О группах Фробениуса, содержащих элемент порядка 3

Доказывается, что группа. Фробениуса G, порожденная двумя элементами порядка 3, конечна. Ядро группы G абелево и число его порождающих не превышает числа 8, а дополнение либо циклическое, либо изоморфно одной из групп SL2(3), ЗТЩб).

В работе продолжаются исследования начатые в [1] и [2]. Часть результатов получены совместно с В. Д. Мазуровым.

Напомним, что группой Фробениуса с ядром F и дополнением Н называется полупрямое произведение F • Н, удовлетворяющее следующим условиям:

• а) Н — собственная подгруппа в G и НОН^ = 1 для любого неединичного элемента f Е F,

6)F\{l} = G\{H/|/eF}.

Теорема 1. Группа Фробениуса G, порожденная двумя элементами порядка 3, конечна. Ядро группы G абелево и число его порождающих не превышает числа 8, а дополнение либо циклическое, либо изоморфно одной из групп SL₂^, SL₂(5).

Доказательству предпошлем три леммы. В них под модулем для группы или кольца понимается любая аддитивно записанная абелева группа, на которой данная группа или кольцо действует. Для группы А A-модуль V называется фробениусовым, если Дх — 1) ^ 0 и УД — 1) = У для всех V Э v ^ О, 1 Ф х Е А.

Лемма 1. Пусть m — натуральное число и У — ненулевой RA-модуль, где R — поле простого порядка или R = Z[l/m] ив этом случае V не имеет кручения, а А = (а) — циклическая группа. Если модуль V конечно порожден как RA-модуль, то существует натуральное число п такое, что V(aⁿ — 1) ф V.

• <1 Предположим вначале, что R = Z[l/m] и V — противоречащий пример с наименьшим числом s образующих щ, г₂, .. . , щ. Поскольку V (а — 1) = У,

  © 2000 Журтов А. X.

то существует ненулевой полином /(ж) = «о + ^а1^х + • • • + ^at^xt € ^И такой, что v_sf(a) G DyS + .. . + x_s_iS, где S = R(yi\ Выберем / наименьшей

S —1

степени t. Тогда «о + 0 ^ at и щоцсф ХдС^а-1 G 52 ^г^- Это означает, i=i s —1               t-1

что У < 52 ^iRi^ + ^s 52 Ri^ = У, где Ri = Z[l/maoat], и У являет- г=1              j=0

ся (а)-модулем над Ry. Далее, У(а^п — 1) = У для любого n С N. Если S —1

vs(Po + Pi + • • • + A-i^-1) € 52 ^iRi^ Для некоторого ненулевого векто-i=i ра (ро + У + . .. + Д-1) Е Ry, то умножив на подходящее натуральное число, мы найдем нетривиальный полином д Е Z^x] степени не больше s — 1, s —1

для которого v_sg(_a) Е 22 ^г^- Это противоречит выбору /. По выбору У, 1=1

8 — 1

У У 52 ^Х1К1^ = У, Уз = У/У2 — ненулевой конечномерный (а)-модуль без 1=1

кручения над Ry с одним порождающим v = v_s + У2 и Уз(а^п — 1) = У3 для всех п Е N. Теперь мы можем рассматривать Ry как R, У3 как У и считать, что У — конечномерный однопорожденный S-модуль.

В этом случае У как S-модуль изоморфен кольцу So = S/кегУ. Пусть р — простое число, не делящее т. Если pV = У, то pvg(a) = и для некоторого полинома д над R степени не больше s — 1, и х^рд — 1) = 0 вопреки выбору /. Поэтому pSo — собственный идеал в So и число So/pSo = У : pV\ конечно. Пусть М — максимальный идеал из So содержащий pSo. Тогда а ^ М, So (М — конечное поле и поэтому существует п Е N, для которого а^п + М = 1 + М. Другими словами, tzⁿ — 1 G М, Sopi? — 1) С М ^ Sq и У(а^п — 1) ^ У. Это противоречие доказывает лемму для R = Z[l/m]. Те же рассуждения (с некоторыми очевидными упрощениями) годятся и для поля простого порядка. Лемма доказана. >

Лемма 2. Пусть А — группа, порожденная двумя элементами х,у порядка 3 и У — однопорожденный Фробениусов A-модуль. Тогда У — конечная абелева группа.

