О количественной оценке реакции резистивного сосуда на изменения напряжения сдвига

На сегодняшний день накоплен обширный материал о регуляции сосудистого тонуса, зависящего от степени активации гладкомышечных клеток, механическими стимулами, трансмуральным давлением (реакция Бейлисса) и напряжением сдвига на внутренней стенке сосуда. Трансмуральное давление представляет собой разность между давлениями на внутренней и наружной стенке сосуда. В условиях живого организма изменения кровотока происходят одновременно с изменениями давления, © Шадрина Н.Х., 2014

Шадрина Нажия Хабибуллаевна, к.ф.-м.н., научный сотрудник Института физиологии им. И.П. Павлова Российской академии наук, Санкт-Петербург поэтому экспериментальная оценка участия каждого из этих стимулов in vivo практически невозможна. Такие оценки можно получить лишь in vitro при перфузии сосудистых сегментов в режиме постоянного кровотока или давления в месте наблюдения. Результаты экспериментов существенным образом зависят от метода исследования и не всегда соответствуют данным, получаемым in vivo. Примером может служить наблюдавшаяся в опытах на изолированных сосудистых сегментах констрикция сосудов в ответ на увеличение кровотока [8], что может происходить лишь при патологических состояниях [6]. Метод математического моделирования, возможно, является единственным способом оценки влияния каждого из механических стимулов на изменения гемодинамических параметров. Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что реакция сосуда на тот или иной стимул зависит не только от метода исследования, но и от вида животного и типа сосуда [16]. Поэтому для построения адекватной модели необходимо привлечение данных, полученных если не на одном и том же сосуде, то по крайней мере на аналогичных сосудах того же вида животного. К сожалению, на практике достигнуть этого не удается из-за отсутствия необходимого экспериментального материала в полном объеме.

Ранее с помощью математической модели были получены количественные оценки влияния чувствительности сосудистой стенки к механическим стимулам на изменения кровотока и диаметра мелкой церебральной артерии крысы [1, 4, 5]. Реакция Бейлисса описывалась с использованием результатов экспериментов на сегментах мелких ветвей задней мозговой артерии крысы [15]. Увеличение напряжения сдвига при росте кровотока сопровождается увеличением производства эндотелием расширительного фактора, оксида азота (NO). Из-за отсутствия соответствующих данных для мелких мозговых артерий зависимость изменений диаметра от концентрации NO в гладкомышечном слое бралась из экспериментов in vitro на аорте крысы [14]. Аорта относится к сосудам эластического типа, в которых исходный тонус невелик. Такие сосуды имеют меньший резерв расслабления по сравнению с мелкими артериями мышечного типа [3], реакция на поток в них выражена слабо. Кроме того, при перфузии сосудистых сегментов обычно используют физиологический раствор, что существенным образом влияет на распределение концентрации NO внутри сосуда и его стенки. В этом случае нет столь сильного поглотителя NO внутри сосуда, каким является гемоглобин, вследствие чего концентрация оксида азота в гладкомышечном слое и, следовательно, релаксация гладкомышечных волокон существенно больше, чем при перфузии сосуда кровью. Поэтому полученные на основе модели количественные оценки реакции на сдвиг оказались ниже экспериментальных, приводимых в литературе, в том числе и для церебральных сосудов. Этому способствовало и то обстоятельство, что в экспериментах in vitro , ставящих целью получение количественной оценки расширения сосуда в ответ на рост кровотока, сосуд предварительно подвергался констрикции (обычно фенилэфрином), что увеличивало резерв расслабления и реакцию. Именно таким образом были получены данные о реакции сегментов мозговых артерий на изменения кровотока [9, 10, 19, 20].

Единичные прижизненные исследования регуляции диаметра скоростью кровотока проводились не на мелких, а на крупных магистральных сосудах при пережатии подводящих артерий и стабилизации системного давления [13, 17]. Другой способ оценки участия оксида азота в изменениях радиуса in vivo состоял в местной аппликации NG -монометил- L -аргинина, подавляющего образование оксида азота из L -аргинина [11]. Отсутствие измерений необходимых параметров в таких экспериментах, а также контроля локальных значений давления и скорости кровотока лишает возможности произвести какие-либо количественные оценки.

