О графах Шилла диаметра 4

Пусть Γ – дистанционно регулярный граф диаметра 𝑑≥3 и 𝜃1 – второе собственное значение графа. Тогда 𝜃1 не меньше min{𝑎1+√𝑎12+4𝑘2,𝑎3}, причем 𝜃1≥𝑎1+√𝑎12+4𝑘2, если 𝑑≥4. Кулен и Пак назвали графом Шилла дистанционно регулярный граф диаметра 3 с 𝜃1=𝑎3. В этом случае 𝜃1=𝑎1+√𝑎12+4𝑘2 и 𝑎3 делит 𝑘. Дистанционно регулярный граф назовем графом Шилла диаметра 𝑑 , если 𝑑≥4 и 𝜃1=𝑎1+√𝑎12+4𝑘2. В случае 𝑎1=0 имеем 𝜃1=√𝑘. Заметим, что для дистанционно регулярных графов Шилла диаметра 5 и примитивных графов Шилла диаметра 4 с числом вершин, не большим 4096, допустимых массивов пересечений нет. В настоящей работе рассматриваются антиподальные графы Шилла диаметра 4. Доказано, что дистанционно регулярные графы с массивами пересечений {20,18,5,1;1,1,18,20} и {25,24,2,1;1,2,24,25} не существуют.