О конечных группах с небольшим простым спектром II

Изучение конечных групп в зависимости от их арифметических свойств (порядков элементов и подгрупп, мощностей классов сопряженных элементов, различных п-свойств, степеней неприводимых характеров и т. д.) является важным направлением в теории конечных групп, имеющим богатую историю. Классификация конечных простых групп во многом сводит это изучение к случаю почти простих групп, т. е. групп A со свойством Inn(P) 6 A 6 Aut(P), г де P — некоторая конечная неабелева простая группа.

Пусть G — конечная группа. Мшжество простых делителей числа |G| будем называть простим спектром группы G и обозначать через n(G). Спектром же группы G называется множество w(G) порядков ее элементов. Спектр w(G) определяет граф простих чисел (граф Грюнберга — Кегеля) r(G) группы G, в котором множество вершин есть n(G) 11 две вршнпы p 11 q смежны тогда и только тогда, когда pq Е w(G). Граф

r(G) можно рассматривать как подмножество спектра w(G), состоящее из произведений двух различных простых чисел, входящих в ш(G).

Понятие графа простых чисел возникло при исследовании некоторых когомологических вопросов, связанных с целочисленными представлениями конечных групп, и оказалось весьма плодотворным.

Малоизвестен факт, что граф r(G), в отличие от спектра w(G), может быть однозначно определен по таблице характеров группы G.

Граф коммутативности A(G) группы G есть граф с множеством вершин G \ Z (G), две вершины x. у которого смежны тогда и только тогда, когда xy = yx. Граеры коммутативности впервые были исследованы Брауэром и Фаулером в 1955 г. для того, чтобы доказать фундаментальный результат для классификации конечных простых групп о конечности множества изоморфных типов конечных простых групп с заданным централизатором инволюции. С тех пор эти графы являются популярным предметом изучения в теории групп. Несложно доказать, что если конечные неабелевы группы G и H, порядки центров которых совпадают, имеют изоморфные графы коммутативности, то ^r(G)=^r(H )■

Приведенные факты показывают, что граф r(G), наряду со спектром w(G), является фундаментальным арифметическим инвариантом группы G.

Интерес многих исследователей вызывают различные проблемы распознаваемости — характеризации группы по некоторому набору ее параметров с точностью до изоморфизма. Примерами таких проблем являются проблемы распознаваемости конечных групп по спектру или по графу простых чисел. Конечная группа G называется распознаваемой но спектру (соответственно по графу простых чисел'), если для любой конечной группы H равенство w(H ) = w(G) (соответственно r(G) = Г(Н)) влечет изоморфизм H = G.

К настоящему времени по проблеме распознаваемости по спектру конечных простых групп достигнут впечатляющий прогресс. Так, она практически сведена к случаю почти простых групп.

Задача распознаваемости конечных групп по графу простых чисел является частным случаем общей задачи изучения конечных групп по свойствам их графов простых чисел. В рамках этой общей задачи прежде всего наше внимание привлекает более подробное изучение класса конечных групп с несвязным графом простых чисел. Конечные почти простые группы с несвязным графом простых чисел описаны в работах Уильямса [1], автора [2], Ииёри и Ямаки [3] и Лучидо [4]. Весьма полезный критерий смежности вершин в графах простых чисел конечных простых групп найден в работах А. В. Васильева и Е. П. Вдовина [5, 6].

В данной работе дан обзор недавно полученных автором совместно со своими учениками результатов относительно конечных групп, граф простых чисел которых имеет небольшое число вершин. Он продолжает обзор автора [7] на ту же тему.

Наши обозначения и терминология в основном стандартны, их можно найти в [8-10]. Конечная группа G называется п-примарн.ой. если |n(G)| = п.

1.    Конечные п-примарные группы для п 6 6

В рамках задачи подробного изучения класса конечных групп с несвязным графом простых чисел в работах автора и И. В. Храмцова (см. [11-14]) были проведены исследования конечных групп, граф простых чисел которых несвязен и имеет 3 или 4 вершины. В недавних работах [15-18] нами было уточнено описание главных факторов 4-примарных конечных групп с несвязным графом простых чисел.

В дальнейшем исследование конечных n-примарных групп для небольших n было продолжено. Главной целью здесь является описание главных факторов конечных неразрешимых не почти простых групп с несвязным графом Грюнберга — Кегеля.

В работах [19, 20] автором были определены конечные почти простые 5-примарные группы и их графы простых чисел. В частности, доказана следующая теорема, которую мы приводим в исправленном и уточненном виде.

