О геометрических представлениях конечных групп, имеющих абелеву подгруппу индекса 2

Пусть G — конечная мультипликативная группа порядка п. В работах [1, 2] было введено новое понятие геометрического графа группы, который строится на основании вычисления расстояний между элементами группы:

^p(9i,9j) = ^^x(9i,9j ),                                   (1)

xeG

• (с) Скородумов В.Ф., Штепип В. В., Штепип Д. В., 2024

@ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

где _x ( g i ,9 j ) — наименьший целый неотрицательный показатель степени k, для которого справедливо равенство: х^кg i = gj, или, если такое k не существует, то & _x ( g i ,g j ) ^d = 0.

Расстояния р', определенные формулой (1), вообще говоря, не удовлетворяют неравенству треугольника, по этой причине эти расстояния называют мнимыми. Однако если элементы группы G разместить на сфере единичного раднуеа в евклидовом пространстве R^m так, чтобы евклидовы расстояния между элементами графа сохраняли свойства равенства (неравенства) расстояний р', то мы придем к следующему определению.

Определение 1. Геометрический граф группы G (геометрическая реализация) граф группы G на сфере единичного радиус;; в евклидовом пространстве R^m наименьшей размерности (обозначим его У), в котором евклидовы расстояния р (назовем их действительными) между элементами группы удовлетворяют соотношению

p ( g i ,g j ) = р⁽g к ,g i ) ^ р' ( g^g j ) = ^{р (}g k ,g i ) ^i,j,k,i.

Выпуклую оболочку векторов геометрического графа обозначим Р (G).

Будем рассматривать геометрический граф группы G порядка п как набор п различных векторов G = {xi,X2 ,... ,х _п } единичной длины в obi слндовом пространстве R^m. В дальнейшем мы будем отождествлять элементы группы G и соответствующие им векторы геометрического графа.

В работе [3] было показано, что для любой конечной группы геометрический граф реализуется в пространстве размерности dim V < |G| — 1.

В работе [1] были доказаны предложения 1.1-1.4, которые описывают основные свойства геометрического графа группы.

Предложение 1.1. Для любых элементов x,y,g группы G имеет место равенство р' (х,у) = р' (gx,gy).

Следствие 1. Для любых элементов x,y,g группы G имеют место равенства р ( х,у ) = р ( gx,gy) it ( х,у ) = ( gx,gy ) ('здесь ( х,у ) — скалярное произведение векторов х я у евклидова пространства V).

Предложение 1.2. Если xi,X2,... ,x_m — базис евклидова пространства V, состоящий из векторов графа, то gx i ,gx 2 ,... ,gx _m — тоже базис V.

Предложение 1.3. Пусть х G G и m х = ^ aixi, i=1

где х 1 ,х₂,... ,x _m — базис V, состоящий из векторов графа. Тогда

m gx =    aigxi.

i=1

Будем считать, что действие g G G продолжается с векторов графа по линейности на все векторы пространства V.

Следствие 2. Действие g в V является линейным оператором T r ( g).

Предложение 1.4. Отображение из G в GL ( V ), задаваемое соответствием g ^ T r ( g), является линейным представлением группы G.

Определение 2. Представление д ^ Т г ( д' ) называется геометрическим представлением группы G.

Отметим, что геометрическое представление любой конечной группы является ортогональным, так как операторы представления сохраняют евклидово скалярное произведение в пространстве V. Более того, в отличие от работ [4, 5] геометрическое представление является гомоморфизмом группы G в группу вращений многогранника Р ( G), расстояния между вершинами которого определяются внутренними свойствами самой группы G. Другие способы построения представлений групп вращений правильных многогранников в R3 были предложены одним из авторов в работе [6].

2.    Сумма операторов геометрического представления произвольной группы

Этот раздел посвящен доказательству менее очевидных свойств геометрических представлений, которые не упоминались в предыдущих работах [1, 2, 3].

Теорема 1. Сумма всех операторов геометрического представления произвольной конечной группы G является нулевым оператором.

Доказательство. Пусть V — пространство, в котором реализуется геометрическое представление группы G, т.е. евклидово пространство наименьшей размерности, в котором выполняется равенство

p(gi,gj) = р(дь,gi) ^ p'(gi,gj) = p'(gk,gi) ^i,j,k,l, где р — мнимые расстояния между векторами графа, р р — соответствующие евклидовы расстояния.

Пусть также Тг : G ^ GL ( V ) — геометрическое представление группы G. которое на векторах геометрического графа определяется равенством

Tr(g)gi = ggi, а на остальные векторы V оператор Tr(g) распространяется по линейности.

Утверждение теоремы 1 равносильно тому, что s = £Tr(g) = о.

g ^ G

Имеем для любого gi G G'.

sgi = £ Tr(g)gi = ^2 ggi • gEG           gEG

При g, пробегающем группу G, векторы gg i пробегают все векторы геометрического графа этой группы, поэтому

Sg i = £ g.

^g ^ ^G

Итак, сели ^2 g = 0. то оператор S переводит все базисные векторы V в 0 (поскольку gE

Покажем далее, что предположение х = — ^2 g = 0 приводит к противоречию с опре-п gEG делением геометрического графа группы.

