–15]) и другими авторами.

Будем говорить, что спектр оператора дискретен, если он состоит лишь из собственных значений конечной кратности. Для оператора Лапласа — Бельтрами известен критерий дискретности спектра на рассматриваемых многообразиях [19]. При этом для оператора Шредингера удается получить критерий дискретности спектра только при наложении некоторых условий на потенциал и метрику многообразия. В частности, от потенциала требовалась радиальная симметричность (см.: [6; 7; 20]), то есть рассматривался оператор Шредингера вида

L _r = — А + C(r).

В настоящей работе получены достаточные условия дискретности спектра оператора Шредингера с потенциалом общего вида на квазимодельных многообразиях.

Будем обозначать V ( • ) и cap( - ) объем и емкость соответствующих объектов, а В (r) = { ( р , 0 ) е D : р < r } — шар радиуса r с центром в начале координат на многообразии D.

Теорема 1. Пусть c(r, 0 ) >  0 . Тогда спектр оператора Шредингера L на многообразии М дискретен, если на конце D выполнено одно из условий:

• V(D) <  - и lim ' D/V   = 0,

r -^ cap(B(1), B(r))

или x                ,     V(В(r))

cap В(1) > 0   и lim ----——— = 0.

r ^^ cap В (r)

Отметим, что условия, выполнение которых требуется в данной теореме, для дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами являются не только достаточными, но и необходимыми [19].

Далее нам потребуется еще одно обозначение:

( ai (fM V

( )      2f(r)    + 2f(r)    •

Имеет место также следующий результат.

Теорема 2. Если на многообразии М существует функция c(r ) такая, что с(г, 6 ) >  >   с(г) и c(r) + F(г ) >  —С (С = const > 0) , то для дискретности спектра оператора Шредингера L на многообразии М достаточно, чтобы для произвольного ш >  0

было выполнено

lim

Т ^^

т+ш

W (c(r) + F (r)) dr

= + то .

Т

Заметим, что для некоторых случаев потенциала данное утверждение так же является и необходимым условием дискретности спектра оператора Шредингера, а в простейшем случае, если вместо квазимодельного многообразия рассматривать числовую прямую, оно соответствует известному критерию дискретности спектра А.М. Молчанова на прямой [3].

1.    Вспомогательные утверждения

Пусть X — гладкое связное многообразие размерности п. Считаем, что на X задана локальная система координат и риманова метрика. Очевидно, что риманова метрика на многообразии индуцирует риманово расстояние d(x,y), где х,у Е X . Это позволяет, в частности, определить важный объект, связанный с римановой метрикой — градиент. Далее на многообразии определяется дивергенция div, как оператор, сопряженный с V относительно меры многообразия. Наконец, оператор Лапласа — Бельтрами на многообразии X задается как

— А = — div V.

Далее рассмотрим пространства функций на многообразии X и оператор на этом пространстве —

А = — div V + с,                             (1)

где с — некоторая действительнозначная функция. Этот оператор задан на £ ² (X), а его областью определения, плотной в этом пространстве, является C 0^( X ). Будем называть А — полуограниченным, если коэффициент Релея

Л 1 = Л 1 (А)

inf <А^

ф - о > \   ( ф , ф )

конечен. Очевидно, что в силу полуограниченности оператора Лапласа — Бельтрами, для полуограниченности оператора А достаточно ограниченности снизу функции с. Отметим, что, хотя функции, используемые в этом определении, берутся из C0°(X), скалярное произведение определено благодаря тому, что оператор, как было отмечено выше, задается в £2(X). Известно, что коэффициент Релея совпадает с инфимумом спектра оператора Л. Кроме того, заметим, что коэффициент Релея совпадает и с инфимумом спектра расширения по Фридрихсу оператора Л в силу основного свойства этого расширения (см., например, [4]). Далее, следуя [4; 8] и др., говоря о спектре незамкнутого, но замыкаемого оператора, мы имеем в виду спектр замыкания. То есть слова «спектр оператора» на самом деле относятся к спектру расширения по Фридрихсу этого оператора.

