О качественных свойствах решения для одной системы нелинейных бесконечных алгебраических уравнений

Рассмотрим следующую бесконечную систему нелинейных алгебраических уравнений:

∞ xn         an-j (G(xj) + hj (xj)) , n E Z,                        (1)

j=-∞ относительно искомого бесконечного вектора x — (. ..,x-i, xo,xi,... )T, где T — знак транспонирования.

• ^#    Исследование выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке РА в рамках научного проекта № 21T-1A047.

В системе (1) последовательность {a n }^ ^ удовлетворяет следующим условиям:

∞∞ an > 0 (V n Е Z),   £ an = 1, £ А- < +Ю, n=-^

a-- = a- (V j Е N U{0}), an+i < an (Vn Е N U{0}), а G(u) — определенная на R+ := [0, +то) непрерывная функция, удовлетворяющая следующим условиям:

• 1)    G(u) монотонно возрастающая на множестве R ⁺ , G(0) = 0;

• 2)    G(u) выпукла вверх на множестве R ⁺ ;

• 3)    число п >  0 является первым положительным корнем функционального уравнения G(u) = и.

Последовательность вещественных функций {h j (u) } j = ,^ определены на множестве R ⁺ и обладают следующими свойствами:

• a)    при всяком фиксированном j Е Z функции h j (u) f по и на R ⁺ ,

• b)    h j (0) = 0 , j Е Z и существует sup _{u G} R + h j (u) = в - , причем

  в = (... ,в - 1 ,в о ,в 1 ,... ) T Е m, где m : =

  
  

  x = (..

  
  

  . , x _{- 1} , Х ₀ , x ₁ , . . . ) T , SUP j _G Z | x j | < + ^

  
  

  ^,

  
  

• c)    h j Е C (R ⁺ ) , j Е Z.

• 2.    Вспомогательные факты

Система (1), кроме чисто математического интереса, встречается в различных задачах математической физики и биологии. В частности такие системы, при конкретных представлениях матрицы A = (a _{n -} j ) П°- _{= -го} и нелинейностей G(u), {h j (u) } j = _-ro возникают в дискретных задачах теории переноса излучения, в динамической теории p -адических струн, в математической теории пространственно-временного распространения эпидемии и в кинетической теории газов (см. [1–9]).

Следует отметить, что в случае, когда h j (и) = 0 , j Е Z, система (1) и ее двумерный аналог достаточно подробно было изучено в работе [10].

Соответствующая система на множестве Z ⁺ = N U{ 0 } (т. е. когда суммирование в (1) совершается на множестве Z ⁺ ) исследовалось в работе [11].

Настоящая работа посвящена исследованию вопросов существования и единственности нетривиального решения системы (1) в пространстве ограниченных последовательностей, а также изучению асимптотического поведения решения при n → ±∞ .

Заметим, что из свойств 1) - 3) следует существование числа е Е (0,1) такого, что функциональное уравнение Q(u) = еи имеет положительное решение ^ о , где Q = G ^{- 1} . Зафиксируем число е Е (0,1) (и, следовательно, £ о ) для дальнейшего изложения.

Для фиксированного q > 1 рассмотрим следующее характеристическое уравнение:

∞

£ a n q ^{- pn} = f, Р > 0,                             (4)

n =0

относительно переменной р, где { a _n } n = -^ удовлетворяет условиям (2) и (3).

Из (2) и (3) согласно теореме Больцано — Коши [12], следует что уравнение (4) имеет единственное положительное решение: р = р _е > 0.

Введем следующее обозначение:

B n := € о (1 - q - p ^EH ) , n Е Z.                             (5)

В работе [10] доказано, что имеет место следующая оценка снизу:

£ (an-j — an+j) Bj > eBn, n € N U{0}- j=0

Заметим, что ^ o <  П- Последнее неравенство сразу следует из выпуклости функции G(u). Рассмотрим следующее характеристическое уравнение:

G(u) = u — y,(7)

где

Y := sup ej > 0.

j ∈ Z

С использованием условий 1) — 3) нетрудно доказать, что уравнение (7) имеет единственное положительное решение ξ, причем

^ > П > ^0-

Мы займемся исследованием системы (1) в следующих двух случаях: I) в € 1 1 ,

• II)    Y ^{— в €} l i , где Y := ⁽... ,Y,Y,Y,---^{) T} -

• Обозначим через Q(u) нечетное продолжение функции Q(u) на отрицательной части числовой оси.