Согласно предыдущим равенствам, для любого g_iG G выполняется Sg_i = пх, где х = 0, те. rkS = dimImS = dim(x) = 1.

Отметим, что Sx = S

(^1Е ’] = \^П »ЕС )

— S Sg = — (nx + nx + • • • + nx) = nx, то есть вектор ⁿg&G     ⁿ

x является собственным вектором для оператора S с собственным значением n.

Далее,

Тогда

S²= S •S = I^Tr(g') S = ^Tr(g')S = ^S = nS. \ g&G      /     g&G          g&G

Итак, оператор S удовлетворяет уравнению S2 — nS = О, то есть многочлен t2 — nt является аннулирующим для оператора S. В частности, минимальный многочлен ps(t) оператора S является делителем многочлена t2 — n't. Следовательно, ps(t) не имеет кратных корней. Но тогда по критерию диагонализируемости оператора в терминах его минимального многочлена S является днагоналнзнруемьнi оператором. Учитывая, что rkS = 1. в подходящем базисе S приводится к виду

/А 0   ...   0

00  ...

S

... ... ... ...

\ 0   0   ...   0/ где А — ненулевое собственное значение оператора S. Отметим, что А обязательно должно быть корнем аннулирующего многочлена t2 — nt. Действительно, если v — собственный вектор для S с собственным 'значением А. то

0 = (S2 — nS)v = S (Sv) — n(Sv) = (А2 — nA)v, откуда А(А — n) = 0. Но А — ненулевое собственное значение, следовательно. А = n. Итак, в подходящем базисе пространства V оператор S приводится к виду

S =

/ n

...

...

.

..

.

.

.

.

... ...

...

Выше мы уже отмечали, что Sx = nx, то

есть в подходящем базисе в качестве первого

базисного вектора можно взять вектор x. Пусть теперь координаты вектора gi G Г в базисе пространства V:

gi =

/ Oil А ^ai2

, где m = dim V.

Тогда

...

\ aim /

Sgi =

nan

= nx,

...

где правая часть уже не зависит от индекса г. Поэтому мы можем считать, что x =

/ ^а\ 0

,

...

и, тем самым, ац = а для всех i.

Пусть тогда

/а\ аа\

9п =

/ а\ д’

\ч где векторы д1,д2,...,д'п имеют m — 1 координату и принадлежат линейной оболочке

(е2, ез,..., е_т). Нормируем полученные векторы:

д’

|д‘ Г

~ _ д2 д2         I / I, .

|д2 |

..,

дп    |дп I'

Покажем, что векторы д±, д2, ..., д_п также образуют геометрический граф той же группы G, но уже в пространстве меньшей размерности, чем m. Так как дз, д2, ..., д_п образовывали геометрический граф группы G, то

⁽дi^,дj) = (дк,91) ^ p'⁽gi,93) = ^р(дк,gi) Wi,j,k,l.

В базисе координаты векторов 93,92,... ,д_п удовлетворяют условиям (2), поэтому ⁽gi, дj) = (дк, 9i) ^ ^а2 + ⁽gi,дк) = ^а2 + ⁽дк, д’) — (gi, дк) = (дк, д’)

ИЛИ

( , ^д , ^^= ^ = (, ^9к, z ^д‘   ^ ^ (9i,9,) = (9к,9i).

V \\ а², 71—72 )   ^71—72,71—72 )              ’

Итак, векторы дз,д2,... ,д_п все имеют длину 1 и удовлетворяют условию

P⁽9i,9з) = Р⁽9к,91) ^ ^p(9i,9j) = ^р(9к,9l) ^ⁱ,^j,^k,¹-

Таким образом, граф группы G может быть реализован в пространстве (е2, ез,..., е_т) < V, что противоречит определению геометрического графа группы G в пространстве V.

Следовательно, наше предположение, что х =  — 92 9 = 0, было неверно, и

_                                                 п geG х = 0 ^ S = О. Теорема 1 доказана.                                            □

Следствие 3. Сумма всех векторов геометрического графа равна 0.

Доказательство. Из доказательства теоремы 1 видно, что предположение £ д = 0 при-g^G водит к противоречию с определением геометрического графа.                       □

Следствие 4. Одномерное тривиальное представление Е группы G не входит в качестве подпредставления в геометрическое представление Тг группы G.

Доказательство. По формуле кратности вхождения неприводимого представления в дан ное представление [8]:

^Тг(д) I = Gtro = 0. geG         /      | |

^тЕ = ⁽ХЕ ,Хг) =

|G| S 1 ‘ ^г(д)    |G| ^trTr(g)      |G| tr

1 1 geG                      1 1 geG                       1 1

Итак, кратность вхождения одномерного тривиального представления Е группы G в представление Тг равна 0, что и требовалось доказать.                                    □

3.    Группы, имеющие абелеву подгруппу индекса 2

В этом разделе мы рассмотрим группы G, имеющие абелевы подгруппы индекса 2.

Оказывается, при некоторвк естественных условиях, векторы геометрического графа из G и G \ А равноудалены.

Для доказателвства основной теоремы данного раздела рассмотрим следующие две лем-

MBI.

