О фундаментальной функции нелинейного температурного поля
Автор: Чочиев Тимофей Захарович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.2, 2000 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается смешанная задача нелинейного температурного поля для однородного упругого полупространства. Функция p(x,t), от которой зависит нелинейность температурного поля, связана с линейным температурным полем. Особый интерес представляет случай, когда о функции p(x,t) ничего не известно. Цель данной статьи - выявить природу этой функции и изучить законы изменения.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318001
IDR: 14318001
Текст научной статьи О фундаментальной функции нелинейного температурного поля
Рассмотрим задачу нелинейного температурного поля [1, 2, 3]
эт э сРдг = от ох у ОХ )
(1.1)
для однородного упругого полупространства, ограниченного поверхностью х = О, при условиях
8Т „
T\t=o — То, —--— Д — 0) — 0 при х — О, ох к
(1.2)
где ср — объемная теплоемкость, к = к Д') — коэффициент теплопроводности, То — начальная температура (температура среды), a — коэффициент теплоотдачи на поверхности полупространства, 6 — температура конвективного теплообмена между поверхностью полупространства х = 0 и средой.
При помощи обозначения Кирхгофа
F =
т
UkWT
То
уравнение (1.1) приводится к виду
ср 8F 8Д
MT)~8t ~ ’
а через промежуточную функцию А в [4] устанавливается, что dF _ dF Эх ^ dt '
(1-4)
где р = р(ж^) — функция, от которой зависит нелинейность температурного поля. В [4] ее связали с линейным температурным полем d2p* ср d kk0\dp* _ср dp*. _ ср р*
Эх2 ко Эх \ср) Эх ко dt ’ ко *
х 7 ох при условиях
р*<х,^ = То,
-
- 0) = 0 при х = о, ох ко
где ко — коэффициент теплопроводности, который соответствует линейному температурному полю. Благодаря этой связи было построено соотношение т м
/ k(TW = / V*dx+-V*dt,
(1-6)
ко J J Р
То Мо по которому всегда можно определить нелинейное температурное поле через линейное. Представляет особый интерес тот случай, когда о р(ж^) ничего не известно. Этот вопрос рассматривается в [4]. Здесь имеем целью выявить природу этой функции и изучить законы изменения.
Введем промежуточную функцию А(Т) (А ^ 0) соотношением
Тогда
F
Г dF
J Т о
= Т*.
1 dF |
dT* |
1 dF |
dT* |
|
A dx |
dx ' |
A dt |
dt |
|
р(жЭ) = |
dF Эх dF dt |
dT* _ dx — 9T. , dt |
(*)
(1-7)
где Т* пока неизвестна. С учетом (*) уравнение (1.3) преобразуется к виду d2F dxdt
= (c_p_ \pk
dlnpA dF
Эх ) dt
и, следовательно, для частных производных от F получаем
Жж
8F р0 ( Г ср \ 3F / Г ср \
= _ exp —dx\, — =роехр —dxL(1.8)
от р \J рк / Эхрк / оо где ро = ро(£) произвольная функция. Заметим, что (1.6) удовлетворяет не только исходному уравнению (1.3) (при условии, что правая часть известна), но и соотношению (1.4). Введем обозначение
V
= роехр
и и о
В связи с тем, что F(x,t) температурная функция, имеет место
Эх \ р / dt ПЛП Эх Р dt р Эх ' Следовательно,
V = ехр
ШМ
о
*)
(Цт = pdx + dt, do = pdx — dt),
(1.9)
где р(т) — произвольная функция. Сравним ее правую часть с правой частью dF dT* dT*~ar
Ж
ро Г Г ср 1 \ р рк /
о
dF ЭТ* ( Г ср \
Т^^Г" =Роехр —dx dl * Эх рк /
о
(1.12)
(1.8) и примем, что р(т) = РоЩ
=4dI = _wa_Lda. J рк 2 J Эх 0 0 |
(1.10) |
|
Из (*) выводим |
dF _ ЦТ) dF dT “ к0 ’ dT* ’ |
(1.11) |
при этом допускается, |
что А = -^, где — удовлетворяет уравнению |
|
= 0 Эх р dt |
(1.11)1 |
Снова возвращаемся к (1.8)
Жж
9Т* Р° Г Г °Р Я \ РоРх 9 ( Г СРд \И 1
—— = — ехр / —dx = -- Ло — ехр / —dx , (1-12)1
ох Л pk / ср ox \J pk / оо жж
9Т* Ро / Г ср А роАо Э / Г ср А
—- = —ехр —dx = --—ехр —dx . от рл \J pk / ср ox \J pk / оо
Здесь так же, как и выше, правые части должны удовлетворять условию
д^рУо^ at |
дУо РоХо а / / = ах Г= ср ахехА,1 0 |
>)) |
(1.13) |
или |
av0 av0 _ аР^ Эх atр at °1 |
||
откуда получаем |
|||
v Z X f 1 51np , A Vo = pi(r)expl do 1, |
о где Р1(т) — произвольная функция.
