О явлении взрыва решений задачи Коши-Дирихле для нелинейного уравнения Шредингера на отрезке

Объектом изучения настоящей работы является задача Коши для уравнения Шредингера

і^ = L n(t), t G (0,T );                                  (1)

n(+0) = n o ; n o G H = 7^ 2 ([ — т, т]).                           (2)

в которой n o — заданная функция из гильбертова пространства H = L2Q — т, тг]), n — искомое отображение промежутка [0, T ) при некотором T G (0, + то ] в пространство H , удовлетворяющее уравнению (1) и условию (2) в смысле определения 1 (см. ниже).

Нелинейный оператор уравнения (1) определим равенством

L n = A n + G n,                              (3)

где А — оператор Лапласа-Дирихле на отрезке [ — тг,тг], а оператор G задан равенством G n = f ( | n | ² )n.

Здесь функция f является достаточно гладкой вещественнозначной функцией вещественного аргумента.

В равенстве (3) A - оператор Лапласа-Дирихле на отрезке [—т, т]. Тогда оператор -Δ есть положительный самосопряженный оператор с дискретным спектром и—д = {4п2, п Е N}, областью определения которого служит пространство Соболева W2 о([—т, т]) классов функций, имеющих нулевой след в граничных точках отрезка [—т, тг]. Обозначим через (—А)2 квадратный корень из положительного оператора — А, тогда оператор (—А) 2 является положительным оператором со спектром у i = {'п, п Е N} и областью определения Н1 = W1 о([—т, т]), состоящей из элементов соболевского пространства W2([—т,т]), имеющих нулевой след в граничных точках отрезка [—т, т]. Через Н1 = D((—А)//2), I Е 0,1,... обозначим области определения 1-й степени оператора (—А)2.

Согласно теореме вложения Соболева (см. [1]), если I >  1, то тогда включение и Е С о ([ — т, т]) является следствием условия и Е Н ¹ , где С о ([ — т,т]) - банахово пространство непрерывных на отзезке [ — т, т] функций, имеющих нулевые значения на концах отрезка. Следовательно, пространство Н ² = D( А ) является областью определения нелинейного оператора L , ибо для всякого и Е Н ² выполняются условия А и Е Н и G u Е С о ([ — т,т]) С Н .

Через е

'^{/ д} , t >  0, обозначим полугруппу унитарных операторов, порождаемых в про-

-

странстве Н самосопряженным оператором - А .

Определение 1 . Функцию и будем называть Н ^ -решением задачи (1), (2), (3) (I Е {0} (J N ), если и Е С ([0, Т), Н ¹ ) и выполнено равенство

u(t) = е

-

t

^{ЙА и} " - V^-’W'-^{t е т} >• о

В статье установлены существование и единственность локального Н ^ -решения задачи Коши (1) - (2) для нелинейного уравнения Шредингера с начальным условием и о Е Н ¹ при произвольном I Е N . При р Е [0,4) устанавливается глобальная Н ¹ -разрешимость задачи Коши при произвольном и о Е Н 1 . При р >  4 получены условия на начальную функцию и о , достаточные для явления разрушения Н ' -решения задачи Коши на промежутке конечной длины.

Целью статьи является приведение аккуратного и подробного вывода аннонсированных результатов с проведением всех требуемых оценок. В дальнейшем планируется применить полученные оценки для изучения локальной и глобальной разрешимости и явления взрыва решений для нелинейного уравнения Шредингера, содержащего сдвиг пространственных или (и) временных аргументов (см. [2] и цитированную там литературу).

Интересно отметить качественное отличие явления разрушения решения уравнения Шредингера от явления разрушения решения уравнения теплопроводности: в случае нелинейного уравнения теплопроводности в d-мерном евклидовом пространстве отсутствуют глобальные решения задачи Коши уравнения теплопроводности при условии 0 < р <  | достаточной малости показателя нелинейности, тогда как при р >  ^ существуют нетривиальные глобальные решения задачи (см. [3, 4]). Для глобальной разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера в d-мерном евклидовом пространстве, как отмечено выше, значительную опасность представляют большие значения показателя нелинейности р. В работах [5—7] показано, что при 0 <  р <  | задача Коши имеет глобальное решение при произвольном начальном условии, а в случае р >  | существуют такие начальные условия, при которых задача Коши не имеет глобального решения.