Цель работы состояла в определении вклада реакции на сдвиг в регуляцию просвета сосуда и скорости кровотока при большей чувствительности стенки к выделяемому эндотелием оксиду азота, в оценке влияния пристеночного слоя плазмы и показателя гематокрита на величину рассматриваемой сосудистой реакции.

Постановка задачи и параметры модели

Оценки показывают, что в мелких артериях число Рейнольдса много меньше 1, а параметр Уомерсли W не превышает 0,5 ( W = R^ ro/v , R - внутренний радиус сосуда, ω – угловая частота пульсаций градиента давления, ν – кинематическая вязкость крови). При моделировании течения крови в резистивном сосуде рассматривается безинерционное квазиодномерное течение вязкой несжимаемой жидкости в длинном сосуде с круглым сечением, мало меняющимся вдоль его оси. Для описания реакции сосуда на механические стимулы вводятся два управляющих параметра, имеющих смысл концентрации свободных ионов кальция ( C m ) в цитоплазме гладкомышечных клеток и средней концентрации оксида азота в гладкомышечном слое ( C ). Средняя концентрация NO в гладкомышечном слое находится в результате рассмотрения радиальной диффузии NO внутри сосуда и в его стенке. Полная постановка задачи о течении крови в одиночном резистивном сосуде была описана ранее [1, 5]. Система уравнений имеет следующий вид:

д Q дп R ²              п R ⁴ д p

— +----= 0, Q =----, д x д t                  8 П app дx

Л R   ⁺ R = Л Р Д + ( F pas ( Р ) - F” " ( C m ’ ^ ^{C 1} + ^ '

а^С- = -Cm + V(a) ^^ ’ д t                      д t д Ci = Di 9

д t r д r

I д C ) r—-( д r )

- k C', i = 1,2,

...

,5,

1           2 п R ₄( t , x )

^{C (} t ’ x ) = (P 2_p2 J J ^C 4 ⁽ t ^, r , x ) rdrd ^Ф ’ ^{п ( R} 4 ^R 3 ) 0 r 3 ( t , x )

S w =л[ ( R + h )² - R ² ] = const, S i =п ( R i ² - R i²1 ) = const, ' = 3,4. (6)

Здесь Q – расход, и r – продольная и радиальная координаты, t – время, Пapp - кажущаяся вязкость крови, p - трансмуральное давление, о - среднее окружное напряжение в стенке сосуда ( ст = p R / h), Ci - средняя концентрация NO в центральной части сосуда (i = 1, 0 < r < R^, пристеночном слое (i = 2, R1 < r < R2, R2 = R), эндотелии (i = 3, R2 < r < R3), гладкомышечном (i = 4, R3 < r < R4) и наружном (i = 5, R4 < r < R5) слоях; Di, ki и xi■ - коэффициент диффузии, скорость и порядок реакции NO в i-м слое, Sw и Si – площадь поперечного сечения сосудистой стенки и ее i-го слоя, h - толщина сосудистой стенки. Параметры ЛR, Лp, а, в, Di, хi, ki - постоянные величины. Функции Fpas (p) и Fact (Cm) описывают статическую зависимость радиуса пассивного сосуда от давления и зависимость изменений радиуса, вызванных реакцией Бейлисса, от Cm; Ф(C) — изменение радиуса за счет изменений напряжения сдвига на стенке сосуда. Функции Fpas (p) , Fact (Cm), T(o) и Ф(C) получены аппроксимацией (см. [1, 5]) экспериментальных данных работ [14, 15].

Полагается, что NO продуцируется на внутренней и внешней поверхностях эндотелиального слоя и скорость его производства пропорциональна модулю напряжения сдвига. Граничные условия для уравнений, описывающих радиальную диффузию NO, сводятся к непрерывности концентраций и потоков на границе между слоями; на внешней границе градиент концентрации NO считается равным нулю:

C i (t , R i ,x ) = C _M( t , R , x ), i = 1,...,4; D, ⁸C i ⁽ t ’ R i ’x ) = D_M ⁸ C^R i ’x ) , i = 1,4; о r                о r

Di 8C,(I.Ri,x) -D 1 5^„(t,Ri,x) = z|t,|, ,. = 2,3; т, = Rdp, d r                о r                           2 оx d C1( t ,0, x)          d С5( t, R5, x)

-----------= о,   ------------- = о. d r                d r

На концах сосуда выполняются следующие условия:

Р ⁽ t ’ ⁰⁾ = Р а ’ Р ⁽ t ’ ¹ ) = P v ^{+ Q (} t ’ ^l ) ^Zv .

