О коллективной нормальности пространства функций

В работе [1, с. 48, I.5.16] А.В. Архангельский поставил следующий вопрос: Пусть X — тихоновское пространство и пространство C p (X, { 0,1 } ) нормально. Обязано ли оно быть коллективно нормальным? Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Основная теорема. Пусть пространство C _p ( X,Y ) нормально, X — тихоновское пространство, а Y — метризуемый компакт. Тогда C _p ( X,Y ) коллективно нормально.

Предварительные результаты

Все рассматриваемые ниже пространства предполагаются тихоновскими. Спрэд s(X) пространства X — это наименьший бесконечный кардинал т , для которого | Y | <  т для любого дискретного в себе подпространства Y С X . Экстент e(X) пространства X — это наименьший бесконечный кардинал τ , для которого | Y | ≤ τ для любого замкнутого дискретного подпространства Y С X . Через w ( X ) , nw ( x ) и x(X) обозначаются, соответственно, вес, сетевой вес и характер пространства X ; βX — стоун-чеховское расширение (тихоновского) пространства X . Подмножества A, B ⊂ X называются вполне отделимыми, если [A] eX П [B] eX = 0 .

Пусть Y X = H { Y x = Y ^: x ^ X } — декартово произведение | X | экземпляров тихоновского пространства Y . Стандартную базу топологии пространства Y ^X образуют множества вида

W = Д№ : x G X}’ где каждое Wx является открытым подмножеством пространства Y и множество supp W = {x G X : Wx = Y} конечно.

Если A С X , то p a — это естественное проектирование Y X ^ Y ^A . Скажем, что подмножество E пространства Y X удовлетворяет условию (*), если для всех вполне отделимых множеств A, B С X и любых элементов f, g G E найдется h G E , для которого h \ A = f \ A и h \ B = g \ B . Ясно, что условие (*) выполнено, если E = C p ( X,Y ) . Остальные определения и обозначения можно найти в [1; 3].

Из следствия 1 работы [2] вытекает следующая лемма.

Лемма 1. Пусть f : Y ^ R — непрерывная функция, где Y — плотное подмножество произведения X = П { Х _а ^: a G A } метризуемых пространств со счетной базой. Тогда f зависит от счетного числа координат, то есть найдется счетное M С X и непрерывная функция g : р _м (Y) ^ R , для которых f = g о р _м , где р _м : X ^ ^ n { X _a : a G M } — проектирование.

В дальнейшем потребуется следующая версия теоремы Корсона [1, с. 48, теорема I.5.17]:

Предложение 1. Пусть Y i — плотное подмножество произведения X i = HlXj ^: t G G A i } тихоновских пространств, где i = 1,2 . Пусть для любых счетных подмножеств M i С А ₁ и M 2 С A 2 пространство n { X it ^: t G M i , i = 1, 2 } наследственно сепарабельно. Пусть Z i = ^ i (Y i ) , где ^ i : Y ^ Z i непрерывные отображения при i = 1,2 , а пространство Z ₁ х Z 2 нормально. Тогда e ( Z ₁ ) <  ш ₀ или e(Z ₂ ) <  ш ₀ .

Доказательство. Предположим противное. Тогда при i = 1,2 найдутся множества D i = {у Г : a < ^ 1 } С Y i , для которых множества ^( D i ) замкнуты и дискретны в Z i и ограничения ^ _i\ D _i отображений ^ взаимно однозначны. Пусть у = ^ 1 х ^ 2 : Y = Y ₁ х х Y 2 ^ Z 1 х Z 2 — произведение отображений, D = D ₁ х D 2 и △ = { (y ^a ,y a ) : a < ^ 1 } . Тогда S = ^(D \ △ ) и T = ^( А ) — дизъюнктные замкнутые подмножества нормального пространства Z = Z ₁ х Z 2 . Поэтому найдется непрерывная функция h : Z ^ R , для которой h(S) = { 1 } и h(T) = { 0 } . Положим f = h о ^ : Y ^ R . По лемме 1 найдется счетное множество M С A ₁ U A 2 и непрерывное отображение g : р _м (Y) ^ R , для которых f = g о (р м \ Y) .

