О характеризации корневых множеств одного весового класса аналитических в круге функций
Автор: Шамоян Файзо Агитович, Родикова Евгения Геннадьевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.16, 2014 года.
Бесплатный доступ
В работе получено полное описание корневых множеств аналитических в круге функций, допускающих рост вблизи заданного конечного множества точек граничной окружности.
Аналитическая функция, единичный круг, множество нулей аналитической функции
Короткий адрес: https://sciup.org/14318471
IDR: 14318471
Текст научной статьи О характеризации корневых множеств одного весового класса аналитических в круге функций
Пусть D — единичный круг на комплексной плоскости. T — его г]мшща. H (D) — мно жество всех аналитических в D функций, Zf — множество нулей тождественно отличной от нуля функции f Е H ( D ), E = {etTk }//(1 — m точек на единичной окружности. Обо значим p(z, E ) = dist(z, E ) — расстояние от щэонзвольпой тонки z Е D до миожества. E. Рассмотрим класс
H^(E) = |f Е H(D) : ln |f (z) | 6 cf ^ (-A—\ p(z, E)/ z∈D
где ^ — монотонно возрастающая положительная функция на. R+.
Здесь и в дальнейшем, если не оговорено иное, мы будем обозначать через C,c,ci , • • •, cn(a, в, • • •) положительные конетакты. зависящие от а, в, • • •
В том случае, когда E состоит из одной тонки, ^(t) = tq. 0 < q < 1. полное описа ние корневых множеств класса ИДЕ ) было получено в работах М. М. Джрбашяна [1], X. Шапиро и А. Шилдса [2]. В бесконечном случае, когда E = T, ^(t) = ln t результат окончательного характера, был получен К. Сейпом (см. [3]). Полное описание корневых множеств и факторизационное представление класса H^(E ), E = T, в случае более общих весов получено еще в 80-х гг. Ф. А. Шамояном (см. [4-6]). Приведем некоторые результаты из этих работ.
Пусть ^(x) — монотонно возрастающаяi положительная функция. у Е C (1)(1, +го).
такая, что
lim
<Дх)х Q
^(x) =
y0(x)x lim ———- = аф, х ,-х ^(x)
ii 1 < вф 6 аф < +то.
Справедливы следующие утверждения:
Теорема А. Пусть Ak,i = {1 - ^ 6 |z| < 1 - ^, nl 6 arg z < п(2++11} — разбиение
Уитни единичного круга, k = 0,1, 2,..., l = —2k,..., 2k — 1, Z = {zk}+=1 — последова тельность точек IB D. nki — число точек {zk} в прямоутолышке Ay. Тогда следующие утверждения равносильны:
-
1. Z = Zf л.тя f € H^(T).
-
2. nk,l 6 cy(2k ), k = 1, 2,... , l = —2k,..., 2k — 1.
Теорема Б. Пусть ^(x) — монотонно убывающая функция на полуоси (0, +то), такая что lim ^(x) = 0, y(x) — монотонно возрастающая положительная функция, у € C(1)(1, +то). удовлетворяющая условиям (1). Тогда следующие утверждения равносильны:
-
1. Для произвольной последовательности {zk}+“ = Zf, f € H^(T), сходится ряд P+^ ^ (1-b) < +
-
2. f+^ Wx) У(x) dx < +ro.
В дальнейшем для случая, когда E С T — конечное множество точек на единичной окружности, в работе [7] было установлено следующее утверждение:
Теорема В. Если f € H^(E). y(t) = tq. q > 0. {zk}+= - последовательность нулей функции f. то сходится ряд:
+^
£(p(zk,E))(q-1+e)+ (1 — |zk|) < +Ю, k=1
где е — сколь угодно малое положительное число. x+ = max(x, 0).
В недавних работах Л. Голинского, С. Купина, С. Фаворова, Л. Радченко последний результат был обобщен в различных направлениях (см. [8-11]). Подобные результаты имеют ряд важных приложений в теории операторов, теории аппроксимации и других разделах комплексного и функционального анализа (см. там же). В частности, в работе [11], авторы получили аналог необходимого условия в теореме Б для класса H^(E). Однако полного описания корневых множеств класса H^(E) до сих пор не было получено.
