О характеризации корневых множеств одного весового класса аналитических в круге функций

Пусть D — единичный круг на комплексной плоскости. T — его г]мшща. H (D) — мно жество всех аналитических в D функций, Zf — множество нулей тождественно отличной от нуля функции f Е H ( D ), E = {e^tTk }//₍1 — m точек на единичной окружности. Обо значим p(z, E ) = dist(z, E ) — расстояние от щэонзвольпой тонки z Е D до миожества. E. Рассмотрим класс

H^(E) = |f Е H(D) : ln |f (z) | 6 cf ^ (-A—\ p(z, E)/ z∈D

где ^ — монотонно возрастающая положительная функция на. R+.

Здесь и в дальнейшем, если не оговорено иное, мы будем обозначать через C,c,ci , • • •, cn(a, в, • • •) положительные конетакты. зависящие от а, в, • • •

В том случае, когда E состоит из одной тонки, ^(t) = tq. 0 < q <  1. полное описа ние корневых множеств класса ИДЕ ) было получено в работах М. М. Джрбашяна [1], X. Шапиро и А. Шилдса [2]. В бесконечном случае, когда E = T, ^(t) = ln t результат окончательного характера, был получен К. Сейпом (см. [3]). Полное описание корневых множеств и факторизационное представление класса H^(E ), E = T, в случае более общих весов получено еще в 80-х гг. Ф. А. Шамояном (см. [4-6]). Приведем некоторые результаты из этих работ.

Пусть ^(x) — монотонно возрастающаяi положительная функция. у Е C ⁽¹⁾(1, +го).

такая, что

lim

<Дх)х   Q

^(x) =

y0(x)x lim ———- = аф, х ,-х ^(x)

ii 1 <  вф 6 а_ф < +то.

Справедливы следующие утверждения:

Теорема А. Пусть Ak,i = {1 - ^ 6 |z| < 1 - ^, nl 6 arg z < ^п(2⁺⁺¹1} — разбиение

Уитни единичного круга, k = 0,1, 2,..., l = —2k,..., 2k — 1, Z = {zk}+=1 — последова тельность точек IB D. nki — число точек {zk} в прямоутолышке Ay. Тогда следующие утверждения равносильны:

• 1.    Z = Zf л.тя f € H^(T).

• 2.    n_k,l 6 cy(2^k ), k = 1, 2,... , l = —2^k,..., 2^k — 1.

Теорема Б. Пусть ^(x) — монотонно убывающая функция на полуоси (0, +то), такая что lim ^(x) = 0, y(x) — монотонно возрастающая положительная функция, у € C⁽¹⁾(1, +то). удовлетворяющая условиям (1). Тогда следующие утверждения равносильны:

• 1.    Для произвольной последовательности {zk}+“ = Zf, f € H^(T), сходится ряд P+^ ^ (1-b) < +

• 2.    f+^ Wx) У(x) dx < +ro.

В дальнейшем для случая, когда E С T — конечное множество точек на единичной окружности, в работе [7] было установлено следующее утверждение:

Теорема В. Если f € H^(E). y(t) = tq. q > 0. {zk}+= - последовательность нулей функции f. то сходится ряд:

+^

£(p(zk,E))(q-1+e)+ (1 — |zk|) < +Ю, k=1

где е — сколь угодно малое положительное число. x₊ = max(x, 0).

В недавних работах Л. Голинского, С. Купина, С. Фаворова, Л. Радченко последний результат был обобщен в различных направлениях (см. [8-11]). Подобные результаты имеют ряд важных приложений в теории операторов, теории аппроксимации и других разделах комплексного и функционального анализа (см. там же). В частности, в работе [11], авторы получили аналог необходимого условия в теореме Б для класса H^(E). Однако полного описания корневых множеств класса H^(E) до сих пор не было получено.

Нами для случая конечного множества E = {eiTk }k=-1 С T установлены следующие результаты:

Теорема 1. Пусть у — монотонно возрастающая положптелвпая функция. у € C(1)(1, +то). такая, что y0(x)x xl""x y(x)      а^.

Если f € H^(E) и Zf = {zn}+=1, ТО для любого R > 1 справедлива оценка

R

X (1 -м2) 6 Cf №+ № 4(3)

RR 6p(zn,E)62                     V           1

Обратно,

• а)    если а^ € z₊, {zn}+=1 — произвольная последовательность точек из D, удовлетворяющая условию (3).