Лемма 1. Для любого автоморфизма у группы G справедливо равенство

^x(e,^(g))= (Д-рхДкд).                               (3)

Доказательство. Заметим, что (у^-1(х))^к = g равносильно х^к = Др), поэтому левая часть (3) отлична от нуля тогда и только тогда, когда отлична правая (напомним, что е Дд,,(р.) может быть равен 0, если наименьший целый неотрицательный показатель степени к, для которого справедливо равенство х^кgi = gj, не существует).

Пусть дДДд')') = к > 0. Тогда х^к = Ду) и одновременно (у^-1(х))^к = g. Следовательно. 0 < Р^-цДе, g)< к. Предположим, что е^-рДе, g) = I < к. Тогда (у^-1(х))¹ = д и х¹ = Др], где 0 < I < к. Но это противоречит предположению, что а_х(е,Дд)) = к. Лемма доказана.                                                     □

Лемма 2. Для любого автоморфизма у группы G справедливо равенство

Дед] = р'ДДдД

Доказательство. По определению мнимого расстояния между элементами группы, р'ДДд'У) = ^<Де,1ДдУ) = (по лемме 1) = ^<Д-1(х)(е,д) = xeG                              xeG

=           ^a^-1(x)(^e>g) =р‘^(e,g).

^-1(x)eG

Лемма 2 доказана.                                                               □

Следствие 5. Если элементы gi и д2 группы G сопряжены, то р' (e,gi) = р' (е,92).

Доказательство. Сопряжение с помощью элемента х, то есть отображение дм- 9^х = хдх^-1, является внутренним автоморфизмом д в группе G.               □

Следствие 6. Для любого автоморфизма у группы G справедливо равенство р'(91,92) = р' (ДдДуДУ)

для любых 91,92 G G.

Доказательство. Согласно лемме 2 имеем

Р’ ^(е,д-¹92⁾ = р' ДДд-Д)).

Отсюда р' (9-191, д-р) = р' (Дд1 "ДДдДДдДДД))•

Однако левые сдвиги на группе сохраняют мнимые расстояния между элементами [2], поэтому р' (91,92) = р' (Д(д1),Д(д2)).

□

Теорема 2. Пусть А — абелева подгруппа в конечной группе G, при чем (G : И) = 2, и пусть В = G \ А. Тогда

• а)    все классы сопряженных элементов, принадлежащие В, равномощны;

• б)    если G имеет внешний автоморфизм у? такой, что циклическая подгруппа, порожденная этим автоморфизмом, действует транзитивно на множестве классов сопряженных элементов, принадлежащих В, то p (a,b) = const независимо от выбора элементов a Е А и b Е В.

Доказательство, а) Так как А < G, то действие G на себе сопряжением оставляет инвариантными все классы сопряженности, принадлежащие А. Но тогда такая же инвариантность присуща и классам сопряженности, принадлежащим В.

Далее, для любого a Е А и для любого b Е В выполнено a • b Е В, так как иначе мы бы получили b Е А И В, что невозможно.

Перенумеруем элементы группы G таким образом, что ai = е, затем идут все остальные элементы подгруппы А, и уже далее идут элементы В. Иначе говоря, G = {ai, a2,..., as,bi,b2,..., bs}. Тогда таблица Кэли группы G имеет вид с=(

А • А А • В В • А В • В

.

Выше мы показали, что матрица А • В в каждой строке и в каждом столбце содержит все элементы В. причем каждый — в точности один раз. Но тогда матрица В • В состоит в точности из элементов подгруппы А.

Введем обозначения:

b^G= {b^x\x Е G} = {xbx-1\x Е G} — класс сопряженных элементов, порожденный b Е В, b^A= {b^a\a Е А} — орбита элемента b при действии на него сопряжениями с помощью элементов из А.

Тогда для любого b Е В имеет место равенство bG = bAGB = bA и bB = bA U b^A = bA U (bb)A = bA U bA = bA.

Но тогда, переходя к мощностям, будем иметь

\b^G\ = \b^A\ = (по теореме о мощности орбиты) = \А : St(b)\,              (4)

где

St(b) = {a Е А\aba^-1 = b} = {a Е А\ab = ba}.

Остается заметить, что если элемент ao из подгруппы А коммутирует с некоторым элементом b Е В, то он же коммутирует и с любым другим элементом b‘ Е В, так как найдется a Е А такое, что b‘ = ab, и тогда ao b‘ = aoab = aaob = abao = b’ao.

Итак, мощность \St(b)\ не зависит от выбора b Е В, а в силу равенств а (4) и мощность \b^G\ класса сопряженных элементов, принадлежащего В, не зависит от выбора b Е В.

б) Покажем сначала, что р(е, bi) = p (е, b2) = • • • = р(е, bs) = const.                          (5)

Действительно, для любых двух элементов bi и bj Е В найдется последовательность автоморфизмов группы G, переводящая bi в bj. Тогда, применяя лемму 2, получим равенства (5).

Напомним, что для любого a Е А и для любого b Е В справедливо a • b Е В, поэтому ввиду (5) для любого a Е А и для любого b Е В выполнено p (a,b) = p(e,a-1b) = const, где константа та же, что и в равенствах (5). Теорема 2 доказана.                      □

4.    Неприводимые комплексные представления обобщенной группы кватернионов

Наглядным примером групп, имеющих абелеву подгруппу индекса 2, являются обобщенные группы кватернионов.