Нами для случая конечного множества E = {eiTk }k=-1 С T установлены следующие результаты:
Теорема 1. Пусть у — монотонно возрастающая положптелвпая функция. у € C(1)(1, +то). такая, что y0(x)x xl""x y(x) а^.
Если f € H^(E) и Zf = {zn}+=1, ТО для любого R > 1 справедлива оценка
R
X (1 -м2) 6 Cf №+ № 4(3)
RR 6p(zn,E)62 V 1
Обратно,
-
а) если а^ € z+, {zn}+=1 — произвольная последовательность точек из D, удовлетворяющая условию (3).
-
б) если a^ Е Z + \ {1}, {zn} +=1 — произвольная последовательность точек из D, удовлетворяющая наряду с условием (3) условию
sup 0 6k6m- 1
Е
R 6p(zn Е)62
ёТк + zn\ av i
eiτk - zn
6 M,
M> 0,
причем xαϕ sup —— < +w, x>1 P(x)
можно построить функцию g Е НДЕ) нули которой совпадают с точками последовательности {zn Щ.
Отметим, что требование гладкости функции у на (1, +то) можно заменить на условие у Е C (1)(a, +то). где a — произвольное достаточно большое положительное число.
Теорема 2. Пусть у — монотонно возрастающая положительная функция. у Е
C (1)(1, +то). Следующие утверждения равносильны:
-
1. Для любой носледовательности {zn^ = Zf, f Е ПоТ ), выполняется условие Бляшке, т. е.
-
2. Функция у удовлетворяет условию
■ ^
X(1 - |zn|) < +w, n=1
+ ^
Г ^(x) J dx < +то.
J X2
Теорема 3. Пусть у — монотонно возрастающая положительная функция, у Е C(1)(1, +то), такая, что av > 1, f Е HR(E), {zn}+=1 = Zf, ф(x) ^ 0, x ^ 0+, ф Е C(1)(0, +w). ii при этом lim ф
R ——+^o
R
y(R) R
< +to.
Тогда, если R ф' (X) Rx dx < +w. to 1
+ ^
X ф(p(zk ,E))(1 - |zk|) < +ro.
k =1
Обратно, если J+^ ф' (1) R^x- dx = +to, to можно в явном виде построить функцию g Е Hr(E ), g ^ 0, такую что g(zk ) = 0, k = 1, 2,..., для которой ряд (5) расходится.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если в формулировке теоремы 3 положить 0 < av< 1, то ряд (5) будет сходиться даже в том случае, когда ф(x) > 6 > 0, x Е R+ (см., например, [4]). Отметим также, что метод доказательства теорем 1-3 существенно отличается от методов, используемых в статьях [7-11], и впервые был применен первым автором в работах [12, 13].
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Интересно сравнить результат теоремы 2 для случая нулей, расположенных на радиусе (0,1) единичного круга, со следующей теоремой Хеймана — Коренблюма (см. [14]).
Теорема Г. Пусть p — монотонно возрастающая положительная фупкппя па R+. Следующие утверждения равносильны:
-
1. Для любой поеледовательности { r n}+ Д 1 = Zf, f Е НДТ ), r n > 0, n E N, выполняется условие Бляшке:
-
2. Функция p удовлетворяет условию
+ ^
(1 - rn) < +ГО, n=1
+ ^
dx < +to.
Из сходимости интеграла (6) следует сходимость интеграла (4), но обратное неверно.
На это указывает пример функции p(x) = (lnXx) 2 , x > 1-
Доказательство основных результатов опирается на следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть w = pe
,i6 = i e iT0 +z
e iτ 0
- z
— конформное отображение единичного круга.
на верхнюю полуплоскость С+, г/ щ 0 6 То 6 2п. Тогда при всех 0 < 6 < п, 1 6 p < + то справедливы оценки:
sin 6
6 1 -| z |2 6 44^,
ρ
1 , .
- 6 | eiT0 ρ
-
ρ z\ 6 2. ρ
C Посюшьку w = pe i6
_ ■ eiT0+z i eiT0— z'
то z = e
:iT0 7-W- 0TK^
1 -| z | 2
4p sin 6
1 + 2p sin 6 + p2
4 sin 6 1
p 7 1 + 2 sin 6
ρ 2 ρ
.