Для доказательства теоремы о разрешимости задачи Коши и для классификации качественного поведения решений этой задачи потребуется рассмотреть следующие функционалы, заданные на банаховом пространстве Н ¹ при I = 1:

у

Ғ( | u | ² )]dж (здесь Ғ (у) = J /(s)ds), о

функционал энергии Е(и) = J [ 2 ||Vu| ² — [ -7Г,7Г ]

N (и) = ||и | у , У (и) = J" | ^ | ² | u | ² d$, J (и) = Im [ -7Г,7Г ]

J ( V u,x)udx. [ -7Г,7Г ]

В настоящей работе получены следующие четыре результата. Теорема 1 дает достаточные условия локальной разрешимости задачи Коши (1) – (2), теорема 2 устанавливает сохранение значения функционала энергии от значений Н 1 -решений на всем промежутке существования Н 1 -решения, теорема 3 - достаточные условия существования ее глобального решения, а теорема 4 – достаточные условия существования начальных данных, решение задачи Коши при которых локально существует, но проявляет свойство градиентного взрыва решения за конечное время.

1.    Теоремы о локальном существовании

Доказательство локального существования Н ^ -решения задачи Коши (1) - (2) в работах J. Ginibre, G. Velo. (см. [8]) и П.Е. Жидкова (см. [5]) основано на принципе сжимающих отображений для отображения пространства решений С ([ - Т, Т ],Н ¹ ) в себя, задаваемого оператором из правой части равенства (4). Для установления сжимаемости такого оператора важную роль играет непрерывность вложения пространства Н ^Z (Q) в пространство L _{p +}2 (^) или в пространство С ь (^) в случае d-мерной области Q. При d = 1 непрерывность вложения банахова пространства Н ¹ (Q) в банахово пространство С ь (Q) имеет место при всех I Е N . Тогда справедливо утверждение (см. [5]):

Теорема 1. Пусть р >  0. Тогда справедливо следующее утверждение:

(Lt): Для любого р >  0 существует число Т * = Т * (р) >  0 такое, что если n g Е Н ¹ и Н ^и о Ь я 1 <  Р, то задача Коши (1), (2), (4) имеет единственное Н ¹ -решение на отрезке [ - Т * ,Т * ].

Для доказательства теоремы 1 нам потребуются следующие леммы.

Лемма 1. Если f Е С 1 ([0, + то ), то из условия и Е Н ¹ следует, что f( | и | ² )и Е Н 1 , причем существует такое (зависящее от f) число С ( В и В н 1 ) > 0, что В f( | и | ² )и\\н 1 < С (Ын 1 ).

Действительно,

|| ^f( l ^u l ^{2 )u} fl H 1 = \ ^f(^{|и| 2 )иВ} Н ⁺ В Ux(^f( | " l ^{2 )n)} fl H <

< ll f ( l « l ² ) ll C ( В « В Н + В -^В Н ) + 2 || uf ‘ ( | « | ² )|^ в ^« В Н . UX                      UX

В силу теоремы вложения ЦиЦс < Сеть|и\н1, поэтому llf(|и|2)||с < sup     |f (t2)| tG [0,Cemb 11^11^1 ]

и ^llf ‘ ^(|и^{| 2 )||} с <  sup       ^lf ' (І ² ) | Н .

t G [0 ,C _e mb l » l _H1 ]

Лемма 2. Если и Е Ү т , то Ф и Е Ү т , причем существуют такие постоянные ^( В и В н ¹ , ІЫІн 1 ^,Т ) > ^{0 и} 5⁽1Ы1 н 1 , ІЫІН 1 ^,Т ) > ⁰, ^что В Ф и В у т <  ( В и о В н 1 + ^( В и В к _т )Т)е ^{В (| и |} ^т ^{) т} .

Действительно, В ^е — ^г* ^Л и ₀ В к _т = В и о В н 1 .

В силу равенства (5) функция и является решением линейного эволюционного уравнения Шредингера с ограниченным непрерывным зависящим от времени потенциалом f ( | и(і, Ol² ), поэтому В и(і) В н = В и 0 В н , t >  0.

Кроме того, в силу (5), справедливо равенство

t d-vtt') = e-it^^0 + f e-i(t-s}^[f (|u(s, ^|2)^-v(s) +

OX           OX Jox дd

+ f(|и(S, O^Ky-ti-GMs) + u(sH--иЫЫзЫз, t Е [-Т,Т].

OxOx

ПОСКОЛЬКУ В СИЛу теоремы вложения ||v|c([—T,T]) < Сеть(|^||н + || джv№) и ІЫІП = \по|н, то из (6) следует, что существуют такие зависящие от НздНн, ||u|yT и функции f постоянные А, В > 0, что t

| УуЧИн <  ( Н «о Н н 1 + АГ) + В [ | У^)| | н ds. ^v ^U                                                        ^v ^U

о

Потому в силу леммы Гронуолла

I ду№ И с (₁ - т,т₁,н 1 ) <  (ІЫІ н 1 + АСЫ н 1 ,Wk)Г)_с ^е < " "« І »ь І " І «г ^{) т} . ■

Лемма 3. Существуют такие зависящие от функции f и норм ||u||y_T, ||v|y_T постоянные a,b > 0, что из условия u,v Е Ү т следует неравенство ||Фu — Фv | y _т <  Ta ^ u — v | y _T е^ьт .

