О коэффициентах рядов экспонент для аналитических функций полиномиального роста
Автор: Варзиев Владислав Аликович, Мелихов Сергей Николаевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.13, 2011 года.
Бесплатный доступ
В работе доказан критерий того, что оператор представления рядами экспонент аналитических в выпуклой ограниченной области~$G$ функций полиномиального роста вблизи границы $G$ имеет линейный непрерывный правый обратный. Показателями рассматриваемых рядов экспонент являются нули специальной целой функции.
Ряды экспонент, аналитические функции полиномиального роста, оператор представления, линейный непрерывный правый обратный.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318360
IDR: 14318360
Текст научной статьи О коэффициентах рядов экспонент для аналитических функций полиномиального роста
Пусть G — ограниченная выпуклая область в C, d o ^z) := inf t ee \G | z — 1 | , z G G. Для каждого n ∈ N введем банахово пространство
A-n(G) := {f G A(G) : kf kn := sup |f (z)|(dG(z))n < ГО z∈G и положим A ^(G) := indn^A n(G). Для ограниченного множества M C C через Hm обозначим опорную функцию M :
Hm (z) := sup Re(zt), z G C. t ∈ M
Пусть
A := (f G A(C) : p n (f) = sup
(1 + | z | ) n I f (z) l exp H g ( z )
< го ( V n G N)
z ∈ C
Естественная топология, в которой A G ∞ является пространством Фреше, задается системой преднорм p n , n ∈ N.
Положим e \ (z) := exp(Az), A, z G C. Для локально выпуклого пространства E символ E 0 обозначает топологическое сопряженное к E. Согласно [18, теорема 4] преобразование Лапласа F(^)(A) := b(A) := ^(е д ), A G C, ^ G A -“ (G) 0 , является линейным топологическим изоморфизмом сильного сопряженного A ^ (G) 0,, к пространству A -“ (G) на A G^ .
Пусть M — ограниченная выпуклая область в C. Для последовательности λj ∈ C, j ∈ N, для каждого n ∈ N определим банахово пространство числовых последовательностей х^ |cj I exp Hm (Aj) л (M) := < c = (cj )jeN C C : |c|n = У^ П i I \ П n < ГО | ’
I j=1 (1 + |Aj I) J и положим Л '^(M) := indn^Л-n(M).
Поскольку A'^LM) — (DFS)-пространство [18, замечание 1], то согласно [11] A'^LM) является регулярным индуктивным пределом. По [5, теорема 5] ряд ^^=1 CjeXj сходится абсолютно в A'^LM) тогда и только тогда, когда существует n G N такое, что ряд ^2j=i Cje\j абсолютно сходится в A-n(M). Согласно [18, лемма 2] для любого n G N найдется C < ∞, для которого exp HM (A) exp HM (A)
λ ∈ C.
C (1 + | A | ) n 6 k e X k n 6 C (1 + | A | ) n
Поэтому Л ^ (M ) является пространством всех тех и только тех последовательностей c = (c j ) je N , для которых ряд ^Zj ^i C j e X j абсолютно сходится в A '^ LM ). Оператор представления П(с) := ^j ^i C j e X j линейно и непрерывно отображает Л ^ (М) в A '^ LM ).
Система (e X j ) j e N называется абсолютно представляющей системой (АПС) в A '^ LM ), если оператор представления П : Л ^ (М) ^ A --” (M ) сюръективен, т. е. если каждая функция f G A -<” (M ) [1] может быть разложена в ряд экспонент f = J2J =i C j e X j , который абсолютно сходится (к f ) в A --” (M ).
Для ограниченного выпуклого множества M ⊂ C положим
A ^ := f G A(C) : ( 3 n G N) | f | n := sup |f ( )|
< ∞
I z e e (1 + | z | ) n exp Hm (z)
В A M ∞ вводится естественная топология (LB)-пространства.
Пусть K — выпуклый компакт в C, µ — аналитический функционал на C (т. е. ц G A(C) 0 ) такой, что ц G A K . Оператор свертки Т р определяется следующим образом [13]:
T p (f)(z):= ^(f (t + z)), z G G, f G A -” (G + K ).