Обобщенная группа кватернионов Q4_t, t ^ 2 — это группа, порожденная двумя элементами, х и у с соотношениями:

Q4t = (х,у | х* = у², уху-1 = х^-1).

Из определяющего соотношения вытекает, что у2 = х* = (у-1х-1у) = (у-1х-1у) • (у-1х-1у).....(у-1х-1у) = y-1x-ty.

Домножая это равенство слева на у, а справа на у^-1, получим

у

2 =

х1

= х

t

следователвно, х²* = е, поэтому ord х = 2t, ord у = 4.

Любой элемент группы Q4t можно однозначно записатв в виде w = хгу2, г де 0 < г < 2t — 1, j = 0,1.

Таким образом, порядок группы Q4_t равен 4t, Q4_t имеет абелев нормальный делитель А = (х) индекса 2, и, следовательно, Q4_t — разрешимая группа, в то же время не существует представления Q4_t = А х Н, так как Q4_t обладает только одним элементом у² = х* порядка 2, у² = х* G А.

Обобщенная группа кватернионов Q4_t является примером нерасщепляемого расширения подгруппы А.

Опишем неприводимые комплексные представления группы Q4_t. Легко проверить, что Q4_t — это подгруппа индекса 4, причем факторгруппа Q_4t/Q'_4t изоморфна V4, если t четно, II изоморфна. С4. ос ли t почетно.

Хорошо известно, что всякий характер у группы Q4_t имеет вид

X = Xi 0 Р, где р — каноническая сюръекция Q4t на Q4t/Q4t, a Xi пробегает характеры факторгруппы.

Получаем следующую таблицу характеров группы Q_4t.

Т а б л и ц а 1

Таблица одномерных представлений группы Q4*

где

Q4t	X	У
X1	1	1
X2	—1	E
X3	1	— 1
X4	—1	—E

{1, если t четно , i, если t нечетно .

Неприводимые комплексные представления размерности больше 1 также хорошо известны [7]. Они задаются матрицами

Tt(х) = (10  (-k) ,  Tt(у) = (0  (—0)‘) , где k = 1, 2, ... ,t — 1 11 £ — первообразны!i корень степени 2t 11 з 1.

Замечание. Покажем, что двумерное представление Tk двойственно представленито Tt-k в следующем смысле:

Tt-k (д') = Х2(д)Тк Ыд)), где ^р — внешний автоморфизм группы Q4t, удовлетворяющий условиям теоремы 2:

р : G ^ G, где |

Р^(х)= X 1, Р⁽у) = ^ХУ.

Действителвно, пуств T‘(д) = X2(g)Tk(р(д))- Простые вычисления показывают, что и

T ‘(х) = —

— nik е t

----------------------------1

0л | = Tt-k(x) ^{е t} /

^T ‘(У) = (

— nik

ее t

(-1)^kееД

0     )'

Теперв унитарная замена базиса е[ = ei; е2 =

— nik е t е2 одновременно приводит обе матрицы

T‘(х) и T‘(у), соответственно, к матрицам T_t-k(х) и T_t-k(у). Следователвно, представление T‘ изоморфно njюдставлспшо T_t-k-

Задача построения неприводимых двумерных представлений обобщенной группы кватернионов, которая в общем случае предполагает рассмотрение t — 1 представления, после этого замечания сводится к построению Tk, где к = 1, 2,..., [-].

Покажем, что неприводимые комплексные представления наибольшей размерности в случае обобщенной группы кватернионов небольшого порядка могут быть построены при помощи геометрических графов этих групп.

5.    Геометрические графы групп кватернионов

Рассмотрим простейшую группу кватернионов Q8.

Q8 = {е, х, х², х3, у, ху, х²у, х³у}, ordx = 4, ord у = 4.

Для вычисления геометрического графа группы нам потребуется таблица Кэли.

Т а б л и ц а 2

Таблица Кэли группы Q8

*	e	x	x2	x3	y	xy	x2y	x3y
e	е	X	х2	х3	У	ху	х2у	Х3у
x	X	х2	X3	е	ху	х2у	Х3у	у
x2	х2	X3	е	X	х2у	Х3у	у	ху
x3	X3	е	X	х2	Х3у	у	ху	х2у
y	у	х3у	х2у	ху	х2	X	е	X3
xy	ху	у	Х3у	х2у	х3	х2	X	е
x2y	х2у	ху	у	Х3у	е	х3	х2	X
x3y	Х3у	х2у	ху	у	X	е	х3	х2

Мнимые расстояния между элементами группы, вычисленные по формуле (1), представлены в табл. 3.

Согласно предложению 1.1, количество чисел 4 и 13 в каждой строке и каждом столбце таблицы мнимых расстояний одинаково.