• б)    если a^ Е Z + \ {1}, {zn} +=1 — произвольная последовательность точек из D, удовлетворяющая наряду с условием (3) условию

  sup 0 6k6m- 1

  
  

  Е

  R 6^p(zn ^Е)62

  
  

  ё^Тк + zn\ ^av i

  e^iτk - z_n

  
  

  6 M,

  
  

  M> 0,

  
  

причем xαϕ sup —— < +w, x>1 P(x)

можно построить функцию g Е НДЕ) нули которой совпадают с точками последовательности {zn Щ.

Отметим, что требование гладкости функции у на (1, +то) можно заменить на условие у Е C ⁽¹⁾(a, +то). где a — произвольное достаточно большое положительное число.

Теорема 2. Пусть у — монотонно возрастающая положительная функция. у Е

C ⁽¹⁾(1, +то). Следующие утверждения равносильны:

• 1.    Для любой носледовательности {zn^ = Zf, f Е ПоТ ), выполняется условие Бляшке, т. е.

• 2.    Функция у удовлетворяет условию

■ ^

X(1 - |zn|) < +w, n=1

+ ^

Г ^(x) J dx < +то.

J X2

Теорема 3. Пусть у — монотонно возрастающая положительная функция, у Е C(1)(1, +то), такая, что av > 1, f Е HR(E), {zn}+=1 = Zf, ф(x) ^ 0, x ^ 0+, ф Е C(1)(0, +w). ii при этом lim ф

R ——+^o

R

y(R) R

< +to.

Тогда, если R ф' (X) Rx dx < +w. to 1

+ ^

X ф(p(zk ,E))(1 - |zk|) < +ro.

k =1

Обратно, если J+^ ф' (¹) R^x- dx = +to, to можно в явном виде построить функцию g Е H_r(E ), g ^ 0, такую что g(z_k ) = 0, k = 1, 2,..., для которой ряд (5) расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если в формулировке теоремы 3 положить 0 < a_v<  1, то ряд (5) будет сходиться даже в том случае, когда ф(x) > 6 >  0, x Е R+ (см., например, [4]). Отметим также, что метод доказательства теорем 1-3 существенно отличается от методов, используемых в статьях [7-11], и впервые был применен первым автором в работах [12, 13].

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Интересно сравнить результат теоремы 2 для случая нулей, расположенных на радиусе (0,1) единичного круга, со следующей теоремой Хеймана — Коренблюма (см. [14]).

Теорема Г. Пусть p — монотонно возрастающая положительная фупкппя па R₊. Следующие утверждения равносильны:

• 1.    Для любой поеледовательности { r n}+ Д 1 = Zf, f Е НДТ ), r n > 0, n E N, выполняется условие Бляшке:

• 2.    Функция p удовлетворяет условию

+ ^

(1 - rn) < +ГО, n=1

+ ^

dx <  +to.

Из сходимости интеграла (6) следует сходимость интеграла (4), но обратное неверно.

На это указывает пример функции p(x) = (_lnXx) 2 , x > 1-

Доказательство основных результатов опирается на следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть w = pe

,i6 = i e ^iT0 +z

e iτ ₀

- z

— конформное отображение единичного круга.

на верхнюю полуплоскость С₊, г/ щ 0 6 То 6 2п. Тогда при всех 0 < 6 < п, 1 6 p <  + то справедливы оценки:

sin 6

6 1 -| z |2 6 44^,

ρ

1 , .

- 6 | e^{iT0 ρ}

-

ρ z\ 6 2. ρ

C Посюшьку w = pe i⁶

_ ■ eiT0+z i eiT0— z'

то z = e

:iT0 7-W- 0TK^

1 -| z | ²

4p sin 6

1 + 2p sin 6 + p²

4 sin 6         1

p 7 1 + 2 sin 6

_ρ 2 _ρ

.

Учитывая, что 1 6 p <  + ^

ii sin 6 >  0. получаем:

откуда, снова учитывая, что 1 6 p <  +то и sin 6 > 0, получим неравенство (8). B Следующее утверждение непосредственно следует из определения класса Н_ф(Е ): Лемма 2. Класс H_V(E) совпадает с классом (функций

{ / m — 1

f Е H(D) : ln |f (z)| 6 cf £ ^ (  -----— k=0 V\z — eiTk | где p — возрастаютиая положительная (функция, p E C(1)(1, +ro).

Будем исследовать структуру корневых множеств класса H*.