Рассмотрим следующую вспомогательную систему нелинейных бесконечных алгебраических уравнений:

∞

QW = 5 у a n - j y j , n ^{€ Z},                         ⁽¹⁰⁾

j = — ^

относительно искомого бесконечного вектора у = (..., y - i ,y o ,y i , - - - ) ^T - Здесь последовательность { a _n } n = _-^ удовлетворяет условиям (2) и (3).

Из результатов работы [10] следует, что система (10) имеет ограниченное нетривиальное решение, причем

У-п = —Уп, n € N U {0}, yn t по n(11)

lim yn = ±п, yn > Bn, n € N U {0}, n→±∞

52   (п + Уп) < +то,     52 (п — Уп) < +то- nez\Nu{o}                     neNu{o}

В силу (11), (12) и (13) можно утверждать, что

∞

^ (п — 1упI) < +^, п=-^

Bn < |yn| < п-(15)

• 3.    Разрешимость системы (1)

Для системы (2) рассмотрим следующие итерации: ∞

• ^х П^р+1) =  ^ a n - j (G(^{x (p )}) + h j (^{x (p )}))>   ^х П⁰⁾ = ^Q(|y n ^|), ^n€ Z , p = ^0,1,²,--- ⁽¹⁶⁾

j= -^

Сначала индукцией по p убедимся, что для любого n ∈ Z xn") t по p, p = 0,1,2,---                                (17)

Действительно, с учетом (10), (2), (3), a),b) и 1) получим

∞   ∞∞

= IQ^Cy n ) | = Q( | y n ^|) = x n⁰⁾ .

x n¹ ) > 52 a n - j G ^(Q(ly j = 52 a n - j | y j । ^ 52 a n - j y j= -^                j = —^           j = —^

Предположим, что (17) имеет место при некотором натуральном p. Тогда, учитывая монотонность функций G(u) и h j (u), из (16) будем иметь

∞ хПр+1) > ^ an-j (g (x(p-1)) + hj (xjp-1))) = хПР)-j=-^

Ниже индукцией по p докажем, что последовательность { х П^{р )} } р =о при n G Z ограничена сверху:

х П^{р )} < £, n G Z, p = 0,1, 2,... ,                                   (18)

где число ξ единственном образом определяется из характеристического уравнения (7).

При p = 0 оценка (18) справедлива по определению нулевого приближения (16) с учетом (15), (9) и 3). Пусть (18) выполняется при некотором p G N. Тогда, учитывая (2), 1), a), из (16) имеем хПр+1) < X? х an-j (G(X + hj(X) ^ G(^) + Y = 6 Из (17) и (18) следует, что последовательность векторов {x(p) }р=о , где x(p) =(..., x-1, хо, Х1,... )T, имеет предел при p ^ +то lim x(p) = x = (..., x-1, хо, x1,... )T,                            (19)

p ^ + ^

причем предельный вектор x удовлетворяет системе (1), при этом координаты предельного вектора x удовлетворяют следующим неравенствам:

Q(ly n l) ^ X n ^ £, n G Z.                                 (20)

Итак, доказана следующая

Теорема 1. При условиях (2) , (3) , 1) - 3) , a) - c) система (1) имеет ограниченное нетривиальное неотрицательное решение х = (•••,x_- 1 ,x о ,X 1 ,••• ) T такое, что имеет место оценка (20) .

• 4.    Асимптотическое поведение решения

В этом разделе исследуем асимптотическое поведение построенного решения. Для этого отдельно рассмотрим случаи I) и II).

I) В этом случае докажем, что lim Xn = П, n→±∞

∞

52 i n - X n l < +^то.

n = -^

Учитывая условия (2) и (3), рассмотрим разность

∞∞ ^{n X}n —     ^ an - j ^{(n G(x} j ))          a n - j h j ^(x j ^).

j=-^

Из последнего равенства сразу следует, что

∞∞ in Xn| ^ ^ ^ an-j in G(xj )| + ^ ^ an-j ej, n G Z.

j=-^

Сначала убедимся, что ^ n = _—D i n - x n i < + го . Из (20) и (15) следует, что при n <  — 1

xn > Q(B-i) = Q«q(1 — q—p)) := 5 > 0.