Учитывая, что 1 6 p < + ^
ii sin 6 > 0. получаем:
откуда, снова учитывая, что 1 6 p < +то и sin 6 > 0, получим неравенство (8). B Следующее утверждение непосредственно следует из определения класса Нф(Е ): Лемма 2. Класс HV(E) совпадает с классом (функций
{ / m — 1
f Е H(D) : ln |f (z)| 6 cf £ ^ ( -----— k=0 V\z — eiTk | где p — возрастаютиая положительная (функция, p E C(1)(1, +ro).
Будем исследовать структуру корневых множеств класса H*.
При доказательстве основного результата существенную роль играет следующее утверждение, необходимая часть которого установлена в работе [13], а достаточная часть — в работе [15]:
Теорема Д. Пусть p(t) — монотонно возрастающая положительная функция на R+. р6 C (1)(R+) Ю > 1 , _ _
Если последовательность {pne6n }, p n > po > 0, точек из верхней полуплоскости C+ является корневым множеством некоторой ненулевой функции из класса HHC ) = {f 6 H (C+) : In |f (w)| 6 cp(|w|)}. to
E
O
o
sin
6n ρ
n
6
c^R
,
R
|
1
—
z
|
=
|
1 +
p
sin
6
—
ip
cos 6
\
2 1 p i 2 sin 6 । -I v p2 + p +
™ C>
0
Обратно, если {pne 6n
},
pn > ро
> 0 —
произвольная последовательность точек из верхней полуплоскости С+. удовлетворяйиная условию
(9)
II при аф
6
Z+
условиям:
Е
O
o
n
6
R
ρ
n
αϕ
e
iα
ϕ
θ
n
6
M,
0
< R <
+
то
,
xαϕ sup < +то, x>1 Р(х)
то
можно построить функцию g
6
H^°(C+),
нули которой совпадают с последовательностью {pne^n
}.
Перейдем к доказательству основных результатов статьи.
C
Доказательство теорены
1. Фиксируем
eiT0
6
E.
Введем обозначение:
lE
= min0
6
k,j
6
n-1
leiTk
—
eiTj|,
k
=
j.
Очевидно, что
lE
> 0. Отобразим единичный круг D на верхнюю полуплоскость
C+ с
помощью функции w =
i
е"0-Z.
Обозначим через X& =
iлпл+щж-
т. е.
егТк
=
егт0
xk—i.
xk
6
R.
k
e
iT0
-elTk Xk
+
i
k
Выясним, какие условия накладываются на
xk.
|
x
k |
= 2
Xk
+
i
—
i
2
1
Xk
+i 1 =
6 2 +
2
+ 1 6 -2 + 1.
|
eiτ
0
-
eiτk
|
lE
Таким образом, все точки
Xk
находятся внутри полукруга
C+
:= /w
6
C+
:
|
w
|
6 + 1
. E lE
Писть rE = 2 (lE +
1
He ограничивая общности, будем считать, что множество
E
состоит из одной точки, т. е.
E
= {eiT0}.
Рассмотрим функцию F(w) = f ^eiT0 iW—1 ^, w 6 C+, аналитическую в верхней полуплоскости. Так как f 6 H*. то ϕ ln |F(w)| 6 Cf р
|
w +
i|
cfϕ
|
w
|
+ 1
V 2 )
6
cf
yOwD,
при всех
w
: |
w
| >
1.
Обозначим
{pnet6n
}+Л — последовательность нулей функции
F.
Пусть далее
Fn
(w) =
F(w
+
in)- П >
0-
Очови,дно. что
Fn
— аналитическая в полуплоскости
Im
w
>
—p.
Применим к функции
Fn(w)
формулу Карлемана в полукольце
Cr
E
R
: = {w G C+ :
ге
6 |
w
| 6
R}
(см., например. [1G.
c. 139]):
E
r
E
6
ρ
e
n
6
R
ρn - ρn R2
sin
9n
π
= 4 [ ln F(Rei6)|
πR
sin
9 d9
+- - + 2n x2 R2
r
E
6
|
x
|
6
R
In F(x)|F(-x)|
dx
+
An(R,
f),
где
An(R,f
) = 2П
Jo
Im{ (e—- - rETRi-) ln
Fn
(ге
ei6
)}
d9. {pnei6
n
} — последовательность
нулей функции
Fn
в полу кольце
Cr
E
,r.