При доказательстве основного результата существенную роль играет следующее утверждение, необходимая часть которого установлена в работе [13], а достаточная часть — в работе [15]:

Теорема Д. Пусть p(t) — монотонно возрастающая положительная функция на R₊. р⁶ C ^(1)(R+) Ю > ¹ , _ _

Если последовательность {pne⁶n }, p n > po > 0, точек из верхней полуплоскости C+ является корневым множеством некоторой ненулевой функции из класса HHC ) = {f 6 H (C+) : In |f (w)| 6 cp(|w|)}. to

E

O

o 6 R

sin 6n ρ n

6 ^c^R , R

| 1 — z | =

| 1 + p sin 6 — ip cos 6 \

2         1

p           i 2 sin 6 । -I v p2 + p +

™ ^C> ⁰

Обратно, если {p_ne ⁶n }, pn > ро > 0 — произвольная последовательность точек из верхней полуплоскости С₊. удовлетворяйиная условию (9) II при а_ф 6 Z₊ условиям:

Е

O

o

n 6 R

ρ _n ^αϕ e iα ϕ θ n

6 M,

0 < R <  + то ,

xαϕ sup < +то, x>1 Р(х)

то можно построить функцию g 6 H^°(C+), нули которой совпадают с последовательностью {pne^n }.

Перейдем к доказательству основных результатов статьи.

C Доказательство теорены 1. Фиксируем e^iT0 6 E. Введем обозначение: l_E = min₀ 6 k,j 6 _n-1 le^iTk — e^iTj|, k = j. Очевидно, что l_E > 0. Отобразим единичный круг D на верхнюю полуплоскость C+ с помощью функции w = i е"0-Z.

Обозначим через X& = iлпл+щж- т. е. е^гТк = е^гт0 xk—i. x_k 6 R. ^k      e ^iT0 -e^lTk                        Xk + i ^k

Выясним, какие условия накладываются на x_k.

| x k | = 2

Xk + i — i

₂ ^{1 Xk +}i   _{1 =}

6    2   +

²     + 1 6 -2 + 1.

| e^{iτ 0} - e^iτk |            lE

Таким образом, все точки Xk находятся внутри полукруга

C+ := /w 6 C₊ : | w | 6   + 1

.

E                     lE

Писть rE = ² (lE ^{+ 1}

He ограничивая общности, будем считать, что множество E состоит из одной точки, т. е. E = {e^iT0}.

Рассмотрим функцию F(w) = f ^eiT0 iW—1 ^, w 6 C+, аналитическую в верхней полуплоскости. Так как f 6 H*. то ϕ ln |F(w)| 6 Cf р

| w + i|

cfϕ

| w | + 1

V 2 )

⁶ cf yOwD,

при всех w : | w | >  1.

Обозначим {p_ne^t6n }+Л — последовательность нулей функции F. Пусть далее F_n (w) = F(w + in)- П >  0- Очови,дно. что Fn — аналитическая в полуплоскости Im w >  —p. Применим к функции Fn(w) формулу Карлемана в полукольце Cr E R : = {w G C+ : ге 6 | w | 6 R} (см., например. [1G. c. 139]):

E r E 6 ρ e n 6 R

ρn

-

ρn

R2

sin 9_n

π

= 4 [ ln F(Rei⁶)| πR

sin 9 d9

+-       -

+ 2n         x2   R2

r E 6 | x | 6 R

In F(x)|F(-x)| dx + An(R, f),

где An(R,f ) = 2П Jo Im{ (e—- - rETRi^-) ln Fn (ге ei⁶ )} d9. {pneⁱ⁶ n } — последовательность нулей функции Fn в полу кольце Cr E ,r.

Заметим, что все слагаемые в левой части равенства неотрицательны, поэтому, принимая во внимание оценку (10), получим:

X

ρn rE 6ρn 6R

-

ρn r2

(R           \ iiM + /iM dx + An(Rf).

R           x ²

r E

В условиях теоремы можно перейти к пределу при п ^ 0+. Получим:

R sin 9n 6 Cf

+ A(R,f),

rE 6ρn 6R rE

где A(R, f ) = 2П J Im | ^ e^-- - rERei^-^ ln F (ге е^г6 ) ^d9 = O(1) щ>n R ^ +w.

Положим теперь R0 = -R. Выбирая нули только из кольца ге 6 рп 6 R0, из (11)

получим:

Е r E 6 ρ n 6 R ⁰

sin 9_n

ρn

( 2R0

$^+ [ ^(^ dx

2 R ⁰          x ²

r E

.