• <1 Пусть но — порождающий Л-модуля У и Т — множество всех элементов конечного порядка из У. Тогда Т — Л-подмодуль и У /Т — группа без кручения. Если Т = У и m — порядок элемента Uo, то mV = 0. Если m = pn, где р — простой делитель числа т, то Уо = {ж Е У | пх = 0} — собственный Л-модуль. Пусть У = У/У). Тогда У — ненулевой однопорожденный Фробениусов Л-модуль над полем порядка р. Если порядок группы У конечен, то и порядок У конечен. Таким образом, в этом случае достаточно доказать лемму для Л-модуля над полем F порядка р.

Если Т ф У, то У = У(Т — Фробениусов Л-модуль без кручения и мы можем считать, что У = У. Итак, можно предполагать У — 7?А-модуль, где R = F или R = Z и в этом последнем случае У не имеет кручения.

Обозначим a = азу и положим Ui = Uoa\ щ = Uoa^lx для г Е Z. Тогда У = ({и,, щ\г Е Z})

ЩХ = Щ, ЩХ = -Ui - Vi, щу =-Ui - Vi-1, Щу = Ui+1

По лем-

для всех целых чисел г. Из (1) вытекает, что для любого целого г

HiCL — Ili-^-X) ViCL 1 — Vi — 1, UiCL — Hi — "^ Vid^-1 = -щ + u_i+i + щщ.

Это показывает, что иоЩо — порождающие для 7?(а)-модуля У.

ме 1 существует n Е N такой, что У(а^п — 1) ^ У. По условию a™ = 1. По [1] группа А конечна и У — конечно порожденная группа. Если R = F, то У конечна. Предположим, что R = Z. Тогда У = V(x — I)² = У(—Зж) = ЗУ, что невозможно. Лемма доказана. >

Лемма 3. Пусть А — конечная группа порожденная двумя элементами х, у порядков <4 п У — конечная абелева группа с s порождающими, которая является однопорожденным фробениусовым A-модулем. Тогда верно одно из следующих утверждений:

• (1)    группа А циклическая порядка 2, 3, 4, 6 пли 12 и s не превосходит числа 1, 2, 2, 2 пли 4 соответственно;

• (2)    группа А изоморфна SL2(3), СЬ^З) пли SL2(5) н s не превосходит числа 4, 4 пли 8 соответственно;

• (3)    группа А изоморфна группе SQin = ^^2п = У⁴ = 1k’^{1 =} У^-^х = 1) порядка 4п п s < 4?(п), где уз — функция Эйлера.

• <1 Доказательство этой леммы, по существу, содержится в [1]. >

Теперь докажем теорему 1.

<1 Пусть G = (ж, г) = АР, где ж³ = z³ = 1, F — ядро и Н — дополнение в G. Можно считать, что ж Е Н. Пусть г = fy, где / Е F, у Е Н. Тогда G = {f,x,y), Н = (ж, у), F = ^^н\ Пусть М — максимальная абелева подгруппа в F, содержащая /. Если для всех h Е Н выполнено равенство M^h = М, то F = М — абелева группа. Предположим, что M^h ^ М для некоторого элемента h G Н. Тогда либо М^ж ^ М, либо М^у ^ М. Из-за симметрии можно считать, что М^х ^ М. По выбору М, \М^Х,М\ ^ 1. Пусть a, b G М. Тогда 1 = (а^ж6)²(а^ж6)^ж(а^ж6) = ab^x а^х b^xa^xb = ab^x ф^х а^х)ф^хЬ) = аЪ^х а^-1(6^-1)^ж = [а^-1, ф^-1)^х ] и поэтому [а, 6^Ж] = 1. Следовательно, \М, М^х\ = 1. Это противоречие показывает, что F = М — абелева группа. Теперь заключение теоремы вытекает из лемм 1, 2, 3. >

Следствие. Пусть (G, Н) — пара Фробениуса и Н содержит элемент х порядка 3. Если для любого элемента g Е G подгруппа (х,х⁹^ — является группой Фробениуса, то G = F • Н для нормальной периодической подгруппы F. При этом, либо подгруппа V = (x^h,\ h Е И) изоморфна одной из групп SL₂(3), SL₂(5) и подгруппа F — абелева, либо (ж) — нормальная подгруппа в Н и F двуступенно нильпотентна.