Действительно, для любых u,v ЕҮт t                                                                        t

Фu — Фv = У

e-i^ts^Af (|u(s) |2)(Фu(s) — Фv(s))ds + У e-i(t-s)A[f (|u(s)|2) — f (|v(s) |2)]Фv(s)ds, поэтому существуют такие постоянные a(f, |u|yT, |v|yT), b(f, |u|yT, ||v|yT), что т

| Фu — Фv | y _т <  aT | u — v | y _T + bУ | Фu — Фv |y_s ^ ds. о

Тогда согласно лемме Гронуолла

| Фu — Фv | y т <  a(f, Н^, IH^)T | u — vlk е^ь^>Ьт -И* т ^)т .

Выберем некоторое T >  0 и положим u 1 (t) = u o , t Е [ — T, T]. Исследуем последовательность итераций { u _n } со значениями в банаховом пространстве Ү т = С ([ — T,T],Н ¹ ), определяемую реккурентно равенствами u _n +i = Ф (u _n ), п Е N .

Докажем сходимость последовательности итераций u _n +i = Фu _n , п Е N , в пространстве Ү т = С ([ — T, T ], Н ¹ ) при условии u o Е Н ¹ и условии достаточной малости T >  0.

Для каждого T >  0 и u o Е Н ¹ через Z(T, u o , 2) обозначим выпуклое замкнутое множество функций из Ү = С ([ — T,T],Н ¹ ), удовлетворяющих равенству u(0) = u o и неравенству ІЫІсп-^т],н 1) <  ^{2 |u}0^|H¹ . ■

Лемма 4. Для каждого u o Е Н ¹ существует такое T >  0, зависящее только от ІЫІн 1 , что Ф (Z(T,uo, 2)) С Z(T,u o , 2).

Действительно, в силу леммы 2, для любого u Е Z(T, u o , 2) выполняются включение Ф u | н 1 Е Ү _т и неравенство ^u | y т <  (Ы Н н 1 + А( | u o | н 1 ,2 | u o | н 1 )T)е ^{в (} ^ ^{И 0} ^ и 1 ^“ ^І н ^{1 )т} . Поскольку предел правой части при T ^ +0 равен ЦздНн , то существует такое зависящее только от | u o | н 1 число T’ (|| u o||н 1 ), что при всех T Е [0,T] выполняется неравенство ІЫНу ^т <  ^2|u 0 ^| H ¹ . ■

Лемма 5. Для любого u o Е Н ¹ существует такое зависящее только от | u o | н 1 число T * Е (0,CT), что отображение Ф | ^ ( _т * ,_{И о} , ₂) является сжимающим от отображением выпуклого замкнутого подмножества Z (T * ,u o , 2) банахова пространства Ү т^* в себя.

В силу леммы 4 отображение Ф отображает множество Z (T * ,u o , 2) в себя при любых T * Е [0,:Г].

Выберем некоторое T Е [0, CT]. В силу леммы 3 для любых u, v Е Z(T,u o , 2) справедливо неравенство ||Ф (u) — Ф (v) | y _т <  Ta(f, | u o | н 1 ,2 | u o | н 1 ) | u — v | y _T е^ И^И н ¹ ’ ² И “ ^о П н ^{1 ) т} .

Осюда вытекает существование такого зависящего только от ||ио||я i числа Т * Е (0,Т ), что отображение Ф отображает множество Z (Т * ,и о , 2) в себя и является сжатием, причем коэффициент сжатия А = А(Т * ) отображения Ф на множестве Z (Т * ,и о , 2) не превосходит величины T * a(f, ||и _о | _я і ,2 | и _о | _я i )е ^ь( ^' ^^и 0 ^ н ¹ > ²ІЫІн і ^{) т} * < i. g

Доказательство теоремы 1

Фиксируем некоторое Т >  0 и обозначим через Ү т пространство С ([ — Т, Т],Н 1 ). Рассмотрим отображение пространства Ү т в себя, задаваемое равенством v = Ф (и), где

v(t) = ( Ф u)(t) = е ^{гі Д} и о +

I e ^_ ‘ < ' ^_ * ⁾ ^ f < | и(», . ) | ²М«)<М Е [ - Т.Т]. о

Локальное существование. Так как отображение Φ является сжимающим отображением выпуклого замкнутого подмножества Z „ _{0 j}t * , 2 пространства Ү в себя с коэффициентом сжатия А < 1, то, следовательно, отображение Ф имеет в множестве Z _{U 0} ,t * , 2 единственную неподвижную точку и * , а задача Коши (2), (3) на отрезке [ — Т * ,Т * ] имеет Н 1 -решение и * , совпадающее с неподвижной точкой отображения Φ .