2 R ⁰                 R ⁰         2 R ⁰           R ⁰                     ₀

Поскольку J ^Х2^ dx = J ... + J ... 6 J ^Х2^ dx + ^2r0 ■ rE             rE        R0         rE ции y(x), то оценка (12) эквивалентна оценке

ввиду возрастания функ-

Е r E 6 ρ n 6 R ⁰

sin 9_n

ρn

Теперь заметим, что для произвольного положительного е >  0 при достаточно больших x справедливо

^(cx) 6 c^a^ ^+e^(x),                                    (14)

где c> 0.

Действительно, из (2) следует, что для всех t > to (е) выполняется неравенство t^^ < av + Е. поэтому cx                         cx

P(t)                   dt

J ^(ty dt 6 (a‘ + e) J 7’ xx а значит. In ‘(cx) Принимая во

6 (а_ф + e) In c. откуда следует (14). внимание оценку (14), из (13) получим:

Е rE 6ρn 6R

sin 6n ρ n

R

2^a ^ ^+e P^R + Г pM dx

R       x²

r E

Ввиду оценок (7), (8), неравенство (15) эквивалентно неравенству

( R \

^$RR^L+J дУ dx ) •           (16)

r E

В силу произвольности выбора точки e^iT0 из множества E С T и учитывая лемму 2, делаем вывод о справедливости оценки (3). Необходимость доказана.

Перейдем к доказательству обратного утверждения.

Пусть {zn}+=1 — произвольная последовательность точек из D, удовлетворяющая условию (3), а^ / Z₊, a_v > 1. Докажем, что можно построить функцию g Е H^E) нули которой совпадают с точками последовательности {z_n}+E}.

Как и при доказательстве необходимости, отобразим единичный круг на верхнюю полуплоскость с помощью функции w = i e _iT. 0 - z . Точки последовательности {zn} € D

e iτ ₀

отобразятся соответсвенно на точки последовательности {p_neⁱ⁶n} Е C₊, р_пе^гвп = i ^e"_T°0 ' z" удовлетворяющие, ввиду леммы 1, оценке (15).

Применяя правило Лопиталя, легко убедиться в справедливости оценки:

R

[ eEl dx 6 c^R

J x2         R rE

.

Поэтому неравенство (3) для E = {e^iT0} можно переписать в виде:

Е     (1 -|z n |²) 6 C

R 6 | e ^iT 0 -z n | 6 2

p(R

R

В силу леммы 1 неравенство (17) эквивалентно (9).

По теореме Д, если последовательность точек из верхней полуплоскости {p_neⁱ⁶n} удовлетворяет условию (9) при а^ > 1, то можно пост роить функцию g(w) € H (C+) такую, что ln | g(w) | 6 p( | w | ). пули которой совпадают с последовательностью {pnе^г6п }. Рассмотрим функцию G ( z ) = g (i e i^T 0 - Z У Оновидно. G ( z ) € H (D ). Бо.те(' того. G € H_v(Ey Нули (руиктпш G совпадают с поелелователвпоствю {zn }. zn = iP n e^ +1 ii выполняется оценка (17).

Справедливость пункта б) устанавливается аналогичным образом. Достаточность доказана. B

Для удобства изложения докажем теперь теорему 3. Введем дополнительные обозначения. Для любого в > -1 символом ne(z, Zk ) будем обозначать бесконечное произведение М. М. Джрбашяна с нулями в точках последовательности {zk}+=1 (см. [1]):

+ ^

π

e(z,Zk)=     1 - - exp(-Ue (z,Zk)),

z k=1 х     k где

Ue (z,Zk ) =

2(в + 1) π

π

//

-π

(1 - p²) ln | 1 - PeLl

(1 - zpe-«)в + ²    d^6pd^P'

Как установлено в [1], произведение ne (z, Zk ) сходится абсолют но и равномерно в D тогда и только тогда, когда сходится ряд

+ ^

£(1 -| zk | )^в+2< +_ю.

k =1

C ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3. Фиксируем То € R. Проведем доказательство для случая E = {e^iT0}.

