О коэффициентах рядов экспонент для аналитических функций полиномиального роста

Пусть G — ограниченная выпуклая область в C, d o ^z) := inf _{t e}e \G | z — 1 | , z G G. Для каждого n ∈ N введем банахово пространство

A-n(G) := {f G A(G) : kf kn := sup |f (z)|(dG(z))n < ГО z∈G и положим A ^(G) := indn^A n(G). Для ограниченного множества M C C через Hm обозначим опорную функцию M :

Hm (z) := sup Re(zt), z G C. t ∈ M

Пусть

A := (f G A(C) : p n (f) = sup

(1 + | z | ) n I f (z) l exp H g ( z )

< го ( V n G N)

z ∈ C

Естественная топология, в которой A _G ^∞ является пространством Фреше, задается системой преднорм p _n , n ∈ N.

Положим e \ (z) := exp(Az), A, z G C. Для локально выпуклого пространства E символ E ⁰ обозначает топологическое сопряженное к E. Согласно [18, теорема 4] преобразование Лапласа F(^)(A) := b(A) := ^(е д ), A G C, ^ G A ^-“ (G) 0 , является линейным топологическим изоморфизмом сильного сопряженного A ^ (G) ⁰,, к пространству A ^-“ (G) на A G^ .

Пусть M — ограниченная выпуклая область в C. Для последовательности λj ∈ C, j ∈ N, для каждого n ∈ N определим банахово пространство числовых последовательностей х^ |cj I exp Hm (Aj) л (M) := < c = (cj )jeN C C : |c|n = У^   П i I \ П n    < ГО | ’

I                                 j=1    (1 + |Aj I)            J и положим Л '^(M) := indn^Л-n(M).

Поскольку A'^LM) — (DFS)-пространство [18, замечание 1], то согласно [11] A'^LM) является регулярным индуктивным пределом. По [5, теорема 5] ряд ^^=1 CjeXj сходится абсолютно в A'^LM) тогда и только тогда, когда существует n G N такое, что ряд ^2j=i Cje\j абсолютно сходится в A-n(M). Согласно [18, лемма 2] для любого n G N найдется C < ∞, для которого exp HM (A)            exp HM (A)

λ ∈ C.

C (1 + | A | ) ⁿ 6 ^k e ^{X k n 6} C (1 + | A | ) ⁿ

Поэтому Л ^ (M ) является пространством всех тех и только тех последовательностей c = (c j ) je N , для которых ряд ^Zj ^i C j e X j абсолютно сходится в A '^ LM ). Оператор представления П(с) := ^j ^i C j e X j линейно и непрерывно отображает Л ^ (М) в A '^ LM ).

Система (e X j ) j _e N называется абсолютно представляющей системой (АПС) в A '^ LM ), если оператор представления П : Л ^ (М) ^ A ^--” (M ) сюръективен, т. е. если каждая функция f G A ^-<” (M ) [1] может быть разложена в ряд экспонент f = J2J =i C j e X j , который абсолютно сходится (к f ) в A ^--” (M ).

Для ограниченного выпуклого множества M ⊂ C положим

A ^ := f G A(C) : ( 3 n G N) | f | n := sup         |f ⁽ )|

< ∞

I                                  z e e (1 + | z | ) ⁿ exp Hm (z)

В A _M ^∞ вводится естественная топология (LB)-пространства.

Пусть K — выпуклый компакт в C, µ — аналитический функционал на C (т. е. ц G A(C) 0 ) такой, что ц G A K . Оператор свертки Т р определяется следующим образом [13]:

T p (f)(z):= ^(f (t + z)), z G G, f G A -” (G + K ).

Оператор Т р линейно и непрерывно отображает A ” (G + K ) в A ” (G) [13]. Кроме того, T _p (ex ) = P-Wex для любого A G C.

Из [1, теорема 3.1], с учетом того, что по [13] существует сюръективный оператор свертки Т _р : A ” (G + K ) ^ A -” (G), вытекает

Лемма 1. Пусть K — выпуклый компакт в C . Если (e xj. ) j _G N — АПС в A ” (G + K ) , то (e x . ) j g n — АПС ив A~ ” (GY

Всюду далее K — выпуклый компакт в C, а функция L G A g ₊ k удовлетворяет следующим условиям, введенным в [14]:

• (L1) Существуют p o G N и последовательность R k > 0, k G N, R k t + to , такие, что

• log |L(A)| > Hg(A)+ Hk(A) - polog(1 + |A|), |A| = Rk, k G N.