Так как \ M \ <  ш ₀ , пространство р _м (Y) наследственно сепарабельно и \ А \ > ш ₀ , получаем, что р _м ( y ) G [р _м ( А \ { у } )] для некоторой точки y = (y a ,y ₂ ) G А . Так как f ( y ) G f ( А ) С R \ [f (D \ А )] и g непрерывно, найдутся открытые множества U i С р _м ( X i ),i = 1, 2 , для которых р _м ( y ) G U ₁ х U 2 и множество g((U ₁ х U 2 ) П р _м (Y)) дизъюнктно с f ( D \ А ) .

Выберем точку y ‘ = (y ^e ,y 2 ) G А \ { у } , для которой р _м ( у ‘ ) G U ₁ х U 2 . Тогда a = в и мы получаем y ’’ G D \ А , где y ‘‘ = (y a ,y ₂ ) . Ясно, что р _м (y ’’ ) G U ₁ х U 2 и поэтому f ( y ‘‘ ) = g ( P M ( y ‘‘ )) С g((U i х U 2 ) П р м (Y)) С R \ f ( D \ А )). Противоречие с y ‘‘ G D \ А завершает доказательство предложения 1.

Предложение 2. Пусть f = f ₁ х f ₂ : X ₁ х X ₂ ^ Y ₁ х Y 2 — непрерывное отображение в пространство Y ₁ х Y 2 со счетным спрэдом. Пусть D ₁ = { x a : a < ш ₁ } и D 2 = { x a : : a < ш ₁ } — несчетные замкнутые дискретные подмножества пространств X ₁ и X 2 соответственно. Тогда f ( А ) П [f (D \ А )] = 0 , где D = D ₁ х D 2 и А = { (x a , x a ) : a < <  ^ i } .

Доказательство. Не теряя общности, считаем, что x a = x ^e при любых различных а , в и i = 1, 2 . Так как s(Y 1 х Y 2 ) <  ш ₀ , найдется точка x G △ , для которой f (x) G [f ( △ \ \ { x } )] . Пусть U = U 1 х U 2 — базисная окрестность точки y = f (x) . Тогда f (x ‘ ) G U для некоторой точки x G △ \ { x } . Пусть x = (x a , x a ) и x = ( x ^e , x ^e ) . Ясно, что а = в и f ( x a ,x 2 ) G U П f ( D \ △ ) . Поэтому y G f ( △ ) П [ f ( D \ △ )] . Предложение 2 доказано.

Следствие 1. Пусть Y ₁ , Y ₂ — плотные подмножества пространств R ^A и R ^B соответственно и e ( Y i ) >  ш ₀ при i = 1,2 . Тогда пространство Y^ х Y 2 не нормально.

Лемма 2. Пусть s(X 1 ) <  ш ₀ и nw ( X 2 ) <  ш ₀ . Тогда s(X 1 х X ₂ ) <  ш ₀ .

Доказательство. Предположим противное. Пусть A = { (x t , y t ) : t G T } — несчетное дискретное (в себе) подмножество пространства X 1 х X 2 и { U t х V t : t G T } — такое семейство открытых подмножеств X 1 х X ₂ , что s,t G T и (x _s ,y _s ) G U t х V t влечет s = t . Пусть P — счетная сеть пространства X ₂ . Для любого t G T найдется элемент S сети P , для которого y t G S С V t . Поэтому существует несчетное семейство T ‘ С T и элемент S 0 G P , для которых y t G S 0 С V t для всех t G T ‘ . Тогда из условий s, t G T ‘ и x _s G U t следует s = t . Значит, { x s : s G T ‘ } — дискретное в себе несчетное подмножество пространства X 1 . Противоречие с s(X 1 ) <  ш ₀ завершает доказательство леммы.

Доказательство основного результата

Доказательство теоремы 1 разбивается на отдельные шаги. После формулировки очередного свойства приводится его доказательство. Для краткости полагаем E = = C p (X, Y ) . Через L обозначается семейство таких подмножеств L С X , что e ( p _L ( E )) <  <   ш ₀ . Наша цель — показать, что X G L .