Рассмотрим следующую сумму ^ — = n i n — x n i , где N <  — 1 — произвольное число. С учетом (22) будем иметь

— 1             — 1 D—

Е |п - xn <52 52 an—j |n— G(xj)i+ 52 52 an—je n=N         n=N j=—D                n=N j=—D d d            —1  —1

• <    E E a n — j e j + E E a n — j i n — G(x j ) i + E E a n — j П - G(x j ) i

n = —D j= —D         n=N j= —D                 n=N j=0

d d                      —1 d—

• <    E E a n — j e j +(G«)+ n)E E a n — j +E E a n — j i n - G(x j ) i n = —D j= —D                   n=N j =0       n=N j= —D

d d                      0    n—

• < E E a n — j e j + №) + n) E E a j + E E a n — j П - G(x j ) i n = —D j= —D                  n= —D j= —D n=N j= —D

— 1 —1                       d d                        00

+ E E an—j in — G(xj) i < E E an—jвз + (G(0 + n) E E^j n=N j=N +1                n=—D j=—D                  j=—D n=j

— 1 d—

+ №) + n)E E aj + E E an—з In — G(xj) I n=N j=n—N    n=N j=N+1

DC   ^                    ^                     0

< E E an—jej + (G(c)+n) E(j + 1)aj + (G(^)+n) E E aj n= — D j= — D                  j=0                    n = N j=n — N

— 1   —1

+ E E an—j in — G(xj) i< E E an—jej n = N j = N + 1                 n= — D j= — D

∞-

+(G^)+n) E(j + 1)aj+ (G^)+n) E E aj j=0                       n=0j=n

— 1 —1                    D DD

+ EE an—ji n— G(xj)i < E E an—j ej + (G(c)+n)     + 1)aj n = N j = N + 1                  n= — D j= — D

D j         —1

+(G(€)+n) E E aj+ E in— G(xj)i E an—j j=0 n=0    j=N+1

D D                    D—

< EE an—j ej+ 2(^—y+n)     + 1)aj+ E i n— G(xj)i n = — D j = — D                     j = 0           j = N +1

D D                    D—

< E E an—jej+2(^— y+n)E.(^j + 1)aj+ Ein— G(xj)i n=—D j=—D                   j=0          j=N

= C + E (n — G(xj)) + E (G(xj) — n), j∈EN1                j∈EN2

где               ∞   ∞∞

C := EE an-j в, + 2 (4 - Y + n) E

EN := {n g{N,N + 1,...,-1} : xn ^ n},

EN := {n G {N,N + 1,..., -1} : x > n}, N < -1, N G Z.

Таким образом, мы получили следующую оценку:

— 1

Eln - xnl < C + E (n - G(x>)) + E №) - n).

ⁿ=^N              jEE^

С учетом (20), когда n G ENN имеем

0 ^ n - G(xn) < n - G(Q(|yn|)) = n - lynl-(28)

Если же n G EN, то в силу выпуклости G получим

0 ^ G(xn,) - n < n—GP^n - n),

η-δ где число δ задается согласно формуле (23).

Учитывая (28), (29), (14), из (27) получаем

E ^ln - xnl < C ⁺ E ⁽n - y,D^{+ n}_n^G(d) E ⁽x^- n)

η-δ n=N               jeeN                      , ee2n или

E ⁽n - xn)⁺ E ⁽xn^- n) < C ⁺ E ⁽n⁺у,)^{+ n}—Gr) E ⁽xj^-n).