Единственность локального Н ¹ -решения. Если при некотором Т >  0 функция и Е Ү т является решением задачи Коши (1) – (2), то в силу определения 1 она является неподвижной точкой отображения Ф : Ү т ^ Ү т . Следовательно, согласно доказанному, для каждого и о Е Н ¹ существует такое Т * = Т * ( | и о | я 1 ) > 0, что в пространстве Ү т * отображение Ф не может иметь две различные неподвижные точки, а задача (1) – (2) не может иметь на отрезке [ — Т * ,Т * ] два различных решения. ■

Аналогично доказывается следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть I Е N . Для каждого и о Е Н ¹ существует такая зависящая только от ||и о | я I величина Т * >  0, что на отрезке [ — Т * ,Т * ] задача Коши (1) - (2) имеет единственное Н ^ -решение.

2.    Теорема о сохранении энергии

Докажем сохранение на Н 1 -решении уравнения (1) энергетического функционала Е (и)

Е (и) = [

P

( — ( V u(x) ▽ u(x) + Ғ(uu))dx,

P

ш где Ғ(ш) = J f (s)ds.

о

Теорема 2. Если функция u(x,t) является Н ¹ -решением задачи Коши (1) - (2) в смысле определения 1, то Е (u(t)) = Е (и о ) при всех t >  0.

Лемма 6. Если функция u(x, t) является Н ² -решением задачи Коши (1) - (2) в смысле определения 1, то Е (u(t)) = Е (и о ) при всех t >  0.

Действительно, в силу уравнения Шредингера получаем d , ,              fp, d               , d ,,

—Е(и(t))|^=о =    (—(Vu(t,x) V"^u(t,x)) — (V"^u(t,x) ▽u(t,x)) + dt                        ^J   p"                         CvtCvt

+ V(uu)(u(t, x)-^-u(t, x) + ^-u(t, x)u(t, x)))dx = dtdt rp                  d _           _       

= / [(Ди + V(ии)и)~u(t, x) + (Ди + V(uu)u)~u(t, x)]dx = P                         CdtLdt

Z ^P    .^{du d} X . .^{dU d} M ,

I — г ——u(t, x) + г——u(t, xlldx = 0.

V  dt dt ^v , ⁷ dtdt^^,n

Таким образом, для Н ² -решений сохранение энергии доказано.

Пусть теперь n g € Н ¹ и { n g ,k } - последовательность начальных условий из пространства Н ² , сходящаяся по Н 1 -норме к n g . Тогда Е (n g ,k ) ^ Е (n g ) при к ^ то .

В силу теоремы 1 существует отрезок [ — Т, Т ], на котором задачи Коши для уравнения Шредингера с начальными условиями n g и n g ^ , к € N , имеют решения n(t), n k (t), t € [ — Т, Т]. Причем поскольку последовательность { n g ,k } ограничена в пространстве Н 1 , то последовательность { n k } ограничена в пространстве Y J в силу леммы 2. Для каждого к € N имеет место равенство

^{n(t) — n} k ^{( t ) —} £ ^-l ^ ^{t ( n} g ^{— n} g ,k ) +

t

+ У ■ ^A       f( | n(_s) | ² )(n(_s) — n _k ( _s )) + n _k (s)(f ( | n(_s) | ² ) — f ( l n _k (s) | ² ))]^s, t € [ — Т,Т].

g

Поэтому сходимость последовательности { n k } по норме пространства Y j к функции n следует из леммы Гронуолла.

Следовательно, из сходимости последовательности {nk} по норме пространства Yj к функции n следует, что lim sup |E(nk(t)) — Е(n(t))| — 0.

^k^^ t e [ - T,T ]

Поскольку в силу леммы 6 E(n k (t)) — Е (n g ,k ), то Е (n(t)) — E (n g ) при всех t >  0.

• 3.    Теоремы о глобальной продолжимости . R. Glassey (1977), P. Zhidkov (2001).

Теорема 3. Если справедливо неравенство р <  4, то для любого n g € Н ¹ задача Коши (1), (2), (4) имеет единственное Н 1 -рещение на полуоси R + , причем значения этого решения ограничены по Н ¹ -норме на полуоси R ₊ .

Доказательство теоремы 3. Согласно теореме 1 задача Коши (1) – (2) имеет Н 1 -решение на некотором промежутке [0, Т * ], Т * >  0. Пусть Т і >  Т * - точная верхняя грань множества таких значений Т >  0, что задача Коши (1) - (2) имеет Н 1 -решение на промежутке [0, Т). Тогда если Т 1 — + то , то утверждение теоремы 3 доказано.

Предположим противное, что Т 1 < + то . Тогда на промежутке [0, Т 1 ) определено решение n задачи Коши (1) - (2) и, в силу теоремы 2, справедливо равенство

2ll^Vn(t)| 2 ^{— F (|n(t)| 2 ) — — Е ( n} g ), ^{t € [0},^Т 1 ).

