О единственности решения для линейных интегральных уравнений Вольтерры третьего рода на сегменте

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.968                                        

Теоретическая часть и приложения интегральных уравнений изучались и исследовались во многих различных работах. В частности, в работе [1] рассмотрен обзор результатов исследований интегральных уравнений Вольтерра второго рода. В работе [2] изучаются интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего родов с гладкими ядрами, где приводится доказательство существование многопараметрическое семейство решений. В работе [3] исследованы линейные интегральные уравнения Фредгольма первого рода, для которых построены регуляризирующие операторы по Лаврентьеву. В работе [4] приводится теория и используются численные методы решения неклассических интегральных уравнений Вольтерра первого рода с дифференцируемыми и отличными от нуля ядрами на диагонали. В работах [4–7] приведены применения неклассических интегральных уравнений Вольтерра первого рода в разных прикладных задачах. В работе [8] используется метод регуляризации М. М. Лаврентьева для интегральных уравнений Вольтерра первого рода с гладкими и

(ос) CD отличными от нуля ядрами на диагонали дифференцируемыми решениями, для которых построено приближенное решение. В работах [9, 10] получены достаточные условия единственности решений и исследованы вопросы регуляризации решений систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего родов. В работе [11] доказывается теорема единственности решений и находится регуляризирующий оператор для решения системы линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода. В работах [12, 13] использован новый подход для исследования вопросов существования и единственности решений скалярных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями и их систем. В работе [14] приведены результаты по интегральным уравнениям Волтерра первого рода. В работе [15] доказывается теорема единственности решений для одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода.

В данной работе используя метод интегральных преобразований, метод неотрицательных квадратичных форм и обобщением метода изложенных в работе [15] установлены достаточные условия единственности решения для одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода на сегменте. Методология: линейные интегральные уравнения Вольтерра третьего рода на сегменте

Будем рассматривать уравнение

t

m(t)u(t) + J K (t,s)u(s)ds = f (t),t E [a,b],

a где m(t),p(t),K(t,s) и f(t) — известные функции, m(t) E C[a,b],0 < m(t) при всех t E [a,b] и m(t) равна нулю хотя бы в одной точке сегмента [a,b],u(t) — неизвестная функция. Предположим, что n

K(t,s)=Y

Pit^H^t, s^P^s)

1=1

где P i (t) и H i (t,s) — известные непрерывные функции соответственно на [a,b] и G = {(t, s'): a < s < t < b},i = 1,2, ...,n.

Предположим выполнение следующих условий:

• a)    Pi(t) E C[a,b],Pi(t) Ф 0 при почти всех t E [a, b], дН1^,5), ^-^^ — непрерывные функции в области G = {(t,s): a < s < t < b}, (Hi(t, a)) , (Hi(b, t))  — непрерывные

функции в [a, b], i = 1,2,...,n;

• б)    m(t) > 0,Hi(t,a') > 0, (Hi(t,a')') < 0,^t E [a,b], ^g^ — 0,

d2H((t,s)

---<0,V(t,s) EG,i = 1,2,.,n;

dtds

• в)    выполняется хотя бы один из следующих условий:

• 1)    m(t) >  0 при почти всех t E [a, b];

• 2)    существует i0 E {1,2, . ,n} такое,что Hio(t, a) > 0 при почти всех te[a,b];

• 3)    существует i₀ E {1,2,..., n} такое, что (Hi_o (t, a)) ' < 0 при почти всех t E [a, b].

• г)    выполняется хотя бы один из следующих условий:

Если учесть (2), то уравнение (1) принимает вид п ^t

m(t)u(t) + У J P_i(t)H_i(t,s')P_i(s)u(s')ds = f(t),t Е [a,b]. ^i—1 a

Умножив на u(t) уравнение (3) и проинтегрировав по области [a,t],t Е [a,b] будем иметь

t

п t s

t

J m(s)u ² (s)ds + У J J P_i(s')H_i(s,T}P_i(T')u(T')u(s')dTds = J f(s)u(s)ds.

a

^i— l a a

a

Отсюда, используя формулу Дирихле, имеем

t                          п t t

J m(s)u ² (s)ds + У J [J H_i(s, T)P_i(s)u(s)dsl P_t(T)u(T)dT = a                    ^i—1 a т

t

= J f(syu(s)ds. a

Введем обозначения

t

Z , (t,s) = J P_i(T)u(T)dT,i = 1,2, .,n.

s

Тогда

P i (s)u(s)ds = —d_sZ_i(t,s},i = 1,2, ...,n,

Pi(t)u(t)dt = dtZi(t,s},i = 1,2, ...,n, 1

Zi(t,s)Pi(t)u(t)dt = -dtZ2(t,sy i = 1,2, ...,n,

Zi(t,s)Pi(s)u(s)d^(s) = — — dsZ2(t,s'),i = 1, 2,.,n.