η-δ nEEN          nEEN               j=—^                   jEE'N

Из последнего неравенство следует, что

E (n - xn) + Gn^- § 5 E (xn - n) < C + E (n + у,)• nEE1                   nEE2

Поскольку Gn—- ⁵ g (0,1), тогда из (30) будем иметь

G(5) - 5

n - § 52 |n- xn1 < C + 52 (n+у,) n=Nj или

—1             (c + 52 (n + y, ))(n - 5)

El n - x-K „        ------.

n=N

В (31) устремляя число N → -∞, заключаем, что

—1

^ Vl - xn^l ^ n=—^

(C + 22 (n + y,)) \ j=—^/

G(5) - 5

⁽n - ⁵⁾

Следовательно, E_n= ^ |n-x_n| < +го. Аналогичными рассуждениями можно придти к выводу, что Е^=₀In - Xnl < ■ ^ .

Итак, мы доказали, что	£ In - xn| < +»•                            (32) n=_^
Теперь докажем, что	∞ £In - G(xn)I < +”•                            (33) n = _^

С учетом (20), используя выпуклость вверх функции G(u), приходим к следующей оцен- ке:

η - |yn|,

|П - G(xn)| < { xn - η,

n G D;

n∈Z\D,

где D := {n G Z, xn ^ n} • Из (32), (34) и (14) следует, что имеет место (33).

Переходя к пределу в обеих частях (22) при n → ±∞, с учетом известного предельного соотношения дискретных операторов типа свертки получим

lim xn = n. n→±∞

II) В этом случае предположим, что компоненты последовательности {hj(u)}j=_^ удовлетворяют следующему дополнительному условию:

∞

52 (вп - hn (Q(^Bn)))< +ГО. n = _^

Здесь мы докажем, что lim xn = e, n→±∞

∞

52 (e - xn) < +”•

n = _^

Сперва докажем, что ЕЕ -Ее — xn) < +^. Для этого, учитывая, что £ определяется из характеристического уравнения (7), и с учетом a), 1), II) (2), (15), (20), оценим следующую разность:

∞∞

0 ^ £ - xn = G(^) + Y — 52 an-jG(xj) — 52 an j hj (xj) j=_^

∞∞∞

= 52 an_j (G(^) - G(xj))+ 52 an_j (y — в3)+ 52 an_j (в3 — hj (xj)) j=_^                   j=_^

∞∞∞

< 52 an_j (G«) - G(xj))+ 52 an_j (y - в3) + 52 an_j в - hj (Q(Bj))), j=_^                   j=_^

из которого следует, что

∞

0 ^ e - xn < An + ^ an_j (G«) - G(xj)), j=_^

где

∞∞

An := 52 an_j (Y - в3) + 52 an_j (в3 - hj (Q(Bj))) < +^.

j=_^

Рассмотрим следующую сумму: ^n=:N1 (€ — x_n), где N1 < 0, N2 > 0 — произвольные числа. С учетом (38) будем иметь

N2             N2        N2   ∞

Е (€ — Xn) < Е An + Е Е an-j № — G(Xj) n=N1           n=N1      n=N1 j= ro

N2          N2 N1                              N2 N2-1

= e An⁺ E E an-j (^G(^ ^{— G(x}j))⁺ E E an-j (^G(^ ^{— G(x}j))

n=Ni      n=Ni j=-ro                       n=Ni j=Ni+1

N2   ∞                         N2             N2   N1

+ E E an—j № — G(xj)) < E An + G«) E E "n-j n=N1 j=N2                        n=N1           n=N1 j= ro

N ro         №2 N2-1

+^G(€) E Ean-j⁺E Ean-j (^G(£) - ^G(xj))

n=Ni j=N2       n=Ni j=Ni+1

N2            ∞    ∞             N2 n-N2

< E An + G«) E E "j + G«) E E "j n=Ni           n=Ni j=n-Ni          n=-ro j=-ro

N2 N2-1                            N2              ro ro

+ E E an-j (G(^) — G(xj))< E An + G(€) E E aj n=Ni j=Ni + 1                        n=Ni           k=0 j=k

0     k         N2 N2-1

⁺G^)E E^aj⁺E Ean-j (^G(£)^{— G(x}j))

k=-ro j=-ro     n=Ni j=Ni+1

N2               ro j                0    0         N2 N2 -1

< E An + G(^)E Eaj + G(€) E Eaj + E E an-j (G(^) - G(xj)

n=N1           j=0 k=0          j=-ro k=j     n=N1 j=N1 + 1

N2                ro               N2 N2 -1

= E An + 2G(e) E(j + 1) aj + E E an-j (G(^) - G(xj)) n=Ni             j=0            n=Ni j=Ni+1

N2                  ro               N2 N2 -1

= EAn⁺²⁽£ - y) E^(j+1) ^aj⁺E Ean-j (^G(£) - ^G(xj))• n=Ni               j=0            n=Ni j=Ni + 1

Учитывая условие 2) и неравенство (9), имеем

0 ^ G«) — G(xn) ^ G(^)(^ — xn).