Приравниваем правую часть этой формулы к правой части (1.13)
а (f ср \ /1 г ainp \
(1-14)
О о при допущении, что z х Аоро ^i(t) =-----
Аналогичным образом устанавливается потенциальность температурной функции Т. В силу (1.10) и (1.14) параллельно получаем:
-
9 ( И8» А У1 ^‘“^^ 'l ^еХРф2У 85[к)=ехр\2.1 ""эА”)
(1.14),
о о или, в новых переменных а (а а \ дх-р\дт^ до)1
а т=р
га_ _
\дт Эст)
(dx = pdx + dt, do = pdx — dt). Имеем d2Jlnpdo d2Jlnpdo d2 dx2 " dodx
J lap do 2
dcr2
р2"
(1.15)
Получили сложное дифференциальное уравнение параболического типа, которое эквивалентно следующей системе:
djlnpdo djlnpdo dV* dV* 2
(1.16)
dr do 1 dx do p2"
Если считать p заданной, то (1.16) равносильно дифференциальным уравнениям
d J Inp do э^ +
У J Inp do
do
= Р + ^, pz
dV* dV*
я-- dx
y*
^^^^^^^^.
Р
V*
do
^^^^^^^^.
I
(1.17)
Р = pZ
где l неизвестная. Из первых двух уравнений запишем
d J In pdo 21
P2 +P’
V* =exp(| У ^d^ ^Ci(?/)-| У exp(-| У ld^) ‘^d^)
I
(1.18)
Правую часть первого равенства заменяем третьим с учетом формулы для У*
j lapdo = j exp j ld^ ^С^-^ j exp(-| j I d^ -^-d^d^
или
p = exp
^ I exply Ы^СМ - 1 1 =хР(-|уMi) ' f^i )■ I1-18)
/
В силу формул для V* и р третье соотношение (1.17) перепишем так:
--Рехр —2— / У dE = —.
21 Р\ do J J 21
Однако снова обратившись к (1.18), dV* I у. Р
(1.19)
dy 2 2/ ’ легко убедимся, что последнее при допущении, что I = 1, есть не что иное как дифференциальное соотношение
„ Л Г dV* , Л dV* d^ 2ехр 2 -y—d^ • —— = 2 — ,
\ J da / da da из которого сразу находим ^-:
dV* 1
2£ + С^
и, следовательно,
V* = /------
где С^ — произвольная функция. Теперь, когда нашли явное выражение для У*, для других неизвестных функций устанавливаем:
р = V^ +С^.
p=V*
^^^^^^^^.