Отобразим, как и выше, единичный круг D на верхнюю полуплоскость С₊ с помощью функции w = i e i^T 0 +z . Точки после,довательпости {zn } € D. {zn } = Zf отобразятся соответственно на точки последовательности {pne^t6n } € C₊, pne⁶ = ierx+zn- e 0 -z_n

Пусть s(p) = P   snnn Тогда для .tiобой функции ф € C(1)(0, +го) справедливо равенство:

ψ rE <ρn 6R

ρn

sin 9n ρn

R

=/ ф rE

Следовательно,

I (R) = s(R)ф

R

() + / Ф

R rE

x

1 С W s(x) dx.

x2

Но ф* (X) > 0, поэтому, учитывая, что s(x) 6 ^(x по теореме Д, получаем:

I ( R ) 6

R

^(R) 1

^ФЫ+Уф0

rE

x

£1x1 dx.

x3

В условиях теоремы I (R) ограничено, значит, сходится ряд

ψ rE <ρn 6R

ρ n

sin 9n

----- < + то .

ρ n

Но (18) ввиду леммы 1 эквивалентно (5).

Перейдем к доказательству обратного утверждения этой теоремы. Не ограничивая общности, можно полагать, что То = 0. Разобьем полуинтервал [0,1) на полузамкнутые интервалы Ak = [1 - ^k, 1 - 2к++т) ■ k = 0,1, 2,... Построим поеледователыюсть {rk} следующим образом: rk € Ak. т. е. 1 - ^k 6 rk < 1 - 2k+1- k = 0,1, 2,.... причем кратность rk равна [^(2k)]. где [a] — пела,я часть a Е R. Докажем. что если R ' s Д0 (1) ^(x) dx = +то. rE       x x то ряд (5) расходится. Обозначим ^k полузамнутьш интервал [2k, 2k+1), k = 0,1, 2,...

Тогда [1, +w) = U ⁺=o ^k-

Дтя любого p >  1 справедливо:

2 P

p- 1

• 6    X

k =0

^(2^k+1) 2^k

1                                   1 2 k +1

\             f ^(t) if ( 1 \              [ T(t) if 7 1 A 1

) dt = 52 да-^E (t)^dt = 52     ^—~^E (7) ^2^dt

• 7     k=<        V 7 k=0 2k

2k+l г „ /1X1,     p - ^(2k+1) ( J x\ , 7 1 \

E dt = 2 X —— IE — E t t2        ' v 2k+1         2k2k

2kk p-1 mZok+1

6 2 X Л 1 ),

2k+1

k =0

ввиду того, что Д (^k+r) > 0. k = 0,1, 2,... ,p — 1.

Применяя оценку (14), окончательно получим:

2 ^p

/ ^ Е

t

p- 1

dt 6 cϕ k=0

T(2k) 2k

Ei .

Е 2k

Так как интеграл в левой части неравенства стремится к бесконечности при p ^ +то, то расходится ряд

+ s

X k =0

T(2k) 2k

ψ

2k

= +то.

Но ряды (5) и (19) — равнорасходящиеся при указанном выборе последовательности {zk }, следовательно, ряд (5) расходится.

Функцию g(z) будем строить в виде бесконечного произведения М. М. Джрбашяна ne (z, Zk ) с нулями Zk = rk, k = 1, 2,..., г де {rk } — построенная вышеуказанным образом последовательность.

Покажем, что в условиях теоремы произведение ne(z, rk ) сходится при всех в > а^—2. Рассмотрим ряд

+ ^                                                              ■ \

£(1 — |Zk|)e+2 = £ £ (1 - rm)e+2nm 6£ 2ДЦ-.

k=1                 k>1 rm GAkk

+^

X (1 — |z_k|)^e+2 6 X 2^-k«^e+2 ) ^- ( ar + Г )) .

k =1

k =1

Очевидно, ряд сходится при всех в > а^ — 2, 0 < Е < в + 2 — а^. Из сходимости ряда Е+5(1 — |zk|)^e+2 следует абсолютная и равномерная сходимость бесконечного произведения ne (z,zk )-

Теперь докажем, что пв (z,rk ) Е H^(E) Используем известную оценку произведения М. Джрбашяна (см. [4]):

i s /1 — iz,.i \^в+2 1пЬв <^z.^zk^)|6 cm k E) (irrrkzi)

.

Ясно, что

+ ^

In |пв(z,rk)| 6 с(в) X k=1

в+2

1 - rk \

| 1 - Г к z |

= С(в) X X nm V к>1 rm E^k      Х

| 1

-

-

rm

r m z |

в+2

In | ^Пв(z,rk) | 6 c^(e) X 2к ( в +2) | 1 - rk_z | e +2 ■                       ⁽²⁰⁾

Пусть 2^+1 6 |1 — z| < ^П, г де n — фиксированное натуральное число. Разобьем ряд на части:

i — Е k>1

ХХ_ 1

2^к (в+2) | 1 — rk z |e+ ²

n — 1

= D-) + k=1

ф(2п)        1

2^n(e+2) | 1 — r_nz|^в+2

^(2n+1)         1

⁺ 2 (п+1)(в+2) | 1 — r_n+1z |e+ ²

+ ^

+ E (...)

k=n+2

— I 1 + ^(I n + I n+1 ) + I 2 .