Пусть {К } — семейство всех компактных подмножеств многообразия X . Справедливо следующее утверждение о дискретности спектра расширения по Фридрихсу оператора (1).

Теорема 3. Оператор Л имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда sup A1(X \ К) = +то.

{ к }

Аналог этой теоремы может быть получен как следствие из результатов [1, c. 15– 62], а непосредственно в таком виде она может быть найдена в [8].

Следствие 1. Если оператор Л имеет дискретный спектр и q — неотрицательная функция, то спектр оператора Л + q также дискретен.

Доказательство. Для оператора Л + q, используя вариационное определение первого собственного числа и учитывая, что q >  0, имеем:

^{(( Л} + q⁾ Ф ^, ф ) ⁽ ф , ф )

sup Ai((Л + q) [ С°(\ \ К)) = sup inf кс{к}                            Кс{К} С0 А\к)

.     / ^(ЛФ , ф )    ^ф , фП

= sup inf            +         > кс{к} ' 7>\ К \ (ф, ф)     (ф, ф) /

> sup inf (^ ^ф ! = sup A 1 (Л Г C " (X \ К )).

к с{ к } С ^ (х- \ Ю) ( ф , ф )     к с{ к }

И если теперь мы предположим, что оператор Л имеет дискретный спектр на X, то отсюда немедленно будет следовать дискретность спектра оператора Л + q на этом многообразии (по теореме 3):

sup А 1 (Л + q Г C _o" (X \ К )) >  sup А 1 (Л Г C_o " (X \ К )) =+ ^ . к с{ к }                           к с{ к }

2.    Доказательства теорем

Вернемся теперь к многообразию М , описанному во введении. Ранее нами были получены следующие утверждения о дискретности спектров операторов Лапласа — Бельтрами и Шредингера на таких многообразиях.

Теорема 4 ([19]). Спектр оператора Лапласа — Бельтрами — А на многообразии М дискретен тогда и только тогда, когда на конце D выполнено одно из условий:

((D) < _ и lim V \   =0, r -o cap(B(1), В(г))

или

x                ,     ( (В (г))

cap В (1) > 0 и lim ----——— = 0.

r ^o cap В (г)

Теорема 5 ([20]). Пусть c(r) + F(г) > —С (С = const > 0). Для дискретности спектра оператора Шредингера LT на многообразии М необходимо и достаточно, чтобы для произвольного ш > 0 было выполнено lim

Т ^^

r+w

W (с(г) + F (г)) dr

= + то .

Т

Доказательства теорем 1 и 2 получаются на основе теорем 4, 5 и следствия 1. Действительно, если с(г, 0 ) >  0, то получаем, что дискретность спектра оператора Шредингера следует из дискретности спектра лапласиана, которая эквивалентна выполнению условий теоремы 4. Таким образом, приходим к заключение теоремы 1. Аналогично, если на многообразии М существует функция с(г) такая, что с(г, 0 ) >  с(г) и с(г) + F(г') > —С (С = const > 0), то дискретность спектра оператора Шредингера L следует из дискретности спектра оператора Шредингера L _T , необходимое и достаточное условие для которой (при выполнении наложенных ограничений) описано теоремой 5. Таким образом, приходим к заключение теоремы 2.

Заметим, что доказанные теоремы, на самом деле, можно обобщить, поскольку аналогично может быть рассмотрено квазимодельное многообразие М более общего вида, то есть многообразие, представимое в виде объединения К U D 1 U • • • U D _p , где К — некоторый компакт, а концы D ^ — простые искривленные произведения, аналогичные описанному выше многообразию D. Существуют аналоги теорем 4 и 5 на таком квази-модельном многообразии, благодаря чему теоремы 1 и 2 также останутся справедливы — достаточно лишь потребовать выполнения условий теорем на каждом конце 1), .