• (L2) (A j ) j _GN — последовательность всех (попарно различных) нулей L, каждый нуль λ j простой и

• . log |L0(Ak)|- Hg(A3) - Hk(Aj)

liminf---------—---------— >  -to .

j ^^           log(1 + | A j | )

Замечание 1. (a) Согласно [14, теорема 1.2] (e x . ) j _G N — АПС в A ” (G + K ).

• (б) Пусть A ” (G + K ) — пространство Фреше всех аналитических в G + K функций, бесконечно дифференцируемых на G + K (G + K — замыкание G + K в C). Согласно [10] (см. также [20, замечание 3.10]) F — линейный топологический изоморфизм сильного сопряженного A ^ (G + K ) в к A ^ (G + K ) на A ^ ₊ k . Пусть функционалы V j G A ^ (G + K ) 0 таковы, что V j (z) = _L,( xL ^ Z — x - ) , j G N- Согласно [6] каждая функция f G A ” (G + K ) разлагается в ряд экспонент

∞ f = X Vj(f )ех., j=i абсолютно сходящийся в A ”(G + K). Отсюда и из [18, теорема 5] следует, что (ex.)jGN — АПС в A ”(G + K), а значит, по лемме 1 и в A-”(G).

Определим пространство последовательностей

K _G ” := ' c = (c) jG N G C

( V n G N) q n (c) := sup ^{| C j | (} 1 ^{+ | A} j |) <  to ie N exp H _G (A j )

и снабдим его естественной топологией пространства Фреше. Согласно [15, теорема 4.7] Л^-<”^) и K₍^-C” — монтелевские, а значит, и рефлексивные локально выпуклые пространства. В силу [15, следствие 2.8] сильное сопряженное к Л ^-“ (G) пространство посредством отображения ф ^ (^(e ( j ) )) j _GN , где e j ) := (6 jk ) k _GN , j G N, а 6 jk — символ Кронекера, можно отождествить с K _G ^-∞ . При таком отождествлении двойственность между Л ^-“ (G) и K y^ задается билинейной формой h c, d i := 52j =i C j d j , c G Л ^ (G), d G K g ^ . Если сопряженное к Л ^-“ (G) отождествить таким образом с K -^ , а сопряженное к A ^-“ (G) (посредством преобразования Лапласа) — с A ^ ^ , то оператор R(f) := (f (A j )) je N , f G A G ” , является сопряженным к оператору представления П и линейно и непрерывно отображает пространство A ^- _G ^∞ в K _G ^-∞ .

Замечание 2. Поскольку Л ^-“ (G) и A ^-“ (G) — (DFS)-пpocтpaнcтвa, то оператор П : Л ^-“ (G) ^ A ^-“ (G) имеет линейный непрерывный правый обратный тогда и только тогда, когда оператор R : A G^ ^ К у^ имеет линейный непрерывный левый обратный.

Следующая лемма доказывается стандартным образом (см., например, [3, Гл. IV, §4], [4, Гл. IV, §6], [8, лемма 1.4]).

Лемма 2. Для любой функции f G A g ^ k справедливо разложение

• ^{f (z)} = § L          A , ) ^f " ’■ ^{z G} C'

где ряд равномерно сходится на компактах в C .

Теорема 1. Следующие утверждения равносильны:

• (i)    Оператор П : Л ^ (G) ^ A ^-“ (G) имеет линейный непрерывный правый обратный.

• (ii)    Существует функция Q G A(C ² ) такая, что Q(z, z) = L(z), z G C , и для любого n существуют m и C >  0 такие, что

• |Q(z,^)| 6 С exp (Hg(z) + Hk (д) - n log(1 + |z|) + m log(1 + |д|)), z, ^ G C.

C Мы воспользуемся методом, примененным в [8] при доказательстве теоремы 1.8. В [8] он использован в случае, когда оператор R определен на индуктивном пределе последовательности весовых банаховых пространств целых функций.

