О фундаментальной функции нелинейного температурного поля

Рассмотрим задачу нелинейного температурного поля [1, 2, 3]

эт э сРдг = от ох у ОХ )

(1.1)

для однородного упругого полупространства, ограниченного поверхностью х = О, при условиях

8Т            „

T\t=o — То, —--— Д — 0) — 0 при х — О, ох к

(1.2)

где ср — объемная теплоемкость, к = к Д') — коэффициент теплопроводности, То — начальная температура (температура среды), a — коэффициент теплоотдачи на поверхности полупространства, 6 — температура конвективного теплообмена между поверхностью полупространства х = 0 и средой.

При помощи обозначения Кирхгофа

F =

т

UkWT

То

уравнение (1.1) приводится к виду

ср 8F 8Д

MT)~8t ~    ’

а через промежуточную функцию А в [4] устанавливается, что dF _ dF Эх ^ dt '

(1-4)

где р = р(ж^) — функция, от которой зависит нелинейность температурного поля. В [4] ее связали с линейным температурным полем d2p*   ср  d  kk0\dp* _ср dp*.   _ ср р*

Эх2    ко  Эх  \ср) Эх ко   dt ’ ко                  *

х 7                                        ох при условиях

р*<х,^ = То,

• - 0) = 0 при х = о, ох ко

где ко — коэффициент теплопроводности, который соответствует линейному температурному полю. Благодаря этой связи было построено соотношение т       м

/ k(TW = / V*dx+-V*dt,

(1-6)

ко J           J Р

То           Мо по которому всегда можно определить нелинейное температурное поле через линейное. Представляет особый интерес тот случай, когда о р(ж^) ничего не известно. Этот вопрос рассматривается в [4]. Здесь имеем целью выявить природу этой функции и изучить законы изменения.

Введем промежуточную функцию А(Т) (А ^ 0) соотношением

Тогда

F

Г dF

J Т о

= Т*.

1 dF	dT*	1 dF		dT*
A dx	dx '		A dt	dt
	р(жЭ) =	dF Эх dF dt	dT* _ dx — 9T. , dt

(*)

(1-7)

где Т* пока неизвестна. С учетом (*) уравнение (1.3) преобразуется к виду d2F dxdt

= (c_p_ \pk

dlnpA dF

Эх ) dt

и, следовательно, для частных производных от F получаем

Жж

8F р0 ( Г ср \ 3F        / Г ср \

= _ exp   —dx\, — =роехр —dxL(1.8)

от р \J рк / Эхрк / оо где ро = ро(£) произвольная функция. Заметим, что (1.6) удовлетворяет не только исходному уравнению (1.3) (при условии, что правая часть известна), но и соотношению (1.4). Введем обозначение

V

= роехр

и и о

В связи с тем, что F(x,t) температурная функция, имеет место

Эх \ р / dt ^ПЛП Эх ^Р dt р Эх ' Следовательно,

V = ехр

ШМ

о

*)

(Цт = pdx + dt, do = pdx — dt),

(1.9)

где р(т) — произвольная функция. Сравним ее правую часть с правой частью dF dT* dT*~ar

Ж

ро     Г Г ср 1 \ р       рк /

о

dF ЭТ*        ( Г ср \

Т^^Г" =Роехр   —dx dl * Эх             рк /

о

(1.12)

(1.8) и примем, что р(т) = РоЩ

	=4dI = _wa_Lda. J рк       2 J Эх 0                    0	(1.10)
Из (*) выводим	dF _ ЦТ) dF dT “ к0 ’ dT* ’	(1.11)
при этом допускается,	что А = -^, где — удовлетворяет уравнению
	= 0 Эх р dt	(1.11)1

Снова возвращаемся к (1.8)

Жж

9Т*   Р° Г Г °Р Я \ РоРх 9    ( Г СРд \И 1

—— = — ехр / —dx = -- Ло — ехр / —dx ,       (1-12)1

ох    Л       pk / ср ox    \J pk / оо жж

9Т* Ро / Г ср А роАо Э / Г ср А

—- = —ехр —dx = --—ехр —dx . от рл \J pk / ср ox \J pk / оо

Здесь так же, как и выше, правые части должны удовлетворять условию

д^рУо^ at	дУо           РоХо а / / = ах Г= ср ахехА,1 0	>))	(1.13)
или	av0 av0 _ аР^ Эх atр at °1
откуда получаем
	v      Z X f 1 51np , A Vo = pi(r)expl           do 1,

о где Р1(т) — произвольная функция.