По теореме 1 выполнены условия (теоремы 5 из [2]) {2, 3}-группы регулярных автоморфизмов. Пусть С_роо — бесконечная, локально циклическая р-группа. Это означает, что

Сроо = (офо^ = 1, а^₊₁ = at, г Е N).

Бесконечной обобщенной группой кватернионов назовем группу

Q°° = (С₂оо,ф² = «1, а^ = а”^х\

Легко проверить, что каждая подгруппа Qi = («гЛ) изоморфна обобщенной группе кватернионов порядка 2^г+1 и Q°° = Uie^Qi- Заметим, что N = (оф г Е N) единственная собственная, бесконечная подгруппа из Q°° и любой элемент из Q°°, порядок которого больше четырех, лежит в N.

Группа Q°° порождается элементами порядка 4.

Любая собственная подгруппа из Q°° отлична от своего нормализатора и либо конечна и является циклической или обобщенной кватернионной группой, либо совпадает с N.

Утверждение. Пусть G — группа, в которой любые два, элемента, х, у со свойством х^у = х^-1 порождают 2-подгруппу с единственной инволюцией. Любая 2-группа с единственной инволюцией либо является локально циклической, либо обобщенной группой кватернионов (возможно, бесконечной).

Если в G нет нетривиальных 2-элементов, то доказывать нечего. В противном случае G обладает единственной инволюцией z. Если в G нет элементов порядка 4, то снова доказывать нечего. Пусть в G есть элемент порядка 4. Нам потребуется следующая лемма.

Лемма 4. Если у — элемент порядка 4 из G, то 2-элементы из Cg^ составляют локально циклическую подгруппу Со, а в Ng ((у)) 2-элементы составляют нормальную 2-подгруппу, в которой Со — подгруппа индекса < 2.

• <1 Пусть Со — максимальная, нормальная локально циклическая 2-подгруппа из С = Сс(у\ Если не все 2-элементы из С содержатся в Со, то найдется такой 2-элемент t из С, что tCo — инволюция в С (Со-

• Если tcCo + 1Cq для некоторого элемента с G С, то (t, tc, у) — конечная не локально циклическая 2-группа с одной инволюцией и центральной подгруппой порядка 4. Поскольку в конечной обобщенной группе кватернионов порядок

центра равен двум, эта ситуация невозможна и (t, Cq) — нормальная локально конечная подгруппа из С, содержащая центральную подгруппу порядка 4. Поэтому (t, Со) — локально циклическая группа, вопреки выбору подгруппы Со-Итак Со содержит все 2-элементы из С. Если N = No^y^ ^ С, то найдется элемент х из N \ С, что у^ж = у"¹, поэтому х — 2-элемент.

Если х не централизует C/Cq, то поскольку (Со, ж) — неабелева группа, она обобщенная группа кватернионов, х элемент порядка 4 и ж² централизует Cq. Пусть сС/Со ^ с^хС/Со, для некоторого элемента с Е С. Тогда (с"¹с^ж)^ж = (с"¹^)"¹, c^-ic^x ^L Cq и поэтому не является 2-элементом. Это противоречит условию. Поэтому х централизует С/Со и (Со, ж) обобщенная группа кватернионов, нормальная в N.

Если в G нет элементов порядка 8, то любые два элемента порядка 4 из G перестановочны по модулю (г) и поэтому все 2-элементы порождают группу кватернионов порядка 8.

Пусть ж — элемент из G порядка 8 и у = ж². Тогда у² = z. Положим С = Cg^Y N = Ne^y^. По лемме 4 в С существует локально циклическая нормальная силовская 2-подгруппа Со, а в N — нормальная силовская 2-подгруппа No и Aq : Со < 2. Если Nq ф Со, то No — обобщенная группа кватернионов (возможно, бесконечная). Если все элементы порядка 4 из G содержатся в N, то в случае N = С подгруппа С совпадает с С, а в случае N ^ С подгруппа Nq порождается элементами порядка 4 и, следовательно, нормальна в G. Но тогда ^G и N = G.