Теорема 1. Конечная почти простая группа G с цоколем P является 5-примарной тогда, и только тогда, когда, выполняется одно из следующих утверждений:

• (1)    группа P изоморфна одной из групп Ац. A12. L2(q) л ля q Е {26,28, 29, 53, 54, 73, 74,112, 172, 192 }. L3(9). L3(27). L4(q) л. тя q Е {4, 5, 7}. £5(2). L5(3). L6(2). U3(q) л. ля q Е {16,17, 25, 81}. U4(q) л ля q Е {4, 5, 7, 9}. U5(3). Ua(2). S4(q) для q Е {8,16,17,25,49}. S6(3). Ss(2). 07(3). O+(3). O- (2). G2 (q) л ля q Е {4, 5, 7, 8}. M22. J₃ HS. He или M^cL;

• (2)    G = L2(2^p). г, те p >  11 — простоe число n |n(22p — 1)| = 4;

• (3)    G = Aut(L2(2^p)), щ щ p >  7, 2^p — 1 и (2^p + 1)/3 — различные простые числа;

• (4)    G = Aut(L2(3p)) и ли O²(Aut(L2(3^p))), г/ pep >  5 —просто e число и |n((3^p —1)/2)| = ^{1 п№}".t¹)/⁴)¹’¹;

• (5)    G = L2(p) и. ли PGL2 (p). г те p >  29 — простое число п |п(р² — 1)| =4;

• (6)    G = L2(p^r ) или PGL2(p^r ), где p Е {3, 5, 7,17}, r — простое число, 3 < r = p и ^|п<^{p2r —1)1}=^4;...... .......

• (7)    U₃(2^p) 6 G 6 PGU₃(2^p) : 2. г то p > 5 11 2^p — 1 — простые числа, п |п((2^р + 1)/3)| = ^{1 n}«22^{p —} 2^{p +} D/3)^| = 1;       .....

• (8)    группа P изоморфна L3 (p), где е Е {+, —}, p — простое число, 17 = p >  11,

1 ^ — ^е'^p3^"г?;                      ,

• (9)    G = S₄(p) и. тп PGSp4(p). г то p >  11 — простсю число. |n(p² — 1)| = 3 i1 p² + 1 = 2r пли 2r² лля некоторого пенетпого простого числа г;

• (10)    G = Sz(2^p). г те p > 7 11 2^p — 1 — простые числа, п |n(22^p + 1) | = 3;

• (11)    G = Aut(Sz(8)).

В качестве следствия теоремы 1 существенно уточнен список конечных простых 5-примарных групп, полученный в [21, 22]. Результаты статьи [20] показывают также, что конечные простые 5-примарные группы. кроме групп L4(q) д.тя q Е {4, 7} 11 U₄(q) для q Е {4, 5, 7, 9}, имеют несвязный граф простых чисел.

Используя результаты работ [И] и [12] и вычисления в системе компьютерной алгебры GAP [23], В. А. Колпакова и автор в [24] получили описание главных факторов коммутантов конечных неразрешимых 5-примарных групп G с несвязнь im графом r(G) в случае, когда. G/F (G) — почти простая n-прнмарпая группа, для n 6 4.

Недавно В. А. Колпакова, и автор в [25] определили конечные почти простые 6-при-марные группы и их графы простых чисел. В частности, доказана, следующая теорема, которую мы приводим в исправленном и уточненном виде.

Теорема 2. Если конечная почти простая группа G с цоколем P является 6-примар-ной, то выполняется одно из следующих утверждений:

• (1)    rpvппа P пзомор(1>иа одной пз групп An д.тя n Е {13,14,15,16}. L2(q) лля q Е {2¹⁰, 2¹⁶, 36, 38,3¹⁰, 55, 114, 173, 174}. L3(q) лтя q Е {24, 27, 29, 52, 7²}. L4(q) лля q Е {23,32,17}. L5(7). L6(3). L7(2). U3(q) д.тя q Е {29, 33, 53, 54, 72, 73, 172}. U4(q) для q Е {23, 24, 52}. U5(q) лтя q Е {4, 5, 9}. U6(3). U7(2). O7(q) л.тя q Е {5, 7}. O9(3). PSp4(q) для q Е {25, 33,34, 35, 112, 172}. PSp6(q) ятя q Е {4, 5, 7}. PSp8(3). O+ (q) л.тя q Е {4, 5, 7}.

