О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями изменения типа
Автор: Елеев В.А., Лесев В.Н.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.3, 2001 года.
Бесплатный доступ
В работе рассмотрены две модельные краевые задачи для уравнений парабологиперболического типа с нелокальными условиями на границе. Указаны условия, при которых эти задачи однозначно разрешимы в классе регулярных решений.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318038
IDR: 14318038
Текст научной статьи О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями изменения типа

exp ([4(р - р)] ‘)
Ля " Ч)

exp

М(у)^У

1 00 / 9 \ 1 /i \
1 \- / » \ . 1 /1 \
, . , > .ехР -",----г + —^=— ехР --,г
^(У " ^ n=i V ^"^) ^^у-у} \ (У -У))
1 , 1 , ( (1 + 2п)2\
4--, 4--, + / ехР--;-----г- ГЛ vl) Ал
2V^(y- У) 2Ул(у - у) п=_оо \ (У - У) / где
у 1

ч о
У 1

ч о
F3№
Эх
Эх
Ж = 1
FMul

FtoMRtoX.x^Wdt,
Е^.^Гои.О;»,,^^^
О
Рассматривая полученное соотношение между т^ и ^ совместно с (12) и условиями сопряжения (6), приходим к интегральному уравнению Воль-терра второго рода относительно v^ (у)
У viW+ [sto, tHWt = m.
о где ядро StoH и правая части Т(д) выражаются через известные функции. После определения v^^ и т^^ находим решение задачи в области О2 как решение задачи Коши д(1, g) = toYu,.to^ = ^ to) Уравнения (1), а в П„ -как решение первой краевой задачи.
Рассмотрим теперь уравнение
"га ■ Bfi°' u„ - u„ - A?signg/u, в 12,,
где Ш,^ - заданная функция, А, = const (, = 1,2) а П - ™ же область что и в задаче 1. Сохраним и введенные ранее обозначения т, Ь), „, Ь), т2 („). ^2 (У)' ____
Задача 2. Найти регулярное в областях Q^ (г = 0,2) решение уравнения (17), удовлетворяющее краевым условиям (3), условиям
=Ub(0,i,)-6Dj„u(0,i,) = V1(i,),
Цое = ^ж\ 0 ^ ж
и условиям сопряжения (5), (6), где /)/у — оператор дробного дифференцирования в смысле Римана - Лиувилля [6, с. 28], причем а = а№. Ь = W -заданные непрерывные коэффициенты такие, что ab>0; 6М (т^ДеС^М, «М ЗМ 7z(d, УД2,з(г) G С2[0,1],
Кроме того,
«HDAd) > О, aWi^ + ^d^d) ^ 0, Д(ж)ф(ж) ^ 0.(20)
Под регулярным решением уравнения (17) будем понимать функцию Дх, у) из класса C(QJ П С1 (По U О A U АС) П С1 (Qi U О А) П (П2 АС), а при х = 0 и у G (0,1] удовлетворяющую условию Гельдера с показателем К > 1/2.
Докажем вначале единственность решения задачи 2. Пусть Дх,у) — решение однородной задачи 2. Тогда справедливо равенство 11
[к2 (ж, 1) — к2 (ж, 0)] Ах + I иД,у)ихД,у) dy оо
дмцм^р p.d^». О Qn
Так как рассматривается однородная задача, то (18) можно записать в виде
«ао,^ = ю*,и(о,«у
С учетом последнего равенства и принципа экстремума для операторов дробного дифференцирования [7, с. 308], легко убедиться в справедливости неравенства
1 I^^MddSQ. О
Теперь покажем, что Дх, 0) = 0. Для этого в (17) перейдем к пределу при у —> 0+, получим
№)]"-7Ц) = о, откуда, с учетом однородных граничных условий (3), (19) заключаем, что

(тМ№=к(#,+(<б = оо
Используя соотношение между тГ (т) и „? (т) можно показать сиранедли-вость неравенства
Л 5 о.(23)
Действительно, удовлетворяя решение задачи Коши и(т 0) = тГЬ), иМ 0) = vx (ж) для уравнения (17) в области Qx условию (19), будем иметь
П (ж) +