dV*
Найденные функции удовлетворяют уравнениям (1.17) и системе (1.16), которая равносильна уравнению (1.15). Тем самым доказана тождественная выполнимость (1.14)1. Мы вправе считать правую часть (1.14) вполне определенной функцией, позволяющей записать значения частных производных (1.8) в виде
= ^(т)ехр^-| [^doY ox \ J ox ;
о ar / i r ai \
"э? =—^Vi J ai'to>
Но, поскольку правые части изменяются по закону градиента
9<Т av / / 1 ja^ \\
-aT = -ai V = *^V"_] эУфУ
О то
aF = T0KWT=^Vij^dt
о
+р(т)ехр(-| j ^da^ dx о
(1.20)
представляет собой соотношение, откуда можно окончательно исключить температурную функцию Т. Мы не располагаем явным выражением к как функции от Т, поэтому второе условие (1.2) перепишем относительно F следующим образом:
3F Г F То-9
--а --1— --
Эх ^(ТД ко
при х = 0,
(1.2)1
где fc(Ti) есть (по теореме о среднем значении) значение к(Т) в состоянии Т = Д,
т j k(T)dT = k(T т0 Соотношение (1.20) запишем в виде определенного интеграла т 1 рЧ^еЦ~М э^У^ То О (1.20)! где Fq постоянная, т|(=о = tq. Для удобства будем еще задавать F = /*1ехр * /^Ст_ l^exp -1 dr + F„ J Р \ 2 J Эх J J р \ 2 J Эх ) 0 0 0 0 (1.20)2 Очевидно, первое условие выражения (1.2) выполняется, если при 1 = 0 F(a?,0) = 0. Но последнее будет иметь место, если Fo = 0. Далее, замечаем, что ^ = ,(т)ехр(-/Да (^ . ох \ 2 J Эх ) \ р \ ^ J ox J J t=Q о о Внесем это значение и значение (1.20)2 во второе условие (1.2)1 *>^(-5/^) о — Ct т a о 1 /^Чч/з^)^4-о о Тр-У = у)(0) при х = 0, и примем обозначение Т /^pGV ^y^QW при х = 0. оо Тогда получается дифференциальное соотношение 9Q _ а _ а ГТо - 0у(0) Эт pk(TQ р ко а ’ из которого находим Q: Т г ТТ 9=ЦкУ! Ч) °-+/ Чр (■ жт / Ч)dT о L оо тт ^с1т оо где Qo — постоянная, удовлетворяющая уравнению dQ a а То-9 Эт рк(Тг) + р ко Из обозначения для функции Q найдем р(т\. *) = exp(Vteli<,)a(im) + ZV) (L21) о полагая у?(0) = 0 и Q = Qo при 1 = 0. Тогда из (1.21) сразу находим: Qo = k(T^ — т0 к0 Далее из (1.12)1 и (1.14) имеем: ЭТ* ЭТ* -х— =pVOl ох ,, ( \ Р Д1ПР^ 'l Vo = ^i(r)expl - о / х РО^О =-----, ср где ^ некоторое частное решение уравнения (1.11 Д. Покажем теперь, что функция Т, определенная из уравнения F = $kWT = / тЧч / -i^V (т = *^ (1.22) То то О будет решением (1.1): ЭТ !Нт,хдР "at"^ ^"аГ "-"< (""-Л) Подставив эти значения в (1.1) придем к уравнению (1.3), ср ЭР _ д2Р к dt Эх? ’ которое выполняется тождественно. Отметим, что согласно формулам (1.10), (1.14) и соотношению (1.20) может показаться, что коэффициент теплопроводности к(Т) определяется не однозначно. Однако это не так. Легко доказывается, что все перечисленные выражения дают один и тот же результат для рту 1 = P_Vo, к(Т) " Ао V ' Наконец, функция р(жД) не зависит ни от начальных данных, ни от краевых условий и самой Т. Однако, как следует из (1.15), она описывает нелинейное О фундаментальной функции нелинейного температурного поля 1-39 параболическое поле.1 Оно упрощается, если допустить, что ЦТ) = ку. В этом случае F(T) = Т и из (1.10) получим: ср 9 / Г 1 \ 1 д2 Г 1 ко 9ст\]р / 2 Эх2 J р При составлении (1.15) было допущено ограничение Цт) = ро(^), что в общем случае не так, ибо фактически мы имели бы не (1.14)1, а более сложное соотношение 9 (^ ( 1 f Эр \\ (1 [ 9 1пр аДмоехрЫ тРЦ) =ехр0У ^У о о