• (1)    Пусть B С X — конечное множество. Тогда p _B ( E ) гомеоморфно пространству Y ^B .

Это доказывается индукцией по числу элементов множества B с использованием свойства (*).

• (2)    Пусть E 1 и E 2 — дизъюнктные замкнутые подпространства пространства E . Тогда найдется такое счетное множество M С X , что p _M ( E 1 ) П [p _M ( E 2 )] = 0 (где p _M : Y X ^ Y M — проектирование).

Доказательство. Так как пространство E нормально, найдется непрерывная функция f : E >  R , для которой f ( E 1 ) = { 0 } и f ( E 2 ) = { 1 } . Из (1) следует, что E — плотное подмножество произведения H{ Y x ^: x G X } пространств счетного веса. Пусть счетное множество M С X выбрано в соответствии с леммой 1 для подмножества E произведения n{ Y X : x G X } и функции f . Тогда M — искомое множество.

• В.В.    Успенский доказал, что если Z — замкнутое подпространство тихоновского пространства X и пространство C _p ( X ) нормально, то и пространство p _Z ( C _p ( X )) нормально [1, с. 52, теорема I.6.2]. Используя его метод, получаем свойство (3).

• (3)    Пусть E — замкнутое подпространство пространства X . Тогда пространство p _E ( E ) нормально.

Из (3), свойства (*) и предложений 1, 2 вытекает следующее свойство.

• (4)    Пусть A, B ⊂ X — замкнутые вполне отделимые подмножества X . Тогда e ( p A ( E )) <  ш о или е ( р в ( E )) <  ш о .

• (5)    Пусть L — замкнутое подмножество пространства X и p = p _L : Y X ^ → Y ^L — проектирование. Тогда эквивалентны следующие условия:

• (a)    e ( p ( E )) <  ш о ;

• (b)    s ( p ( F )) <  ш ₀ для всех замкнутых дискретных множеств F с E ;

• (c)    e ( p ( F )) <  ш ₀ для всех замкнутых дискретных множеств F с E .

Доказательство. (a) ⇒ (b). Пусть F — такое замкнутое дискретное подпространство E , что p ( F ) дискретно в себе и ограничение p |F взаимно однозначно. Допустим, что |F| > ш ₀ . Пусть Н = E П p - 1 ( P ) , где P — множество всех предельных точек множества p ( F ) в Y L . Тогда F и Н — дизъюнктные замкнутые подмножества E . Из свойства (2) вытекает существование счетного M с X , для которого p _M ( F ) П [p M ( Н )] = 0 .

Так как Y ^X регулярно, для любой функции f ∈ F найдется элемент U f стандартной базы топологии на Y X , для которого f G U f , [ U f ] ПН = 0 и множество k f = supp(U f ) лежит в M . Так как | М | <  ш ₀ и каждое k f конечно, найдется конечное k с M и несчетное F 1 с F , для которых k f = k для всех f G F 1 .

Пусть q : Y ^X ^ Y ^k — проектирование. Так как произведение H{ Y x ^: x G k } имеет счетную сеть и { q ( U f ) : f G F} — открытое покрытие финально компактного пространства q( F 1 ) , найдется такое g G F 1 , для которого множество F 2 = F 1 П q - 1 q ( U _g ) несчетно.

Так как e ( p ( E )) <  ш ₀ и | p( F 2 ) | > ш ₀ , найдется h ₀ G E , для которого p(h ₀ ) G [p( F 2 ) \ \ { p(h ₀ ) } ] . Используя условие (*), выберем функцию h G E , для которой h | L = h ₀ | L и h(x) = g (x) при любом x G k \ L . Ясно, что p(h) = p(h ₀ ) G P и q(h) G [q( F 2 )] с [q(U g )] . Из k g = k получаем h G [U g ] . Следовательно, H П [U g ] D { h } = 0 . Противоречие с выбором U g завершает доказательство.

• (b)    ⇒ (c) — очевидно.