ξ

Из полученного выше неравенства в силу (40) будем иметь

N2            N2∞

E(^—xn) ^ E An+2(£—y) E(j+1)aj n=N1           n=N1

N2 N2-1

+ Gf EE "-j (€ n=N1 j=N1+1

N2

∞

^—xj) ^ E An^+2(€—y) E^{(j + 1)a}j

n=N1

, G(f)

+ €

j=0

N2           N2

E (€—xj) E an-j • n=N1         j =N1

Из (41) в силу условия (2) следует, что

N2

N2                 ^A

Е (4 — xn) < -^=N1- n=N1

∞

-n + 2(4 - Y) E (n + 1)an 4

n=0         /

4 - G(4)

.

Переходя к пределу в обеих частях этого неравенства при N1 ^ —то, N2 ^ +то, имеем

∞

Е (4

п=—^

∞∞

Е An + 2(4 — Y )E(n + 1)an 4 n= ro                n=0          /

— xn) ^ -------------------------------

γ

.

Откуда следует, что X,? _xE - xn) < +то.

Аналогично случаю I) доказывается, что limn ,±^ x_n = 4-

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Тогда если в € 11, то limn ,±^ x_n= п и EnE-^ In — xnl < +то. Если же выполняются условия (36) и Y — в € 11, где Y определяется из (8), то limn ,_=roxn = ⁴и ЕЕ=-^^{(4 —} xn) < ^+то-

• 5. Единственность решения системы (1)

Ниже докажем единственность решения системы (1) в определенном классе бесконечных векторов.

Теорема 3. Пусть при условиях теоремы 2 функции h (u) при каждом фиксированном j € Z обладают свойством выпуклости вверх на множестве R+. Тогда, если выполняется хотя бы одно из следующих свойств:

di) ^{в €} li,

d2)

Е  (en — hn(Q(Bn))) < +то, n=-ro

Л — в € li, то система (1) имеет единственное решение в классе бесконечных векторов

M := {x € m, Xn > Q(Bn), n € Z},                      (43)

где B_nзадается согласно формуле (5).

<1 Сначала убедимся, что если x € M является решением (1), то

Xn< 4-                                        (44)

Обозначим a := sup_nGz x_n. Тогда, учитывая монотонность функций G(u) и hj (u), условия b), (2), (3) и (9), из (1), получим

∞∞ xn < У^ an-j (G(a) + ej) < У2 an-j (G(a) + Y) < G(a) + Y-j=-ro                    j=-ro

Откуда следует, что a < G(a) + Y-

Заметим, что а C £. Последнее неравенство следует из выпуклости вверх функции G(u) и (45).

Предположим обратное: система (1) обладает двумя решениями x = (..., x-i, xo, xi,...), x = (..., x-i, Xo, Xi,...).

Следовательно, существует no € Z такое, что x_n0 = xn₀.

Введем следующее множество:

E := {n € Z, xn = xn, xn = 0} .

Поскольку x, x € M является решениями системы (1) и имеет место хотя бы одно из условий di), d2), то по теореме 2 справедливо утверждение x — x € li.

Ниже докажем, что ∞ 52 |G(xn) — G(xn)| < +ro.

n=-^

Пусть n € Z \ {0}. Тогда xn > 5, xn > 5, n € Z \ {0}, где число 5 задается согласно формуле (23). Учитывая выпуклость вверх функции G(u) и (49), имеем

0 C |G(xJ — G(xn)| C G x |xn — xn| C G^-|xn — xn|.

xn

Из (50) и (47) следует, что имеет место (48).