Приравниваем правую часть этой формулы к правой части (1.13)

а (f ср \      /1 г ainp \

(1-14)

О                            о при допущении, что z х Аоро ^i(t) =-----

Аналогичным образом устанавливается потенциальность температурной функции Т. В силу (1.10) и (1.14) параллельно получаем:

• 9 ( И8» А У1 ^‘“^^ 'l ^еХРф2У 85[к)=ехр\2.1 ""эА”)

  (1.14),

  
  

о                            о или, в новых переменных а (а а \ дх-р\дт^ до)1

а т=р

га_ _

\дт Эст)

(dx = pdx + dt, do = pdx — dt). Имеем d2Jlnpdo d2Jlnpdo d2 dx2 " dodx

J lap do 2

dcr2

р2"

(1.15)

Получили сложное дифференциальное уравнение параболического типа, которое эквивалентно следующей системе:

djlnpdo djlnpdo dV* dV* 2

(1.16)

dr          do        1 dx do p2"

Если считать p заданной, то (1.16) равносильно дифференциальным уравнениям

d J Inp do э^ ⁺

У J Inp do

do

= Р + ^, pz

dV* dV*

я-- dx

y*

^^^^^^^^.

Р

V*

do

^^^^^^^^.

I

(1.17)

Р = pZ

где l неизвестная. Из первых двух уравнений запишем

d J In pdo 21

P2 +P’

V* =^exp(| У ^d^ ^Ci(?/)-| У ^exp(^-| У ^ld^) ‘^^d^)

I

(1.18)

Правую часть первого равенства заменяем третьим с учетом формулы для У*

j lapdo = j exp j ld^ ^С^-^ j exp(-| j I d^ -^-d^d^

или

p = exp

^ I exply Ы^СМ - 1 1 =х_Р(-|уMi) ' f^i )■ I¹-¹⁸)

/

В силу формул для V* и р третье соотношение (1.17) перепишем так:

--Рехр —2— / У dE = —.

21 Р\ do J J 21

Однако снова обратившись к (1.18), dV*   I у. Р

(1.19)

dy      2        2/ ’ легко убедимся, что последнее при допущении, что I = 1, есть не что иное как дифференциальное соотношение

„ Л Г dV* , Л dV* d^ 2ехр 2   -y—d^ • —— = 2 — ,

\ J da / da da из которого сразу находим ^-:

dV* 1

2£ + С^

и, следовательно,

V* = /------

где С^ — произвольная функция. Теперь, когда нашли явное выражение для У*, для других неизвестных функций устанавливаем:

р = V^ +С^.

p=V*

^^^^^^^^.

dV*

Найденные функции удовлетворяют уравнениям (1.17) и системе (1.16), которая равносильна уравнению (1.15). Тем самым доказана тождественная выполнимость (1.14)1. Мы вправе считать правую часть (1.14) вполне определенной функцией, позволяющей записать значения частных производных (1.8) в виде

= ^(т)ехр^-| [^doY ox           \ J ox ;

о ar          / i r ai \

"э? =—^Vi J ai'to>

Но, поскольку правые части изменяются по закону градиента

⁹<Т av /         / ¹ ja^ \\

-aT = -ai V = *^V"_] эУфУ

О то

aF = T0KWT=^Vij^dt

о

+р(т)ехр(-| j ^da^ dx о

(1.20)

представляет собой соотношение, откуда можно окончательно исключить температурную функцию Т. Мы не располагаем явным выражением к как функции от Т, поэтому второе условие (1.2) перепишем относительно F следующим образом:

3F    Г F    Т_о-9

--а --1— --

Эх    ^(ТД ко

при х = 0,

(1.2)1

где fc(Ti) есть (по теореме о среднем значении) значение к(Т) в состоянии Т = Д,

т j k(T)dT = k(T

т0

Соотношение (1.20) запишем в виде определенного интеграла

т                                1

рЧ^еЦ~М э^У^

То                      О

(1.20)!