Согласно неравенству Гельдера

IMU < ||«Й^-9WI ? .                              (7)

где 6 € (0,1), г > 2 и ^ +2 — 1 - 2 + | , и, следовательно, 6 — 6(г) — 2 ^ +2 27-2 ) -

Выберем г >  2 в (7) таким образом, чтобы выполнилось неравенство 6(г)(р + 2) < 2 (то есть 2^— 2) < 2), что всегда можно сделать при р <  4, так как 2^— 2) ^ 2 при г ^ + то , а согласно предположению теоремы р <  4. Тогда | n | 2 +2 < | n | 2 ^{2 +2)(1 6 ( r ))} | n | r^{P +2)l 9 ( r )} в силу (7), а поскольку в силу теоремы Соболева при любом г <  2 * — + то справедлива оценка | n | _r <  С |V n ^ 2 , то из условия сохранения энергии получаем следующее соотношение:

• ¹    |Vn|2 — — Е(по) + Ғ (|n|²) < —Е (ng) + ^С „ ||n||£+2 < —Е(по) + Ci|Vn||,     (8)

• ^{2                                     р + 2}

4.    Теоремы о разрушении решений на ограниченном промежутке

где Р — Ө(г)(р + 2) < 2.

Следовательно, при некоторых С 2 € R и с з >  0 справедливо неравенство |V n | 2 <  с 2 + C 3 |V n ^ 2 , где Р <  2. Поэтому существует такая постоянная М >  0, что ||n(t) | y 1 — |V n(t) | ₂ <  М для любого t € [0,Т 1 ).

Согласно теореме 1 существует такое Т * (М ) >  0, что задача Коши (1) - (2) с начальным условием n g € Н ¹ таким, что | n g | ^- 1 <  М , имеет единственное решение на отрезке

[—Т*(М),Т*(М)]. Поставим задачу Коши для уравнения (1) с начальным условием в точке to = Ті — 2Т*(М), задавыемым равенством и\=о = и(Т1 — 2 Т*(М ))= и*.                          (9)

Так как ||и о | я і <  М , то задача Коши (1), (9) имеет единственное решение на отрезке [Т 1 — 2 Т * (М),Т 1 + 2 Т * (М)], следовательно, исходная задача (1) - (2) имеет решение на отрезке [0,Т 1 + 2 Т * (М)], а это противоречит определению величины Т 1 . Следовательно, выполняется равенство Т 1 = + № . ■

Разрушение решения. Рассмотрим явление разрушения решения задачи Коши (1)– (2) в случае уравнения Шредингера с потенциалом f (s) = s 2 , s >  0. Согласно определению 1 Н ^ -решения задачи Коши (1)-(2) как Н ¹ -решение, так и Н ² -решение на всем промежутке своего существования удовлетворяет следующим граничным условиям:

u(t, — т + 0) = u(t, т — 0) = 0, t Е [0, Т],

Теорема 4. Если р > 4 то тогда существует и о Е Н ¹ такое, что Е (и о ) < 0, J (и о ) > 0. Тогда существует число Т * = Т * (G(u o ),E(и о )) = _4рЕ ¹( _м 0 ) ( V J (и о ) ² — 8pE(u o )G(u o ) + J (и о )) > 0 такое, что точная верхняя грань Т 1 промежутка существования Н ¹ -решения задачи Коши (1), (2),

• (4 ) удовлетворяет условию Т 1 <  Т * .

  и справедливы равенства

  
  

Кроме того, при этом Т 1 Е [Т * ( | и о ||я 1 ),Т * (G(u o ),E (и о ))] 11m ||^и(і)|| _я і = ⁺ ^ ; , bm _п ll^u(^t)^| L 2 +2 = ^+то.

t ^ i i — о                     t ^ i i — о

Согласно теореме 1 о существовании и единственности локального Н 1 -решения задача Коши (1) - (2) при каждом и о Е Н ¹ имеет единственное Н 1 -решение и Е С ([0,Т і ),Н 1 ) на некотором промежутке [0,Т 1 ), причем в силу теоремы 2 имее место равенство E(u(t)) = Е(и о ), t Е [0,Т 1 ).

Для доказательства теоремы 4 изучим изменение на промежутке существования Н 1 -решения [0,Т) величин J(t), G(t), t Е [0,Т]. Выведем уравнения, которым подчиняется закон изменения этих величин.