Т а б л и ц а 3

Таблица мнимых расстояний между элементами группы Q8

*	e	x	x2	x3	y	xy	x2y	x3y
e	0	4	13	4	4	4	4	4
x	4	0	4	13	4	4	4	4
x2	13	4	0	4	4	4	4	4
x3	4	13	4	0	4	4	4	4
y	4	4	4	4	0	4	13	4
xy	4	4	4	4	4	0	4	13
x2y	4	4	4	4	13	4	0	4
x3y	4	4	4	4	4	13	4	0

Покажем, что для группы кватернионов Q8 выполняются все условия тео-ремвт 2. Циклическая подгруппа А, порожденная элементом х, является подгруппой индекса 2. Классы сопряженных элементов имеют следующий вид: ^{е}, {^х2^}, ^{х,^х3^}, {У, ^х2У), ^{хУ, ^х3У}-

Рассмотрим внешний автоморфизм, введенный в замечании 1:

_{n v}           f Р^(х) = ^х 1,

^р : G ^ G, где <

[ ‘(У) = ^хУ.

Этот автоморфизм переставляет смежные классы, принадлежащие множеству В = G\A (отметим, что эти классы равномощны, как было доказано в теореме 2). Тогда по этой же теореме все мнимые расстояния в табл. 3 между элементами х G А и у 6 В должны быть равны. Это значительно облегчает вычисление табл. 3.

^Т1тобы построить геометрический граф группы, нам потребуется вычислить евклидовы расстояния p(gt, gj) между элементами группы Q8. Евклидово расстояние между элементами группы gt и gj определено однозначно, если определен косинус угла между векторами графа, соответствующими gt и gj. Пусть cos А(е,х) = a, a cos А(е,х2) = Ь. Из определения геометрического графа группы следует, что

-1 < а< 1, < -1 < Ь< 1, а = Ь.

Матрица косинусов углов между векторами геометрического графа принимает следующий вид:

	1	а	Ь	а	а	а	а	а\
	а	1	а	Ь	а	а	а	а
	Ь	а	1	а	а	а	а	а
Г=	а а	Ь а	а а	1 а	а 1	а а	а Ь	а а
	а	а	а	а	а	1	а	Ь
	а	а	а	а	Ь	а	1	а
\ а		а	а	а	а	Ь	а	1

Заметим, что матрица, элементами которой являются косинусы углов между векторами графа, фактически является матрицей Грама.

Будем искать значения а и Ь, удовлетворяющие системе (6), при которых ранг матрицы Грама Г принимает наименьшее возможное значение (оно и будет равно размерности геометрической реализации графа группы Qg).

Теорема 3. Для группы кватернионов ^8 геометрический граф реализуется в евклидовом пространстве V размерности 4. С точноствго до ортогоналвного преобразования пространства векторы графа имеют координаты: е = (1, 0, 0, 0), ж = (0,1, 0, 0), ж² = (—1,0, 0, 0), ж³ = (0, -1, 0, 0), у = (0, 0,1, 0), ху = (0, 0, 0,1), ж²у = (0, 0, -1, 0), ж³у = (0, 0, 0, -1).

Доказательство. Покажем, что геометрический граф группы кватернионов 6^8 ^не реализуется в пространстве V, dim V < 4.

От противного, если бы такая реализация существовала, то кратноств корня А = 0 у характеристического многочлена матрицы Г была бы не менвше, чем 5. Характеристический многочлен матрицы Г имеет вид

х(А) = (А + Ъ — 1)⁴(А — 6а — b — 1)(А + 2а — b — 1)3.

Его корнями являются: (1 — Ъ) — кратности 4, 6а + Ъ +1 — кратности 1, —2а + Ъ + 1 — кратности 3. Так как параметр Ъ не может равнятвся единице (в противном случае cos/(е,ж2) = 1, то еств векторы е и ж2 геометрического графа совпадают), оставшиеся корни имеют суммарную кратноств не больше, чем 4.

Покажем, что существует единственная с точностью до ортогонального вращения реализация в пространстве V, dim V = 4. Для этого приравняем к 0 оставшиеся корни характеристического многочлена:

J 6а + Ъ +1 = 0, I —2а + Ъ + 1=0.

откуда а = 0. Ъ = —1.

Это дает нам следующую матрицу Грама для векторов графа Q8:

1		0	-1	0	0	0	0	0
	0	1	0	-1	0	0	0	0
	-1	0	1	0	0	0	0	0
	0	-1	0	1	0	0	0	0
Г =	0	0	0	0	1	0	-1	0	.                              (7)
	0	0	0	0	0	1	0	-1
	0	0	0	0	-1	0	1	0
0		0	0	0	0	-1	0	1

Из явного вида матрицы Грама (7) получаем, что

V = (е, ж, ж2, ж3) ф (у, жу, ж2у, ж3у).

Видно, что векторы е и ж2 противоположны, то же самое относится к векторам ж и ж3. Более того, эти пары векторов ортогональны друг другу. Следовательно, мы можем считать, что их координаты в R4 имеют вид: е = (1, 0, 0, 0), ж = (0,1, 0, 0), ж2 = ( —1, 0, 0, 0), ж3 = (0, —1, 0, 0).

Оставшиеся векторы графа образуют подграф, изоморфный подграфу {е,ж,ж2,ж3}. Поэтому, без ограничения общности, их координаты можно положить равными у = (0, 0,1, 0). жу = (0, 0, 0,1). ж2у = (0, 0, —1, 0). ж3у = (0, 0, 0, —1).