уП ^^1о [^ilV^^ - О] dt t dx LJ
/ X \ I Г /-----------
", w »■
= 2уз ( ~ J + Io Ai | \/t(x — £)
\ 2 / J L 0
Применяя к (24) формулы взаимного обращения интегральных уравнений Вольтерра [8, с. 1138]:
MW-I„ Д*Д « = NW,
Ut L J
f т й Г /-----------
NW + N(t) Jo V^WW » = MWl, J d x L J
о
получим

dt
- 2

dt
о
Далее, используя равенство
Ж
I0 f Al f Al V®2 - dt
\ / ot \ /
= 10 ( Ai V^-^2) - Jo[|Ai|($-O], будем иметь
Ч (ж) = 2<^з
пр 2 гр 4- •aj «аа V
о
X dt+j v^ (t) Jo [|А1|(ж - £)] dt. о
Подставляя последнее равенство в интеграл г ЛЮДИ J аДгф/ЗДж) о
Д(ж) [аДж)
а также, учитывая однородность условий, получим
1 х 12
-
11 = Г 1 dx I ^WJo^M^-t^dt- /dx.
J аДД/ЗДж) Д(ж) |_а1(жД
0 0о
Используя интегральное представление функции Бесселя Jo [|Ai|(ж — Д], будем иметь
-
1 z z 1X 2
1 Г ds f 1 / ГV
-
11 =5?/ 7Г=71^й)ла) [Д 1,1 ^'x^dt)
-1о

^1 (ФНА^П
ац(ж)/31(ж)



жи2 31(х) [«1(ж)
dx.
Отсюда, принимая =о внимание (20), убеждаемся н справедливости „ера-веиства (23) и, с учетом (22) и (6) заключаем, что т, . = «Ь, 0±) = 0
Далее, замечая, что в области Q2 уравнения (1) и (17) совпадают, на основе полученного ранее неравенства (13) убеждаемся в том, что третье слагаемое в (21) неположительно.
Таким образом, доказана следующая
Теорема 2. В области Q не может существовать более одного решения задачи 2, если выполнены условия (7) и (20).
Рассмотрим теперь вопрос существования решения задачи 2. Первое функциональное соотношение между тГ(т) и „? ^ имеет вид (24). Переходя к пределу при у —> 0+ в (17) и используя условия сопряжения, получим второе функциональное соотношение между rf^) и щ (ж)
vx ^ = 3^)1
Н^ЛУ +№,0) +ФМ
°^
И (я) - 71 (ж) а1(Ж)
+ <71(ж).
Разрешая систему уравнений (24), (25) относительно тЩ) приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода
Ж т?ЬН [KMtWMdt^^Y
О где
«1(Щ5о(фг) Г
t
ai(t)
-S^H2!;
+ а)Щ
61W + ^(^
2Ki«-«i^MWl
SoKn)A^)^W
—77 - 2 ^ад^)
«iW
3iW
d2 8t2
"W)
№y№№i
«1(0)
“i^L
о
о
~ 7i(*) ~
_од(3)
7iU35i(t)
ai(t)cri(t) 3i(t)
> (It /
о
So(^t) — Iq ^ Ai i/#(^ - i)^ , Si(^H) — |g£^o ^ Ai \/i(C - £)) ,
Г|ж) " / A(t) *'
Заметим, что правая часть равенства (26) зависит от тГ (0). Для нахождения этого числа обратим интегральное уравнение (26). Получим
Ж
^“(ж) = Ф1(ж) — I Ri(x, t^i(t)dt, (27)
о где Ri(x, t) — резольвента ядра Ki^x, t).
Положив в (27) х = 1, в результате элементарных преобразований получим
Tf'(0)
-1 ^2
ллми кзим».
о где
— , х , , х \ /31(0)Т(ж) Ф1(ж) = ФЦж) - Ту (0), аЦО)
Л = ^ [тд - [ТТТ Д1(1,0^ 01(0) L 3 ЛОТ 3
О
Таким образом, равенство (27) дает решение задачи 2 в области Qi, при условии, что J^ RTlT)dE, ф 1. Как известно [9, с. 1290], общее решение урав-„ения (17) в области По, удовлетворяющее условию „(щ, 0+) = тДт), имеет вид:
«(ж,у) =
У
1 г
о
У
1 L
-
1 / ж
-
2 ехр --------
- V 4(y-t)
«х(0.0-Д7—7Т'‘<°-() »
i / (ж — I)2 2 ехр --------
V 4(у-^)
о
-
1 Г 1 / (ж — Н2
-
-^ / — ехр-----
- v^ J Ту V 4У о
-
1 У
х — 1
«шл - 2^_^“(Г*) 31
t^W
-
1 / т - Т2\
-
2 ехр --------- dt.
о о
В силу того, что [10, с. 1291]
„ X з . . \1
lim —— (у — t) 2 u(0, t) exp — —----- dt = -u^
^0+4^ J V V 4(y-t)V2
о
у
1 - X ( (x - 1)2\ „1
lim -- — Mb — t) 2 u 1, t) exp —------ dt = -u
J \ Цу-t)) 2
о переходя к пределу в (28) при х —> 0+ и при х —> 1— соответственно, будем иметь у у
ЦЦЦ
dq №м.я-М^-^—Л» О о
У
+ Т= / Ц - ^ ехР \/7Г J
Цу-ty) ^^^ 2(у-^1,1\ dt
О