Заметим, что все слагаемые в левой части равенства неотрицательны, поэтому, принимая во внимание оценку (10), получим: X ρn rE 6ρn 6R - ρn r2 (R \ iiM + /iM dx + An(Rf).
R x
2
r
E
В условиях теоремы можно перейти к пределу при
п
^ 0+. Получим:
R sin 9n 6 Cf + A(R,f), rE 6ρn 6R rE
где A(R,
f
) = 2П
J
Im | ^
e--
- rERei-^ ln
F
(ге
ег6
)
^d9
= O(1) щ>n
R
^ +w.
Положим теперь R0 = -R. Выбирая нули только из кольца
ге
6
рп
6
R0, из (11)
получим:
Е
r
E
6
ρ
n
6
R
0
sin
9n
ρn
(
2R0
$^+ [ ^(^ dx
2
R
0
x
2
r
E
.
2
R
0
R
0 2
R
0
R
0 0
Поскольку J ^Х2^ dx = J ... + J ... 6 J ^Х2^ dx + ^2r0 ■ rE rE R0 rE ции y(x), то оценка (12) эквивалентна оценке ввиду возрастания функ-
Е
r
E
6
ρ
n
6
R
0
sin
9n
ρn
Теперь заметим, что для произвольного положительного
е >
0 при достаточно больших
x
справедливо
^(cx)
6
ca^ +e^(x), (14)
где
c>
0.
Действительно, из (2) следует, что для всех t > to (е) выполняется неравенство t^^ < av + Е. поэтому cx cx P(t) dt J ^(ty dt 6 (a‘ + e) J 7’ xx а значит. In ‘(cx) Принимая во
6
(аф
+
e)
In
c.
откуда следует (14).
внимание оценку (14), из (13) получим:
Е rE 6ρn 6R
sin
6n ρ
n
R
2a
^
+e P^R
+
Г
pM
dx
R
x2
r
E
Ввиду оценок (7), (8), неравенство (15) эквивалентно неравенству
(
R
\
$RRL+J дУ
dx
)
• (16)
r
E
В силу произвольности выбора точки eiT0 из множества
E
С T и учитывая лемму 2, делаем вывод о справедливости оценки (3). Необходимость доказана.
Перейдем к доказательству обратного утверждения.
Пусть {zn}+=1 — произвольная последовательность точек из D, удовлетворяющая условию (3), а^
/
Z+,
av
> 1. Докажем, что можно построить функцию
g Е H^E)
нули которой совпадают с точками последовательности {zn}+E}.
Как и при доказательстве необходимости, отобразим единичный круг на верхнюю полуплоскость с помощью функции w =
i
e
iT.
0
-
z
. Точки последовательности {zn} € D
e
iτ
0
отобразятся соответсвенно на точки последовательности {pnei6n}
Е C+, рпегвп = i
e"T°0
' z"
удовлетворяющие, ввиду леммы 1, оценке (15).
Применяя правило Лопиталя, легко убедиться в справедливости оценки: R
[ eEl
dx
6
c^R
J x2 R rE .
Поэтому неравенство (3) для
E =
{eiT0} можно переписать в виде:
Е
(1 -|z
n
|2)
6
C
R
6
|
e
iT
0
-z
n
|
6
2
p(R R В силу леммы 1 неравенство (17) эквивалентно (9).
По теореме Д, если последовательность точек из верхней полуплоскости {pnei6n} удовлетворяет условию (9) при
а^
> 1, то можно пост роить функцию g(w) €
H
(C+) такую,
что
ln
|
g(w)
| 6
p(
|
w
|
).
пули которой совпадают с последовательностью
{pnег6п
}.
Рассмотрим функцию
G
(
z
) =
g
(i
e
iT
0
-
Z
У
Оновидно.
G
(
z
)
€ H
(D
).
Бо.те(' того.
G € Hv(Ey
Нули (руиктпш
G
совпадают с поелелователвпоствю
{zn
}.
zn
=
iP
n
e^
+1
ii
выполняется
оценка (17).