Теорема доказана.                                                            □

Замечание. Доказанная теорема 3 дает не просто вложение группы Q8 в пространство V. Наше построение распространяется на вложение алгебры кватернионов H в это пространство. Действительно, если мы отождествим элементы е с 1, ж с i, у с j, жу с к, то геометрический граф примет вид {±1, ±i, ±j, ±к}, а векторы пространства V отождествятся с алгеброй кватернионов H = {а • 1 + Ъ • i + с • j + d •к, а,Ъ, с,d G R}.

Т а б л и ц а 4

Характеры неприводимых комплексных представлений группы Q8

Q8	е	х	х2	у	ху
Т1	1	1	1	1	1
Т2	1	1	1	-1	-1
Тз	1	-1	1	1	-1
Т4	1	-1	1	-1	1
Т5	2	0	-2	0	0

Характеры неприводимых представлений Q8 были перечислены в разделе 4. Отметим, что характеры принимают постоянные значения на классах сопряженных элементов, поэтому в заголовке таблицы характеров указаны! толвко представители классов.

Отметим, что Q8 обладает единственным неодномерным неприводимым представлением Т5 размерности 2.

Выпишем матрицы операторов геометрического представления Т_деот для порождающих элементов группы в базисе (е, х, у, ху) .

0		-0	0	0	0		0	-0	0
Тдеот(х) —	0	0	0	0	,  Тдеот (у) —	0	0	0	0
	0	0	0	-0		0	0	0	0
	0	0	0	0		0	-0	0	0

Теорема 4. Геометрическое представление группы Q8 разлагается в прямую сумму неприводимых:

Тдеот = Т5 ф Т5.

Доказательство. Кратноств mi вхождения неприводимого представления Т в представление Т_део,_т вычисляется по формуле [8]:

^mi = (ХУХдеот).

По этой формуле находим: mi = m2 = m3 = m4 = 0 и m5 = 2. Следователвно, геометрическое представление группы Q8 разлагается в прямую сумму неприводимых:

Тдеот = Т5 Ф Т5.

Найдем двумерные инвариантные подпространства, в которых реализуются представления, изоморфные Т5.

В разделе 4 было отмечено, что группа Q8 имеет единственное неприводимое двумерное комплексное представление с матрицами

^Т5^(Х)= (0 -0 , ^Т5⁽У⁾= (⁰ 0‘) •

Укажем ортонормированный базис в пространстве C4, согласованный с разложением в прямую сумму (8):

е1 =

√₂

1 √₂

е2 =

⎜ 1 ⎟ √₂ 0

, ^е3 =

⎜ 1 ⎟ √₂ 0

е4 =

о

i

√₂

-1

√₂

В этом базисе операторы геометрического представления Тд_еот(х) и Тд_еот(у) принимают вид

i		0	0	0		0	— 1	0	0
Тдеот(х) —	0	—i	0	0	,  Тдеот(у) —	1	0	0	0
	0	0		0		0	0	0	—1
	\ 0	0	0	—i		0	0	1	0

Таким образом, мы разложили геометрическое представление группы Q8 в прямую сумму неприводимых. Теорема доказана.

Замечание. С помощью геометрического графа мы построили неприводимое представление группы кватернионов наибольшей размерности. Аналогичная задача для группы вращений правильного тетраэдра была решена в работах [3, 6].

6.    Группа кватернионов Q12

Напомним, что группа Q12 определяется равенством

Q12 = (х, у\х³= у², уху-1 = ж^-1).

Ее таблица Кэли имеет вид:

Т а б л и ц а 5

Таблица Кэли группы кватернионов Q12

*

e

x

x2

x3

x4

x5

y

xy

x2y

x3y

x4y

x5y

e

е

х

х2

х3

х4

х5

У

ху

х2у

х3у

х4у

х5у

x

х

х2

х3

х4

х5

е

ху

х2у

х3у

х4у

х5у

У

x2

х2

х3

х4

х5

е

х

х2у

х3у

х4у

х5у

У

ху

x3

х3

х4

х5

е

х

х2

х3у

х4у

х5у

У

ху

х2у

x4

х4

х5

е

х

х2

х3

х4у

х5у

У

ху

х2у

х3у

x5

х5

е

х

х2

х3

х4

х5у

У

ху

х2у

х3у

х4у

y

у

х5у

х4у

х3у

х2у

ху

х3

х2

х

е

х5

х4

xy

ху

у

х5у

х4у

х3у

х2у

х4

х3

х2

х

е

х5

x2y

х2у

ху

У

х5у

х4у

х3у

х5

х4

х3

х2

х

е

x3y

х3у

х2у

ху

У

х5у

х4у

е

х5

х4

х3

х2

х

x4y

х4у

х3у

х2у

ху

У

х5у

х

е

х5

х4

х3

х2

x5y

х5 у

х^у

х3у

х2у

ху

у

х2

х

е

х5

х4

х3

Приведем таблицу б мнимых расстояний, вычисленных по формуле (1).

Для группы Q12 также выполняются условия теоремы 2. Это облегчило нам заполнение таблицы мнимых расстояний одинаковыми числами (четверки) в правой верхней и левой нижней подматрицах 6 х 6.

Классы сопряженных элементов в Q12 имеют вид: {е}, {х³}, {х,х⁵}, {х²,х⁴}, {у,х²у,х⁴у}, {ху,х³у,х⁵у}.