Здесь т w - напряжение сдвига на стенке сосуда, Z — константа, l - длина сосуда, p v - давление за выходным сопротивлением, Z v - сопротивление на выходном конце сосуда, p a , p v и Z v - константы.

Образование пристеночного слоя приводит к зависимости n _app от диаметра сосуда (эффект Фареуса-Линдквиста) и уменьшению показателя гематокрита в сосуде, или динамического гематокрита ( Н Т ), по сравнению с гематокритом ( H D ) в сливном/питающем резервуаре (эффект Фареуса). Кроме того, ширина плазменного слоя зависит от сосудистого диаметра. Учет этих факторов приводит к появлению еще четырех неизвестных: n _app , ширины пристеночного слоя ( R - R 1 ), Н Т и показателя гематокрита в центральной (эритроцитарной) области сосуда ( HC ). В этом случае к системе (1-10) добавляются следующие уравнения (см. [5]):

^П rel

app

П pi

^{1 + ( П} rel ,0,45

- D

(1 — H d ) M - 1 (1 - 0,45) M - 1’

T- = h + (1 - H_d )(1 + 1,7exp( - 0,35 D ) - 0,6exp( - 0,01 D )),           (12)

H D

П app

П 0

R1)      (R1)

+1 -

R )     IR )

H T

H C

Hd = П»

H C   П о

Г R1) + 2 Г R1) П СI R J    I R J

R 1

R

^ = 1 + 2,2

П pi

(1 - H C ) - °,8 - 1 (1 - о,45) ^{- 0} ’ ⁸ - 1

Здесь

П re , о,45 = 220exp( - 1,3 D ) + 3,2 - 2,44exp( - 0,06 D ^0,645 ) ,

M = (0,8 + exp( - 0,0753 D ))( - 1 +

1 + 10 ^{- 11} D^{12) +}

1 + 10 ^{- 11} D ¹² ,

П _pl , n₀, П C — вязкость плазмы крови, вязкость в пристеночном слое ( R 1 < r < R ) и в центральной (эритроцитарной) области сосуда ( r < R 1 ) соответственно. Отличие р₀ от П _pl вызвано дополнительной диссипацией энергии вблизи стенки сосуда за счет флуктуационных смещений эритроцитов в радиальном направлении [18].

Входящие в уравнения константы имеют те же значения, что и в [4], изменения касаются лишь функции Ф ( С ) , характеризующей чувствительность радиуса сосуда к оксиду азота. Как и в [1, 4, 5], она представляется в следующем виде [7]:

ф ( C ) = е [ 1 + tanh( n lg( ^ C )) ] . (17)

Для коэффициентов θ и ξ, в отличие от предыдущих работ [1, 5], берутся следующие значения: θ = 0,22 и ξ = 37,5∙10⁴ м³моль^–1. Коэффициенты подбирались таким образом, чтобы расчетная величина изменений радиуса была близка к экспериментальным значениям, полученным in vivo в мозговых сосудах тех же животных (крыс). Прежде полагалось [1, 5], что θ = 0,06, ξ = 18,75∙10⁴ м³моль^–1.

Результаты сопоставляются с вычислениями для сосуда, в котором реакция на касательные напряжения отсутствует, и для сосуда, чувствительного к обоим механическим стимулам, но полученными без рассмотрения реологических эффектов, связанных с образованием пристеночного слоя. В последнем случае кажущаяся вязкость крови и относительная ширина пристеночного слоя полагались равными своим средним в рассмотренном диапазоне давлений значениям, вычисленным при учете реологических факторов с шагом 10 мм рт. ст., кроме того, считалось, что HC = HT = HD .

