О фундаментальном решении задачи Коши для одного гиперболического оператора

Автор: Тотиева Жанна Дмитриевна

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 2 т.14, 2012 года.

Бесплатный доступ

В работе исследуется фундаментальное решение обобщенной задачи Коши для одного гиперболического оператора, и изучены некоторые свойства фундаментального решения.

Фундаментальное решение, обобщенная задача коши.

Короткий адрес: https://sciup.org/14318380

IDR: 14318380

Текст научной статьи О фундаментальном решении задачи Коши для одного гиперболического оператора

Данное исследование является продолжением работы [3], в которой была сформулирована многомерная задача определения функции смещения в первом приближении для системы интегро-дифференциальных уравнений упругой среды с памятью.

Основным результатом работы является теорема о существовании и единственности фундаментального решения, с помощью свойств которого будет в дальнейшем проведен анализ поставленной в [3] задачи.

Обозначим через R(x,t) резольвенту ядра K (x,t) [3], которая является решением интегрального уравнения Вольтерра

t

R(x, t)

= K(x,t) + (x,t

т)R(x, т) dr,

причем R(x,t) G C 2(R+ x [0, T]) , R(x, 0) = 0 , dR(x, 0) = 0 , R+ = [0, to ), T >  0 — фиксированное число.

Пусть

x y=Wx)=/ vd), v2(x)=px, po(x), po(x) — заданные положительные функции из класса C2(R+), dp0 (+0)=0, ddx0 (+0)=0,

ν — параметр,

q(y,v ) =

s 00 (y) s(y)

s^y)A s(y))

v 2 ^0 (^ 1 (У)

Po(^ - 1 (y)) ,

s(y) =

V (+0)po (+0)

VC^ -1 (У))ро(^ - 1 (У)) ‘

(c) 2012 Тотиева Ж. Д.

Определим область V (T) = { (x,t) : ^(x) 6 t 6 T } , Г = t - to - \ y - yo \ , (yo,to) — фиксированная точка области V (T) , 6(y - yo,t - to ) — 5 -функция Дирака,

(y,t) = {(£) : to + | yo - \ 6 т 6 t - \ у - \ }, A^t) = {() : 0 6 t - \ y - \ }.

Продолжим функции q(y, v) и R(^ 1(y),t) четным образом в область y <  0 . Обозначим через Go(y, yo, t, to, v) фундаментальное решение обобщенной задачи Коши [4]:

2 G0   ∂ 2 G0

-

∂t 2 ∂y 2

-

q(y, v ) Go = 5(y - yo,t - to),

Go l ,0-

В дальнейшем оператор дифференцирования по переменной, например, ∂R/∂t будем обозначать R t . Знак « » в последующих записях обозначает операцию свертки по временной переменной.

Теорема. Существует единственное решение задачи Коши:

2 G

∂t 2

-

2 G

∂y 2

-

2

q(y,v)G + dt2 R * G = б(У - yo, t - to),

G l t0,

где G(y, yo, t, to, v) имеет следующую структуру G = Go + G , причем

G(y, yo ,t, to, v) | t-t 0 6| y-y 0 | = 0, G G C(t - to \ y - Gt G C(t - to \ y - yo \ ) , t G f0, T]•

<1 Для начала поясним, что структура Go хорошо изучена [4]:

Go (y,yo,t,to,v ) = 6(t - to - \ y

-

yo \ ) 2+ Go(y,yo,t,to,v) ,

^(t - to

- \ y - yo \ ) = |

1, t

0, t

-

-

to -\y - yo \ 0,     , Y

— функция Хевисайда, to - \y - yo\ < 0

Go(y,yo,t,to, v) G C 2(t - to \ y

-

G(y,y o ,t,t o , v) | t - t 0 = | y - y 0 |     0

Ясно, что G = Go + G , где G удовлетворяет следующим соотношениям:

2 G ∂t 2

-

2 G ∂y 2

2             2

- q(y, v)-dt2 [R* 'e] - dt2 [R* Go] ,

Gl«o = °-

Из равенств (5) и (6) вытекает, что

G = Go *

-

2

dt2 (R * Go) + Go *

-

.^e*

R G .

∂t 2

Для ясности распишем первое слагаемое равенства (7), обозначив его F(y,yo,t,to,v ) :

F(У,УО,t,to, v) = - ^(г)

+ Go(€,yo,T,to,v) )Rt(- 1 (<),t -\y - £ \ - t ) dTd<

■ O(y,t)

+ // Go t ^ ’t т,

♦W)

τ

t o + l ^ - y o l

2 + Go(£,yo,s,to, v)^Rt(- 1 ( £ ) ,t - s) dsdrd^ .

Здесь и далее

//

♦W)

обозначает

y + y o+( t— to) 2 /

y+yo - ( t- to)

t -| y - ξ | /

t o + | y o - ^ l

Заметим, что F(y,yo,t,to,v ) в A(y,t) непрерывна.

Рассмотрим область D = { (y,t) : t to 6 \y yo \ , t £ [0,T] } . Покажем, что G(y,yo,t,to,v ) = 0 в D .

Возьмем произвольную фиксированную точку (yi,ti) £ D 0 и проведем через нее две характеристики. Тогда для всех точек (y,t) £ A(yi,ti) , учитывая, что

F (y,yo, t, to ,v )\t-to <|y-yo|     0, получаем однородное уравнение:

(5(y’yo,tto’v ) = - 2 jRR^ - i (^),t -\y — £ \ - T ) (^’yo’T,to’v ) dTd€ L A(y,t)

+ // Go tt K’yo ’t

-

τ т, to,v) j R£-1 (^),т o

-

s) G(£, yo, s, to, v ) ds dT d/| .