• (ii)    = ^ (i): Стандартным образом, применяя принцип максимума модуля к целым функциям Q , (z) := (z — xzL'lx ■ ) и учитывая оценки сверху для | Q | в (ii) и оценки снизу (L2) для | L ^/ (A , ) | , существуют s, C 2 > 0, для которых для любого n найдутся m и С ; >  0 такие, что

  | Q , ( z ) | 6

  
  

  C i exp(H y (z) + Hk (A , ) - n log(1 + | z | ) + m log(1 + | A , | )) C 2 ехр(Н у (А , ) + Hk (A , ) - s log(1 + | A , | ))

  
  

  C ■ ■ \   ■ ■ -pH-

  C 2 (1 + | z | ) n exp H g ( A , )

  
  

  z ∈ C , j ∈ N .

  
  
  
  

Из неравенства (1) следует, что Q j ∈ A ^- _G ^∞ , j ∈ N.

Покажем, что для любого c ∈ K _G ^-∞ ряд _{j ∈ N} c j Q j абсолютно сходится в A ^- _G ^∞ . Зафиксируем n G N и выберем s, m, C ; , C 2 , как в (1). Тогда

P n ^(Q , ) = sup ^{(1 + | z |}^ ^{| Q j ( z ) |} 6 C ¹ exp (⁽m ^{+ s)}l°g^{(1 + | A} , | ) ^- H G ^(A , )).

ze C    exp Hg ( z )      C 2

Поэтому для любого c ∈ K _G ^-∞

X ^{| c} j ^| P n ^(Q j ) ⁶ C ¹ X ^{| c} j | ^exp (^{(m + s)l}og^{(1 + | A} , | ) ^{- H} G ^(A , ))

,e N                   ² ,e N

• ⁶ C ¹ X । exp (⁽m ⁺ s ^{+ 2)l}og^{(1 + | A} , | ) ^{- 2l}og^{(1 + | A} , | ) ^- H G ^(A , )) ⁶ C 1 C ³ q m + s +2 ^(c),

• ² ,e N                                                                                    ²

где C 3 ^:= P ,e N (1+^. | ) 2 <  ro .

Таким образом, ряд Xj e N c j Q j сходится в A ,” для любой последовательности c Е K , ” , и линейный оператор к(с) := Xj r N C j Q j непрерывно отображает K G” в A ,” .

Покажем, что к — левый обратный к R. Отметим, что Q(z, • )/ Е A, ” k для всякой функции f Е A , ” и произвольного z Е C. Поэтому по лемме 2 для любых f Е A G ” , z Е C

HzWRf ))(z) = L(z) £    Qiz.^jo), , f (A j )

j- N ^(z - ^A j ^)L v- j )

= X 7---- tv on  Q(z, A j )f (A j ) = Q(z, z)f (z) = L(z)f (z)

j - N ^(z - ^A j ^{)L (A} j )

Отсюда следует, что K(R(f )) = f , f Е A G ” .

• (i)    = ^ (ii): По замечанию 2 существует линейный непрерывный левый обратный к к оператору R. Положим f j := к(е у ) ), где e j := ( j ) k - N , j Е N. Поскольку оператор к : K G” ^ A ,” непрерывен, для любого n Е N существуют k Е N, B <  го такие, что Р п (к(с)) 6 Bq k (c), c Е K G ” . При c : = e( j ) получим

(1 + |z|)n |fj (z)|         (1 + |Aj |)k sup LT f \    6 B LT l\ \, j Е N *

z - c   exp H g ( z )        exp H , (A j )

Следовательно,

I f j (z) l 6 B . Ы> exp(H G (z) - Hg ( A ₃ )), z Е C, j Е N*            (2)

(1 + |z| )

Так как для всякой последовательности c Е K , ” ряд XjeN C j e( j ) сходится абсолютно в K _G ^-” (к c ), то для любой функции f Е A ^- _G ^”

f = K(R(f )) = к( £ f (A j j = £ f (A j )к(е _{{з )} ) = X f (A j )f j ,         (3)

j∈N               j∈N                j∈N причем последний ряд сходится абсолютно в A-G∞ .

Зафиксируем z Е C и положим

Tz(f )(ц):= Y,Lj(^)fj(z)(z - Aj)f (Aj), f Е AG”, ц Е C, j∈N где Lj(ц) := ^L-^j.

