О дополнительном финансировании в модели "инвестиции-потребление"

Уравнение динамики фондов в модели «инвестиции–потребление» имеет вид [1, с. 242]

К = sF(К, L) - цК, здесь K — объем основных фондов, L — запас трудовых ресурсов, µ — коэффициент амортизации, s G [0; 1] — управляющий параметр, F — производственная функция.

Предполагая, что трудовые ресурсы L остаются неизменными, а производственная функция F — линейно-однородна, уравнение динамики перепишем в виде k = sF(k, 1) - ^k, где k = K/L — фондовооруженность.

Если рассматривается функционирование системы на достаточно протяженном промежутке времени и поставлена задача выбора s(t), которая обеспечит достижение заданного уровня фондовооруженности и при этом величина потребления за весь промежуток времени окажется максимальной, то оказывается, что [1, с. 247] s(t) = 1, пока величина k не достигнет некоторого значения, близкого к к, где dF -

... ^

Но это означает, что в указанный промежуток времени потребление отсутствует, поскольку темп потребления составляет (1 — s(t))F = 0.

Ясно, что это плохо согласуется с предположением о неизменности трудовых ресурсов L .

Вышеизложенное мотивирует следующую постановку задачи.

Пусть требуется от уровня фондовооруженности k0 выйти на уровень k1 за кратчайшее время, при этом на указанном промежутке времени величину s считаем фиксированной константой, так что sF (k, 1) — ^k = f (k).

Предполагается, что выполняются обычные свойства производственных функций:

f ‘ (k) >  0 при k £ [k ₀ ,k), f ‘ (k) <  0 при k £ (k, k1 ], f ‘‘ <  0

(случай k1 ^k мы не излагаем, т. к. ответ в этом случае легко увидеть из нижеизложенного).

К собственным инвестициям могут быть привлечены дополнительно средства S , которые поступают в виде финансового потока u(t), так что t1 j u(t) dt = S, 0

где t 1 — момент выхода на фондовооруженность k 1 , при этом считаем известной предельную способность к поглощению инвестиций g(k), предполагается что функция g гладкая.

Таким образом, u(t) < g(k(t)), k = f (k) + u, k(0) = ko, k(t1) = k1, t1

u(t) dt = S.

Требуется определить u так, чтобы за кратчайшее время выйти на фондовооруженность k1 . Будем считать, что k1

s< I g? (k dk= s,

J f (k)+ g(k)

k 0

Значение S позволяет осуществить дополнительное финансирование в максимальном объеме g(k) на протяжении всего времени изменения k от к о до k i (см. (7)-(9)).

Родственная задача с другим функционалом качества изучена в работе [2].

• 2.    Задача управления

Вводя обозначения x i = к, Х 2 = 0 u ( t ) dT , запишем нашу задачу как задачу теории управления:

• t1 ^ min,

X 1 = f (x i ) + u,                                       (1)

X 2 = u, x 1 (0) = xi, x ₁ (t ₁ ) = x i , X 2 (0) = 0, x 2 (t i ) = S, bi(xi,u) = u - g(xi) ^ 0, b ₂ (x _i ,u) = —u Ф 0.

Согласно принципу максимума Понтрягина для таких задач [3, с. 400], для оптимального процесса (x,u) существуют неотрицательные кусочно-непрерывные функции p i , р 2 , константа фо ф 0, функции ф 1 , Ф2 такие, что для функции Понтрягина

H = Ф1(f (xi) + u) + ^2u выполняются условия:

∂H     ∂b 1      ∂b 2

^ф i = — Л-- ^{+ p}i Л-- ^{+ p}2 Л— ’

∂xi     ∂xi     ∂xi т. е.

Ф 1 = — ^ i f ‘ (x i ) — p i g ‘ (x i ), Ф2 = 0;

H(ф(t),x(t),u(t)) =   max H(ф(ф, x(t),v) = —фо ф 0.

0 < v < g ( x ( t ))

Так как H = ф^ (x i ) + (ф 1 + ф 2 )u, заключаем, что

Вектор

u =

g ( x i ) , если

0 ,      если

Ф 1 + Ф2 >  0,

Ф1 + Ф2 <  0.

~

~

(^ 0 ^,^ i (^t i )^,^ 2 (t i )⁾

нетривиален; p i (t)b i (x(t),u(t)') = 0, т. е.

p i (u — g(x i ))=0,   p2u = 0.                              (5)

Hu(ф(t),x(t),u(t)) = pi(t)biu (x(t),u(t)) + P2(t)b2u (x(t),u(t)), т. е.

Ф 1 + Ф2 = Pi — P 2 -                                 (6)

Исследуем полученную систему

• 1)    Покажем, что ' 2 = 0. Если ' 2 = 0, то в силу предположения о величине S , на некотором интервале u <  g(x i ), тогда из формулы (5) следует p i =0 и из формулы (6) следует ^ i С 0 на этом интервале.

В силу неотрицательности H ' i =0, но тогда ' о = 0.

В финальный момент

H = 'i(f (xi) + u) = 0, следовательно, 'i = 0, что противоречит нетривиальности ('о,'i(ti),'2).

• 2)    Покажем, что ни на каком промежутке функция ' i + ' 2 не является нулем. Если ' 1 + ' 2 = 0 на некотором промежутке, то p i = p 2 .