Предполагаем, что в области D функция G(y, yo, t, to, v) непрерывна.

Введем следующие обозначения:

max          |G(y’yo’t’to’v )| = g(yo,t’to,v), yi-(ti-t)6y6yi+(ti-t) ।। max lRt(^ i(y),t)| = Mo’ , max JR£ i(уМ| = Mi, (y,t)^A(yi,ti) I                         I                 (y,t)eA(yi,ti) II max    |Gott(yo,y,to,t,v)| = M2, 0 6 t 6 ti 6 T.

(y,t)^^(yi ,ti) II

Справедлива следующая оценка:

t

t

g(yo,t,to,v ) 6 2 MoT jg(yo,T,to,v ) dT + M2T 2 Mi jg(yo,T,to,v ) dT

o

o

t

1 A f ,

  • - MoT + M2T 2 Mi     g(yo,T,to,v ) dT.

  • 2                    / J

o

По лемме Гронуолла [2] g(yo ,t,to,v ) = 0 при t E [0, t i^, значит, G(y,yo,t, to ,v ) = 0 в A(yi,ti) . Так как точка была выбрана произвольно, то G(y,yo, t, to, v) = 0 в D .

Используя свойства свертки функций [1], операцию дифференцирования по параметру и только что доказанное свойство для G(y, yo, t, to, v) , получаем интегральное уравнение:

G(y,yo,t,to, v) = - ^(r)

2 У [ Rt Ж 1 (€),t -| y - | - s) G(^,yo,s,to ,v) dsd^

♦Gt)

τ

[ Got (C,yo,t—T,to,v ) у Rt (^ i(€),t s)S, to, v )ds drda+F (y, yo,t, to, v). (y,t)                           to + |yo-§|

Из (8) следует, что G(y,yo,t,to,v Ж-t o = | y - y o | = 0 .

Решение (9) представляем в виде

G(y, yo, t, to, v)

= ^2Gn(y,yo,t,to,v ), n=o

где

Go = F (y,yo,t,to,v ),

Gen (y,yo,t,to,v ) = Жг) 2 У [ Rt (^ -i (^),t | y ^ 1 r )en-i- (^,yo ,r,to,v ) drd<

(y,t)

τ

+ У [g0 t(^,yo,t T,to,v )   у Rt (^ -1 (O,T

(y,t)                                t o + | y o - § |

Введем обозначения:

-

-

s)G« - i(£ yo, s, to, v ) ds dr d^j .

max   |Rt ( ^ 1 (^),T )| = Ma,

(Ет ) е О(у^) I                     I

„ max JG o t(^yoR ( ^,t ^ ^♦ (y.t) I

-

T,to,V) | = M4,

max   | F (^,yo,T,to,v ) = Ms-

( ^,t )eO( y,t ) I                            I

Из (11) следует оценка

| Gn(y,yo,t,to,v) | 6

г1                   In

2 + M4 (T to)   M3 M5 (T to)

n (t to)n 2 n!

.

Ряд (10) мажорируется сходящимся числовым рядом, значит, он сходится равномерно, следовательно, G(y, yo, t, to, v) непрерывна в {(y,t) : | y yo | 6 t to 6 T — | y yo | }•

Докажем единственность решения задачи (3)–(4). Предположим, что существует x^e"                                                    x^e"

два решения Gi и G2 , причем Gi = Go + Gi и G2 = Go + G2 , так как фундаментальное решение оператора Lo единственно [4]. Обозначим через G = Gi G2 или, что то же x^e"              х^е"

^e      ^e

--          --

самое, G = Gi (2 . Тогда для функции G = G(y, yo,t, to, v ) получаем задачу:

d 2 G d2G

-

dt2    dy2

-

q ( y,v )G = - R * G , dt 2 L J

-

G 1 t0’

В результате решения задачи (12)–(13) получается интегральное уравнение, аналогичное (9), в котором F(y, yo,t, to, v) = 0 . Пользуясь оценкой типа (8) и леммой Гронуол-ла, выводим, что G(y, yo, t, to,v ) = 0 , что и доказывает единственность решения задачи (3)–(4).

Дифференцируя (9) по времени, получим

Gt(y,y0, t, to,v ) = $(r)

2 IR Rtt (^ 1 (C^t \y - 1 - T )(^,yo,T,to,v) dTd€

(y,t)

+ / [ Go t(€,yo,t

♦W)

-

τ

T,to,v )    j    R tt (^ -1 (€)

t o + | y o - C !

т s^G^, yo, s, to, v) ds dT d€

+ //1(1+ Go(€, yo,T, to, v)) Rtt (^ -1 (€), t — \y \

( y,t )

т ) dTd€ + j ^ Go t(€,yo,t

( y,t )

т,to,v)

τ

- \y \ — s) ds dT d^j •

X

J    2 2+ Go (€,yo,s,to,v)j Rtt (^ 1(C),t to+|yo-C!

Используя свойства подынтегральных функций, заключаем, что из непрерывности правой части следует непрерывность левой части в области t to \y yo \ . B

Список литературы О фундаментальном решении задачи Коши для одного гиперболического оператора

  • Владимиров В. С. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1967.-436 с.
  • Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.-М.: Мир, 1977.-504 с.
  • Туаева Ж. Д. Многомерная математическая модель сейсмики с памятью//Исследования по дифференц. уравнениям и мат. моделированию.-Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.-С. 297-306.
  • Яхно В. Г. Обобщенные функции в обратных задачах для дифференциальных уравнений (Методические указания).-Новосибирск: НГУ, 1987.-24 с.
Статья научная