O- (3). O+ (2). О_ш(2). 3D4 (q) л.тя q Е {4, 5}. G2(q) л.тя q Е {32,17}. ^(33). F4(2). Suz. Ru. Co2. Co3. M23. M24. J1. Fi22. HN ;

• (2)    G = Aut(L₂(2^r)), уце r >  11 — простoe число, r / n(P) и |n(2^2r — 1)| = 4;

• (3)    G = L2(2^r). г те r >  37 — прост*. >e число, r / n(P) 11 |n(2^2r — 1)| =5;

• (4)    G = L2(22r) или Or(Aut(L2(22r))), уце r > 7 и 2r — 1 — простые нечетные числа, ’'/п(0)'|п(^п^ + 1)l = 2;              22

• (5)    G = L2(2^r ), уце r >  7 — простoe число, r / n(G), |n(2^r — 1)| = 2 и |n(2^r + 1)| =

|n(22r — 1) | = 3;

• (6)    P = L₂(3^2r) и G 6 Or (Aut(P)), уце r >  13 — простoe число, r / n(P), |n(3--¹ )| =

1 n( ^ )| = l„k( JA

• (7)    P = L₂(3 ) или O^r (Aut(P)), где r — простое число, r / n(P ), |п(3—4^)| =

1 n( A1 )l Д"'2 — 1)|=5:„

• (8)    P = L2(p). г те p >  131 — просто e число n |n(p² — 1) | = 5;

• (9)    P = L₂(p²). г,те p >  29 — прост*.>e число. |n(p² — 1)| = 4 11 |n(p² + 1)| = 2;

• (10)    P = L₂(p²), щae p >  13 — просто e число и |n(p² — 1)| = |n(p² + 1) | = 3;

• (11)    G = L₂(p^r ) : r или Aut(L₂(p^r )), где p Е {3, 5, 7, 17} иг — простые числа, r Е n(P), p^r = е1 (mod 4) для е Е {+, —}, и |n(p^r — е1)| = |п(p-^ )| = 2;

• (12)    G = L₂(p^r) 11. тп PGL₂(p^r ))). г те p 11 r — нечетные простые числа, r Е n(P ) 11 |п(p^2r — 1)| = 5;

• (13)    P = L|(2r) и G 6 Or(Aut(P)), уце е Е {+, —}, r и 2r — 1 — простьie числа, r >5

при е = + I it >  19 щ >п е = —. r / n(P ). |п( 2^-3⁺¹ )| = 1 1 1 |п( ^22-"+т--;+^:1 )| = 2;

• (14)    G = L3(3r) 11. тп L3(3r) : 2. г те е Е {+, —}. r — простое число, r > 7 щ >п е = +

r > 5 щ >п е = —. r / n(P). |п( 3^-;^-1 )| = |п( ^3-+¹ )| = 1 1 1 |n(3^2r + еЗ^г + 1) | =2;

• (15)    P = L|(p), где p >  41 — простое число, е Е {+, —}, |n(p² — 1)| = 4 и |п( pj+p+l )| = 1;

(l,p-el)

• (16)    P = L|(p), г>це p — простое число, е Е {+, —}, p > 11 щэи е = + и p > 31 при е =—.W — l)^3- Лп< рйей )|=2:_

• (17)    P = U|(2^r) и P : r 6 G, где r > 5 и 2^r — 1 — прость ie числа, r / n(G) и

• 1 п( 2Г+ )1 = |п<          )l = 1-,

• (18)    P = L4(p), уце е Е {+, —}, p — простое число, p >  19 для е = + и p >  11 для е = —. |n(p² — 1)| = 3 „ |п(g+E+1) I = |п(Е2+¹)I = 1;

• (19)    G = PSp4(2^r), т/ т,е r >  5 и 2^r — 1 — прость ie числа, r / n(G), |п(2^-|+¹ )| = 1 и

• In(22r + 1)| = 2;                     _                                                          .      _ . . .

• (20)    G = PSp₄(3^r) или PGp4 (3^r), где r >  5 — простое число, r / n(G), |п(3-2^)| =

|п(|-4+1 )| = 1 и |n(32r + 1)| = 3;                                                        2

• (21)    P = PSp₄(p), г>це p >  29 — просто е число, |n(p² — 1)| = 4 и |п(p-y¹ )| = 1;

• (22)    P = PSp₄(p), уце p >  13 — просто е число, |n(p² — 1)| = 3 и |п(p-y¹ )| = 2;

• (23)    G = G₂(p), уце p >  13 — просто е число, |n(p² — 1)| = 3 и |п( (з+^+з¹ )| = 1 л.тя ^(l,^p ^1)

• ^{6 Е{+},^—}; .

