О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп

Пусть G — группа, R — множество групп. Будем говорить, что группа G насыщена группами из R , если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из R .

Пусть K — конечная подгруппа группы G. Обозначим через R (K) множество всех подгрупп группы G, которые содержат K и изоморфны группам из множества R , в частности, R (e ) — множество всех подгрупп группы G, изоморфных группам из множества R .

Напомним, что группа G называется группой Шункова, если для любой конечной подгруппы H из G в фактор-группе Ng (H)/H любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную группу.

Пусть N — некоторое непустое множество неизоморфных циклических групп нечетного порядка, а M — некоторое непустое множество неизоморфных групп L 2 (2 m ). Положим, что R = { X х Y : X G M , Y G N } . Таким образом, множество R состоит из набора конечных групп, каждый из которых является прямым произведением двух групп X и Y , причем группа X берется из множества M , а группа Y — из множества N .

В работе [2] была доказана локальная конечность периодической группы Шункова, насыщенной группами из множества R при дополнительном ограничении: для любого элемента (X х Y ) G R , ( | X | , | Y | ) = 1. Мы избавились от этого ограничения:

Теорема. Периодическая группа Шункова G , насыщенная группами из множе ства R , локально конечна и изоморфна прямому произведению L х V , где L ' L 2 (Q) для некоторого локально конечного поля Q характеристики два, а V — локально циклическая группа без инволюций.

Используемые результаты

Предложение 1 [3] . Пусть G — периодическая группа, содержащая инволюцию, S — силовская 2-группа из G и централизатор любой инволюции из S абелев. Тогда либо S — локально циклическая группа, либо S <1 G, либо G = R х L 2 (Q), где R — абелева группа без инволюций, Q — локально конечное поле характеристики 2 .

Предложение 2 [1] . Пусть G = L 2 (q) , где q = 2 n > 2 , P — силовская 2-подгруппа группы G. Тогда:

• 1.    P — элементарная абелева группа порядка q , и любые две силовские 2-подгруппы группы G пересекаются тривиальным образом.

• 2.    C G (a) = P для любой инволюции a Е P .

• 3.    Для любого элемента нечетного порядка из G существует инволюция, инвертирующая его.

• 4.    Ng ( P ) = PXH — группа Фробениуса с ядром P и циклическим неинвариантным множителем H порядка q — 1 , действующим транзитивно на множестве P \ { 1 } .

Доказательство теоремы

Пусть группа G удовлетворяет условиям теоремы, S — силовская 2-подгруппа группы G, s — инволюция из S и C = Cg ( s ).

Лемма. Имеют место следующие утверждения:

• 1.    S — элементарная абелева группа.

• 2.    Пусть S i и S 2 — силовские 2-подгруппы группы G и S i = S 2 , тогда S i П S 2 = е.

• 3.    Все инволюции из G сопряжены.

• 4.    Все силовские 2 -подгруппы сопряжены.

• 5.    Cg ( s ) = Cg ( S ).

• 6.    Все инволюции из C лежат в Z (C) .

• 2. Пусть S _i П S ₂ = D = е, s _i Е { S _i \D} = 0 и s ₂ Е { S 2 \ D } = 0 для е = S 3 Е D.

• 3.    Пусть x, y — различные инволюции из G. По условию теоремы конечная группа h x, у) 6 (X 3 х Y 3 ), где (X 3 х Ya) Е R (G). Следовательно, x,y Е X a , а в X 3 все инволюции сопряжены (предложение 2, п. 4).

• 4.    Пусть S 1 и S 2 — две различные силовские 2-подгруппы группы G. Возьмем е = x Е S i и е = у Е S 2 - По утверждению 3 x = y g для некоторого g Е G, но тогда x Е (S i П S g ) и по утверждению 2 получим, что S i = S g . Утверждение 4 доказано.

• 5.    Пусть b Е Cg (s). Если | b | = 2, то b Е Cg ( S ) (утверждения 1, 2). Рассмотрим случай, когда | b| — нечетное число. Так как е = s Е S П S ^b , то по утверждению 2 S = S b и S h h b) — локально конечная группа. Следовательно, для любого s i Е S группа h b, s,s _i ) = S * h h b ) — конечная группа, где S * — 2-группа. Тогда h b, s,s _i ) 6 (X ₄ х Y 4 ) Е R ( h b, s,s i ) ), h si, s ) 6 X 4 , b Е У 4 , т. е. b Е C(s i ) для любых s i Е S. Осталось рассмотреть случай, когда | b | = 2d, где d — нечетное число. В этом случае b = vu, где | v | = 2, а | u | = d. Как показано выше, элементы u и v лежат в C(S), а значит, и их произведение b Е C(S). Таким образом, имеет место включение Cg ( s ) 6 Cg ( S ). Так как обратное включение Cg ( S ) 6 Cg ( s ) очевидно, то имеет место равенство Cg ( s ) = Cg ( S ). Утверждение 5 доказано.

• 6.    По утверждению 5 S 6 Z(C). Следовательно, любая инволюция v из C должна лежать в S, так как в противном случае h S, v i — 2-группа, что противоречит тому, что S — силовская 2-подгруппа. Утверждение 6 доказано. B

C 1. Пусть е = s i Е S . По условию Теоремы h s i i 6 (X i х Y i ) Е R (e). Так как s i Е X i , а X i ' L 2 (2 m ), то | s i | = 2 (предложение 2, п. 1). В силу произвольного выбора s 1 утверждение 1 доказано.

