О конечных р-группах с автоморфизмом специального вида

В.А. Антонов, С.Г. Чеканов

Условие С-замкнутости для нормальных подгрупп в конечных разрешимых группах позволяет выделить класс групп, которые допускают автоморфизм действующий регулярно и неприводимо на минимальных нормальных подгруппах. Получены необходимые и достаточные условия существования таких групп. Кроме того, доказано вспомогательное утверждение из алгебры матриц, имеющее самостоятельный интерес.

При исследовании конечных разрешимых групп с С-замкнутыми инвариантными подгруппами [1] возникли группы, имеющие следующее строение.

Пусть p,q_x,q₂,—,q_w ~ различные простые числа, п, - показатель числа р по модулю q_t [2],

т п— показатель р по модулю г = П% • Тогда i=i                                    '

G^A-B^x), где А и В - абелевы ^-группы,

АпВ=2(А-В) = (АВУ=^[2х,

1=1

причем 2t - элементарная абелева группа порядка р*4 , А!АпВ и В! АпВ- минимальные нормальные подгруппы группы G/AoВ, \А! АпВ\ = \В! АпВ\ = р\ |х| = г, элемент х дейст вует на каждой из подгрупп 2t неприводимо, и C(Z,) = (А • В)Дхч*).

В предлагаемой работе получены необходимые и достаточные условия существования таких групп.

Положим А-В = Р, Ас\В = 2, k_t=n!n_t, r_t=rlq_t, т, - показатель р по модулю г_х и 1_х=п/т_х. Тогда m_t = НОК^nj |/* /| и l_t = НОД |iy |/ * ij .

В дальнейшем нам потребуется следующее вспомогательное утверждение из алгебры матриц, имеющее и самостоятельный интерес.

ЛЕММА. Пусть p,qx,q2,...,qm - различные простые числа, keN, число г = Р[^ нечетно, i=i п - показатель числа р по модулю г, L -аддитивная группа матриц порядка кп над полем

GF(p). И пусть А и В -матрицы из L вида

А = 'X 0 0 . .. 0> .. 0 ,В = 'Y 0 0 . Y . . 0" . 0 <о 0 . <о 0 . где X и Y - матрицы порядка п, характеристические многочлены /(х) и g(y) которых являются минимальными многочленами первообразных корней г-й степени из единицы над полем GF^pY Положим '

CL(A,B) = {Tel\A'TB = T}.

«пусть /(x) = Z-^a,V"¹-(-l)”⁺¹ и g(y) = у"-^Ду'^-1 -(-1)”⁺¹. Тогда \С_£(А,В^*1 тогда и .             i=2                                          i=2

только тогда, когда a_f =(-1)" р_п+гч для всех i = 2,3,...,n, или, что то же самое, Х~^х является корнем многочлена g(y). В этом случае |С_£(Л,Б)| = р^к2".

Доказательство. Пусть Т eC_L(A,B). Разобьем матрицу Г на квадратные блоки порядка п: Т = (7^), i,j = 1,2,...,к . Условие А'ТВ = Т равносильно тому, что X* TyY = Ту для всех i и j. Поэтому, если Д - аддитивная группа матриц порядка и, то в силу того, что матрица Т состоит

2                                     I                it2

из к² блоков, |С_£(Л,Б)|= С^^У) . Поэтому в дальнейшем достаточно ограничится случаем £ = 1,т.е. А = Хи B = Y.

Проведем индукцию по числу m . Пусть m = 1, п_х = п и q_x = q . Заметим, что если U и V - невырожденные матрицы, Х_х = U~^xXU и ^ = V~^XYV, то |С_£(^ Д )| = |С_£(^Г,У)|. В самом деле, если Т gC_l(X_x,Y_x),to из

т=x'xtyx = ф-ххиуту~х¥У=их'ф-хуту~х¥У следует, что

Х'ф'х УТУ~Х¥ = ф"х )"ГУ~Х т.е. ф-хуТУ-х еСДХ,¥). Отображение Т->ф~хуТУ~х является, очевидно, биекцией CL(Xx,Yx) на Cl(X,¥), т.е. |C£(Xj,Ij)| = |C£(X,y)|. Поэтому можно считать, что матрицы X и Y являются циклическими матрицами, т.е.