• (24)    G = Sz(2^r), уце r > 13 — простое число, r / n(P), |n(2^r —1)| = 1 и |n(2^2r + 1)| = 4;

• (25)    G = Sz(2^r), уje r > 11 — простое число, r / n(P), |n(2^r —1)| = 2 и |n(2^2r + 1)| = 3;

• (26)    G = Aut(Sz(2^r)), т/т,е r > 7 и 2^r — 1 — простые числа, и |п(2^2r + 1)| = 3.

2.    Конечные группы с заданными свойствами графа простых чисел и смежные вопросы

В качестве следствия теоремы 2 существенно уточнен список конечных простых 6-примарных групп, полученный Джафарзаде и Иранманешем в [21]. В этой же их статье была поставлена следующая проблема 3.12: для каких степеней q простых чисел число q2 — 1 имеет не более пяти различных простых делителей?

Частный случай этой проблемы, когда |n(q² —1)| 6 2, хорошо известен (см., например, статью Герцога [26]): |n(q² — 1)| 6 2 тогда и толью> тогда, когда q Е {2,3,4, 5, 7, 8, 9,17}.

Случаи, когда число |n(q² — 1)| равно 3, 4 и 5 рассмотрены соответственно автором и И. В. Храмцовым [11, 12], автором [20] и В. А. Колпаковой и автором [25]. Таким образом, получена классификация степеней q простых чисел таких, что |n(q² — 1)| 6 5. Дальнейшее уточнение этой классификации приводит к диофантовым уравнениям, решение которых трудно и для современной теории чисел. Например, уже вопрос конечности множества степеней q простых чисел таких, что |n(q² — 1)| = 3, равносилен до сих пор открытому вопросу Ши 13.65 из «Коуровской тетради» [27].

В работе [28] автором доказано, что группы E7(2) и E7(3) распознаются по графу простых чисел. Как следствие, завершено положительное решение поставленной в обзоре [29] проблемы В. Д. Мазурова о том, что любая конечная простая группа, граф простых чисел которой имеет по крайней мере три компоненты связности, либо распознаваема по спектру, либо изоморфна Аб. В недавней работе [30] автором доказано, что группа 2Еб(2) распознается по графу простых чисел. Заметим, что графы простых чисел групп 2Еб(2), E7(2) и E7(3) состоят соответственно из 8, 12 и 15 вершин.

Вызывает интерес проблема о реализуемости абстрактного конечного графа в виде графа простых чисел некоторой конечной группы. Работ, посвященных этой проблеме совсем не много. В неопубликованной бакалаврской работе И. Н. Жаркова, студента В. Д. Мазурова, было доказано, что цепь реализуется как граф простых чисел некоторой конечной группы тогда и только тогда, когда ее длина не превосходит 4. Интересно, что аналогичная проблема рассматривалась Тонг — Вьетом [31] для графа, который строится по конечной группе G по следующему правилу: множеством его вершин являются простые делители степеней неприводимых характеров группы G, и две вершины p и q смежны в нем тогда и только тогда, когда pq делит степень некоторого неприводимого характера группы G.

Конечно, в общем случае сформулированная проблема имеет отрицательное решение. Например, из [1-3] легко следует, что граф, состоящий из пяти попарно не смежных вершин (5-коклика) не может быть графом простых чисел конечной группы. Однако в работе А. Л. Гаврилюка, автора, Н. В. Масловой и И. В. Храмцова [32] было показано, что для любого графа, имеющего не более пяти вершин, кроме 5-коклики, эта проблема имеет положительное решение.

Лючидо [32] описала конечные простые группы G такие, что связные компоненты графа r(G) являются деревьями, т. е. связными графами, не содержащими циклы. Кроме того, в этой работе описано строение конечной группы, граф простых чисел которой является деревом. О. А. Алексеева и автор рассматривают более общую задачу описания строения конечной группы G такой, что граф r(G) не содержит треугольников (3-циклов). В случае, когда исследуемая группа G почти проста, в работе [34] мы получили следующий результат.

Теорема 3. Пусть G — конечная почти простая группа с цоколем P. Если граф r(G) не содержит треугольников, то выполняется одно из следующих утверждений:

• (1)    группа P изоморфна очной из групп An лтя n Е {5,6,7}. L₂(q) лтя q Е {7, 23, 34, 11,13,17, 52,72, 29} £ з ( , ) л.тя q Е {3,4, 5,17}. U3(q) л.тя q Е {3, 7}. L₄(3). U4 (q) ™. q ^Е{2, ^3}. G2 (³⁾. ЗД. M1V М_в:     ......