Лемма 7 . Если функция и является Н ¹ -решением задачи (1) - (2), то справедливо равенство

—G(u(t)) = г ( ((ж, ж)(Аu(t, ж')u(t, ж) — Аu(t, ж)u(t, ж)))гіж. ^^t                J

( - т,т )

Доказательство. Если функция и является Н 1 -решением задачи (1), (2), (10), то она имеет производную ;|t u(t, ж) = — г(Аu(t, ж) + Vu(t, ж)), причем поскольку функция и является Н 1 -решением, то — Аи Е С ((0,Т),Ж ₂ ' ( — ",")) и Vu(t, ж) Е С((0,Т ), С([ — т,т])). Так как С ([ — т,т]) С Ж — 1 ( — т,т) то С ((0, Т ),С([ — т, т])) С С((0,Т ), Ж — 1 ( — т, т)), и поэтому Аu(t, ж) + Жи(^ ж)) Е С ((0, Т), Ж — 1 ( — т, т)). Если u(t, ж) Е Н 1 , то (ж, ж)u(t, ж) Е Н 1 , поэтому при всех t Е (0, Т) определено действие функционала г₍gu(t, • ) Е Ж ^— 1 ( — т, т) на элемент (ж,ж)u(t,ж) Е Н 1 . Следовательно, функция g(t) = G(u(t)), t Е [0,Т), дифференцируема и справедлива формула (11).

Лемма 8 . Если функция и является Н ² -решением задачи (1)-(2), то справедливо равенство

;^G(u(t)) = 2І

[ ((ж, V u(t, ж))и((, ж) — (ж, V'< t(t, ж))u(t, ж))^ж

t Е (0,Т).

( - ^Ж

Согласно лемме 7 справедливо функция u являктся Н 2-решением ^((ж, ж)u(t, ж^^, ж)) = (ж, ж)(Au(t, ж)u(t, ж) и равенство равенство (11). Поскольку задачи (1)     –     (2), то

+ (ж, ж) |V u(t, ж) | ² + 2(ж, V u(t, ж))u(t, ж)

т ² [u(t, т) V u(t, т) — u(t, — т) V u(t, — т)] = 0

/ — ((ж, ж)u(t, ж) V u(t, ж)) = аж

( — 7,7г )

справедливо в силу выполнения граничных условий (10) для Н2-решения и существования у такого решения следов производной Vu(t, ±т) € С([0,Т]). Следовательно, о^а)(«(е)) = — 2і

[ [(ж, Vu(t. x))u(t, ж) — (ж, V u(t, x))u(t, x)]dx = ^{( - г,г)}

^{—J (t)}. e

Для исследования дифференциального уравнения, описывающего эволюцию величины J (t), потребуется некоторое усиление предположений о гладкости решения задачи Коши (1), (2), (10).

Лемма 9 . Предположим, что на промежутке [0,Т] существует Н ² -решение задачи Коши (1), (2), (10). Тогда функция J удовлетворяет на промежутке [0, Т] дифференциальному уравнению

^ J (t) = 2 at

j {a, ^vw, ^{x ))} ^ ^{А u}^^{t, ж)}₊ ^w,^ж))₊ (^x, ;   ■. ^(w, ^ж)

+ Vu(t, x)) } dx —

( - 7,7г )

— 2 J { (ж, V (Au(t, ж) + Vu(t, ж))u(t, ж) ( - Г,7г )

+ (ж, V (Au(t, ж) + Vu(t, ж))u(t, ж) } гіж.

Поскольку |l u(t, ж) = — i(Au(t, ж) + Vu(t, ж)), где V = | u(t, ж) | ^р , то справедливо следующее равенство

-| J (t) = 2i at

j { (ж, V u(t, ж))( — i(Au(t, ж) + Vu(t, ж))) + (ж, V (i(Au(t, ж) + Vu(t, ж)))u(t, ж)

+

( - 7,7г )

+ (ж, V (i(Au(t, ж) + Vu(t, ж)))u(t, ж) — (ж, V u(t, ж))(i(Au(t, ж) + Vu(t, ж))) } гіж, поэтому справедливо равенство (12).

Интеграл от каждого слагаемого под знаком интеграла в выражении (12) при условии, что функция u является Н ² -решением задачи Коши, корректно определен как действие на элемент пространства Соболева линейного непрерывного функционала из сопряженного пространства. Так, (ж, V (Au(t, ж))) € W — ¹ ( — т,т) и (ж, V (V-й(t,ж))) € С ([ — т, т]) С W ₂ ^-1 , но поскольку u € W ₂ ( — т, т), то второе слагаемое под знаком интеграла определено; а первое слагаемое под знаком интеграла определено, поскольку Au(t,ж) € ^ 2 ( — т,т) Vu(t,ж) € С([ — т,т]) С L ₂ ( — т,т) и (ж, V u(t,ж)) € W 2 ¹ ( — т,т).

Таким образом, если функция u является Н ² -решением задачи Коши (1) - (2), то функция J непрерывно дифференцируема и справедливо равенство (12).

Для выполнения интегрирования по частям гладкости Н ² - решения уже недостаточно. Ибо, как показано ниже в формуле (14), для интегрирования по частям во втором интеграле в выражении (12) требуется существование следа на границе промежутка ( — т, т) у функции Au(t, • ).

Поэтому рассмотрим поведение функционала J для Н ³ -решения.

Лемма 10. Если функция u является Н ³ -решением задачи Коши (1) - (2), то для функции J справедливо неравенство

|-J(t) > — 4рЕ.