Справедливость пункта б) устанавливается аналогичным образом. Достаточность
доказана. B
Для удобства изложения докажем теперь теорему 3. Введем дополнительные обозначения. Для любого
в
> -1 символом ne(z,
Zk
) будем обозначать бесконечное произведение М. М. Джрбашяна с нулями в точках последовательности {zk}+=1 (см. [1]):
+
^
π e(z,Zk)= 1 - - exp(-Ue (z,Zk)), z k=1 х k где
Ue (z,Zk
) =
2(в + 1) π π // -π
(1
-
p2)
ln
|
1
-
PeLl
(1
-
zpe-«)в
+
2
d6pdP'
Как установлено в [1], произведение ne
(z, Zk
) сходится абсолют но и равномерно в D тогда и только тогда, когда сходится ряд
+
^
£(1
-|
zk
|
)в+2< +ю.
k
=1
C ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3. Фиксируем То € R. Проведем доказательство для
случая
E
= {eiT0}.
Отобразим, как и выше, единичный круг D на верхнюю полуплоскость С+ с помощью
функции
w =
i
e
iT
0
+z
. Точки после,довательпости
{zn
} € D.
{zn
}
=
Zf
отобразятся
соответственно на точки последовательности
{pnet6n
} € C+,
pne6
=
ierx+zn-
e 0 -zn
Пусть s(p) = P snnn Тогда для .tiобой функции ф € C(1)(0, +го) справедливо равенство: ψ rE <ρn 6R ρn
sin
9n
ρn
R =/ ф rE Следовательно,
I
(R) = s(R)ф
R
() + /
Ф
R rE x
1 С W s(x)
dx.
x2
Но
ф*
(X) > 0, поэтому, учитывая, что s(x) 6 ^(x по теореме Д, получаем:
I
(
R
) 6
R ^(R) 1 ^ФЫ+Уф0 rE x
£1x1
dx.
x3
В условиях теоремы
I
(R) ограничено, значит, сходится ряд
ψ rE <ρn 6R
ρ
n
sin
9n
----- < +
то
.
ρ
n
Но (18) ввиду леммы 1 эквивалентно (5). Перейдем к доказательству обратного утверждения этой теоремы. Не ограничивая общности, можно полагать, что То = 0. Разобьем полуинтервал [0,1) на полузамкнутые интервалы Ak = [1 - ^k, 1 - 2к++т) ■ k = 0,1, 2,... Построим поеледователыюсть {rk} следующим образом: rk € Ak. т. е. 1 - ^k 6 rk < 1 - 2k+1- k = 0,1, 2,.... причем кратность rk равна [^(2k)]. где [a] — пела,я часть a Е R. Докажем. что если R ' s Д0 (1) ^(x) dx = +то. rE x x то ряд (5) расходится. Обозначим ^k полузамнутьш интервал [2k, 2k+1), k = 0,1, 2,...
Тогда [1, +w) =
U
+=o ^k-
Дтя любого
p >
1 справедливо:
2
P
p-
1
6
X
k
=0
^(2k+1)
2k
1 1
2
k
+1
\ f
^(t)
if (
1 \ [ T(t)
if
7 1 A 1
) dt =
52
да-E (t)dt =
52
—~E (7) ^2dt
7 k=< V 7 k=0 2k
2k+l г „ /1X1, p - ^(2k+1) ( J x\ , 7 1 \ E dt = 2 X —— IE — E t t2 ' v 2k+1 2k2k 2kk p-1 mZok+1 6 2 X Л 1 ), 2k+1
k
=0
ввиду того, что Д (^k+r) > 0.
k
= 0,1, 2,... ,p — 1.
Применяя оценку (14), окончательно получим:
2
p
/ ^ Е t
p-
1
dt 6 cϕ k=0
T(2k)
2k
Ei . Е 2k Так как интеграл в левой части неравенства стремится к бесконечности при p ^ +то, то расходится ряд
+
s
X
k
=0
T(2k)
2k
ψ 2k = +то.
Но ряды (5) и (19) — равнорасходящиеся при указанном выборе последовательности
{zk
}, следовательно, ряд (5) расходится.
Функцию g(z) будем строить в виде бесконечного произведения М. М. Джрбашяна ne (z,
Zk
) с нулями
Zk
= rk,
k
= 1, 2,..., г де
{rk
} — построенная вышеуказанным образом последовательность.