Оператор Т р линейно и непрерывно отображает A ” (G + K ) в A ” (G) [13]. Кроме того, T p (ex ) = P-Wex для любого A G C.
Из [1, теорема 3.1], с учетом того, что по [13] существует сюръективный оператор свертки Т р : A ” (G + K ) ^ A -” (G), вытекает
Лемма 1. Пусть K — выпуклый компакт в C . Если (e xj. ) j G N — АПС в A ” (G + K ) , то (e x . ) j g n — АПС ив A~ ” (GY
Всюду далее K — выпуклый компакт в C, а функция L G A g + k удовлетворяет следующим условиям, введенным в [14]:
-
(L1) Существуют p o G N и последовательность R k > 0, k G N, R k t + to , такие, что
- log |L(A)| > Hg(A)+ Hk(A) - polog(1 + |A|), |A| = Rk, k G N.
-
(L2) (A j ) j GN — последовательность всех (попарно различных) нулей L, каждый нуль λ j простой и
- . log |L0(Ak)|- Hg(A3) - Hk(Aj)
liminf---------—---------— > -to .
j ^^ log(1 + | A j | )
Замечание 1. (a) Согласно [14, теорема 1.2] (e x . ) j G N — АПС в A ” (G + K ).
-
(б) Пусть A ” (G + K ) — пространство Фреше всех аналитических в G + K функций, бесконечно дифференцируемых на G + K (G + K — замыкание G + K в C). Согласно [10] (см. также [20, замечание 3.10]) F — линейный топологический изоморфизм сильного сопряженного A ^ (G + K ) в к A ^ (G + K ) на A ^ + k . Пусть функционалы V j G A ^ (G + K ) 0 таковы, что V j (z) = L,( xL ^ Z — x - ) , j G N- Согласно [6] каждая функция f G A ” (G + K ) разлагается в ряд экспонент
∞ f = X Vj(f )ех., j=i абсолютно сходящийся в A ”(G + K). Отсюда и из [18, теорема 5] следует, что (ex.)jGN — АПС в A ”(G + K), а значит, по лемме 1 и в A-”(G).
Определим пространство последовательностей
K G ” := ' c = (c) jG N G C
( V n G N) q n (c) := sup | C j | ( 1 + | A j |) < to ie N exp H G (A j )
и снабдим его естественной топологией пространства Фреше. Согласно [15, теорема 4.7] Л-<”^) и K(-C” — монтелевские, а значит, и рефлексивные локально выпуклые пространства. В силу [15, следствие 2.8] сильное сопряженное к Л -“ (G) пространство посредством отображения ф ^ (^(e ( j ) )) j GN , где e j ) := (6 jk ) k GN , j G N, а 6 jk — символ Кронекера, можно отождествить с K G -∞ . При таком отождествлении двойственность между Л -“ (G) и K y^ задается билинейной формой h c, d i := 52j =i C j d j , c G Л ^ (G), d G K g ^ . Если сопряженное к Л -“ (G) отождествить таким образом с K -^ , а сопряженное к A -“ (G) (посредством преобразования Лапласа) — с A ^ ^ , то оператор R(f) := (f (A j )) je N , f G A G ” , является сопряженным к оператору представления П и линейно и непрерывно отображает пространство A - G ∞ в K G -∞ .
Замечание 2. Поскольку Л -“ (G) и A -“ (G) — (DFS)-пpocтpaнcтвa, то оператор П : Л -“ (G) ^ A -“ (G) имеет линейный непрерывный правый обратный тогда и только тогда, когда оператор R : A G^ ^ К у^ имеет линейный непрерывный левый обратный.
Следующая лемма доказывается стандартным образом (см., например, [3, Гл. IV, §4], [4, Гл. IV, §6], [8, лемма 1.4]).
Лемма 2. Для любой функции f G A g ^ k справедливо разложение
-
f (z) = § L A , ) f " ’■ z G C'
где ряд равномерно сходится на компактах в C .
Теорема 1. Следующие утверждения равносильны:
-
(i) Оператор П : Л ^ (G) ^ A -“ (G) имеет линейный непрерывный правый обратный.
