О фундаментальном решении задачи Коши для одного гиперболического оператора

Данное исследование является продолжением работы [3], в которой была сформулирована многомерная задача определения функции смещения в первом приближении для системы интегро-дифференциальных уравнений упругой среды с памятью.

Основным результатом работы является теорема о существовании и единственности фундаментального решения, с помощью свойств которого будет в дальнейшем проведен анализ поставленной в [3] задачи.

Обозначим через R(x,t) резольвенту ядра K (x,t) [3], которая является решением интегрального уравнения Вольтерра

t

R(x, t)

= K⁽x,t^{) +} IК^(x,t

— т)R(x, т) dr,

причем R(x,t) G C 2(R+ x [0, T]) , R(x, 0) = 0 , dR(x, 0) = 0 , R+ = [0, to ), T >  0 — фиксированное число.

Пусть

x y=Wx)=/ vd), v2(x)=px, po(x), po(x) — заданные положительные функции из класса C2(R+), dp0 (+0)=0, ddx0 (+0)=0,

ν — параметр,

q⁽y^,v ) =

s ⁰⁰ (y) ^s(y)

s^y)A s(y))

—

_v 2 ^0 (^ 1 (У)

Po(^ - 1 ⁽y)) ^,

s(y) =

V (+0)po (+0)

^VC^ ^{-1 (}У⁾)ро(^ - ^{1 (}У⁾) ‘

(c) 2012 Тотиева Ж. Д.

Определим область V (T) = { (x,t) : ^(x) 6 t 6 T } , Г = t - to - \ y - yo \ , (yo,to) — фиксированная точка области V (T) , 6(y - yo,t - to ) — 5 -функция Дирака,

♦ ⁽y^,t) = {⁽£^,т) ^: to ⁺ | yo ^- € \ ^{6 т 6} t ^- \ у ^- € \ }, A^t) = {⁽€^,т) ^{: 0 6} t ^- \ y ^- € \ }.

Продолжим функции q(y, v) и R(^ 1(y),t) четным образом в область y <  0 . Обозначим через Go(y, yo, t, to, v) фундаментальное решение обобщенной задачи Коши [4]:

∂ ² G0   ∂ ² G0

-

∂t ² ∂y ²

-

q(y, v ) Go = 5(y - yo,t - to),

Go l ,0-

В дальнейшем оператор дифференцирования по переменной, например, ∂R/∂t будем обозначать R _t . Знак « ∗ » в последующих записях обозначает операцию свертки по временной переменной.

Теорема. Существует единственное решение задачи Коши:

_∂ 2 _G

∂t ²

-

_∂ 2 _G

∂y ²

-

∂ ²

q⁽y,^{v)G +} dt2 ^R * G = ^б(У ^- yo, t ^- to),

^G l t0,

где G(y, yo, t, to, v) имеет следующую структуру G = Go + G , причем

^G(y, yo ^,t, to, ^v) ^| _t-t 0 6| _{y-y 0} | = ⁰, ^{G G} C(t ^- to >  \ ^{y -} Gt ^G C(t ^- to >  \ ^{y - y}o \ ) , t ^G f^{0, T}]•

<1 Для начала поясним, что структура Go хорошо изучена [4]:

Go (y,yo,t,to,v ) = 6(t - to - \ y

-

yo \ ) 2⁺ Go(y,yo,t,to,^v) ,

^(t ^- to

^- \ y ^- yo \ ) = |

1, t

0, t

-

-

to ^-\^{y - y}o \ >  ⁰,     , _Y

— функция Хевисайда, to - \y - yo\ < 0

Go(y,yo,t,to, v) G C 2(t - to >  \ y

-

^G(y,y ^{o ,t,t o} , ^v) ^| t - t ₀ = | y - y ₀ |     ⁰

Ясно, что G = Go + G , где G удовлетворяет следующим соотношениям:

∂ ² G ∂t ²

-

∂ ² G ∂y ²

∂ ²             ∂ ²

^{- q(y}, ^v)^-dt2 [^R* 'e] - dt2 [^R* ^Go] ,

Gl«o = °-

Из равенств (5) и (6) вытекает, что

G = Go *

-

∂ ²

dt2 (^R * Go) ⁺ Go *

-

.^e*

^∂ R ∗ G .

∂t ²

Для ясности распишем первое слагаемое равенства (7), обозначив его F(y,yo,t,to,v ) :

F(У,УО,t,to, ^v) = ^- ^(^г)

+ Go(€,yo,T,to,v) )Rt(- ¹ (<),t -\y - £ \ - t ) dTd<

■ O(y,t)

+ // Go t ^ ’t — т,

♦W)

τ

t o + l ^ - y o l

2 + Go(£,yo,s,to, v)^Rt(- ¹ ( £ ) ,t - s) dsdrd^ .

Здесь и далее

//

♦W)

обозначает

^y + ^y o+( ^t— to) 2 /

y+yo ^{- ( t-} to)

t -| y - ξ | /

t o + | y o - ^ l

Заметим, что F(y,yo,t,to,v ) в A(y,t) непрерывна.

Рассмотрим область D = { (y,t) : t — to 6 \y — yo \ , t £ [0,T] } . Покажем, что G(y,yo,t,to,v ) = 0 в D .

Возьмем произвольную фиксированную точку (yi,ti) £ D 0 и проведем через нее две характеристики. Тогда для всех точек (y,t) £ A(yi,ti) , учитывая, что

F (y,yo, t, to ,v )\t-to <|y-yo|     0, получаем однородное уравнение:

(5⁽y’yo^,t’^to’^v ) = ^- 2 jRR^ ^{- i (}^^{),t -}\y — £ \ - ^T ) • (^’yo’^T,to’^v ) d^Td€ ^L A(y,t)

+ // Go tt ^K’yo ’t

-

τ т, to,v) j R£-1 (^),т o

-

s) • G(£, yo, s, to, v ) ds dT d/| .