Пусть cos/(е,х) = a, a cos/(е,х2) = b, cos/(е,х3) = с, cos/(е,у) = d. Получим следу- ющую матрицу Грама:

1 °

° 1

6 °

с 6

6 с

° 6

d d

d d

d d

d d

d d

d d⎟

6

°

1

°

6

с

d

d

d

d

d

d

с

6

°

1

°

6

d

d

d

d

d

d⎟

6

с

6

°

1

°

d

d

d

d

d

d

°

6

с

6

°

1

d

d

d

d

d

d

Г =

⎜d

d

d

d

d

d

1

°

6

с

6

°

d

d

d

d

d

d

°

1

°

6

с

6

⎜⎜d

d

d

d

d

d

6

°

1

°

6

с

d

d

d

d

d

d

с

6

°

1

°

6

⎜d

d

d

d

d

d

6

с

6

°

1

°

d

d

d

d

d

d

°

6

с

6

°

1

(Ю)

Т а б л и ц а б

Таблица мнимых расстояний между элементами группы

*	e	x	x2	x3	x4	x5	y	xy	x2y	x3y	x4y	x5y
e	0	6	9	19	9	6	4	4	4	4	4	4
x	6	0	6	9	19	9	4	4	4	4	4	4
x2	9	6	0	6	9	19	4	4	4	4	4	4
x3	19	9	6	0	6	9	4	4	4	4	4	4
x4	9	19	9	6	0	6	4	4	4	4	4	4
x5	6	9	19	9	6	0	4	4	4	4	4	4
y	4	4	4	4	4	4	0	6	9	19	9	6
xy	4	4	4	4	4	4	6	0	6	9	19	9
x2y	4	4	4	4	4	4	9	6	0	6	9	19
x3y	4	4	4	4	4	4	19	9	6	0	6	9
x4y	4	4	4	4	4	4	9	19	9	6	0	6
x5y	4	4	4	4	4	4	6	9	19	9	6	0

Теорема 5. Для группы кватернионов Q12 геометрический граф реализуется в евклидовом пространстве V размерности 4. С точноствго до ортогоналвного преобразования пространства векторы графа имеют координаты:

е = (1,0, 0, 0), х² = (-1/2, ⁷3/2, 0, 0), ж⁴ = (-1/2,-V3/2, 0, 0),

У = (0, 0,1, 0), х2У = (0, 0, -1/2, V3/2), х⁴у = (0, 0, -1/2,-V3/2),

х = (1/2, 73/2, 0, 0), х3 = (-1, 0, 0, 0), х5 = (1/2, -73/2, 0, 0), ху = (0, 0,1/2, 73/2), х3у = (0, 0,-1, 0), х5у = (0, 0,1/2, -73/2).

Доказательство. Доказателвство того, что геометрический граф группы Q12 не реализуется в пространстве размерности менвше 4, аналогично теореме 3. Характеристический многочлен матрицы Грама (10) имеет вид

у(7 = 7 - ° + 6 + ^с - 1)4 • 7 + ° + 6 - ^с - 1)4 • 7 + 2а - 2Ь + с - 1)²^

• (А - 2° - 26 - с - 6d - 1) • (А - 2° - 2Ь - с + 6d - 1).

Как и в теореме 3, ранг матрицы (10) достигает минимального значения, когда максимальное число корней x(A) обращается в 0. По кратности корней видно: для того чтобы не менее девяти корней обратились в 0, необходимо, чтобы в 0 обращались корни кратности 4:

{a + Ь — с = 1, a — Ь — С = —1, откуда получаем Ь =1, что противоречит определению геометрического графа.

Покажем теперь, что в пространстве dim К = 4 геометрический граф реализуется. Для этого должны аннулироваться восемь из корней x(A) (^с учетом кратности) за исключением Ai = a — Ь — с + 1 пли A2 = —a — Ь + с +1.

Рассмотрим два случая. Если Ai = 0, a A2 = 0, получаем систему:

a — Ь — с = —1,

• —2a + 2Ь — с = —1,

2a + 2Ь + с + 6d = —1,

2a + 2Ь + с — 6d = —1, решением которой являются a = —1/2, Ь = —1/2, с = 1, d = 0, а значение с = 1 противоречит определению геометрического графа.

Во втором случае, Ai = 0, a A2 = 0, получаем аналогичную систему, решением которой является a = 1/2, Ь = —1/2, с = —1, d = 0. Так как d = 0, то линейные оболочки (е, х, х², ж³, ж⁴, ж⁵) и (у,ху,х²у,х³у,х*4у,х^ъу) ортогональны друг другу. Следовательно, каждая из этих шестерок векторов реализуется в евклидовом пространстве размерности 2. Легко заметить, что косинусы углов между векторами подграфа {е,х,х²,х³,х⁴,х⁵} такие же, как косинусы углов между радиус-векторами вершин правильного шестиугольника. Таким образом, с точностью до ортогонального поворота плоскости, мы получаем координаты векторов, указанные в формулировке теоремы.

Теорема доказана.                                                            □

Замечание. Как и в теореме 3, вложение Q12 в V продолжается до вложения алгебры кватернионов H в это же пространство. Сопоставим вектору е геометрического графа кватернион 1, вектору    (х + х²) кватернион i, вектору у кватернион j, а вектору

• —(ху + х²у) кватернион к. Тогда векторы пространства V отождествятся с алгеброй ква-\ 3

терппопов H = a • 1 + Ь • i + с • j + d •к, a,Ь,с,d G R.