-
(ii) Существует функция Q G A(C 2 ) такая, что Q(z, z) = L(z), z G C , и для любого n существуют m и C > 0 такие, что
- |Q(z,^)| 6 С exp (Hg(z) + Hk (д) - n log(1 + |z|) + m log(1 + |д|)), z, ^ G C.
C Мы воспользуемся методом, примененным в [8] при доказательстве теоремы 1.8. В [8] он использован в случае, когда оператор R определен на индуктивном пределе последовательности весовых банаховых пространств целых функций.
-
(ii) = ^ (i): Стандартным образом, применяя принцип максимума модуля к целым функциям Q , (z) := (z — xzL'lx ■ ) и учитывая оценки сверху для | Q | в (ii) и оценки снизу (L2) для | L / (A , ) | , существуют s, C 2 > 0, для которых для любого n найдутся m и С ; > 0 такие, что
| Q , ( z ) | 6
C i exp(H y (z) + Hk (A , ) - n log(1 + | z | ) + m log(1 + | A , | )) C 2 ехр(Н у (А , ) + Hk (A , ) - s log(1 + | A , | ))
C ■ ■ \ ■ ■ -pH-
C 2 (1 + | z | ) n exp H g ( A , )
z ∈ C , j ∈ N .
Из неравенства (1) следует, что Q j ∈ A - G ∞ , j ∈ N.
Покажем, что для любого c ∈ K G -∞ ряд j ∈ N c j Q j абсолютно сходится в A - G ∞ . Зафиксируем n G N и выберем s, m, C ; , C 2 , как в (1). Тогда
P n (Q , ) = sup (1 + | z |^ | Q j ( z ) | 6 C 1 exp ((m + s)l°g(1 + | A , | ) - H G (A , )).
ze C exp Hg ( z ) C 2
Поэтому для любого c ∈ K G -∞
X | c j | P n (Q j ) 6 C 1 X | c j | exp ((m + s)log(1 + | A , | ) - H G (A , ))
,e N 2 ,e N
-
6 C 1 X । exp ((m + s + 2)log(1 + | A , | ) - 2log(1 + | A , | ) - H G (A , )) 6 C 1 C 3 q m + s +2 (c),
-
2 ,e N 2
где C 3 := P ,e N (1+^. | ) 2 < ro .
Таким образом, ряд Xj e N c j Q j сходится в A ,” для любой последовательности c Е K , ” , и линейный оператор к(с) := Xj r N C j Q j непрерывно отображает K G” в A ,” .
Покажем, что к — левый обратный к R. Отметим, что Q(z, • )/ Е A, ” k для всякой функции f Е A , ” и произвольного z Е C. Поэтому по лемме 2 для любых f Е A G ” , z Е C
HzWRf ))(z) = L(z) £ Qiz.^jo), , f (A j )
j- N (z - A j )L v- j )
= X 7---- tv on Q(z, A j )f (A j ) = Q(z, z)f (z) = L(z)f (z)
j - N (z - A j )L (A j )
Отсюда следует, что K(R(f )) = f , f Е A G ” .
-
(i) = ^ (ii): По замечанию 2 существует линейный непрерывный левый обратный к к оператору R. Положим f j := к(е у ) ), где e j := ( j ) k - N , j Е N. Поскольку оператор к : K G” ^ A ,” непрерывен, для любого n Е N существуют k Е N, B < го такие, что Р п (к(с)) 6 Bq k (c), c Е K G ” . При c : = e( j ) получим
(1 + |z|)n |fj (z)| (1 + |Aj |)k sup LT f \ 6 B LT l\ \, j Е N *
z - c exp H g ( z ) exp H , (A j )
Следовательно,
I f j (z) l 6 B . Ы> exp(H G (z) - Hg ( A 3 )), z Е C, j Е N* (2)
(1 + |z| )
Так как для всякой последовательности c Е K , ” ряд XjeN C j e( j ) сходится абсолютно в K G -” (к c ), то для любой функции f Е A - G ”
f = K(R(f )) = к( £ f (A j j = £ f (A j )к(е {з ) ) = X f (A j )f j , (3)
j∈N j∈N j∈N причем последний ряд сходится абсолютно в A-G∞ .