Вычисления осуществлялись в среде Турбо Паскаль для сосуда, статический диаметр которого в активированном состоянии равен 112 мкм при p = 60 мм рт. ст. Все расчеты проводились в точке, равноудаленной от концов сосуда, полагалось, что Z v = 0. При варьировании входного и выходного давлений их разность оставалась постоянной, равной 0,5 мм рт. ст.

Рис. 1. Зависимость вклада реакции на сдвиг в изменения радиуса ( 1 ) и скорости кровотока ( 2 ) от давления

Результаты и их обсуждение

На рис. 1 показаны относительные изменения радиуса и скорости кровотока в сосуде, стенка которого обладает чувствительностью как к изменениям трансмурального давления, так и к сдвиговым воздействиям, по сравнению с «бейлиссовским» сосудом. Далее в тексте трансмуральное давление обозначается одним словом «давление». Диапазон изменений давления в рассматриваемой точке (середине сосуда) составлял 20–100 мм рт. ст. Вклад реакции на сдвиг в изменения каждого параметра Z ( Z = R ; Q ) вычислялся следующим образом: ∆ Z = ( Z - Z_B )/ Z_B ⋅ 100% , где Z и Z B - значения этого параметра в сосуде с реакцией на оба механических стимула и «бейлиссовском» сосуде соответственно. При задании тех же значений входного и выходного давления в обоих сосудах давление в середине сосуда имело практически одинаковое значение (различие составляло менее 0,03%). Это позволяет утверждать, что рассматриваемые изменения параметров обусловлены лишь эндотелийзависимой реакцией. Как показано на рис. 1, увеличение радиуса и кровотока, вызванное чувствительностью эндотелия к сдвиговым напряжениям, зависит от давления. Наименьшие значения Δ R и Δ Q достигаются на падающем участке статической кривой радиус–давление (см [1, 5]).

В рассмотренном диапазоне давлений, соответствующем средним физиологическим значениям, увеличение радиуса, обусловленное реакцией на сдвиг, может достигать 10%, скорости кровотока – почти 45%, что в разы превышает соответствующие показатели для сосуда со слабовыраженной реакцией на касательные напряжения [5]. В частности, при характерном для рассматриваемого типа сосудов давлении 60 мм рт. ст. рост кровотока за счет сдвигового воздействия составляет более 16%, радиус увеличивается на 4%. При тех же условиях в сосуде со слабовыраженной чувствительностью к NO кровоток увеличивается менее чем на 1,5%, изменения радиуса отсутствуют [5]. Полученные оценки соответствуют прижизненным наблюдениям за изменениями диаметра мозговых сосудов крыс [11] до и после блокирования механизма образования NO под действием напряжения сдвига.

Выделяемый эндотелием оксид азота диффундирует не только в стенку сосуда, но и в протекающую кровь, вследствие чего количество оксида азота, попадающего в гладкомышечный слой, зависит от степени его поглощения кровью. Поэтому на реакцию сосуда на касательные напряжения влияют и концентрация основных

Рис. 2. Зависимость вклада реологических факторов в изменения радиуса (1) и объемной скорости кровотока (2) от давления форменных элементов крови, эритроцитов, в сосуде, и ширина пристеночного слоя плазмы. С образованием пристеночного слоя, как уже указывалось, связаны такие реологические эффекты, как эффект Фареуса и эффект Фареуса–Линдквиста. Приведенные на рис. 1 результаты были получены с учетом этих реологических факторов. На рис. 2 показан вклад эффектов Фареуса и Фареуса–Линдквиста в изменения радиуса и кровотока в сосуде с выраженной реакцией на сдвиг. Он характеризуется отношением A Yrheol = (Y+- Y-)/ Y”-100%, где Y+ - значение рассматриваемого параметра, вычисленное с учетом эффектов Фареуса и Фареуса– Линдвиста и зависимости ширины пристеночного слоя от радиуса сосуда, Y - значение того же параметра, полученное без рассмотрения этих факторов. В последнем случае кажущаяся вязкость крови, показатель гематокрита в сосуде и отношение ширины пристеночного слоя к внутреннему радиусу не зависели от радиуса сосуда и имели фиксированные значения. Как показали расчеты, в зависимости от давления радиус и кровоток могут меняться за счет реологических эффектов как в сторону повышения, так и в сторону понижения (см. рис. 2), что связано с изменениями относительной ширины δ = (R–R1) / R∙100% пристеночного слоя по сравнению с фиксированным значением δ = δ*, при котором проводились расчеты без учета реологических факторов. Если δ > δ*, то ∆Rrheol и ΔQrheol положительны и наоборот (см. рис. 2, 3). Влияние реологических факторов на относительные изменения радиуса находятся в пределах 1,5% в рассмотренном диапазоне давлений, изменения объемной скорости кровотока при этом могут составить более 7% по абсолютной величине. В «бейлиссовском» сосуде и сосуде со слабой чувствительностью к напряжению сдвига реологические эффекты практически не влияют на радиус, а их влияние на кровоток в физиологическом диапазоне давлений составляет менее 2% [5]. Таким образом, с увеличением чувствительности сосудистой стенки к сдвиговым воздействиям возрастает роль реологических факторов в регуляции просвета сосуда и скорости кровотока.