Действительно, поскольку

— (x(Au(t, x) + Vu(t, x)))u(t, x)) = (x, V (Au(t, x) + Vu(t, x)))u(t, x) + (Au(t, x) + dx

+ Vu(t, x)))u(t, x) + (x, V u(t, x))(Au(t, x) + Vu(t, x)),                 (13)

и

/ — (x(Au(t, x) + Vu(t, x)))u(t, x))dx = dx

( - Г,г )

= ^(u"(t,^)u(t,^) + | u(t,^) | ^ ⁺² ) - ( — ^)(u"(t, - ^)u(t, — t) + | u(t, - t) | ^p+2 ),      (14)

то в случае однородного граничного условия Дирихле (10) справедливо равенство

J 1ІЁ (x(Au(t, x) + Vu(t, x)))u(t, x))dx = 0, ибо при всех t Е [0, T] выполняется граничное ( — Г,г )

условие u(t, ± (т — 0)) = 0 и для Н ³ -решения функция u ‘‘ (t, x), x Е ( — т, т) имеет конечные пределы при x ^ ± (т — 0).

Поэтому в силу равенства (13)

I (x,V(Au(t,x) + Vu(^^     = j (Au(t, x) + (-7Г,7г)

( -7Г,7Г )

+Vu(t, x)))u(t, x) + (x, V u(t, x))(Au(t, x) + Vu(t, x))dx

Следовательно, согласно равенству (12),

J (t) =2 [ { (x, V u(t, x))(Au(t, x) + Vu(t, x)) + (x, V u(t, x))(Au(t, x) + VuZ(t, x)) } dx + ^dt            J

+ 2

+ 2

( - г,г )

! I (Au(t, x) + Vu(t, x)))u(t, x) + (x, V u(t, x))(Au(t, x) + Vu(t, x))dx + ( - г,г )

! J (Au(t, x) + Vu(t, x)))u(t, x) + (x, V u(t, x))(Au(t, x) + Vu(t, x))dx = ( - г,г )

= ⁴ J {(X, V^, ^x,^)Au(; ^{x) + Vu}(t, ^{x +} (X,^V   ■. ^x,^)Au(; ^{x + Vu}(_t,     • ⁺

( - г,г )

+ 2 I (Au(t, x)u(t, x) + Au(t, x)u(t, x))dx + 4 У | u(t, x) | ^{p +2} dx.          (15)

( - г,г )

( - г,г )

Рассмотрим сначала слагаемое

+ ( V u(t, ж)(ж, V u(t, ж)) + V u(t, ж)(ж, V u(t, ж))) | ^ = — _Г Интегрируя по частям предпоследнее слагаемое, получим

Л =

-

( - г,г )

|V u(t, ж) ²ж ж V u( /, ж) | ² | ^₌— _Г + V u(t, ж)(ж, V u(t, ж))) | ^₌— _Г

≥

-

( - г,г )

|V u(t, ж) | ² ^ж.

Для второго интеграла в выражении (15) имеем

I (д^.^оы + д.о^м^»^ =

( - г,г )

j   |V u(t, ж) | ² ^ж + ( V u(t, ж)u(t, ж) + V u(t, ж)u(t, ж)) | ^₌— _Г

= — 2

( - г,г )

Внеинтегральное слагаемое равно нулю согласно граничному условию (10) и в силу существования следа у градиента Н 3 -решения на границе области (промежутка ( — т, т)).

Кроме того, определив функцию F(s) = p +p^ _s— , получим

/ «^ж, тамж^ + іх. ^V „(t, _I ⁾⁾ vw, _I ⁾⁾ d. = J (^^VF(H.,x) | ² ))dr =

( - г,г )

( - г,г )

= жҒ( | u(t,ж) | ² )) |^₌-Г - У F ( | n(t,ж) | ² )dж.

( - г,г )

Таким образом,

-7- J (t) > — 8 [ |V n(t,ж) | ² dж + 4 [ | u(t,ж) | ^{p +2} (1—)^ж, at            J                    J                 р + 2

( - г,г )                       ( - г,г )

то есть

J(t) > — 4р [ (- |V u(t,ж) | ² | u(t,ж) | ^{p +2} )dж — (8 — 2р) [ |V u(t, ж) | ² аж >— 4рЕ at            У 2            р + 2                          J

( - г,г )                                                              ( - г,г )

при условии, что р > 4. В

Следовательно, J(t) >  J(0) — 4рЕt, t € [0,T], а так как ^G(t) = — J(t), то ^G(t) <  4рЕt — J(0). Таким образом, G(t) <  G(0) — J(0)t + 2рЕt ² , t € [0, T ] и справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть р > 4 и начальная функция u q € Н ³ ( — т, т) удовлетворяет условию E(u q ) < 0. Тогда длина T 3 интервала существования Н ³ -решения задачи Коши (1), (2), (10) ограничена сверху величиной T * (u q ) = j ^jt I^j (VJ (u q ) ² — 8рЕ (u q )G(u q ) + J (u q )) . Причем если Н ³ -решение существует на интервале [0,T 3 ), то lim ^ u(t, - ) ^ ңі = + то , : ^ Т з - о"