Зафиксируем z Е C и положим
Tz(f )(ц):= Y,Lj(^)fj(z)(z - Aj)f (Aj), f Е AG”, ц Е C, j∈N где Lj(ц) := ^L-^j.
В силу того, что ряд, стоящий в правой части последнего равен- ства, равномерно сходится на компактах в C (по µ), оператор Tz линейно и (по теореме
Банаха — Штейнгауза) непрерывно отображает A , ” в A(C). Пусть M — оператор умножения на независимую переменную: M(f)(t) := tf (t), t Е C, f Е A ,” . Покажем, что M о T z = T z о M . Учитывая равенство (3), получим
^T z (f )(ц) - T z (M(f ))(ц) = XL j (^)f j (z)(z - A j )^f (A j )
j ∈ N
-
- X L j ( ^) f j (z)(z - A j )A j f (A j ) = L( ^) X f j (z)(z - A j )f (A j )
j ∈ N j ∈ N
= L(^) (z X f j (z^f (A j ) - X f j (z^A j f (A j )) = L(^)(zf (z) - zf (z)) = 0* j ∈ N j ∈ N
По [8, лемма 1.7] для любого z ∈ C существует целая функция az такая, что для любых f ∈ A-G∞ и µ ∈ C az(ц)f (ц) = Tz(f )(ц) = ^Lj(ц)fj(z)(z - Aj)f (Aj). (4)
j ∈ N
Положим Q(z,ц) := a z (ц), z,ц E C. Так как ряд (4) сходится в A G” (по z), то для всякого ц E C функция Q(z,ц) целая в C (по z), и, следовательно, Q(z,ц) E A(C 2 ).
Покажем, что | Q | удовлетворяет оценкам сверху в (ii). Зафиксируем n E N. Найдутся m 0 ∈ N и постоянная B 1 такие, что
| L j (ц) | 6 B i exp(H G (ц) + Hk (ц) + m o log(1 + | ц | )), j E N, ц E C. (5)
Из равенства (4) следует, что для любых z, µ ∈ C
Q(z,Ц)e ^ = ^L j Ш (z)(z - A j )e X j , (6)
j∈N причем последний ряд сходится в A ”(G). По [18, лемма 2] существует B2 < о такое, что
_expH G (A^_ expH G X),
B 2 (1 + | A | ) k +3 6 k A k k +3 6 2 (1 + | A | ) k +3 , E ,
где k выбрано по n, как в неравенстве (2). Тогда, c учетом (2), (5)–(7),
Mz^ H e p. k k +3 6 ZL|L j (Ц) | | f j (z) | ( | z | + | A j Dlle ^ j k k +3 6 BB1B2 ^2^xP (H G ( Ц ) j ∈ N j ∈ N
+ Hk (ц) + m o log(1 + | ц | ) + k log(1 + | A j | ) - n log(1 + | z | ) + H g ( z )
— H G (A j ) + H G (A j ) — (k + 3) log(1 + | A j | ) + log(1 + | z | ) + log(1 + | A j D)
= BB1B2B3 exp(HG(ц) + Hk(ц) + mo log(1 + |ц|) - (n - 1)log(1 + |z|) + Hg(z)), где B3 := 52jGN(1 + |Aj|)-2 < о. Вследствие (7) для любых z,ц E C
| Q(z,ц) | 6 BB1BIB3 exp(H G (z) + Hk (ц)
- (n - 1) log(1 + | z | ) + (m o + k + 3) log(1 + | ц | )).
Значит, функция Q удовлетворяет оценкам сверху в (ii). Отсюда следует, что Q(z, ^ )f E A - G + ∞ K для любой функции f ∈ A - G ∞ и произвольного z ∈ C.
Покажем, что Q(z,z) = L(z), z E C. Возьмем функцию f E A G ” такую, что f (A j ) = 1.
Из (4) следует, что Q(z, A j ) = L(A j )(z - A j )f j (z), j E N, z E C. По лемме 2 для f E A G ”
L(z)f (z) = X L(z)f j (z)f(A j ) = X L(z) Q, (z ,A ) f ( A i ) = Q(z,z)f(z). je N j 6N L(A j l(z - A j )
Поэтому Q(z,z) = L(z), z E C. Таким образом, функция Q удовлетворят условиям в (ii).