Теперь докажем, что ∞ 52 h(xn) — hn(Xn)| < +w.

n=-^

Предположим, что имеет место условие di ). Тогда будем иметь

∞∞

52 ^|hn(xn) — hn(Xn)^| C 52 2en < +TO. n=-^                n = -^

Из полученной оценки следует, что имеет место (51).

Пусть выполняется условие d2). Тогда имеем

∞   ∞∞

52 h(xn) — hn(xn)¹ C 52 ^|Y — hn(xn) + 52 ^|Y — hn(xn) n=-^                n = -^            n = -^

∞

^C52 (²⁽Y ^{— e}n) ^{+ e}n ^— hn^(xn) ^{+ e}n ^— hn^(xn⁾) n=-^

∞∞

C 2 52 (Y — en)+2 52 (en — hn(Q(Bn))). n=-^          n = -^

В случае d2) утверждение (51) также доказано.

Оценим следующую разность:

∞∞

0 C |xn - Xn| C £an-j|G(xj) - G(Xj)| + £an-j|hj(xj) - hj(Xj)|,      (52)

j=-∞                   j=-∞ в виду того, что x и X являются решениями (1). Умножаем обе части неравенства (52) на сумму G(xn) + hn(xn):

0 C (G(xn) + hn(xn))|xn

^{- x}n| ^{C (G(x}n^{) + h}n^(xn⁾⁾

∞ an j=-∞

∞ j|G(xj) - G(Xj)| + £ an-j|hj(xj) - hj(Xj)| I .

j=-∞

Рассмотрим сумму ^^L—^ |x_n- x_n|(G(x_n) + h_n(x_n)). С учетом (53) будем иметь

∞∞

У^ |xn - xn|(G(xn) + hn(xn)) C У2 (G(xn) + hn(xn) n=-∞

∞∞ an-j | G(xj ) G(xj ) I + ^ ^ an-j | hj (xj ) hj (xj) | j=-∞

∞∞

C £ (|G(xj) - G(xj)| + |hj(xj) - hj(xj)|) £ aj-—n(G(xn) + hn(xj) j=-∞

∞

= £ (|G(xj)- G(xj)| + ^j(xj)- hj(xj)|) xj j=-∞ или

∞

|xn

^{- x}n| (^G(xn) ⁺hn^(xn)) ^{- |G(x}n) ^{- G(x}n^{) |x}n^-

^|hn(xn) - hn(Xn)^|Xn C 0.

n=-∞

В силу 1) и a) с учетом (46) последнее неравенство можно переписать в виде

£ |xn - xn| fG(xn) - |G(xn)   G(xn)|xn + hn(xn) - |hn(xn)   hn(xn)|xn) C 0.

\                |xn - xn|                           |xn - xn|/

Из выпуклости вверх функций G(u) и hj (u) следует, что для всех n G E имеют место оценки

G(xn) > |G(xn) - G(xn)| xn         |xn - xn’

^hn^(xn) xn

>

|hn(xn) - hn(xn)|

|xn - xn

Из (54) с учетом (55) и (56) приходим к противоречию. >

В конце работы приведем несколько примеров для функции G(u) и последовательности функций {hj(u)}j=—^, удовлетворяющих всем условиям доказанной теоремы.

• 1)    G(u) = Т—fn, Р > ², u > 0;

• 2)    G(u) = Tc-^ + (1 — c)u, P > 2, u > 0, c E (0,1);

• 3)    G(u) = max {y*(u - u1+e),u}, u > 0, y* = 1+~ > 1, 0 < e < 1, n = (^)

• 4)    hj (u) = (1 - e Q^lnj ej, u > 0, ej > 0, 0 < Aj < 1, £ Aj < +^, j E Z; j=-^

  -^∞

• 5) hj (u) = 2(1-Aj)u+AjQ(Bj) ’ u ^ 0, в1 ^ 0’ 0 < Aj < 1, £  Aj < +TO, j EZ

3=-^

• 6)    h(u) = ej [(1 — e QB) ln^Xj) + W-2(1-jU7BA 1 , u > 0, вз > 0, 0 < Aj< 1,

• j            2                               2(1-Aj )u+Aj Q(Bj)|                  jj

^£ Aj < +TO, j E Z.

j=-^