Поэтому пусть существует элемент t порядка 4 из G, который не содержится в N. Подгруппа (у, X^х) — обобщенная группа кватернионов и yt — элемент, порядок которого больше четырех. Пусть z = (yt)² — элемент порядка 8. Тогда (ж, г) нормализует Н = (у, г²) и хН,гН — инволюция в (ж,г)/Н. Таким образом (ж, г) — конечная 2-подгруппа из G содержащая две различные циклические подгруппы порядка 8. Это невозможно. >

Теорема 2. Пусть G — нетривиальная {2, 3}-группа. регулярных автоморфизмов абелевой группы. Если G конечна, то верно одно из следующих утверждений:

• (1)    G — циклическая группа;

• (2)    G = (ж,у|ж^3< = у²" = 1, у^-1жу = ж^-1) для некоторых натуральных чисел t п s, s > 2;

• (3)    G = (ж,у|ж^28з< = у⁴ = 1, у² = ж²" ^1з<, ж^у = ж^-1) для некоторых натуральных чисел t и s, s > 2;

• (4)    G = (x,y,z\x⁴ = z³‘ = 1, ж² = у², y^x = у"¹, x^z = у, y^z = жу"¹), I — натуральное число; другими словами, G — расширение группы кватернионов Q порядка 8 посредством циклической 3-группы, индуцирующей в Q

нетривиальный автоморфизм;

• (5)    G = (ж, у, г, г>), где (х, у, z) —группа типа 3, V² = ж², z^v = г^-1, ж" = у^-1, у — х ;

• (6)    G изоморфна SL2(5);

• (7)    G содержит подгруппу индекса 2, изоморфную ЗЬфЬ), и силовская 2-подгруппа из G — обобщенная группа кватернионов.

Если G бесконечна, то подгруппа из G порожденная всеми элементами порядка 3, является циклической, и верно одно из следующих утверждений:

• (8)    G — расширение локально циклической 2-группы пли (возможно, бесконечной) обобщенной группы кватернионов посредством 3-группы с единственной подгруппой порядка 3;

• (9)    G — полупрямое произведение локально циклической 3-подгруппы R п циклической 2-подгруппы (s) порядка > 4, г⁸ = г^-1 для любого элемента г е R;

• (10)    G = (U х Уфф, где U — локально циклическая 2-группа пли конечная группа кватернионов, V — локально циклическая 3-группа, t — элемент порядка 4, U (ф — (возможно, бесконечная) обобщенная группа кватернионов и и¹ = tT¹ для любого элемента г Е V.

Отметим, что только в случае 8 группа G может не быть локально конечной (см. примеры 1 п 2 в [3]).

• <1    Если G конечна, то её строение известно (см. [4, 5, 6]). Пусть G — бесконечна и А-подгруппа из G, порожденная всеми элементами порядка 3. По [2] А — циклическая группа или группа изоморфная одной из групп SL2(3), SL2(5). Во втором случае Се (А) <  А и поэтому G = Ng (А) — конечная группа. Итак А — циклическая группа.

Если Л = 1, то С — 2-группа и по предложению 1 G удовлетворяет условию 8. Поэтому пусть Л = 3. Если В = Су (Л), то по предложению 1 В удовлетворяет условиям пункта 8 и при В = G теорема доказана.

Если В ф G, то С : В\ = 2. Пусть S = 02(G). Тогда G/S — расширение 3-группы R с помощью подгруппы (а) порядка 2, индуцирующей в R регулярную группу автоморфизмов. Пусть г Е R. Тогда [г, а] = a^T a — элемент нечетного порядка и поэтому в (а^т, а) существует инволюция г, для которой а^тг = а. Это означает, что ri = а, г = аг и г" = г^-1. Таким образом, а инвертирует каждый элемент из R, поэтому R абелева и, следовательно, локально циклическая. Пусть t — элемент из G \ В. Тогда Д = г^-1 для любого элемента г Е R.

Пусть R — силовская 3-подгруппа из G, тогда R локально циклическая группа и SR = В. Действительно, если SR ^ В, то SR/S — собственная подгруппа в локально циклической 3-группе В/S. Поэтому R = (г) — циклическая группа конечного порядка 3“ и существует элемент щ в В порядка З^а+1.

Поскольку В локально конечна, подгруппа (гд) сопряжена с подгруппой из (г) в конечной группе (г, п) и мы получаем противоречие. Если R не централизует S, то S — группа кватернионов порядка 8, а Д — циклическая группа. В этом случае G — конечная группа вопреки предположению. Если же R централизует S, то R — нормальная подгруппа в G и выполнены условия пункта 9. ▻