О фундаментальном решении задачи Коши для одного гиперболического оператора
Автор: Тотиева Жанна Дмитриевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.14, 2012 года.
Бесплатный доступ
В работе исследуется фундаментальное решение обобщенной задачи Коши для одного гиперболического оператора, и изучены некоторые свойства фундаментального решения.
Фундаментальное решение, обобщенная задача коши.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318380
IDR: 14318380
Текст научной статьи О фундаментальном решении задачи Коши для одного гиперболического оператора
Данное исследование является продолжением работы [3], в которой была сформулирована многомерная задача определения функции смещения в первом приближении для системы интегро-дифференциальных уравнений упругой среды с памятью.
Основным результатом работы является теорема о существовании и единственности фундаментального решения, с помощью свойств которого будет в дальнейшем проведен анализ поставленной в [3] задачи.
Обозначим через R(x,t) резольвенту ядра K (x,t) [3], которая является решением интегрального уравнения Вольтерра
t
R(x, t)
= K(x,t) + IК(x,t
— т)R(x, т) dr,
причем R(x,t) G C 2(R+ x [0, T]) , R(x, 0) = 0 , dR(x, 0) = 0 , R+ = [0, to ), T > 0 — фиксированное число.
Пусть
x y=Wx)=/ vd), v2(x)=px, po(x), po(x) — заданные положительные функции из класса C2(R+), dp0 (+0)=0, ddx0 (+0)=0,
ν — параметр,
q(y,v ) =
s 00 (y) s(y)
s^y)A s(y))
—
v 2 ^0 (^ 1 (У)
Po(^ - 1 (y)) ,
s(y) =
V (+0)po (+0)
VC^ -1 (У))ро(^ - 1 (У)) ‘
(c) 2012 Тотиева Ж. Д.
Определим область V (T) = { (x,t) : ^(x) 6 t 6 T } , Г = t - to - \ y - yo \ , (yo,to) — фиксированная точка области V (T) , 6(y - yo,t - to ) — 5 -функция Дирака,
♦ (y,t) = {(£,т) : to + | yo - € \ 6 т 6 t - \ у - € \ }, A^t) = {(€,т) : 0 6 t - \ y - € \ }.
Продолжим функции q(y, v) и R(^ 1(y),t) четным образом в область y < 0 . Обозначим через Go(y, yo, t, to, v) фундаментальное решение обобщенной задачи Коши [4]:
∂ 2 G0 ∂ 2 G0
-
∂t 2 ∂y 2
-
q(y, v ) Go = 5(y - yo,t - to),
Go
l
,
В дальнейшем оператор дифференцирования по переменной, например, ∂R/∂t будем обозначать R t . Знак « ∗ » в последующих записях обозначает операцию свертки по временной переменной.
Теорема. Существует единственное решение задачи Коши:
∂ 2 G
∂t 2
-
∂ 2 G
∂y 2
-
∂ 2
q(y,v)G + dt2 R * G = б(У - yo, t - to),
G
l
t
где G(y, yo, t, to, v) имеет следующую структуру G = Go + G , причем
G(y, yo ,t, to, v) | t-t 0 6| y-y 0 | = 0, G G C(t - to > \ y - Gt G C(t - to > \ y - yo \ ) , t G f0, T]•
<1 Для начала поясним, что структура Go хорошо изучена [4]:
Go (y,yo,t,to,v ) = 6(t - to - \ y
-
yo \ ) 2+ Go(y,yo,t,to,v) ,
^(t - to
- \ y - yo \ ) = |
1, t
0, t
-
-
to -\y - yo \ > 0, , Y
— функция Хевисайда, to - \y - yo\ < 0
Go(y,yo,t,to, v) G C 2(t - to > \ y
-
G(y,y o ,t,t o , v) | t - t 0 = | y - y 0 | 0
Ясно, что G = Go + G , где G удовлетворяет следующим соотношениям:
∂ 2 G ∂t 2
-
∂ 2 G ∂y 2
∂ 2 ∂ 2
-
q(y, v)
Gl«o = °-
Из равенств (5) и (6) вытекает, что
G = Go *
-
∂ 2
dt2 (R * Go) + Go *
-
.^e*
∂ R ∗ G .
∂t 2
Для ясности распишем первое слагаемое равенства (7), обозначив его F(y,yo,t,to,v ) :
F(У,УО,t,to, v) = - ^(г)
+ Go(€,yo,T,to,v) )Rt(- 1 (<),t -\y - £ \ - t ) dTd<
■ O(y,t)
+ // Go t ^ ’t — т,
♦W)
τ
t o + l ^ - y o l
2 + Go(£,yo,s,to, v)^Rt(- 1 ( £ ) ,t - s) dsdrd^ .
Здесь и далее
//
♦W)
обозначает
y + y o+( t— to) 2 /
y+yo - ( t- to)
t -| y - ξ | /
t o + | y o - ^ l
Заметим, что F(y,yo,t,to,v ) в A(y,t) непрерывна.
Рассмотрим область D = { (y,t) : t — to 6 \y — yo \ , t £ [0,T] } . Покажем, что G(y,yo,t,to,v ) = 0 в D .
Возьмем произвольную фиксированную точку (yi,ti) £ D 0 и проведем через нее две характеристики. Тогда для всех точек (y,t) £ A(yi,ti) , учитывая, что
F (y,yo, t, to ,v )\t-to <|y-yo| 0, получаем однородное уравнение:
(5(y’yo,t’to’v
) =
-
2
jRR^
-
i
(^),t -\y —
£
\ -
T
)
•
+ // Go tt K’yo ’t
-
τ т, to,v) j R£-1 (^),т o
-
s) • G(£, yo, s, to, v ) ds dT d/| .