В силу того, что ряд, стоящий в правой части последнего равен- ства, равномерно сходится на компактах в C (по µ), оператор Tz линейно и (по теореме

Банаха — Штейнгауза) непрерывно отображает A , ” в A(C). Пусть M — оператор умножения на независимую переменную: M(f)(t) := tf (t), t Е C, f Е A ,” . Покажем, что M о T z = T z о M . Учитывая равенство (3), получим

^T z (f )(ц) - T z (M(f ))(ц) = XL j (^)f j (z)(z - A j )^f (A j )

j ∈ N

• ^- X L j ⁽ ^) ^f j ^{(z)(z - A} j ^)A j ^{f (A} j ) = ^L( ^) X ^f j ^{(z)(z - A} j ^{)f (A} j )

j ∈ N                                       j ∈ N

= L(^) (z X f j (z^f (A j ) - X f j (z^A j f (A j )) = L(^)(zf (z) - zf (z)) = 0* j ∈ N                j ∈ N

По [8, лемма 1.7] для любого z ∈ C существует целая функция az такая, что для любых f ∈ A-G∞ и µ ∈ C az(ц)f (ц) = Tz(f )(ц) = ^Lj(ц)fj(z)(z - Aj)f (Aj).                  (4)

j ∈ N

Положим Q(z,ц) := a z (ц), z,ц E C. Так как ряд (4) сходится в A G” (по z), то для всякого ц E C функция Q(z,ц) целая в C (по z), и, следовательно, Q(z,ц) E A(C 2 ).

Покажем, что | Q | удовлетворяет оценкам сверху в (ii). Зафиксируем n E N. Найдутся m 0 ∈ N и постоянная B 1 такие, что

| L j (ц) | 6 B i exp(H G (ц) + Hk (ц) + m o log(1 + | ц | )), j E N, ц E C.        (5)

Из равенства (4) следует, что для любых z, µ ∈ C

^Q(z,Ц^)e ^ = ^L j Ш ^{(z)(z - A} j ^)e X j ,                     ⁽⁶⁾

j∈N причем последний ряд сходится в A ”(G). По [18, лемма 2] существует B2 < о такое, что

_expH G (A^_              expH G X),

B ₂ (1 + | A | ) ^{k +}3 6 k ^{A k k +}3 6 ² (1 + | A | ) ^{k +}3 ,       ^E ,

где k выбрано по n, как в неравенстве (2). Тогда, c учетом (2), (5)–(7),

Mz^ H e p. k k +3 ⁶ ZL|L j ⁽Ц) | ^{| f} j ^{(z) | ( | z | + | A} j Dlle ^ j k k +3 ⁶ BB1B2 ^2^^xP ^(H G ⁽ Ц ⁾ j ∈ N                                                 j ∈ N

+ Hk (ц) + m o log(1 + | ц | ) + k log(1 + | A j | ) - n log(1 + | z | ) + H g ( z )

^{— H} G ^(A j ) ^{+ H} G ^(A j ) ^{— (k + 3) log(1 + | A} j | ) ^{+ log(1 + | z | ) + log(1 + | A} j D)

= BB1B2B3 exp(HG(ц) + Hk(ц) + mo log(1 + |ц|) - (n - 1)log(1 + |z|) + Hg(z)), где B3 := 52jGN(1 + |Aj|)-2 < о. Вследствие (7) для любых z,ц E C

| Q(z,ц) | 6 BB1BIB3 exp(H G (z) + Hk (ц)

- (n - 1) log(1 + | z | ) + (m o + k + 3) log(1 + | ц | )).

Значит, функция Q удовлетворяет оценкам сверху в (ii). Отсюда следует, что Q(z, ^ )f E A ^- _{G +} ^∞ _K для любой функции f ∈ A ^- _G ^∞ и произвольного z ∈ C.

Покажем, что Q(z,z) = L(z), z E C. Возьмем функцию f E A G ” такую, что f (A j ) = 1.

Из (4) следует, что Q(z, A j ) = L(A j )(z - A j )f j (z), j E N, z E C. По лемме 2 для f E A G ”

L(z)f (z) = X L(z)f j (z)f(A j ) = X L(z) ^Q, (z ^{,A ) f ( A i} ) = Q(z,z)f(z). je N                     j ₆N      ^L(A j ^{l(z - A} j )

Поэтому Q(z,z) = L(z), z E C. Таким образом, функция Q удовлетворят условиям в (ii).

При доказательстве леммы 3 мы будем использовать приводимое ниже следствие (доказательства) теоремы [12, теорема 4.4.3].