х=	'о 0 1 0	... (-1)”+1> ... а2	, Y =	'о 0 . 1 0 .	. (-1)”+г
	<° 0	-   «п >		^0 0 .	. Рп .

Простая проверка показывает, что если X'TY = Т , то в матрице Т любой ряд, параллельный главной диагонали, состоит из одинаковых элементов. Поэтому ^C_L(X, У)| <  р²"^-1.

Обозначим через ф такой автоморфизм группы L, что Т^ф = X'TYдая любого Т eL. Из (А^) ⁼ 1 ^и И = 5 следует, что 1 = [Т,ф]©С_ь(ф). Так как ф действует на [Т,^] регулярно, то в силу теоремы Машке [Т,ф] разлагается в прямую сумму минимальных ф -допустимых подгрупп. Порядок каждой из них равен р^п . Поэтому |Z| = р^п = р⁵" • р¹ , где р¹ = |С_£(^,У)|. Из равенства п² = sn + t следует, что 7 делится на п . А так как t < (2и -1), то 7 е {0, п}.

Пусть

'«1   «2   -   ап'

т_ ^2   а1   -  ап-\_

J^  Ьп_х   ...а произвольная матрица из СДХХ). Равенство X'TY = Т равносильно однородной системе (2и-1) уравнений с (2»-1) неизвестными а, и bj вида

Z^, + S^=0» 1=1/=2

Математика причем в первых (п-1) уравнениях, занумерованных числами к = 2,3,...,п, выполняются равенства ^=-1, sn_k+2 =(~1)”+19 ti=sJ=O при 1>к и ]>п-к + 2, tt=Pn_k+M при in-k*2 и j > к, tj = ап_к_м при i < п - к + 2, Sj = an_k+j4X при j < к, а в последнем уравнении (с учетом первых (и-1) уравнений) все ненулевые коэффициенты имеют вид ±(Pj -(-l)”a„+J_2).

Так как |С_£ (X, У)| = р", то ранг этой системы должен быть равен (и -1). Вычитая из уравнения, занумерованного числом (п + к), к = 2,3,...,п, уравнение, занумерованное числом (л+2-Л), умноженное на (-1)”, убеждаемся, что ранг системы равен (и-1) тогда и только тогда, когда а_к = (-1)” р_п+2__к •

Предположим теперь, что т>\. Если |С_£(А",У)|^1, то |с_£(А'⁹',У⁹')р1. В силу предположения индукции |с_£ (X⁴ⁱ, Y^q* )| = p^kiт* = р^к,п .

Рассматривая действие ф на C_L(X^q‘ ,У⁹'), получим равенство k_jn = sn_i +t, т.е. t делится на и,. В силу произвольности / число t делится на Д0К{л,|/ = 1,2,...,т} = л . Но тогда из Г <2и-1 получаем t = и.

Основным результатом данной работы является следующее утверждение.

ТЕОРЕМА. Группа G указанного выше строения существует тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

• а)    если число г четно, то г = 2 и и = 1;

т

• Ь)    если число г нечетно, то ^и,- <и² и либо m_t<п для любого г = 1,2,...,т , либо найдутся 1=1

такие числа t,s_x,s₂,...,s_m , что tp^$i = -l(modr₍) для всех / , но tp^s ^-l(modr) для любого числа s.