В табл. 7, следуя разделу 4, приведем характеры неприводимых комплексных представлений группы Q12-

Т а б л и ц а 7

Характеры неприводимых комплексных представлений группы Q12

Q12	е	х	х2	х3	у	ху
Ti	1	1	1	1	1	1
Т2	1	— 1	1	—1	i	—i
Тз	1	1	1	1	—1	— 1
Т4	1	— 1	1	—1	—i	i
Т5	2	1	—1	—2	0	0
Тб	2	— 1	—1	2	0	0

В стандартном базисе пространства C⁴ матрицы операторов геометрического представления T_geom для порождающих элементов группы имеют вид

/ 1/2		- \3 2	0	0  \		(0	0	-1	0\
Tgeom (%) —	3/2/2 0	1/2 0	0 1/2	0 -Д3/2	5  Tgeom (у) —	0 1	0 0	0 0	1 0
0		0	\3 /2	1/2		0	-1	0	0

Следователвно, характер геометрического представления задается таблицей:

Q12	е	X	X2	X3	у	ху
± geom	4	2	-2	-4	0	0

Теорема 6. Геометрическое представление группы Q12 разлагается в прямую сумму неприводимых:

Tgeom = T5 ф T5.

Доказательство. Ввшислим кратности mi вхождения неприводимого представления T'i в представление T_geom. По формуле: m1 = m2 = m3 = m₄= 0, m₅= 2, m₆= 0. To есть геометрическое представление группы Q12 разлагается в прямую сумму неприводимых:

Tgeom = T5 ф T5.

Найдем двумерные инвариантные подпространства, в которых реализуются представления, изоморфные T5.

™=лiW=(0 -0¹).

Базис (9), полученный выше для группы Q8, позволяет разложить в сумму неприводимых также и геометрическое представление группы Q12. В нем операторы геометрического представления Tg_eom(х) и Tg_eom(y) принимают вид

^Tgeom^(x) —

/ — i e3i	0 e-3 i	0	0 \		⎛0	-1	0	0 \
⎜0		0	0	,   Tgeom(y) —	1	0	0	0
0	0	— i e3	0		0	0	0	-1⎟
0	0	0	e-3 g		0	0	1	0

.

Таким образом, мы разложили геометрическое представление группы Q12 в прямую сумму неприводимых. Теорема доказана.

Замечание. При t = 3 группа Q12 имеет два неприводимых двумерных комплексных представления:

ад=(е0i лд           ^=(о о1), ад»=(е Г д i) ■           ^=(0 о).

Как было доказано в разделе 4, представление Тб может быть получено из представления

T5 посредством внеш:zero автоморфизма р:

Тб = Т2(дДДДдД

7.    Заключение

В работе доказаны новые свойства геометрических представлений конечных групп. В частности, доказано, что сумма всех операторов геометрического представления равна нулевому оператору, откуда вытекает, что сумма всех векторов геометрического графа равна 0. Далее, мы показали, что тривиалвное одномерное представление не входит в разложение на неприводимые геометрического представления Тг-

Отделвно мы рассматриваем геометрические представления групп G, имеющих абелеву подгруппу А индекса 2, а также внешний автоморфизм р, транзитивно переставляющий классы сопряженных элементов из В = G \ А. Для таких групп удалосв доказатв (теорема 2), что Va G А и Vb € В имеет место равенство

p(a, b) = const.

Из теоремы 2 также следует, что подграфы геометрического графа, отвечающие А и В, изоморфны. В разделе 4 мы применяем полученные нами результаты к обобщенной группе кватернионов б^. Эти группы имеют серию двумерных комплексных неприводимых представлений, которые нумеруются индексом k G {1, 2,... ,2 — 1}.

Мы доказали следующий факт:

Tt-k (д') = Х2(д)Тк (ф(д)), где Х2 — характер группы Q4t, указанный в табл. 1, ар- внешний автоморфизм группы

Q4t, удовлетворяющий условиям теоремы 2:

р : G ^ G, где

( р^(х)= х ^] ( Ф⁽у) = ^хУ.

Следовательно, задача построения неприводимых двумерных представлений Q4t, которая предполагает рассмотрение t — 1 представления, сводится к построению Т^, где к ^ {12-..J 2 ]}.

По-видимому, все неприводимые представления наибольшей размерности могут быть построены с помощью геометрического графа конечной группы G. Эта гипотеза справедлива для группы четных подстановок А4 [3], а также для групп кватернионов малого порядка, как показано в разделах 5 и б настоящей работы.

В данной работе мы построили геометрические графы групп Q8 и Q12, для них dim V = 4. Подчеркнем, что обе эти группы имеют нормальную подгруппу индекса 2, что на языке геометрических графов приводит к разложению графа в ортогональную прямую сумму двух подграфов, отвечающих нормальной подгруппе (изоморфной С4 для Q8 и Сб ДЛЯ Q12.)-

В качестве побочного эффекта мы получили вложения групп кватернионов Q8 и Q12 в алгебру кватернионов H.