Применяя (5), (6), (7), (8), (9), метод интегрирования по частям и формулу Дирихле, для двойного интеграла из (4) имеем п t t

п t

УJJH_i(s,T)P_i(s)u(s)dsP_i(T)u(T)dT = У J ^i- l a т                                          ^i—1 a

t

J Hi(s,f)dsZi(s,T)  *

п t

*Pi(T)u(r)dT = У J [Hi(s,T)Zi(s,T)l i—l a п t

I ^d

J — H_i(s,T)Z_i(s,T)ds u(t)

п t s

s—t

— s—т

*

* P i (f)dT = У J H_i(t,T)Z_i(t,T)P_i(T)u(T)dT — У J J — H_i(s,T)Z_i(s,T)P_i(T)u(T)dTds = ^i—1 a                                  ^i—1 a a

п ^t

п t s

= —|УJ H i (t,T⁾d T Z ² (t,T⁾ +1У J J -^Hi&fyd T Zt&Tyds = ^i—1 a                         ^i—1 a a

1 п                        t g                        t d

= ~У [H i (t, a~)Z²(t, a) + J — H i (t,r)Z ² (t,T)dT — J — H i (s, a)Z ² (s, a)ds — ^i— l                         a                              a

t S

-Ш а а

Отсюда в силу (5) имеем

d2 dsdT

H i (s, t)Z ² (s, t) dT ds ].

n t t

^ J J Hi(s,T)Pi(s)u(s)dsPi(T)u(T)dT =

i=1 а т

= ^^^i(t,a^J Pi(s^      + J ■dHi(t,T)[J Pi(s)u(s)ds'] dT

— J(Hi(s, a)) [J Pi(s)u(s)ds| ds

—

—

t S                       S                    ²

J J g^Hi(s,T)[J Pi(s)u(s)ds] dTds}.

а а                  т

Учитывая (10), из (4) имеем

J m(s)u2(s)ds +-^ {Hi(t, a) |J Pi(s)u(s)dsl + J — Hi (t,T) * а                      l=1             аа

[JP_i(s)u(s)ds] dT —J(H i (s,a^y [J P_i(s)u(s)ds] ds

—

t S                       S                    2t

—

J J ^ d H₁(s,t) [J P_i(s)u(s)ds] dTds = = J f(s')u(s')ds.

а а                 та

Таким образом, если f(t) = 0 при всех t Е [a,b\, то в силу условия а), б) и в) из (11) получим:

t

J Pi(s')u(s')ds = 0

а или t

J Pi (^)u(^)d^ = 0, t, se[a, b\, s < t.

S

Отсюда u(t) = 0 при всех te[a, b\. Доказана следующая теорема 1.

Теорема 1. Если условия а), б и в) выполнены, то уравнение (1) в пространстве C[a, b\ имеет не более одного решения. Подставляя t = b из (11), имеем ь                          n               ь                2 ь                            (12)

Jm⁽s)u²⁽s)d^⁽s)+-^ {H i ⁽b,a) |J P i (s⁾u⁽s⁾dsl + J⁽H i (b,T)) ' *

b                 ² b                s                  ²        b s

H P i CsMs^sl dT -J(H i (s,a)) ’ HP i CsMs^sl ds — J /^“^(s, t ) *

t                          a               a                          a a

[

* I Pi(s')u(s~) ds \ dr ds \ = I f(s)u(s)ds.

Из (12) вытекает справедливость следующей теоремы 2.

Теорема 2. Если условия а), б) и г) выполнены, то уравнение (1) в пространстве С [а, Ь] имеет не более одного решения.

Результаты: примеры

Приведем примеры, которые будут удовлетворять условиям выше сформулированных теорем о единственности решения линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода на конечном отрезке.

Пример1. Рассмотрим уравнение (1) при п = 2, а = 0, Ь = 1, Pi(t) = //t,m(t) = t,Hi(t,s) = ^ ,P2(t) = /t, H2(t,s) = ^.

В этом случае все условия теоремы 1 выполняются. Так как ‘        d ,    .       1

Hi(t,0) = 0,(Hi(t,0)) = 0,^Hi(t,s)=—f

3²                        _

H i ⁽t, s') = -(1 + t) ², (t, s) £ G, dtds

KM) = 0, (H2(t,0))' = 0,^H2(t,s)=-2- £-H2(t,s) = os          3 + t dtos

= —2(3 + t) ², (t, s) £ G.

Пример 2. Рассмотрим уравнение (1) при п = 2,а = 0,Ь = 1,P₁(t) = sin2 Jt , m(t) =

sin t, Hi(t,s') = se

^f ,P₂(t) = ln(1 + t) ) ,H₂(t,s) = 3se ^6t .

В этом случае все условия теоремы 2 выполняются. Так как ‘         d

Hi(t,0) = 0,(Hi(t,0)) = 0, — Hi(t,s) = e-t,

d2

H(t,s) = —e ^(t.s) £ G, dtds

H2(t,0) = 0, (H2(t,0')')' = 0,-°H2(t,s) = 3e-6t,—-H2(t,s) = ds                dtds

= —18e-6t,(t,s) £ G,H1(1,t)=te-1, (Hi(1,t)) = e-1.

Предложенные методы можно использовать для исследования вопросов единственности решения для различных классов линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, а также при решении конкретных прикладных задач, приводящихся к интегральным уравнениям Вольтерра третьего рода.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д-ру физ.-мат. наук, профессору А. Асанову за постановку задачи, руководство и консультации при выполнении работы