Покажем, что в условиях теоремы произведение ne(z,
rk
) сходится при всех в > а^—2. Рассмотрим ряд
+ ^ ■ \ £(1 — |Zk|)e+2 = £ £ (1 - rm)e+2nm 6£ 2ДЦ-. k=1 k>1 rm GAkk +^
X
(1 — |zk|)e+2 6
X
2-k«e+2
)
-
(
ar
+
Г
))
.
k
=1
k
=1
Очевидно, ряд сходится при всех в > а^ — 2, 0
< Е < в
+ 2 — а^. Из сходимости ряда Е+5(1 — |zk|)e+2 следует абсолютная и равномерная сходимость бесконечного произведения ne
(z,zk
)-
Теперь докажем, что пв
(z,rk
) Е
H^(E)
Используем известную оценку произведения М. Джрбашяна (см. [4]):
i
s /1 — iz,.i \в+2 1пЬв <z.zk)|6 cm k
E)
(irrrkzi)
. Ясно, что
+
^
In |пв(z,rk)| 6 с(в) X k=1 в+2
1
-
rk
\
|
1
-
Г
к
z
|
= С(в) X X nm V к>1 rm E^k Х
|
1
- - rm
r
m
z
|
в+2
In
|
Пв(z,rk)
| 6
c(e)
X
2к
(
в
+2) |
1
-
rkz
|
e
+2
■ (20)
Пусть 2^+1
6
|1 — z| < ^П, г де n — фиксированное натуральное число. Разобьем ряд на части:
i — Е k>1
ХХ_
1
2к
(в+2) |
1
—
rk
z
|e+
2
n
—
1
= D-) + k=1 ф(2п) 1
2n(e+2)
|
1
—
rnz|в+2
^(2n+1) 1
+ 2
(п+1)(в+2) |
1
—
rn+1z
|e+
2
+
^
+ E (...) k=n+2
— I
1
+ (I
n
+ I
n+1
) + I
2
.
Рассмотрим сумму
I1.
Оцепим снизу |
1
—
rkz|
щэн
1
6
k
6
n
—
1:
|
1 —
rkz|
— |(1 —
rk
) +
rk
(1 — z)|
>
(1 —
rk
) —
|
1 — z| > (1 —
rk
) —
—yk
> 2
k+2
•
С учетом этой оценки получаем:
n
—
1
k n
—
1
Ь =
X __1____ < 22(в+2) Xf2k)
11
k=
2
k(e+2) |
1
—
rk
z
|e+2 6
2
k=
ф(2 ).
n
—
1
n
—
1
Ho
£
y(2k)
6
2
£
k
=1
k
=1
'
ло
R
^j-d dt,
поэтому справедлива оценка
2
k
2
n
X
,(2
k
)
6
2 /
^ф dt.
k=1
У ^
(j)
Покажем, что J yddt ~ ay v(y) пРи У ^ +^, 0 < аф < +то. Воспользуемся правилом 1 Лопиталя y R ^^ dt, . 1 У(У) lim lim, ум+^ ^(y) ум+^ уф (y)
поэтому заключаем, что I
1 6
с^,в
ф(2п)•
Рассмотрим
I2.
Оцепим снизу |
1
—
rk
z
| nj
hi
k > n
+ 2:
|1 — rkz| — |(1 — z) + z(1 — rk)| > |1 — z| — (1 — rk) > |1 — z| — > |1 — Z| > 2n+2 22 С учетом этой оценки получаем 2k+1
I
2 6
X
28+)
2(
"
+2)1в+2)
6
2(
”+
2)
<
в
+
2)
X /
Л+3 dt
6
2(п+2)(в+2) [ ф
+3
dt.
k>n+2 k>n+2 2k
Покажем, что
j ^
e+L
dt
^
1_—
.
^
e
x
)
при x ^ +то. Снова воспользуемся правилом
X
^ "
Лопиталя для вычисления предела lim
'
x
R te+3 dt x *(x)
x
e
+ 2
- *(x)
Х
в
+3
lim ------------------=—- хм+^ (x*0(х)-(в+2Мх))хв+1
х
2(
в
+2)
-
X
>
-
х
x*
0(x)
*
(x)
- (в + 2) (в + 2) -
а* ’
поскольку
в + 2 оценить сумму
>
а*.
Поэтому за!слючаем. что
I2
6
с
*Д
2п+2)
6
c
*
^(2n).