Доказательство, а). Необходимость. Предположим, что q_x=2 и х = х_х ■ ^, где [xj = 2, а ]х₂| нечетен. Если элемент Xj действует на A/Z и B/Z регулярно, то для любых а е А и Ь&В выполняются равенства <^=а-^хг_х и b^Xx = b~^xz₂ для некоторых z_x,z₂eZ. Но тогда [а, др = £а\д^Х1 j = ^a^-1,d^-1 j = [a,d], т.е. х_х действует на Z тривиально, что невозможно в силу C(Z_X1 = РХ^х¹^. Поэтому можно считать, что Сд^х^*!. Из A/Z = [^/Z,x₁]xC^_/z(x₁) и минимальности A1Z следует, что х_х действует на A/Z тривиально. Если действие X] на В/Z тоже тривиально, то снова получим [Z,X]] = 1, что невозможно. Поэтому х_х действует на В/Z регулярно, и для любых ае А и де В будем иметь [а, др¹ =^а^л*,д^Х1 J = ^a,d^J^dp¹ , т.е. X] действует на Z регулярно. Но тогда Z = Z_x, т.е. т = \ и г = 2. Из р = l(mod2) следует, что и = 1. Достаточность. Если г = q_x = 2 и р - нечетное простое число, то группа G = (((а) х (г))Я (^Х (х), где |а| = |d| = |z| = р, |х| = 2, [а, d] = z, [d, z] = 1, cP = а, Ь^х =Ь~^Х, и z^x = z"^x, искомая.

• b) . Необходимость. Так как Z = P' = ^a_/,d_k]| ajeA,b_keB^, a A/Z и В/Z элементарные т         ₂

абелевы группы порядка р^п, то |z| = Пр^р" • 1=1

Для a е G положим a = aZ . Предположим, что х = fjx,, где |xj = q,. Для удобства перей- 1=1

дем в группе Z и фактор-группе P1Z к аддитивной форме записи. Выберем в группах AIZ, BIZ и Z₍, / = 1,2,...,т, циклические базисы, т.е. мы предполагаем, что

Л                     ЛЛ/ k=\                  k=\y=l и «к = b^ = bM и ^ = ziJti при к < n и j < n,;

an — ’^L^k^k'» bn —^jPkbk’ ZiHj — ^1Уу2у’ А=1                Л=1/=1

Л где /(y) = (/-^ay/'1) и g(y) = (yn-^P^ *) - минимальные многочлены первообразных Н .7=1

корней степени г из 1, а h^y) ~{у^п‘ -'^УуУ^,~ ) - минимальный многочлен первообразного кор- 7=1

ня степени q_t из 1 над полем GF(p). Отметим, что а_х = Р_х = (~1)”⁺¹ и y_n = (-1)”'⁺¹.

т Hj

Пусть W>A = lLijw^,zij . Тогда T_tj = (ty_w)- квадратная матрица порядка и, и если через /=17=1

• [а] и [Z>] обозначить координатные столбцы элементов а и b в базисах {aj,^,...,^} и {^,/>2,—,^} соответственно, то

m л, , i=l 7=1

Действуя элементом х на а и 6, получаем i=Xj=Y где X - матрица оператора х в базисе {аьа2,...,аи}, У - матрица оператора у в базисе

{6],Z>2,...,6„}, а штрих означает транспонирование. В то же время, из х = Pjx_f следует, что

1=1 r 1               m л,-      ,                  и ц ,

[а^На>6Г=2£(Н                 •

1=1 у=1                       1=1 У=1

Приравнивая коэффициенты при z_fj , получаем, что для любого / = 1,2,..., т выполняются равенства

(ХТп¥Д'Та¥,...,Х'Т^ = (Тп^^^

Отсюда получаем

Гц=7п(ХТ„П, T^^X'T^Y-?^,..., T^^lCT^-r^ (•)

и ( X⁴ⁱ ^T_nY⁴ⁱ =T_iX.X так как х действует на Z регулярно, то X' T_iX¥ * Т_п . Это равносильно тому, что C_L(X^q' ,¥⁹ⁱ)>C_l(X,¥) для любого номера /. Если ш^п для некоторого /, то из |c_£(^,y’^f)| = p" >|C_£(JT,y)|e{l,p"}следует, что |С_Л(^,У)| = 1.