Теорема 2. Пусть v — плюрисубгармоническая функция в C ² , X — комплексная одномерная плоскость в C ² . Для любой аналитической функции f на X , для которой

J _s | f | ² exp( - v)da <  ro (da обозначаем меру Лебега на S) , существует целая в C ² функция F такая, что F = f на Е и

/

| F | ² (1 + | z | ) ³ exp( - v i

)dX 6 C j

I f | 2 exp( - v) da,

Σ

где v1(z) := sup |t|6 1 v(z + t), z E C ² , dX — мера Лебега в C ² , | t | := ( | t i 1 ² + | t ₂ 1 ² ) ^{1 / 2} , t g C ² , константа C не зависит от f .

Лемма 3. Следующие условия равносильны:

• (I)    Существует функция Q, такая как в (ii) теоремы 5.

• (II)    Существует плюрисубгармоническая в C ² функция P такая, что P(z, z) >  H g ( z ) + Hk (z) , z E C , и для любого n существуют m и C <  ro такие, что

• P(z, д) 6 Hg(z) + Hk(д) - nlog(1 + |z|) + mlog(1 + |д|) + C, z, д E C.

• (III)    Существуют субгармонические в C функции u _t , vt, t E C , такие, что u _t (t) >  0 , v t (t) >  0 , t E C, и для любого n существуют m и C <  ro такие, что

• (a)    ut(z) 6 Hg(z) — HG(t) — nlog(1 + |z|) + mlog(1 + |t|) + C, z,t E C; (b)    vt(д) 6 Hk(д) - Hk(t) - nlog(1 + |t|) + mlog(1 + |д|) + C, д,t E C.

• <1 (II) ^ (III): Положим

u t (z) := P (z, t) - P (t,t), v t (^) := P (t,д) - P (t,t), z,д,t E C.

• (III) ^ (II): Пусть

P o (z, д) := sup(u t (z) + vt (д) + Hk (t) + Hk (t)), z, д E C.

t ∈ C

Поскольку u t (t) >  0, v t (t) >  0, выполняется неравенство P o (z,z) >  H g ( z ) + Hk (z), z E C.

Зафиксируем n E N. Существуют k = k(n), m = m(k), Ci = Ci(n) < ro, C2 = C2(k) < ro такие, что ut(z) 6 Hg(z) - HG(t) - n log(1 + |z|) + k log(1 + |t|) + Ci, z,t E C,

и vt(д) 6 Hk(д) - Hk(t) - klog(1 + |t|) + mlog(1 + |д|) + C2, д,t E C.

Поэтому

P o (z, д) 6 H g ( z ) + Hk (д) - n log(1 + | z | ) + m log(1 + | д | ) + C i + C 2 , z, д E C.

В качестве P можно взять полунепрерывную сверху регуляризацию P ₀ ^∗ функции P 0 .

• (I)    ^ (II): Пусть функция Q E A(C ² ) удовлетворяет условиям в (ii) теоремы 1. Тогда плюрисубгармоническая в C ² функция log | Q | удовлетворяет оценкам сверху в (ii). В силу [13, замечание 1.3] существуют p 0 ∈ N и последовательность (попарно непере-секающихся) кругов B k := { z E C : | z - д к < r k } , д к ^ ro , 52^ =1 r k <  ro , такие, что

• ∞

log |L(z)| > Hg(z) + Hk(z) - po log(1 + |z|), z E B := [ Bk- k=1

Заметим, что существует A > 0 такое, что

H g ( z ) + H k (z) 6 | ii 6 ( H g (z + t) + H k (z + t)) + A, z E C.

Положим

Pi(z,^):=    sup    log | Q(z + h i ,д + h 2 ) | + p o log(1 + | z | ), z,^ E C.

|h 1 |6 1 ,|h 2 |6 1

Функция Pi плюрисубгармоническая в C ² и удовлетворяет оценкам сверху из (ii).

Поскольку ^2^=1 Гк < го, то существует число R > 0 со следующим свойством: если |z| > R, то найдется wz E C такое, что |wz — z| < 1 и wz / B, а значит, log |L(wz)| > Hg(Wz) + Hk(wz) — Po log(1 + |wz|).

Поэтому, если | z | >  R, то

P i (z,z) >  sup (log | L(z + t) | + P o log(1 + | z + t | ))

| t |6 1

> log | L(w z ) | + P o log(1 + | w z | ) >  Hg ( wz ) + Hk (w z ) >  H g ( z ) + Hk (z) — A.

Заметим, что B := inf |_z|6R P i (z,z) >  —го и C := sup |z6R ⁽H G ^{(z) +} H K ^(z))<  ^ro Поэтому плюрисубгармоническая в C ² функция P := Pi + A + | C — B | удовлетворяет условиям в (II).

