О кодах в дистанционно регулярных графах диаметра 3
Автор: Журтов А.Х., Гериева З.С.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.27, 2025 года.
Бесплатный доступ
Пусть Γ является дистанционно регулярным графом диаметра d. Для i∈{1,2,…,d} граф Γi определен на множестве вершин графа Γ и две вершины u, w смежны в~Γi тогда и только тогда, когда dΓ(u,w)=i. Графом Шилла называется дистанционно регулярный граф диаметра 3 с собственным значением θ1=a3. Для графа Шилла число a=a3 делит k и полагают b=b(Γ)=k/a. Граф Шилла имеет массив пересечений {ab,(a+1)(b−1),b2;c1,c2,a(b−1)}. А. Юришич и Я. Видали нашли массивы пересечений дистанционно регулярных графов диаметра 3, содержащих максимальный локально регулярный 1-код, совершенный относительно последней окрестности. Оказалось, что такой граф Γ имеет массив пересечений {a(p+1),cp,a+1;1,c,ap} (и сильно регулярный граф Γ3) или {a(p+1),(a+1)p,c;1,c,ap} (и является графом Шилла). В работе изучаются графы Γ, содержащие максимальный локально регулярный 1-код. Для дистанционно регулярного графа c массивом пересечений {a2,a2−1,c;1,c,a(a−1)} и a<1000, c<1000 кратности собственных значений целые только в случаях (a,c)=(3,4) (и q113<0), (a,c)=(5,3), (a,c)=(9,18) (и q333<0), (a,c)=(21,49) (и q333<0), (a,c)=(21,9). Таким образом, остались только массивы {25,24,3;1,3,20} и {441,440,9;1,9,420)}. При этом дистанционно регулярный граф c массивом пересечений {a2,a2−1,c;1,c,a(a−1)} не существует. Как следствие, дистанционно регулярные графы c массивами пересечений {25,24,3;1,3,20} и {441,440,9;1,9,420)} также не существуют.
Дистанционно регулярный граф, сильно регулярный граф, граф Шилла
Короткий адрес: https://sciup.org/143184861
IDR: 143184861 | УДК: 519.17 | DOI: 10.46698/e5951-0245-2570-i
On Codes in Distance-Regular Graphs of Diameter 3
Let be a distance-regular graph of diameter d. For i ∈ {1, 2, . . . , d} the graph i is defined on the vertex set of and two vertices u, w are adjacent in i if and only if d(u,w) = i. The Shilla graph is a distance-regular graph of diameter 3 with the eigenvalue 1 = a3. For the Shilla graph the number a = a3 divides k and we set b = b() = k/a. The Shilla graph has intersection array {ab, (a+1)(b−1), b2; c1, c2, a(b−1)}. Jurisic and Vidali found intersection arrays of distance-regular graphs of diameter 3 containing the maximal locally regular 1-code perfect with respect to the last neighborhood. Moreover, such graph has intersection arrays {a(p + 1), cp, a + 1; 1, c, ap} (and is a strongly regular graph 3) or {a(p + 1), (a + 1)p, c; 1, c, ap} (and is a Shilla graph). In this manuscript we study graphs such that it contains the maximal locally regular 1-code. For a distance-regular graph with intersection array {a2, a2 −1, c; 1, c, a(a−1)} and a < 1000, c < 1000, the multiplicities of the eigenvalues are integer only in the cases (a, c) = (3, 4) (and q1 13 < 0), (a, c) = (5, 3), (a, c) = (9, 18) (and q3 33 < 0), (a, c) = (21, 49) (and q3 33 < 0), (a, c) = (21, 9). Thus, only arrays {25, 24, 3; 1, 3, 20} and {(441, 440, 9; 1, 9, 420)} remain. Moreover, a distance-regular graph with intersection array {a2, a2 − 1, c; 1, c, a(a − 1)} does not exist. As a consequence, distance-regular graphs with intersection arrays {25, 24, 3; 1, 3, 20} and {(441, 440, 9; 1, 9, 420)} do not exist.