• (c)    ^ (a). Предположим, что p( E ) содержит некоторое несчетное замкнутое дискретное в себе множество F ₀ . Выберем F с E такое, что p( F ) = F ₀ и p |F взаимно однозначно. Тогда F — несчетное замкнутое дискретное подмножество E , причем e(p( F )) > |F o | > ω 0 . Противоречие с (a) завершает доказательство свойства (5).

• (6)    Пусть L ∈ L и F — несчетное замкнутое дискретное подмножество E . Тогда p _L ( f ) G [p _L ( F\ { f } )] для некоторого f G F .

Доказательство. Из L G L получаем e(p( E )) <  ш ₀ и свойство (5) дает s(p( F )) <  ш ₀ , поэтому p( F ) или счетно, или не является дискретным в себе подпространством. Отсюда легко вытекает заключение свойства (6).

• (7)    Пусть L — замкнутое подмножество X , L G L , k с X \ [L] и k конечно. Тогда L ∪ k ∈ L .

Доказательство. Пусть p : Y X ^ Y L и q : Y X ^ Y ^Luk — проектирование. Пусть F — замкнутое дискретное подмножество E . Ввиду свойства (*) q( F ) гомеоморфно подпространству произведения Z = p( F ) xf^ Y X : x G k } . Из L G L получаем s(p( F )) <  <   ш ₀ (см. (5) ). Теперь из леммы 2 и неравенства nw(H { Y _x : x G k } <  ш ₀ вытекает s ( Z ) <  ш ₀ . Следовательно, e(q( F )) <  s(q( F )) <  s(Z) <  ш ₀ и поэтому L U k G L . Свойство (7) доказано.

• (8)    Пусть L = U{ L n : n E N } , где L n E L и L n C L n ₊₁ для всех n E N . Тогда L ∈ L .

Доказательство. Предположим противное. Тогда найдется несчетное замкнутое дискретное F ⊂ E , такое, что для всех f ∈ F найдется элемент U f канонической базы Y ^X , для которого U f nF = { f } и k f = supp(U f ) C L . Так как |F| > ш ₀ и каждое k f конечно, найдется m ∈ N и несчетное F ₁ ⊂ F , для которого k f ⊂ L _m для всех f ∈ F ₁ . Так как L m E L и |F 1 | > ^ 0 , можно выбрать f E F ₁ с условием q m ( f ) E [q m ( F ₁ \ { f } )] (см. (6)), где q m : Y X • Y L ' — проектирование. Так как k f c L m , получаем | U f nF ₁ | > w ₀ . Но | U f nF i | < | U f П F| = 1 . Полученное противоречие завершает доказательство свойства (8).

Из (7) и (8) получаем:

• (9)    Пусть P — счетное семейство подмножеств X и ∪P ₀ ∈ L для любого конечного P ₀ C P . Пусть B C X и | B | <  ш ₀ . Тогда B U ( UP ) E L .

• (10)    Допустим, что e( E ) >  ш ₀ . Пусть A с вХ ^_ некоторое конечное множество. Тогда найдется замкнутое (в X ) множество E ⊂ X , для которого E ∈ / L и A ^{n [ E ]} вх = 0 .

Доказательство. Допустим противное. Тогда верно следующее свойство:

• (a)    X \ OA ∈ L для любой окрестности OA множества A в βX .

Выберем замкнутое дискретное F C E мощности ^ 1 . Для f E F пусть f : вХ ^ ^ Y — продолжение непрерывного отображения f : X ^ Y на чех-стоуновскую компактификацию βX пространства X .

Пусть t E A . Положим G t = n{ f ^-1 f ( t ) : f E F} . Тогда множество G t замкнуто в вХ (как пересечение замкнутых множеств) и из соотношений x(Y) <  ^ ₀ < ш ₁ и |F| <  <   ^ 1 следует x ( G t , вХ ) <  ш ₁ . Поэтому G = U{ G t : t E A } — замкнутое подмножество вХ характера <  ^ 1 . Поэтому найдется семейство R = { R _a : а < ш ₁ } замкнутых подмножеств Х , для которого Х \ G = UR и A П [ R _a ] ex = 0 для всех а . Из (a) получаем: ∪R 0 ∈ L для всех конечных подсемейств R 0 ⊂ R , и (9) дает нам X α ∈ L для всех а < ш ₁ , где X _a = B U U{ R e : в <  а } .