где Fq постоянная, т|(=о = tq. Для удобства будем еще задавать

F = /*1ехр * /^Ст_ l^exp -1 dr + F„

J Р \ 2 J Эх J J р \ 2 J Эх ) 0                       0                     0                       0

(1.20)2

Очевидно, первое условие выражения (1.2) выполняется, если при 1 = 0 F(a?,0) = 0. Но последнее будет иметь место, если Fo = 0. Далее, замечаем, что

^ = ,(т)ехр(-/Да (^        .

ох           \ 2 J Эх )   \ р \ ^ J ox J J t=Q

о

о

Внесем это значение и значение (1.20)2 во второе условие (1.2)1

*>^(-5/^) о

— Ct

т                    ^a о 1

/^Чч/з^)^4-о                       о

Тр-У

= у)(0) при х = 0,

и примем обозначение

Т

/^pGV ^y^QW при х = 0.

оо

Тогда получается дифференциальное соотношение

9Q _ а _ а ГТо - 0у(0)

Эт pk(TQ р ко а ’ из которого находим Q:

Т        г                ТТ

9=ЦкУ! Ч) °-+/ Чр (■ жт / Ч)dT о L                 оо тт

^с1т

оо где Qo — постоянная, удовлетворяющая уравнению dQ a а То-9

Эт   рк(Тг) + р ко

Из обозначения для функции Q найдем р(т\.

*) = exp(Vteli<,)a(im) + ZV) (L21) о полагая у?(0) = 0 и Q = Qo при 1 = 0.

Тогда из (1.21) сразу находим:

Qo = k(T^

— т0

к0

Далее из (1.12)1 и (1.14) имеем:

ЭТ*

ЭТ*

-х— =pV_Ol ох

,, ( \ Р Д1ПР^ 'l

Vo = ^i(r)expl - о

/ х РО^О =-----, ср где ^ некоторое частное решение уравнения (1.11 Д.

Покажем теперь, что функция Т, определенная из уравнения

^F = $^kWT = / тЧч / -i^V ^(т = *^

(1.22)

То

то

О

будет решением (1.1):

ЭТ !Нт,хдР

"at"^ ^"аГ

"-"< (""-Л)

Подставив эти значения в (1.1) придем к уравнению (1.3), ср ЭР _ д2Р к dt Эх? ’ которое выполняется тождественно. Отметим, что согласно формулам (1.10), (1.14) и соотношению (1.20) может показаться, что коэффициент теплопроводности к(Т) определяется не однозначно. Однако это не так. Легко доказывается, что все перечисленные выражения дают один и тот же результат для рту

1  ₌ P_Vo,

к(Т) " А_о V '

Наконец, функция р(жД) не зависит ни от начальных данных, ни от краевых условий и самой Т. Однако, как следует из (1.15), она описывает нелинейное

О фундаментальной функции нелинейного температурного поля 1-39 параболическое поле.¹ Оно упрощается, если допустить, что ЦТ) = ку. В этом случае F(T) = Т и из (1.10) получим:

ср 9 / Г 1 \ 1 д² Г 1

ко 9ст\]р / 2 Эх² J р

При составлении (1.15) было допущено ограничение Цт) = ро(^), ^{что в} общем случае не так, ибо фактически мы имели бы не (1.14)1, а более сложное соотношение

9 (^ ( 1 f Эр \\     (1 [ 9 1пр аДмоехрЫ тРЦ) =ехр0У ^У

о

о

которое подобным преобразованием приводится к виду

Э2 J" An pda

Эт2

ay>i* аДуру  / i  7 \

(1.23)

ЭсгЭт          Эст2         \Р2(Р      /

Отыскать для него частное решение, получить для Цт) формулу подобную (1.21), не удалось.

Построенное выше для (1.15) частное решение назвали фундаментальной функцией, а соответствующее ей решение Р(ж, £), для уравнения (1.3), назвали фундаментальным решением.

Рассмотрим пример: fc(T) = Т². Тогда F(T) = "^Т³.