Рассмотрим сумму I1. Оцепим снизу | 1 — rkz| щэн 1 6 k 6 n — 1:

| 1 ^— rk^{z| — |(1 —} rk ) ⁺ rk ^{(1 — z)|} >  ^{(1 —} rk ) ^— | 1 ^{— z|} > ^{(1 —} rk ) ^— —yk > 2 k+2 •

С учетом этой оценки получаем:

n — 1      _k                            n — 1

Ь ₌ X __¹____ < ₂2(в+2) ^X_f2k)

• ¹¹   k= 2 k(e+2) | 1 — r_k z |e+2 ^{6 2}       k= ^{ф(2 ).}

  n — 1             n — 1

  Ho £ y(2^k) 6 2 £

  k =1            k =1

  
  

' ло

R ^j-d dt, поэтому справедлива оценка

2 ^k

2 ⁿ

X ,(2 k ) 6 2 / ^ф dt.

k=1

У ^ _(j)

Покажем, что J yddt ~ ay v(y) пРи У ^ +^, 0 < аф < +то. Воспользуемся правилом 1

Лопиталя

y

R ^^ dt, .

1                      У(У)

lim                lim, ум+^ ^(y)    ум+^ уф (y)

поэтому заключаем, что I 1 6 с^,в ф(2^п)•

Рассмотрим I₂. Оцепим снизу | 1 — rk z | nj hi k > n + 2:

|1 — rkz| — |(1 — z) + z(1 — rk)| > |1 — z| — (1 — rk) > |1 — z| —       > |1 — Z| >

2n+2      22

С учетом этой оценки получаем

2k+1

I 2 6 X 28+) 2⁽ " ^+2)1в+2) 6 2⁽ ”+ ²⁾ < ^в + ²⁾ X / Л+3 dt 6 2^(п+2)(в+2) [ ф +3 dt.

k>n+2                                    k>n+2 2k

Покажем, что j ^ e+L dt ^     1_— . ^ e x ) при x ^ +то. Снова воспользуемся правилом

X                       ^ "

Лопиталя для вычисления предела lim

' ^x

R te+3 dt x

*(x)

x ^{e + 2}

-

*(x)

Х ^{в +3}

lim ------------------=—- хм+^ (x*0(х)-(в+2Мх))хв+1

_х 2( в +2)

-

X > - х x* ^0(x)

* ^(x)

- (в + 2)   ^{(в + 2)} - ^а*    ’

поскольку в + 2 оценить сумму

> а*. Поэтому за!слючаем. что I₂ 6 с *Д 2^п+2) 6 c * ^(2ⁿ). Осталось

I n

₌ Д2^П)

⁺ Iⁿ⁺¹    2 п(в+2) |1

-

r n Z|^{e+2 +}

^(2n+1)

2 (п+1)(в+2) |1

-

r n+i z|^e+2 ‘

Поскольку (1 — r_n) 6 | 1 — r_nz | при всех z Е D. rn Е (0,1). n = 1,2,.... и с учетом неравенства (14), получим In + In +1 6 y(2ⁿ) + Д2^п+1) = c*^(2ⁿ). Объединяя оценки для I i. Д. In + I n+1. п'з (20) получаем:

In |ne(z,rk)| 6 C(^>(2n), t. e.

In |n e (z,r k )| 6 C (y>

11 — z|

Таким образом, ne(z,rk) Е H*(E ).

В силу произвольности выбора То и с учетом леммы 2, делаем вывод о справедливости теоремы для общего случая, т. е. для E = {ei^Tk }m^—1 Е T. Теорема 3 доказана полностью. B

Приступим к доказательству теоремы 2.

C ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2. Сначала, заметим, что если j+^ yxx- dx < +то. то

^(R) ^ 0, R ^ +то.

R

Импликация 2) ^ 1) сразу следует из оценок (3) и (21).

Импликация 1) ^ 2) непосредственно следует из доказательства второй части теоремы 3. B

Авторы статьи благодарят рецензента, профессора. Б. Н. Хабибуллина, обратившего их внимание па. недавние результаты, полученные в работах [8-11].