При доказательстве леммы 3 мы будем использовать приводимое ниже следствие (доказательства) теоремы [12, теорема 4.4.3].
Теорема 2. Пусть v — плюрисубгармоническая функция в C 2 , X — комплексная одномерная плоскость в C 2 . Для любой аналитической функции f на X , для которой
J s | f | 2 exp( - v)da < ro (da обозначаем меру Лебега на S) , существует целая в C 2 функция F такая, что F = f на Е и
/
| F | 2 (1 + | z | ) 3 exp( - v i
)dX 6 C j
I f | 2 exp( - v) da,
Σ
где v1(z) := sup |t|6 1 v(z + t), z E C 2 , dX — мера Лебега в C 2 , | t | := ( | t i 1 2 + | t 2 1 2 ) 1 / 2 , t g C 2 , константа C не зависит от f .
Лемма 3. Следующие условия равносильны:
-
(I) Существует функция Q, такая как в (ii) теоремы 5.
-
(II) Существует плюрисубгармоническая в C 2 функция P такая, что P(z, z) > H g ( z ) + Hk (z) , z E C , и для любого n существуют m и C < ro такие, что
- P(z, д) 6 Hg(z) + Hk(д) - nlog(1 + |z|) + mlog(1 + |д|) + C, z, д E C.
-
(III) Существуют субгармонические в C функции u t , vt, t E C , такие, что u t (t) > 0 , v t (t) > 0 , t E C, и для любого n существуют m и C < ro такие, что
- (a) ut(z) 6 Hg(z) — HG(t) — nlog(1 + |z|) + mlog(1 + |t|) + C, z,t E C; (b) vt(д) 6 Hk(д) - Hk(t) - nlog(1 + |t|) + mlog(1 + |д|) + C, д,t E C.
-
<1 (II) ^ (III): Положим
u t (z) := P (z, t) - P (t,t), v t (^) := P (t,д) - P (t,t), z,д,t E C.
-
(III) ^ (II): Пусть
P o (z, д) := sup(u t (z) + vt (д) + Hk (t) + Hk (t)), z, д E C.
t ∈ C
Поскольку u t (t) > 0, v t (t) > 0, выполняется неравенство P o (z,z) > H g ( z ) + Hk (z), z E C.
Зафиксируем n E N. Существуют k = k(n), m = m(k), Ci = Ci(n) < ro, C2 = C2(k) < ro такие, что ut(z) 6 Hg(z) - HG(t) - n log(1 + |z|) + k log(1 + |t|) + Ci, z,t E C,
и vt(д) 6 Hk(д) - Hk(t) - klog(1 + |t|) + mlog(1 + |д|) + C2, д,t E C.
Поэтому
P o (z, д) 6 H g ( z ) + Hk (д) - n log(1 + | z | ) + m log(1 + | д | ) + C i + C 2 , z, д E C.
В качестве P можно взять полунепрерывную сверху регуляризацию P 0 ∗ функции P 0 .
-
(I) ^ (II): Пусть функция Q E A(C 2 ) удовлетворяет условиям в (ii) теоремы 1. Тогда плюрисубгармоническая в C 2 функция log | Q | удовлетворяет оценкам сверху в (ii). В силу [13, замечание 1.3] существуют p 0 ∈ N и последовательность (попарно непере-секающихся) кругов B k := { z E C : | z - д к < r k } , д к ^ ro , 52^ =1 r k < ro , такие, что
- ∞
log |L(z)| > Hg(z) + Hk(z) - po log(1 + |z|), z E B := [ Bk- k=1
Заметим, что существует A > 0 такое, что
H g ( z ) + H k (z) 6 | ii 6 ( H g (z + t) + H k (z + t)) + A, z E C.
Положим
Pi(z,^):= sup log | Q(z + h i ,д + h 2 ) | + p o log(1 + | z | ), z,^ E C.
|h 1 |6 1 ,|h 2 |6 1
Функция Pi плюрисубгармоническая в C 2 и удовлетворяет оценкам сверху из (ii).