Предполагаем, что в области D функция G(y, yo, t, to, v) непрерывна.

Введем следующие обозначения:

max          |G(y’yo’t’to’v )| = g(yo,t’to,v), yi-(ti-t)6y6yi+(ti-t) ।। max lRt(^ i(y),t)| = Mo’ , max JR£ i(уМ| = Mi, (y,t)^A(yi,ti) I                         I                 (y,t)eA(yi,ti) II max    |Gott(yo,y,to,t,v)| = M2, 0 6 t 6 ti 6 T.

(y,t)^^(yi ,ti) II

Справедлива следующая оценка:

t

t

g(yo,t,to,v ) 6 2 MoT jg(yo,T,to,v ) dT + M2T ² Mi jg(yo,T,to,v ) dT

o

o

t

1 A f ,

• - MoT + M2T ² Mi     g(yo,T,to,v ) dT.

• ²                    / J

o

По лемме Гронуолла [2] g(yo ,t,to,v ) = 0 при t E [0, t _i^, значит, G(y,yo,t, to ,v ) = 0 в A(yi,ti) . Так как точка была выбрана произвольно, то G(y,yo, t, to, v) = 0 в D .

Используя свойства свертки функций [1], операцию дифференцирования по параметру и только что доказанное свойство для G(y, yo, t, to, v) , получаем интегральное уравнение:

^G(y,yo,t,to, ^v) = ^- ^^(r)

2 У [ Rt Ж ¹ (€),t -| y - € | - s) G(^,yo,s,to ,v) dsd^

♦Gt)

τ

+У [ Got (C,yo,t—T,to,v ) у Rt (^ ⁱ(€),t — s)S, to, v )ds drda+F (y, yo,t, to, v). ♦(y,t)                           to + |yo-§|

Из ⁽⁸⁾ следует, ^{что G(}y^,yo^,t,to^,v Ж-t o = | y - y o | = 0 .

Решение (9) представляем в виде

G(y, yo, t, to, v)

∞

= ^2^Gn⁽y^,yo^,t,to^,v ), n=o

где

Go = F (y,yo,t,to,v ),

Gen ⁽y^,yo^,t,to^,v ) = ^— Ж^г) 2 У [ ^Rt (^ ^{-i (}^^{),t —} | y ^— ^ 1 ^{— r} )en-i- ⁽^,yo ^,r,to^,v ) ^drd<

♦ (y,t)

τ

+ У [g₀ t(^,yo,t — T,to,v )   у Rt (^ ^-1 (O,T

♦ (y,t)                                t o + | y o - § |

Введем обозначения:

-

-

s)G« - i(£ yo, s, to, v ) ds dr d^j .

max   |^Rt ⁽ ^ ^{1 (}^^{),T )|} = Ma,

⁽Е^т ) е О(у^) I                     I

„ max J^G o t(^yoR ⁽ ^,^t ^ ^♦ (y.t) I

-

T,to,V) | = M4,

max   | F ⁽^,yo^,T,to^,v ) = Ms-

⁽ ^,^{t )}eO⁽ y,t ⁾ I                            I

Из (11) следует оценка

| Gn(y,yo,t,to,v) | 6

г1                   In

2 + M4 (T — to)   M3 ^M5 (T — to)

n ^{(t —} to⁾ⁿ 2 • n!

.

Ряд (10) мажорируется сходящимся числовым рядом, значит, он сходится равномерно, следовательно, G(y, yo, t, to, v) непрерывна в {(y,t) : | y — yo | 6 t — to 6 T — | y — yo | }•

Докажем единственность решения задачи (3)–(4). Предположим, что существует x^e"                                                    x^e"

два решения Gi и G2 , причем Gi = Go + Gi и G2 = Go + G2 , так как фундаментальное решение оператора Lo единственно [4]. Обозначим через G = Gi — G2 или, что то же x^e"              х^е"

^e      ^e

--          --

самое, G = Gi — (2 . Тогда для функции G = G(y, yo,t, to, v ) получаем задачу:

d ² G d²G

-

dt2    dy2

-

q ( y,v )G = - R * G , dt ² L J

-

^{G 1} t0’

В результате решения задачи (12)–(13) получается интегральное уравнение, аналогичное (9), в котором F(y, yo,t, to, v) = 0 . Пользуясь оценкой типа (8) и леммой Гронуол-ла, выводим, что G(y, yo, t, to,v ) = 0 , что и доказывает единственность решения задачи (3)–(4).

Дифференцируя (9) по времени, получим

Gt^(y,y0, t, to^,v ) = ^— $^(r)

2 IR Rtt (^ ¹ (C^t^— \y ^- € 1 ^{- T} )(^,yo,^T,to,^v) d^Td€

♦ (y,t)

+ / [ Go t(€,yo,t

♦W)

-

τ

T,to,v )    j    R tt (^ ^-1 (€)

t o + | y o - C !

т — s^G^, yo, s, to, v) ds dT d€

+ //1(1+ Go(€, yo,T, to, v)) Rtt (^ ^-1 (€), t — \y — € \

♦ ⁽ y^{,t )}

— т ) dTd€ + j ^ Go t(€,yo,t

♦⁽ y^{,t )}

—

т,to,v)

τ

- \y — € \ — s) ds dT d^j •

X

J    2 2+ Go (€,yo,s,to,v)j Rtt (^ 1(C),t to+|yo-C!

Используя свойства подынтегральных функций, заключаем, что из непрерывности правой части следует непрерывность левой части в области t — to >  \y — yo \ . B