Уравнения (1.1) и (1.3) принимают вид

ЭТ cps =

Эх у Эх р

ср 9F _ 92F

Т2 dt Эх2

(1.24)

(1.25)

Так как ЦТ) неизвестна, то функция р определяется из (1.14)1 (см. (1.17)), F определяется по формуле (1.20)2 и удовлетворяет уравнению (1.25). Покажем, что т = рзцр удовлетворяет (1.24): ЭТ

Следовательно,

1 1 ЭР дТ з x/f2 аГ’ "э^

1 1 ЭР

ср ₃№ 3 V F²

ЭР dt

1__Т2^Е\ ^СР

Т² Эх J (ДЗДР)

ЭР _ д2Р

2 dt Эх2 ’

но это есть уравнение (1.25), которое выполняется тождественно. Далее, шем условие конвективного теплообмена запи-

(1.26)

- 9) = 0 ПРИ ж = 0.

Эх 12

В силу (1.20)2, будет

Т                        ст _1                  То                        ст

F=i^eAAi teiaV_(ST"eAA$ t/^ *)

о

о

о

(^ =

—т

при t

о = 0).

I t=0

(1.27)

Так как Т =

V^k^F, то

ЭТ

Эх

СТ

ЭР

ст

^ = cp^expt-^      - ^(T)expf-| j^dAdA

Эх           \ 2 J Эх у \        \ 2 J Эх у у

о

о

t=0

Эх *ж"°

<7

dx — ДО)

(1.28)

О

и (1.26) перепишем

или с учетом (1.27)

так:

ЭР Эх и (1.28)

^^^^^^^^™

■₀Р - 0) = 0

»>(r)exp(-l J |^^)

о

^^^^^^^^™

а ко

т                    ^ п 1

З^у^ехр^У^^г

(1.28)!

о

о

- 9

= ^(0).

Пусть

Т                            ст 1

° = / ^уе^А i ^У'

о

о

следовательно,

9Q Эт

^^^^^^^^.

Ц уТД

^^^^^^^^.

6 + Ц=0. а /

(1.29)

По условию у>(0) неизвестно, поэтому с

(ЦО) = аО (а считается

постоянной), тогда

целью упрощения (1.28)1 примем:

Замечаем, что

^- = -V^Q^ от р

dQ

“ 7

= —ат, Р

т

„ ДДЛ Г dr , ^Q=V—“J 7 ⁺

о

QoJ •

____ т

8Q (2№ fdT,n

а7=(—“У 7 + 9°

О

Из (1.29) найдем Цт):

р(т^ = ехр

о

2ЦЗЦ

3 “

т

/ ^Т

--h Qo

Р

О

а так как (ЦО) = «О, то

Qo =

О2

V77

Цель этого параграфа привести уравнение (1.15) к виду, откуда можно отыскать фундаментальную функцию. В частности, пусть г,            „ гэи\ треш = u Р = exp I I, о

(2.1)

тогда (1.15) примет вид:

д2и    д2и

Эт²    ЭтЭсг

d²u f^9u\ ₊ _ _{= 2ехр}^-),

или, предположив, что и есть сложная функция: и = м(7(т, ст))

и

//

(^2У I ₉^1^1 , (^1\ \дт ) дт до уда/

2"

+ и'

э27    а27   а27

дт2    ЭтЭсг   до2

= 2ехр(2,/|2).

Проведя группировку последнее уравнение можно переписать так:

/[э ^^) а/^н = 2ехр(2„^)__^. (2.2)

^{L х} Эт ' Эа '         ^х дт ' да ^{7 2             х 7} ( Эт ।       |

I дт да у

Если функцию 7 подобрать таким образом, чтобы она удовлетворяла уравне нию

9т(|7 + |7) + да(|2 + ^)

^^^^^^^^™

д²7 да²

(й)

2 ’

то умножив обе части (2.2)

на 2^ехр f—2u'^ Y да I да /’ получаем

^V V 8а))         у I )   (f^ + gP

I дт да у

Получили дифференциальное уравнение, в котором все трудности по нахождению 7 очевидны. Если из этого уравнения удастся найти 7, то из (2.1) сразу находим фундаментальную функцию р(т,сг). В аналогичной форме может быть представлено и уравнение (1.23).