• (II)    ^ (I): Пусть X := { (z,z) : z E C } ; m o E N и M <  го таковы, что | L(z) | 6 M exp(H Q (z) + Hk (z) + m o log(1 + | z | )), z E C. По теореме 2, примененной к функциям f = L, v(z, ^) = 2P(z, ^) + (2m o +3)log(1 + | z | ), z, ^ E C, существует целая в C ² функция Q со свойствами, как в (II). (При этом используется стандартная процедура перехода от интегральных оценок к равномерным.) B

Лемма 4. Для любой ограниченной выпуклой области G ⊂ C существуют субгармо нические в C функции u t , t E C , такие, как в (III) леммы 3 .

• <1    Без ограничения общности можно считать, что 0 E G. Тогда существуют а, в > 0 такие, что а|z| 6 H g ( z ) 6 в|z|, z E C. Пусть | t | >  1. Положим

u t (z):=f1 — ^М1 + ^№ W(z) — H G (t)), z E C.

| t |

Функции ut субгармонические в C и ut(t) = 0. Возьмем n E N. Имеем ut(z) = HG(z) — HG(t) — 'og" ,|' № HG(z) + ‘^^ № HG(t)

^log^{(1 +} ’ tD I I , M^{1 +} HLia

^{6 H} G ^{(z) —} H G ^(t)-- | t |----- ^{а | z |} +| t |----- ^в | t |

= H g ( z ) — H g ( , ) — i2^g|z| + вlog(1 + |t|)

= Hg(z) — Hg(,) — n log(1 + |z|) + (n + в) log(1 + |t|) + g(z,t), где g(z,t) = nlog(1 + |z|) — nlog(1 + |t|) — a^ log(1 + |t|), z E C.

Для любых t E C, | t | >  1, z E C

g(z,t) = n log(1 + | z | )

— n log(1 + | t | )

^{— a} T z T ^log^{(1 +} ’ t ’ ) ^{6 n lo}g (^{1 +} T z T | t |                                                                                      | t |

| z |

^{— a}TT ^log²- | t |

Поэтому существует постоянная C такая, что g(z,t) 6 C для любых t Е C, | t | >  1, и z Е C. Если | t | < 1, то положим u t = 0. Возьмем m Е N так, чтобы m >  n + в • Тогда найдется постоянная C 1 , для которой

U t (z) 6 Hg ( z ) - H g (t) — n log(1 + | t | ) + m log(1 + | t | ) + C 1

для любых t, z Е C. B

Лемма 5. Следующие утверждения эквивалентны:

• (I)    Существуют субгармонические функции v t , t Е C , такие, что v t (t) >  0 и для любого n существуют k и C <  ∞ такие, что

• vt(z) 6 Hk(z) — Hk(t) + klog(1 + |z|) - nlog(1 + |t|) + C, z,t Е C.

• (II)    Компакт K отличен от точки.

• <1 (I) ^ (II): Пусть существует семейство субгармонических функций v t , t Е C, как в (I). Предположим, что компакт K совпадает с точкой w q . Функция Hk (z) = Re(zw o ), z Е C, является гармонической в C. Тогда субгармонические в C функции e _t (z) := v _t (z) — Hk (z) + Hk (t), z Е C, удовлетворяют следующим условиям: v t (t) >  0, t Е C, и для любого n существуют k и C <  ∞ такие, что

• Vt(t) 6 k log(1 + |z|) — n log(1 + |t|) + C, z Е C.

Согласно доказательству теоремы 2.6 из [17, с. 374] такого семейства функций v e _t , t ∈ C, не существует. Получено противоречие.

• (II) ^ (I): Пусть компакт K отличен от точки. Если int K = 0, то семейство функций v t , t Е C, как в (I), существует ввиду [16, лемма 4.10, см. также ее доказательство]. Если же int K = 0, то семейство v t , t Е C, как в (I), существует согласно [20, с. 21, доказательство замечания 3.10]. B

Из теоремы 1 и лемм 3–5 вытекает основной результат работы.

Теорема 3. Оператор представления П : Л G“ ^ A ^-“ (G) имеет линейный непрерывный правый обратный тогда и только тогда, когда выпуклый компакт K отличен от точки.

Авторы выражают признательность проф. А. В. Абанину за ценные замечания.