Поскольку ^2^=1 Гк < го, то существует число R > 0 со следующим свойством: если |z| > R, то найдется wz E C такое, что |wz — z| < 1 и wz / B, а значит, log |L(wz)| > Hg(Wz) + Hk(wz) — Po log(1 + |wz|).
Поэтому, если | z | > R, то
P i (z,z) > sup (log | L(z + t) | + P o log(1 + | z + t | ))
| t |6 1
> log | L(w z ) | + P o log(1 + | w z | ) > Hg ( wz ) + Hk (w z ) > H g ( z ) + Hk (z) — A.
Заметим, что B := inf |z|6R P i (z,z) > —го и C := sup |z6R (H G (z) + H K (z))< ro Поэтому плюрисубгармоническая в C 2 функция P := Pi + A + | C — B | удовлетворяет условиям в (II).
-
(II) ^ (I): Пусть X := { (z,z) : z E C } ; m o E N и M < го таковы, что | L(z) | 6 M exp(H Q (z) + Hk (z) + m o log(1 + | z | )), z E C. По теореме 2, примененной к функциям f = L, v(z, ^) = 2P(z, ^) + (2m o +3)log(1 + | z | ), z, ^ E C, существует целая в C 2 функция Q со свойствами, как в (II). (При этом используется стандартная процедура перехода от интегральных оценок к равномерным.) B
Лемма 4. Для любой ограниченной выпуклой области G ⊂ C существуют субгармо нические в C функции u t , t E C , такие, как в (III) леммы 3 .
-
<1 Без ограничения общности можно считать, что 0 E G. Тогда существуют а, в > 0 такие, что а|z| 6 H g ( z ) 6 в|z|, z E C. Пусть | t | > 1. Положим
u t (z):=f1 — М1 + № W(z) — H G (t)), z E C.
| t |
Функции ut субгармонические в C и ut(t) = 0. Возьмем n E N. Имеем ut(z) = HG(z) — HG(t) — 'og" ,|' № HG(z) + ‘^^ № HG(t)
log(1 + ’ tD I I , M1 + HLia
6 H G (z) — H G (t)-- | t |----- а | z | +| t |----- в | t |
=
H
g
(
z
)
—
H
g
(
,
)
—
i2g
= Hg(z) — Hg(,) — n log(1 + |z|) + (n + в) log(1 + |t|) + g(z,t), где g(z,t) = nlog(1 + |z|) — nlog(1 + |t|) — a^ log(1 + |t|), z E C.
Для любых t E C, | t | > 1, z E C
g(z,t) = n log(1 + | z | )
— n log(1 + | t | )
— a T z T log(1 + ’ t ’ ) 6 n log (1 + T z T | t | | t |
| z |
— aTT log2- | t |
Поэтому существует постоянная C такая, что g(z,t) 6 C для любых t Е C, | t | > 1, и z Е C. Если | t | < 1, то положим u t = 0. Возьмем m Е N так, чтобы m > n + в • Тогда найдется постоянная C 1 , для которой
U t (z) 6 Hg ( z ) - H g (t) — n log(1 + | t | ) + m log(1 + | t | ) + C 1
для любых t, z Е C. B
Лемма 5. Следующие утверждения эквивалентны:
-
(I) Существуют субгармонические функции v t , t Е C , такие, что v t (t) > 0 и для любого n существуют k и C < ∞ такие, что
- vt(z) 6 Hk(z) — Hk(t) + klog(1 + |z|) - nlog(1 + |t|) + C, z,t Е C.
-
(II) Компакт K отличен от точки.
-
<1 (I) ^ (II): Пусть существует семейство субгармонических функций v t , t Е C, как в (I). Предположим, что компакт K совпадает с точкой w q . Функция Hk (z) = Re(zw o ), z Е C, является гармонической в C. Тогда субгармонические в C функции e t (z) := v t (z) — Hk (z) + Hk (t), z Е C, удовлетворяют следующим условиям: v t (t) > 0, t Е C, и для любого n существуют k и C < ∞ такие, что
- Vt(t) 6 k log(1 + |z|) — n log(1 + |t|) + C, z Е C.