Каждое из расширений GF(/?)[X] и GF(/?)[K] изоморфно полю GF{pⁿ) . Обозначим через х_х и х₂ образы элементов X и ¥ при соответствующих изоморфизмах. Тогда Х2 = х_х для неко-

Математика торого числа t и если Х~ч* является корнем характеристического многочлена Yq*, то х^4' является корнем минимального многочлена для xqi.

Так как |с_£ ^Х⁴¹ , К⁹' )| * 1, то в силу леммы элемент х_х^ч* является корнем минимального многочлена для х^. Но все корни этого многочлена имеют вид x^^iP , 5 = 1,2.....ти, . Поэтому x^^qi = х^^р' = х^^хР ' для некоторого числа s_t . Но тогда tp^Si = -l(mod^). А из |С_Л(%,У)| = 1 аналогично следует, что xf¹ не является корнем g(y) , т.е. tp^s -l(modr) ни при каком s .

Достаточность. Пусть х₀ - первообразный корень г -й степени из 1 над полем GF^pY а

/(у) = у”-^а,У^-1 - нормированный минимальный многочлен для х₀. Если все числа Tn_t /=1

меньше п, то через g(y) обозначим нормированный минимальный многочлен элемента Хд¹ , а если выполняется вторая альтернатива из пункта Ь) условия теоремы, то через g(y) обозначим нормированный минимальный многочлен элемента Хд. И пусть X и Y - циклические матрицы порядка и над полем GF{p), у которых характеристические многочлены равны, соответственно, /(у) и g(y). Тогда C_L(X⁴ⁱ ,Y^q*)>C_L(X,Y) для любого номера i и, следовательно, найдутся такие матрицы Т_п, i = l,2,...,m, что (X⁴ⁱ')’T_nY⁴ⁱ = T_iX, но XT_iXY*T_n. Матрицы Ту для п                         ^т.

j = 2,3,...,и,- найдем по формулам (*). Предположим, что g(.y)= у" -^Р$у*~х и если x = PJx,, i=i ,м где |х,| = q,, то ^(у) = у"1 -^ УдУ^ - минимальный многочлен для х,. Тогда искомой является /=1

группа и        ти

°=)^х пп

Ы     1=1 /=1 ы где |at| = |^| = |zj = pдля всех i,j,k, |х| = г, а*=аЛ+ь Ь^=ЬМ и z^ = z[U+X) при к<п и j < и,-, соответственно, п             пт

«п = П^. # = Ц^, 4. = П4" и [a„,a_v] = ПП^, 6=1              6=1               у=1                     1=1 /=1

где tg^ - элемент из м-й строки и v -го столбца матрицы Ту . Теорема доказана.

Приведем некоторые примеры. В дальнейшем через х обозначим первообразный корень степени г из 1 над полем GF^pY

• 1.    Пусть р = 2, q_x=3, q₂=7 и q₃=31.B этом случае т_х =15, т₂ =10, т₃ =6, а п = 30. Так как т_х<п для любого i , то в этом случае группа G существует.

• 2.    Если р = 2, q_x = 3 и ^₂ = 5, то /я₂ = 2 и т_х = и = 4. Так как х^-3 = х³’² , х^-5 = х⁵² и х^-1 # х² ни для какого а, то условие теоремы выполняется для t = 1 и, следовательно, группа G существует и в этом случае.

• 3.    Предположим теперь, что р = 2, q_x=7, q₂=5 и q₃ =3. Тогда mj=4, m₂ = 6, ти₃=и = 12. Если у - первообразный корень степени 105 из 1 над GF(2), то уе{х² ,х¹¹² ,х¹³"² | se/ = {0,l,...,ll}}. Из х^-3=у³’² и х“⁵=у⁵’² следует, что

• у е {х13’2’,х17'2* | s е 7}. А из х 7 = у7"2 следует, что у е{х112 , х13‘2 ре7}. Поэтому г = 13 • 25 для некоторого sei. Так как х-1 = х13’2 , то группа G в этом случае не существует.