Осталось
I
n
=
Д2П)
+ In+1 2
п(в+2)
|1
-
r
n
Z|e+2 +
^(2n+1)
2
(п+1)(в+2)
|1
-
r
n+i
z|e+2 ‘
Поскольку
(1
—
rn)
6 |
1
—
rnz
| при всех
z Е
D.
rn Е
(0,1).
n
= 1,2,....
и с учетом
неравенства (14), получим
In
+ In
+1 6
y(2n) + Д2п+1) = c*^(2n). Объединяя оценки для I
i.
Д.
In
+
I
n+1. п'з (20) получаем:
In |ne(z,rk)| 6 C(^>(2n), t. e.
In |n
e
(z,r
k
)|
6
C
(y>
11 — z|
Таким образом, ne(z,rk) Е
H*(E
).
В силу произвольности выбора То и с учетом леммы 2, делаем вывод о справедливости теоремы для общего случая, т. е. для
E
=
{eiTk
}m—1 Е T. Теорема 3 доказана
полностью. B
Приступим к доказательству теоремы 2.
C ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
2.
Сначала, заметим, что если
j+^
yxx-
dx
< +то. то
^(R)
^ 0,
R
^ +то.
R Импликация 2) ^ 1) сразу следует из оценок (3) и (21). Импликация 1) ^ 2) непосредственно следует из доказательства второй части теоремы 3. B Авторы статьи благодарят рецензента, профессора. Б. Н. Хабибуллина, обратившего их внимание па. недавние результаты, полученные в работах [8-11].
Список литературы О характеризации корневых множеств одного весового класса аналитических в круге функций
- Джрбашян M. M. К проблеме представимости аналитических функций//Сообщ. Института математики и механики АН Арм. ССР.-1948.-№ 2.-C. 3-40.
- Shapiro H. S., Shields A. L. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces//Math. Z.-1962.-№ 80.-C. 217-229.
- Seip K. Interpolating and sampling in spaces of analytic functions.-Providence (R.I.): Amer. Math. Soc., 2004.-183 p.
- Djrbashian A. E., Shamoyan F. A. Topics in the Theory of $A^p_{\alpha$ Spaces.-Leipzig: Teubner-Texte zur Math., 1988.-105 р.
- Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характеризация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста//Изв. АН Арм. ССР. Сер. Математика.-1978.-Т. 13, № 5-6.-C. 405-422.
- Шамоян Ф. А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи его границы//Изв. АН Арм. ССР. Сер. Математика-1983.-Т. 18, № 1.-C. 215-228.
- Borichev A., Golinskii L., Kupin S. A Blaschke-type condition and its application to complex Jacobi matrices//Bulletin of the London Mathematical Society.-2009.-Vol. 41.-P. 117-123.
- Golinskii L., Kupin S. A Blaschke-type condition for analytic functions on finitely connected domains. Applications to complex perturbations of a finite-band selfadjoint operator//J. Math. Anal. Appl.-2012.-Vol. 389, № 2.-P. 705-712.
- Favorov S., Golinskii L. Blaschke-Type Conditions for Analytic and Subharmonic Functions in the Unit Disk: Local Analogs and Inverse Problems//Computational Methods and Func. Theory.-2012.-Vol. 12.-P. 151-166.
- Favorov S., Golinskii L. Blaschke-type conditions in unbounded domains, generalized convexity and applications in perturbation theory.-arXiv:1204.4283.
- Favorov S., Radchenko L. On Analytic and Subharmonic Functions in Unit Disc Growing Near a Part of the Boundary//Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom.-2013.-Vol. 9, № 3.-P. 304-315.
- Shamoyan F. A. On some properties of zero sets of analytic functions with given majorant//Theory functions and applications. Collections of works dedicates to the memory of M. M. Djrbashian.-Yerevan: Luys Publishing House, 1995.-P. 169-172.
- Шамоян Ф. А. О нулях аналитических в круге функций с заданной мажорантой вблизи его границы//Матем. заметки.-2009.-Vol. 85, № 2.-C. 300-312.
- Hayman W. K., Korenblum B. A critical growth rate for functions regular in a disk//Michigan Math. J.-1980.-Vol. 27.-P. 21-30.
- Быков С. В. Факторизационные представления и свойства корневых множеств весовых классов аналитических функций: Дисс.\ldots канд. физ.-мат. наук.-Брянск: БГУ, 2010.-130 с.
- Титчмарш Е. Теория функций.-М.: Наука, 1980.-480 с.