• (2)    группа G изоморфна олпой из групп A8. L2(q) дгя q Е {24, 26}. £ з (,) дгя q Е {7, 8, 9}. L3(7) : 2. L3(9) : 2. U3(q) л.гя q Е {4, 5, 8}. U3(5) : 2. U3(8) : 3. U5(2). 2G2(27):

• (³⁾    P = ЗД Д,„ q ^Е {53 172^} ,, PGL(q) ⁶ G,           ........

• (4)    P = L2(q) гдде q Е {2^p, 3^p}, p — нечетное щэостое число и |n(q —1)| 6 2 > |n(q + 1)|;

• (5)    G = L₂(p), Ате p >  17 — просто е число и |п(р — 1)| 6 2 > |n(p + 1)|;

• (6)    G = PGL2 (p), уде p >  17 — простое число, отличное от чисел Ферма и Мерсенна ^п|n(p2 - 1)| = 3:

• (7)    G = L₂(q), Уде q = p , p Е {3,5, 7,17}, r — простое число, r не делит |G|, q = e1(mod4) д.гя в Е {+, —}. |n(q — е1)| = n((q + е1)/2)| = 2:

• (8)    G = U₃(q), где q = 2^p, p >  5, q — 1 и (q + 1)/3 — простьle числа, |n((q² — q +1)/3)| = 1 11 p не л слит |G|:

• (9)    P = L3(p), где e Е {+, —}, p >  11 — простое число, отличное от чисел Ферма и Мерсенна, (p — e1)₃ = 3. |n(p² — 1)| = 3 i1 |n((p² + ep + 1)/3)| = 1:

• (10)    P = Sz(2f), где либо f = 9. .n 160 f — нечетное щюстое чисто п max{|n(q — nhHq V2q-mHq⁺ 325 + Щ ^{6 2}                  ........

• (11)    G = ²G₂ (q), т/ де q = 3^p, p >  5 — простое число, не делящее |G|, |n((q — 1)/2)| = |n((q + 1)/4)| = 1 11 |n(q — V^q + 1)1 6 2 > |n(q + V^q + 1)|-

• Из теоремы 3 и [1-3] легко выводится

Следствие. Пусть G — конечная почти щюстая группа и граф r( G ) не содержит треугольников. Тогда

• (1)    кажлая связная компонента грас^а r(G) является деревом:

• (2)    если группа G проста, то гра(}> r(G) несвязен:

• (3)    |n(G)| 6 8 11 равенство лостпгается. если G = Aut(Sz(2⁹)).

Заметим, что теорема. 3 существенно уточняет полученный в [33] список конечных простых групп таких, что связные компоненты графа r(G) являются деревнями. Доказательство теоремы 3 использует результаты о конечных почти простых n-примарных групп для n 6 6 (см. [11. 12. 20. 25]).

Лючидо и Могхаддамфар [35] определили конечные простые неабелевы группы с графами простых чисел, все связные компоненты которых являются полными графами (кликами). А. В. Васильев и Е. П. Вдовин [5] устранили ошибки и неточности, допущенные в этой статье. М. Р. Зиновьева, и В. Д. Мазуров [37] определили конечные простые неабелевы группы, графы простых чисел которых совпадают с графами простых чисел групп Фробениуса, или 2-фробениусовых групп.

В работе М. Р. Зиновьевой и автора. [38] классифицированы конечные почти простые группы с графами простых чисел, все связные компоненты которых являются кликами. Получен следующий результат.

Теорема 4. Пусть G — конечная почти простая, но не простая, группа. Все связные компоненты гразра, r(G) являются кликами товта п то.твко тогла. когла грае}) r(G) несвязен и G изоморфна группе из следующего списка:

• (1)    S6. Mio. PGL2(9). S8. S12. Aut(L2(8)). Aut(L3(3)). £3(4) : 2_V L3 (8) : 2. L3(8) : 3. Aut(L₃(8)). Aut(U3(3)). U₃(9) : 2. Aut(U₃(9)). Aut(U5(2)). Aut(³D4(2)). Aut(Sz(32)):

• (2)    L₂ (2^m))hf i. г те f — полевой автомор<1>изм группы L2(2^m ) 11 |f | = 2^k > 1:

• (3)    PGL2 (p), уде p >  3   простое число Ферма или Мерсенна;