У
Ц - ^"^иж(0, t)dt +
о
у
1 Г 1 а
/ ^ехр
J Цу о
. if, / I П «(0,t) 1 ,.
u(l, у) =--= Му — t) 2 exp--------- иж(0, t)-------- dt
V Цу-t)) ; 2(y-£)J о
+ -7= МУ-t) 2МЖ(1,^)^ + —= -^=exp--—— T+(t)dt оо у у
+ [ d^ [ f^,t)(y-t)~^ expdt.
J J \ Цу-н)
о о
Отсюда, с учетом (12), (18), условий сопряжения (5), (6), получаем интегральное уравнение Вольтерра первого рода
у
LtWH^.tW-HM. (29)
О
Здесь ядро НМЛ и правая часть Н2(р) выражаются через известные фуик-дни. В силу того, что Я1(р,,) / 0, уравнение (29) легко сводиться к интегральному уравнению Вольтерра второго рода [10, с. 149]. После определения v^y^ и т^^ находим решение задачи 2 в областях Q12 как решение задач Коши, ав Qq — как решение первой краевой задачи.
Список литературы О двух краевых задачах для смешанных уравнений с перпендикулярными линиями изменения типа
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1977.
- Салахитдинов М. С., Уринов А. К. Краевые задачи для одного класса уравнений смешанного типа с негладкими линиями вырождения//Неклассические задачи математической физики.-Ташкент: ФАН, 1985.-С. 25-47.
- Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики.-М.: Наука, 1978.
- Абдуллаев А. С. О некоторых краевых задачах для смешанного парабологиперболического уравнения с двумя параллельными линиями изменения типа//Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей.-Ташкент: ФАН, 1987.-С. 71-82.
- Елеев В. А., Лесев В. Н. Нелокальная краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с перпендикулярными линиями изменения типа//Математическое моделирование и краевые задачи. Труды десятой межвузовской конференции.-Самара, 2000.-С. 62-64.
- Нахушев А. М. Уравнения математической биологии: Учебное пособие для университетов. -М.: Высшая школа, 1995.
- Нахушев А. М. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах//Докл. АН СССР, 1977.-Т. 234, № 2.-С. 308-311.
- Сабитов К. Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений//Дифференциальные уравнения.-1992.-Т. 28, № 7.-С. 1138-1145.
- Шхануков М. Х., Керефов А. А., Березовский А. А. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях и разностные методы их численной реализации//Укр. мат. журн.-1993.-Т. 45, № 9.-С. 1289-1298.
- Смирнов В. И. Курс высшей математики.-М.: Наука, 1974.-Т. 4, Ч. 1.