Увеличение концентрации эритроцитов в питающем резервуаре приводит не только к росту кажущейся вязкости крови, но и к изменению ширины пристеночного слоя и динамического гематокрита [2, 12], что сказывается на распределении концентрации NO в сосуде и вкладе сдвиговой реакции в регуляцию кровотока.

Рис. 3. Изменение относительной ширины пристеночного слоя в зависимости от давления (сплошная линия). Пунктирная линия - фиксированное значение δ = δ ^* , использованное при расчетах без учета реологических факторов

Рис. 4. Изменения радиуса ( 1 ) и расхода ( 2 ) в сосуде с реакцией на оба механических стимула относительно их значений в «бейлиссовском» сосуде в зависимости от показателя гематокрита, p = 60 мм рт. ст.

Зависимость от H D изменений радиуса и расхода, Δ R и Δ Q , в сосуде с реакцией на оба механических стимула относительно их значений в сосуде, где реакция на сдвиг отсутствует (имеется только реакция Бейлисса), представлена на рис. 4. Реакция на сдвиговое воздействие способствует увеличению чувствительности радиуса и скорости кровотока к изменениям показателя гематокрита. При одном и том же гематокрите скорость кровотока в сосуде с реакцией на оба механических стимула может превысить кровоток «бейлиссовского» сосуда на десятки процентов. Эта тенденция наиболее выражена при низкой концентрации эритроцитов, когда снижается доля оксида азота, поглощаемого кровью. Если при H D = 45% радиус и объемная скорость кровотока в сосуде с реакцией на оба механических стимула превышают те же показатели в сосуде без реакции на сдвиг, соответственно на 4 и 16,5%, то при H D = 20% это превышение составляет 7 и 31%. Таким образом, при пониженном показателе гематокрита реакция на сдвиг становится важным регуляторным фактором.

Заключение

С увеличением чувствительности сосудистой стенки к изменениям концентрации NO возрастает роль реакции на сдвиг в регуляции сосудистого тонуса и скорости кровотока. При характерных для рассматриваемого резистивного сосуда крысы значениях давления и его градиента вклад этой реакции в изменения расхода составляет более 16%, в изменения радиуса - 4%, при более высоких значениях трансмурального давления влияние реакции на сдвиг возрастает. Полученные оценки изменений радиуса за счет NO-зависимой реакции на сдвиг соответствуют прижизненным наблюдениям за изменениями радиуса артериальных мозговых сосудов крысы.

В сосудах с большей чувствительностью к выделяемому под действием напряжения сдвига оксиду азота увеличивается вклад реологических факторов, связанных с образованием пристеночного слоя, в регуляцию тонуса сосуда и скорости кровотока.

Реакция на сдвиговое воздействие увеличивает чувствительность скорости кровотока к изменениям показателя гематокрита крови, поступающей в сосуд. Повышение кровотока, вызванное этой реакцией, при снижении показателя гематокрита увеличивается и составляет десятки процентов при низком гематокрите, что подчеркивает важность реакции на сдвиг при анемии.