Если p i =0 (i = 1, 2), то из (5) получаем противоречие: u = g(x i ) и и = 0. Если P i = Р 2 = 0, то из (2) получим ' i = ' 2 = 0, но как уже показано ' 2 = 0.

• 3)    Рассмотрим вопрос о числе точек переключения управления u.

Пусть ti, t2 — точки переключения и 'i + '2 < 0 на (ti,t2), тогда из (5) получаем: pi =0 на (ti,t2) и xi = f (xi), 'i = 'if ‘(xi), причем при t = ti 'i = —'if‘(xi) < 0, а при t = t2

' i = - ' i f ‘ (x i ) > 0 и ' i (t i ) = ' i (t 2 ) = — ' 2 .

Следовательно, на концах промежутка f′ имеет разные знаки и x G (xi(ti),xi(t2)).

Если ' _i + ' ₂ > 0 на (t _i ,t ₂ ), то из (5) получаем p ₂ = 0, из (6) ^ p _i = ' _i + ' ₂ , подставляя в (2), имеем

'i = —'i(f ‘(xi) + g’(xi)) — '2g‘(xi), причем при t = ti 'i = —'if‘(xi) > 0, при t = t2 'i = —'if‘(xi) < 0 и, так как 'i(ti) = 'i(t2), f ‘ на концах промежутка имеет разные знаки и x G (xi(ti),xi(t2)).

Далее, так как f ‘ (x i (t 2 )) < 0 и ' i (t 2 ) < 0, получаем, что ' i (t 2 ) < 0, но тогда правее точки t 2

H = 'if (xi) < 0, что противоречит наравенству —'о ^ 0.

Таким образом, установлена

Лемма 1. Оптимальный процесс имеет не более двух точек переключения, причем, если t i , t 2 — моменты переключения, то на интервале (t i , t 2 ) u = 0 .

Замечание 1. Если в точках t 1 , t 2 ψ 1 не имеет производной, то речь нужно вести об односторонних производных.

Замечание 2. Если имеется один момент переключения t 1 , то, как видно из проведенных рассуждений, для управления

g(x(t)), t < t i , u=

0, t > ti выполняется неравенство x(ti) С X, для управления

Г о,         ti,

(g(x(t)), t > ti выполняется неравенство x(ti) ^ X.

• 4)    Обсудим вопрос о значениях фондовооруженности в точках переключения. Для этого потребуется

Лемма 2. Если (х,ф) — нестационарное решение системы

( x = f (x),

(ф = -^f ‘ (x)

и ^(t1) = ^2), то f (x(ti)) = f (x(t2)).

<1 Система является гамильтоновой с функцией H = ^f (x). Поэтому вдоль решения H = c (= 0, т. к. решение нестационарное), т. е.

^^{( t} i^{) f ( x (}ti⁾⁾ = ^^{( t} 2^{) f ( x ( t} 2⁾⁾.

Лемма доказана. >

Поскольку фондовооруженность x i является монотонной функцией времени, можем сформулировать результат предыдущих пунктов так: управление u является функцией X i , равной нулю на промежутке [z i ,Z 2 ] и равной g(x i ) вне промежутка.

Возможны варианты:

• a)    z ₂ = x i , z _i С X (см. замечание 2), при этом z _i = x _i (t _i ), X _i = f (x _i )+g(x _i ), x _i (0) = x ⁰

t 1

У g(x _i (t)) dt = S.

Делая подстановку x _i (t) = y, x ⁰ С У С z _i , dt =        , получаем

[ 7ГТГ71 dy = S,                       (⁷)

J f(y)+ g(y> x1

откуда и определяем z i .

• б)    Z i = X ⁰ , Z 2 >  X, X i = f (x i ) + g(x i ), X i (t i ) = Z 2

t 1

g(Xi(t)) dt = S, t1

делая подстановку Xi (t) = y, получаем x′1

/            dy = S,                                ⁽⁸)

J f(y)+ g(y> z2

откуда и определяем z 2 .

• в)    z i < x < Z 2 , в силу леммы 2 f (z i ) = f (Z 2 ). Если f(x i ) ^ f(x ⁰ ), то на промежутке [x,x 1 ] определим функцию a(x) со значениями в промежутке [x ⁰ , x] условием f (a(x)) = f (x) (в случае f (x i ) < f(x ⁰ ) функцию а следует определить на промежутке [x ⁰ ,x]).

При этом x 1 = f (xi) + g(xi) при t < ti и t ^ t2, x 1 = f (xi) при t\

g(x1(t))

dt +

t1

g(x1(t))

t2

dt = S.

Подставляя x(t) = y, получаем

a(z2)                           ^x1

[ g⁽y)      , . fg⁽y) J = Q

J f(y)+ g(y) y J f(y)+ g(y) y ' ^x01                             ^z2

откуда и определяем z2 и z1.

Таким образом, установлена

Теорема. При оптимальном процессе динамика фондовооруженности описывается законом

] f (x),           если x € [zi,Z2], x=

[ f (x) + g(x), если x € [zi,Z2], где zi, Z2 определяются из формул (7)-(9).

Выводы: Выделенные средства S следует расходовать максимально быстро на одном или двух промежутках времени, указанные промежутки определяются по значениям фондовооруженности из теоремы.