Предполагаем, что в области D функция G(y, yo, t, to, v) непрерывна.
Введем следующие обозначения:
max |G(y’yo’t’to’v )| = g(yo,t’to,v), yi-(ti-t)6y6yi+(ti-t) ।। max lRt(^ i(y),t)| = Mo’ , max JR£ i(уМ| = Mi, (y,t)^A(yi,ti) I I (y,t)eA(yi,ti) II max |Gott(yo,y,to,t,v)| = M2, 0 6 t 6 ti 6 T.
(y,t)^^(yi ,ti) II
Справедлива следующая оценка:
t
t
g(yo,t,to,v ) 6 2 MoT jg(yo,T,to,v ) dT + M2T 2 Mi jg(yo,T,to,v ) dT
o
o
t
1 A f ,
-
- MoT + M2T 2 Mi g(yo,T,to,v ) dT.
-
2 / J
o
По лемме Гронуолла [2] g(yo ,t,to,v ) = 0 при t E [0, t i^, значит, G(y,yo,t, to ,v ) = 0 в A(yi,ti) . Так как точка была выбрана произвольно, то G(y,yo, t, to, v) = 0 в D .
Используя свойства свертки функций [1], операцию дифференцирования по параметру и только что доказанное свойство для G(y, yo, t, to, v) , получаем интегральное уравнение:
G(y,yo,t,to, v) = - ^(r)
2 У [ Rt Ж 1 (€),t -| y - € | - s) G(^,yo,s,to ,v) dsd^
♦Gt)
τ
+У
[ Got (C,yo,t—T,to,v
) у Rt (^ i(€),t
—
s)
Из (8) следует, что G(y,yo,t,to,v Ж-t o = | y - y o | = 0 .
Решение (9) представляем в виде
G(y, yo, t, to, v)
∞
= ^2Gn(y,yo,t,to,v ), n=o
где
Go = F (y,yo,t,to,v ),
Gen (y,yo,t,to,v ) = — Жг) 2 У [ Rt (^ -i (^),t — | y — ^ 1 — r )en-i- (^,yo ,r,to,v ) drd<
♦ (y,t)
τ
+ У [g0 t(^,yo,t — T,to,v ) у Rt (^ -1 (O,T
♦ (y,t) t o + | y o - § |
Введем обозначения:
-
-
s)G« - i(£ yo, s, to, v ) ds dr d^j .
max |Rt ( ^ 1 (^),T )| = Ma,
(Ет ) е О(у^) I I
„ max JG o t(^yoR ( ^,t ^ ^♦ (y.t) I
-
T,to,V) | = M4,
max | F (^,yo,T,to,v ) = Ms-
( ^,t )eO( y,t ) I I
Из (11) следует оценка
| Gn(y,yo,t,to,v) | 6
г1 In
2 + M4 (T — to) M3 M5 (T — to)
n (t — to)n 2 • n!
.
Ряд (10) мажорируется сходящимся числовым рядом, значит, он сходится равномерно, следовательно, G(y, yo, t, to, v) непрерывна в {(y,t) : | y — yo | 6 t — to 6 T — | y — yo | }•
Докажем единственность решения задачи (3)–(4). Предположим, что существует x^e" x^e"
два решения Gi и G2 , причем Gi = Go + Gi и G2 = Go + G2 , так как фундаментальное решение оператора Lo единственно [4]. Обозначим через G = Gi — G2 или, что то же x^e" х^е"
^e ^e
-- --
самое, G = Gi — (2 . Тогда для функции G = G(y, yo,t, to, v ) получаем задачу:
d 2 G d2G
-
dt2 dy2
-
q ( y,v )G = - R * G , dt 2 L J
-
G
1
t
В результате решения задачи (12)–(13) получается интегральное уравнение, аналогичное (9), в котором F(y, yo,t, to, v) = 0 . Пользуясь оценкой типа (8) и леммой Гронуол-ла, выводим, что G(y, yo, t, to,v ) = 0 , что и доказывает единственность решения задачи (3)–(4).
Дифференцируя (9) по времени, получим
Gt(y,y0, t, to,v ) = — $(r)
2
IR Rtt (^
1
(C^t— \y
-
€
1 -
T )
♦ (y,t)
+ / [ Go t(€,yo,t
♦W)
-
τ
T,to,v ) j R tt (^ -1 (€)
t o + | y o - C !
т — s^G^, yo, s, to, v) ds dT d€
+ //1(1+ Go(€, yo,T, to, v)) Rtt (^ -1 (€), t — \y — € \
♦ ( y,t )
— т ) dTd€ + j ^ Go t(€,yo,t
♦( y,t )
—
т,to,v)
τ
- \y — € \ — s) ds dT d^j •
X
J 2 2+ Go (€,yo,s,to,v)j Rtt (^ 1(C),t to+|yo-C!
Используя свойства подынтегральных функций, заключаем, что из непрерывности правой части следует непрерывность левой части в области t — to > \y — yo \ . B
Список литературы О фундаментальном решении задачи Коши для одного гиперболического оператора
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1967.-436 с.
- Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.-М.: Мир, 1977.-504 с.
- Туаева Ж. Д. Многомерная математическая модель сейсмики с памятью//Исследования по дифференц. уравнениям и мат. моделированию.-Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.-С. 297-306.
- Яхно В. Г. Обобщенные функции в обратных задачах для дифференциальных уравнений (Методические указания).-Новосибирск: НГУ, 1987.-24 с.