Согласно доказательству теоремы 2.6 из [17, с. 374] такого семейства функций v e t , t ∈ C, не существует. Получено противоречие.
-
(II) ^ (I): Пусть компакт K отличен от точки. Если int K = 0, то семейство функций v t , t Е C, как в (I), существует ввиду [16, лемма 4.10, см. также ее доказательство]. Если же int K = 0, то семейство v t , t Е C, как в (I), существует согласно [20, с. 21, доказательство замечания 3.10]. B
Из теоремы 1 и лемм 3–5 вытекает основной результат работы.
Теорема 3. Оператор представления П : Л G“ ^ A -“ (G) имеет линейный непрерывный правый обратный тогда и только тогда, когда выпуклый компакт K отличен от точки.
Авторы выражают признательность проф. А. В. Абанину за ценные замечания.
Список литературы О коэффициентах рядов экспонент для аналитических функций полиномиального роста
- Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы: теория и приложения.-Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009.-336 с.-(Итоги науки. ЮФО. Мат. монография. Вып. 1).
- Коробейник Ю. Ф, Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки//Сиб. мат. журн.-1993.-Т. 34.-С. 70-84.
- Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.-М.: Гостехиздат, 1956.-632с.
- Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.-М.: Наука, 1976.-536 с.
- Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах//Мат. заметки.-1986.-Т. 39, № 6.-С. 877-886.
- Мелихов С. Н. Нетривиальные разложения нуля и представительные подпространства//Изв. вузов. Математика.-1990.-№ 8.-С. 53-65.
- Мелихов С. Н. Продолжение целых функций вполне регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов//Мат. сб.-2000.-Т. 191, № 7.-С. 105-128.
- Мелихов С. Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций//Алгебра и анализ.-2002.-Т. 14, вып. 1.-С. 99-133.
- Мелихов С. Н. Выпуклые конформные отображения и правые обратные к оператору представления рядами экспонент//Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 14.: материалы междунар. науч. конф. (Казань, 18-24 марта 2002 г.).-Казань: Казанское математическое общество.-2002.-С. 213-227.
- Муллаев М. Ю. Ряды Дирихле для пространства $H_\infty(D)$//Проблемы аппроксимации функций комплексного и действительного переменного.-Уфа, 1983.-С. 120-129.
- Райков Д. А. О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях//Тр. семинара по функц. анализу.-Воронеж, 1957.-№ 5.-С. 22-34.
- Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных.-М.: Мир, 1968.-280 с.
- Abanin A. V., Ishimura R., Le Hai Khoi. Surjectivity criteria for convolution operators in $A^{-\infty}$//C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I.-2010.-Vol. 348.-P. 253-256.
- Abanin A. V., Le Hai Khoi, Nalbandyan Yu. S. Minimal absolutely representing systems of exponentials for $A^{-\infty}(\Omega)$//J. Approx. Theory.-2011.-Vol. 163, № 10.-P. 1534-1545.
- Bierstedt K.-D., Meise R., Summers W. H. Kothe sets and Kothe sequence spaces//Funcional Analysis, Holomorphy and Approximation Theory (Rio de Janeiro, 1980).-Amsterdam: North-Holland Math. Stud., 1982.-Vol. 71.-P. 27-91.
- Langenbruch M. The splitting conditions for the weghted ∂-complex//Results Math.-1992.-Vol. 22.-P. 560-597.
- Melikhov S. N. Generalized Fourier expansions for distribution and ultradistribution~/\!/Revista Math. Compl.-1999.-Vol. 12, № 2.-P. 349-379.
- Melikhov S. N. (DFS)-spaces of holomorphic functions invariant under differentiation//Math. Anal. Appl.-2004.-Vol. 297.-P. 577-586.
- Melikhov S. N., Momm S. On the expansions of analytic functions on convex locally closed sets in exponential series//Владикавк. мат. журн.-2011.-Т. 13, вып. 1.-С. 44-58.
- Momm S. An extremal plurisubharmonic funcion associated Green function with pole at infinity//J. Reine Angew. Math.-1996.-Vol. 471.-P. 139-163.