Группа h s 1 , s 2 , s 3 i — конечная группа, так как в силу утверждения 1 она порождена тремя инволюциями и одна из них, s 3 , содержится в ее центре. По условию насыщенности h s i , s 2 , s a ) 6 (X 2 х Y 2 ) Е R (e) и h s i , s 2 , s a ) 6 S * Е Syl 2 X 2 , т. е. s i s 2 = s 2 s i (предложение 1, п. 1). В силу произвольности выбора s i ,s 2 получим S i S 2 = S 2 S i = S i = S 2 . Противоречие с выбором S 1 и S 2 . Утверждение 2 доказано.

Лемма. C — абелева группа.

C Если C — 2-группа, то C = S и согласно лемме 1 все доказано. Пусть C — не 2-группа, 1 = b Е C и | b | — нечетное число. Пусть c — произвольный элемент из C нечетного порядка. Предположим, что | b | — простое число. Тогда конечная группа hs,b,b^c'i 6 (X i х Y i ) Е R ( h s, b, b ^c i ). Следовательно, b, b ^c лежат в Y i . Последнее означает, что h b i = h b i c , группа hs, b, ci конечна и hs, b, ci 6 (X 2 х Y 2 ), где s Е X 2 , а b, c Е Y 2 . Так как Y 2 — циклическая группа, то cb = bc. Таким образом, все элементы простого нечетного порядка группы C содержатся в Z(C ). Пусть теперь | b | — непростое нечетное число и h b i i — подгруппа из h b i такая, что |h b i : h b i i| — простое число. Используя индукцию, мы можем предполагать, что b i Е Z(C ), а значит, в силу условия теоремы группа hs, b i , b, b c i конечна и hs,b i ,b,b c i 6 (X 3 х Y 3 ), где s Е X 3 , а b i , b, b ^c лежат в Y 3 . Следовательно, h b i = h b i c и hs, b, ci — конечная группа. Далее, hs, b, ci 6 (X 4 х Y 4 ), где s Е X 4 , а b и c — элементы из Y 4 . Так как Y 4 — циклическая группа, то bc = cb . Итак, мы показали, что любой элемент нечетного порядка из C лежит в Z (C ). Так как любой элемент c Е C можно представить в виде c = c i c 2 , где c i — инволюция, c 2 — элемент нечетного порядка, то C — абелева группа. B

Лемма. S не является нормальной подгруппой группы G .

C Предположим обратное, что S <1 G. По условию теоремы G содержит подгруппу L ' L 2 (2 m ). Поскольку e = S i = L П S (лемма 1, свойство 4), то S * — нормальная подгруппа группы L , что не возможно ни при каком m . B

Лемма. Если S — локально циклическая группа, то теорема верна.

C Предположим, что S — локально циклическая группа. Тогда из леммы 1 получаем, что | S | = 2 и X = L 2 (2) — группа Фробениуса порядка 6. Возьмем в G конечную подгруппу B ' L 2 (2). Тогда B = h b i h h z i , где b ³ = z ² = 1 и b z = b ^{- i} . В силу условий теоремы для любого g Е G конечная группа hb,b ^g i 6 (X i х Y i ), где (X i х Y i ) Е R ( h b, b ^g i ). Так как X 1 — группа Фробениуса порядка 6, а Y 1 — циклическая группа, то все элементы простых нечетных порядков из (X i х Y i ) перестановочны. В частности, bb ^g = b g b. Следовательно, N = h b G i — абелева нормальная подгруппа группы G и период N равен 3. Покажем, что | N | 6 9. Действительно, предположим обратное, тогда в N содержится подгруппа N i = h b i i х h b 2 i х hb 3 i , где | b i | = | b 2 | = | Ьз | = 3. По условию теоремы N i 6 (X 2 х Y 2 ), где (X 2 х Y 2 ) Е R (N i ). Но в силу условия теоремы подгруппа ( X 2 х Y 2 ) не может содержать элементарных абелевых подгрупп порядка 3 ³ . Противоречие. Итак, N <  G и | N | 6 9. Отсюда вытекает, в частности, что hz, z ^g iN — конечная подгруппа группы G . Ясно, что B ⊆ h z, z ^g i N . По условию теоремы h z, z ^g i N ⊂ B h Y , где Y — циклическая группа без инволюций. Следовательно, z ^g ∈ B для любого g Е G и z ^G = B <  G. Так как G = Cg ( z ) B и Cg ( z ) = h z i х C o , где C o — локально циклическая группа без инволюций (лемма 1, п. 3), то G = B х C o . в

Завершим доказательство теоремы. Согласно теореме Н. М. Сучкова (предложение 1) и леммам 1, 3, 4 получаем, что G = L х V , где L ' L 2 (Q), Q — локально конечное поле характеристики 2, а V ' R — абелева группа без инволюций. Покажем, что R — локально циклическая группа. Действительно, если R не локально циклическая, то в R найдется подгруппа D = h a i х h b i , где | a | = | b | = p — простое нечетное число. Рассмотрим в L подгруппу L i ' L i (2 k ¹). По условию теоремы конечная группа L 1 × D 6 M i = (X i х Y i ), где X i ' L 2 (2 ^k 2 ), Y i = h y i i — циклическая группа без инволюций. Но подгруппа M 1 не может содержать подгруппы вида L 1 × D . Теорема доказана.