, lim _n ll^u(t, ОК+2 = ^{х и} , lim _n ll^u(t, • ⁾ Hl ^ = ^х. 1 ^ 1 3 — Q                           1 ^ 1 3 — q

Теорема 6. Пусть u q € Н ¹ при некотором I € N и пусть на отрезке [0, T] существует Н ¹ -решение u(t;u o ), t € [0, T] задачи Коши (1), (2), (10). Тогда u(t; u q ) € Н ¹ при любом t € [0,T].

Действительно, если u(t; u q ), t € [0, T] является Н 1 -решением задачи (1), (2), (10), то в силу теоремы вложения u(t;u o ) € С ([0,T],С([ — т,т])). Следовательно, V = | u(t;u o ) | ^p € С([0,T],С([ — т,т])).

Сначала рассмотрим случай I = 2. Из уравнения (1) следует, что ад         д             д              д г-г(5-n(t; ng)) = А(—n(t; ng) + (1 + p)V(—n(t; ng)) + p|n(t; ng)|p 2(n(t; ng)2(—n(t; ng))), at дх            дх                 дх                             дх а вторая производная решения по пространственной переменной удовлетворяет уравнению ад2             д2                д2                  „         д2

г;#(л“2n(t;n g )) = А(—^n(t;n g )+(1+p)V(—^n(t;n g ))+p | n(t;n g ) | ^{p 2} (n(t;n g ) ² (—^n(t;n g ))) + at дх ²              дх ²                  дх ²                                дх ²

ддд

• + V i (n,n)(—n(t; n g ))) ² + V > (n,n) | —— n(t; n g )) |² + V 3 (n,n)( —n(t; n g ))) ² ,       (17)

дх                  дх                  дх в котором Vi,V2,V3 — непрерывные комплекснозначные функции от пары комплексных переменных.

Заметим, что д

Il ^V i ^(n,n)(дх^.^))) ii^ cfg ’^ ] ,н ) <

• < ^|V i ^(n,n)| _c ([о ,т - ,_{Л х} іх^^)) ¹¹^ ^ ] ,_L ^ ) ^ JL^n(t.ⁿ g ^))| _c,_([g ,_T ] ,н ) <  c _v ІЫІн С етЬІЫІн ² ІМІн .

Поэтому для Н 1 -решения n задачи Коши (1), (2), (10) с начальной функцией n g € Н ² и нелинейной функцией f € ^^( C ) справедлива оценка

t

ІН^ІІн ² <  іі^п оіі н ² +С ^(|n| c ([o ,t ],н ¹ ) ⁾ j іі^п (^) Н н ² ds. g

Из полученной оценки следует, что ||n | c ([g ,T ] ,н 2 ) <  ||по||н² е ^{ТС (} " ^и " ^с <[° ,^т 1 ,^{н 1) )} .

Случай произвольного I рассматривается с применением метода математической индукции. ■

Вернемся к доказательству теоремы 4. Пусть n g € Н ³ . Тогда согласно следствию 1 к теореме 1 существует такое Т >  0, что задача Коши имеет единственное Н ³ -решение на промежутке [0, Т). Если Т * есть точная верхняя грань длин интервалов, на которых существует Н ³ -решение задачи Коши, а Т * - точная верхняя грань длин интервалов, на которых существует Н 1 -решение задачи Коши, то согласно теореме 6 Т* = Т * .

Так как на промежутке [0, Т * ) существует Н ³ -решение задачи Коши, то на этом интервале функции J, G удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных неравенств

^^(t) = — J(t), t € (0,Т * ); -^J(t) >  — 4pE (n g ), t € (0,Т * ). at at

Поэтому Т * <  4 _pE ¹ (_M0) (V J (n g ) ² — 8pE (n g )G(n g )+J (n g )), то есть промежуток существования Н ¹ -решения конечен, на промежутке [0, Т * ) существует единственное Н ³ -решение задачи Коши, а при t ^ Т * — 0 выполняются условия

. lim _n ll^n(t, • ^)| н ¹ = ⁺ ^ ; lim _n ll^n(t, • ^)| l _p+2 = ⁺ ^ .

t ^ T * - 0                       t ^ T * - 0         ^р

При этом в силу теоремы 2 следующие функции принимают на всем промежутке [0,Т*) постоянные значения:

I

Р^ | n(t,х) | ^{p +2} ]dх,t € [0,Т 1 * ). ^

Р (t) = | n(t) | H , t € [0,Т * ); E (t) = j [2 |V n(t,х) | ² —

- l