которое подобным преобразованием приводится к виду Э2 J" An pda Эт2 ay>i* аДуру / i 7 \ (1.23) ЭсгЭт Эст2 \Р2(Р / Отыскать для него частное решение, получить для Цт) формулу подобную (1.21), не удалось. Построенное выше для (1.15) частное решение назвали фундаментальной функцией, а соответствующее ей решение Р(ж, £), для уравнения (1.3), назвали фундаментальным решением. Рассмотрим пример: fc(T) = Т2. Тогда F(T) = "^Т3. Уравнения (1.1) и (1.3) принимают вид ЭТ cps = Эх у Эх р ср 9F _ 92F Т2 dt Эх2 (1.24) (1.25) Так как ЦТ) неизвестна, то функция р определяется из (1.14)1 (см. (1.17)), F определяется по формуле (1.20)2 и удовлетворяет уравнению (1.25). Покажем, что т = рзцр удовлетворяет (1.24): ЭТ Следовательно, 1 1 ЭР дТ з x/f2 аГ’ "э^ 1 1 ЭР ср 3№ 3 V F2 ЭР dt 1_Т2^Е\ СР Т2 Эх J (ДЗДР) ЭР _ д2Р 2 dt Эх2 ’ но это есть уравнение (1.25), которое выполняется тождественно. Далее, шем условие конвективного теплообмена запи- (1.26) - 9) = 0 ПРИ ж = 0. Эх 12 В силу (1.20)2, будет Т ст _1 То ст F=i^eAAi teiaV_(ST"eAA$ t/^ *) о о о (^ = —т при t о = 0). I t=0 (1.27) Так как Т = V^k^F, то ЭТ Эх СТ ЭР ст ^ = cp^expt-^ - ^(T)expf-| j^dAdA Эх \ 2 J Эх у \ \ 2 J Эх у у о о t=0 Эх *ж"° <7 dx — ДО) (1.28) О и (1.26) перепишем или с учетом (1.27) так: ЭР Эх и (1.28) ^^^^^^^^™ ■0Р - 0) = 0 »>(r)exp(-l J |^^) о ^^^^^^^^™ а ко т ^ п 1 З^у^ехр^У^^г (1.28)! о о - 9 = ^(0). Пусть Т ст 1 ° = / ^уе^А i ^У' о о следовательно, 9Q Эт ^^^^^^^^. Ц уТД ^^^^^^^^. 6 + Ц=0. а / (1.29) По условию у>(0) неизвестно, поэтому с (ЦО) = аО (а считается постоянной), тогда целью упрощения (1.28)1 примем: Замечаем, что ^- = -V^Q^ от р dQ “ 7 = —ат, Р т „ ДДЛ Г dr , Q=V—“J 7 + о QoJ • ____ т 8Q (2№ fdT,n а7=(—“У 7 + 9° О Из (1.29) найдем Цт): р(т^ = ехр о 2ЦЗЦ 3 “ т / ^Т --h Qo Р О а так как (ЦО) = «О, то Qo = О2 V77 Цель этого параграфа привести уравнение (1.15) к виду, откуда можно отыскать фундаментальную функцию. В частности, пусть г, „ гэи\ треш = u Р = exp I I, о (2.1) тогда (1.15) примет вид: д2и д2и Эт2 ЭтЭсг d2u f^9u\ + _ = 2ехр^-), или, предположив, что и есть сложная функция: и = м(7(т, ст)) и // (^2У I 9^1^1 , (^1\ \дт ) дт до уда/ 2" + и' э27 а27 а27 дт2 ЭтЭсг до2 = 2ехр(2,/|2). Проведя группировку последнее уравнение можно переписать так: /[э ^^) а/^н = 2ехр(2„^)__^. (2.2) L х Эт ' Эа ' х дт ' да 7 2 х 7 ( Эт । | I дт да у Если функцию 7 подобрать таким образом, чтобы она удовлетворяла уравне нию 9т(|7 + |7) + да(|2 + ^) ^^^^^^^^™ д27 да2 (й) 2 ’ то умножив обе части (2.2) на 2^ехр f—2u'^ Y да I да /’ получаем ^V V 8а)) у I ) (f^ + gP I дт да у Получили дифференциальное уравнение, в котором все трудности по нахождению 7 очевидны. Если из этого уравнения удастся найти 7, то из (2.1) сразу находим фундаментальную функцию р(т,сг). В аналогичной форме может быть представлено и уравнение (1.23).
Список литературы О фундаментальной функции нелинейного температурного поля
- Карлслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.-М.: Наука, 1964.
- Коваленко А. Д. Основы термоупругости.-Киев: Наука думка, 1970.
- Лыков А. В. Теория теплопроводности.-М.: Высшая школа, 1967.
- Чочиев Т. З. Класс нестационарных нелинейных температурных полей. Механика сплошных сред//Науч. труды.-Тбилиси: ГПИ, 1989.-№ 6.