• (4)    L2(pm)hdf i, где p — нечетное простое число, m четно, d и f — диагональный и инволютивный полевой автоморфизмы группы L₂(p^m) соответственно;

• (5)    L3(2m)(x), г/це m > 5, (2^m — 1)3 = 3, |x| = 2 • 3^k, x² — полевой автоморфизм, a x³ — графовый автоморфизмы группы L3(2^m)r

• (6)    L3(p) : 2. г те p >  127 — простое число Мерсенна п (p — 1)3 > 9:

• (7)    U₃ (2^m)hf i. г то (2m + 1)3 = 3. f — полевой автоморфизм группы U₃(2^m) ii |f | = 2l •3k для l >  0:

• (8)    U3(p) : 2. г те p >  17 — простое число Ферма п (p + 1)3 > 9:

• (9)    G2 (3^m))hfi. г,те f — полевой автоморфизм группы G2(3^m ) ii 0 = n(|f |) C {2, 3}:

• (10)    PSp₄(q)hf i). г те f — полевой автоморфизм группы PSp4(q) ii |f | = 2k > 1:

• (11)    PSp₄(q))hdfi, +ie d и f — диагональный и полевой автоморфизмы группы PSp4(q) соответствеппо п |f | = 2k > 1.

Доказательство теоремы 4 использует результаты Лючидо [4] о конечных почти простых группах с несвязными графами простых чисел.

Пусть G — конечная группа nV — G-модуль над некоторым полем. Говорят, что нетривиальный элемент группы G действует свободно (или без неподвисисных точек) на V. если он не имеет ненулевых неподвижных векторов в V. Большой интерес вызывает проблема описания неприводимых G-модулей, где некоторый элемент простого порядка из G действует свободно. Результаты по этой проблеме находят многочисленные приложения, в частности, при исследовании распознаваемости конечных простых групп по спектру или по графу простых чисел, а также при изучении строения конечных групп с несвязным графом простых чисел (см., например, обзоры [7, 28] и работу И. Д. Супруненко и А. Е. Залесского [39]).

Пусть p — простое число, q = pl. Fq — по.те из q элементов. P — алгебраически замкнутое поле характеристики p и G = SLn(q) — специальная линейная группа степени n >  2 над полем Fq. Циклом Зшысра группы G (соответствешю G/Z (G) = Ln(q)) называется любая ее циклическая подгруппа порядка (qn — 1)/(q — 1) (соответственно (qn — 1)/(q — 1)(n, q — 1)) (см. теорему II.7.3 из [8]). Автором была поставлена задача классификации неприводимых G-модулей над полем P, где нецентральный элемент заданного простого порядка m из цикла Зингера группы G действует свободно. Именно так действуют нетривиальные элементы из цикла Зингера группы G на ее естественном модуле над полем P. Заметим также, что если H — конечная группа с несвязным графом простых чисел такая, что F(H ) = 1, H = H/F(G) = Ln(q) и n > 3, то действие (сопряжением) группы H на F(H ) индуцирует на каждом главпом факторе группы H. входящем в F(H ), точный неприводимый H-модуль (над некоторым полем простого порядка) , на котором все нетривиальные элементы из цикла Зингера группы H действуют свободно [7]. Поэтому уточнение строения группы H во многом сводится к изучению таких H-моду.тей.

Автор, А. А. Осиновская и И. Д. Супруненко в работе [40] решили эту сложную задачу в следующих трех случаях: а) вычет числа pf по модулю m порождает мультипликативную группу поля порядка m (это условие выполняется, в частности, для m = 3); б) m = 5; в) n = 2. Это обобщает, в частности, результаты Г. Хигмена (см. теорему 8.2 из [41]) и У. Стюарта (см. [42, предложение 3.2]), которые были получены в случае, когда m = 3 и n = 2. Р. Уилсон [43] определил неприводимые представления в характеристике 2 квазипростых групп Шевалле над конечными полями характеристики 2, где некоторый элемент порядка 3 не имеет собственного значения 1, т. е. действует в соответствующем модуле без неподвижных точек. А. Е. Залесский, В. Лемпкен и П. Фляйшманн (см. [44, теорему 0.1]) описали абсолютно неприводимые подгруппы полной линейной группы над конечным полем характеристики 2, порожденные классом сопряженных элементов порядка 3, действующих без неподвижных точек. В статве А. Е. Залесского [45] приведен обзор результатов о собственных значениях элементов в представлениях алгебраических групп и конечных групп Шевалле, особое внимание уделяется собственному значению 1, что связано с указанной выше проблемой.