Положим A = { t E A : G t П Х = 0} и выберем конечное множество B C Х , для которого B П G t = 0 для всех t E A ’ . Тогда выполнено свойство

• (b)    f ( G _t ) = { /(t) } = f ( B П G t ) для всех t E A и любой функции f E F .

Разобъем F на w ₁ частей: F = U{F _a : а <  ^} , где |F _a | = ^ 1 и F _a П F e = 0 для всех α < β < ω 1 . По свойству (6) для всех α можно выбрать f α ∈ F α , для которого q a ( f a ) E [ q a ( F a \ { f a } )] , где q a : Y X ^ Y ^{X a} — проектирование.

Тогда F ¹ = { f _a : а <  ^ 1 } и F ² = F\F ¹ — дизъюнктные замкнутые подмножества E . По свойству (2) найдется счетное M с Х , для которого p _M ( F 1 ) П [ p _M ( F 2 )] = 0 .

Так как а < в < ш 1 влечет X _a с Х р и Х \ G = U{ X _a : а < ш 1 } , найдется ординал Y < ш 1 такой, что M \ G с X _Y . Тогда из q _Y (f _Y ) E [q _Y ( F _Y ) \ { f _Y } ] , свойства (b) и B C X _Y следует, что p _M (f _Y ) E [ p _M ( F _Y )] и из f _Y E F ¹ и F _Y \ { f _Y } C F ² получаем p _M ( F 1 ) П П [p M ( F 2 )] = 0 . Противоречие с выбором M завершает доказательство свойства (10).

• (11)    Пусть e( E ) >  ш ₀ . Тогда существуют замкнутые в Х вполне отделимые множества E, L ⊂ X , для которых E, L ∈ L .

Доказательство. Выберем несчетное замкнутое дискретное множество F ⊂ E . Так как F дискретно в себе, для всякого f ∈ F найдется конечное множество k f ⊂ X , для которого q f ( f ) / [ q f ( F\ { f } )] , где q f : Y X ^ Y k f — проектирование.

Так как |F | > ω 0 , найдется n ∈ N и несчетное F 0 ⊂ F , для которых | k f | ≤ n для всех f ∈ F 0 .

Пусть exp вХ — пространство замкнутых подмножеств пространства вХ в топологии Виеториса. Так как exp вХ — компакт [3], несчетное множество { k f : f G F ₀ } имеет некоторую точку полного накопления A ⊂ βX . Ясно, что | A | ≤ n . Поэтому A конечно. По свойству (10) найдется такое замкнутое множество E ⊂ X , для которого E / L и [ E ] ex П A = 0 . Выберем открытое множество U С вХ , для которого A С U и [ U ] eX П [ E ] eX = 0 . Пусть L = [ U ] eX П X и p ‘ : Y X ^ Y ^L — проектирование.

Тогда множество F 1 = { f G F ₀ : k f С L } несчетно и p ‘ ( F 1 ) дискретно в себе. Следовательно, s ( p' ( F )) > |F 1 1 >  ш ₀ и (5) дает L / L . Ясно, что множества E и L — искомые. Свойство (11) доказано.

Доказательство основной теоремы . Предположим, что e ( E ) > ш ₀ . Пусть множества E и L выбраны в соответствии со свойством (11). Применяя предложение 1 к произведениям H{ Y x ^: x G E } , H{ Y x ^: x G L } и их плотным подпространствам p _E ( E ) и p _L ( E ) , заключаем, что произведение p _E ( E ) х p _L ( E ) не нормально. Но это произведение гомеоморфно пространству p _EuL ( E ) (см. условие (*)), которое нормально по свойству (3). Противоречие показывает, что e ( E ) <  ш ₀ . Для завершения доказательства осталось отметить, что любое нормальное пространство со счетным экстентом коллективно нормально. Теорема доказана.