О конформно полуплоских 4-мерных группах Ли

В статье исследуются римановы многообразия, для которых автодуальная или ан-тиавтодуальная составляющая тензора Вейля W равна нулю (см., например, [1]). Такие многообразия принято называть конформно полуплоскими [1, 2], в отличие от конформно плоских (W = 0). Конформно плоские римановы метрики исследовались в [3, 4]. Однородные конформно плоские римановы многообразия классифицированы Д. В. Алексеевским и Б. Н. Кимельфельдом в [5]. Вопрос о классификации конформно полуплоских однородных римановых многообразий в общем случае остается открытым. В настоящей работе дана классификация конформно полуплоских вещественных четырехмерных алгебр Ли групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. При этом существенно использовались классификация Г. М. Мубаракзянова вещественных четырехмерных алгебр Ли [7] и результаты работ А. Г. Кремлева и Ю. Г. Никонорова [8, 9].

Пусть (M, g) — ориентированное риманово многообразие размерности n, а X , Y , T , V — векторные поля на M . Обозначим через ∇ связность Леви-Чивита и через R(X, Y)T = [ V y , V x ]T + V [ x,y ] T — тензор кривизны Римана. Тензор Риччи r и скалярную кривизну s определим соответственно как r(X,Y ) = tr(V ^ R(X, V)Y) и s = tr(r). Разделим тензор кривизны R на метрический тензор g в смысле произведения Кулкарни — Номидзу [1], получим тензор Вейля W и тензор одномерной кривизны A:

R = W + A ® g,

где

(A ® g)(X, Y, T, V) = A(X, T)g(Y, V) + A(Y, V )g(X, T ) - A(X, V)g(Y, T ) - A(Y, T )g(X, V),

A=

n

- 2

-

sg

2(n - 1)

Будем считать далее, что dim M = 4. Тогда риманова метрика g индуцирует скалярное произведение (•, •} в слоях пространства расслоения Л2М по правилу hXi Л X2, Y1 Л Y2ix = det(gx(Xi, Yj)).

(с) 2011 Гладунова О. П., Родионов Е. Д., Славский В. В.

Оператор Ходжа * : K ^ M ^ Л Х М, задаваемый соотношением

h*a, вi vol = a Л в (V a, в £ ЛХМ, x £ М), где vol — форма объема на М, обладает тем свойством, что *2 = Id. Отсюда

Л Х М = Л + ф Л ^- ,                            (2)

где Л ⁺ и Л ^- обозначают соответственно собственные пространства, отвечающие собственным значениям +1 и — 1 оператора * .

Риманову тензору кривизны в любой точке можно поставить в соответствие оператор

R : ЛХМ ^ ЛХМ, определяемый равенством hX Л Y, R (T Л V )ix = Rx(X,Y,T,V),

где R x (X, Y, T, V) = g x (R(X, Y)T, V).

Матрицу оператора кривизны R относительно разложения (2) можно представить в блочном виде [10]:

R =

W ⁺ + 12 Id

Zt

Z

W - + 12 Id

где W ⁺ и W ^- — матрицы автодуальной и антиавтодуальной составляющих тензора Вейля W .

Любой ортонормированный базис E 1 , E 2 , E 3 , E 4 пространства T _x M определяет орто-

нормированный базис -= (Ei Л E2 ± E3 Л E4), -= (Ei Л E3 ± E4 Л E2),                           (5) -= (Ei Л E4 ± E2 Л E3) пространства Л±М (см., например, [1]).

Отметим, что матрицы W ⁺ и W ^- являются симметричными и их компоненты в ортонормированном базисе (5) находятся по формулам:

W i+i =	2 ( R 1212 + 2R 1234 + R 3434 ) —	s 12,
W 2+2 =	= ( R 1313 — 2R 1324 + R 2424 ) —	s 12,
W 3+3 =	= ( R 1414 + 2R 1423 + R 2323 ) —	s 12,

W 1+2 =	= ( R 1213	+ R 1242 + R 3413 + R 3442 ),
W 1+3 =	= ( R 1214	+ R 1223 + R 3414 + R 3423 ),
W 2+3 =	= ( R 1314	+ R 1323 + R 4214 + R 4223 ),

и, соответственно,

W 44 =	2(R 1212	— 2R 1234	+ R 3434 ) — 12,
W 55 =	2(R 1313	+ 2R 1324	+ R 2424 ) — 12,
W 66 =	2(R 1414 1/^	— 2R 1423	+ R 2323 ) — 12,	(7)
W 4-5 =	2(R 1213 '	- R 1242 -	R 3413 + R 3442 ) ,
W 4-6 =	2(R 1214 '	- R 1223 -	R 3414 + R 3423 ) ,
W 5-6 =	2(R 1314 '	- R 1323 -	R 4214 + R 4223 )-

Пусть, далее, M = G — группа Ли с алгеброй Ли д . Фиксируем в д базис E i , E 2 , E 3 , E 4 левоинвариантных векторных полей G и положим

[E i ,E j ]= c k E _k , \ : E j =r kj E k , hE i ,E j ) = g j ,                  (8)

где {cikj } — структурные константы алгебры Ли, {gij } — метрический тензор. Пусть Cijs = ckj gks. Тогда символы Кристоффеля первого и второго рода вычисляются соответственно по формулам rij,k    ^(cijk cjki + ckij),    rij    rij,k9 ,                          (9)

где k g ^ks k есть матрица обратная к k g k_s k .

Из (8) и (9) очевидно следует, что тензоры Римана R ij k_t , Риччи r ik , скалярная кривизна s и тензор Вейля W _ij_kt являются функциями структурных констант c _i ^k _j и компонент метрического тензора g ij (см. также [3]). Следовательно, тем же свойством обладают компоненты W ⁺ и W ^- .

Нам понадобятся следующие результаты работ [8, 9].

Лемма 1. Для произвольного скалярного произведения h· , ·i на четырехмерной действительной разложимой унимодулярной алгебре Ли g существует h· , ·i -ортонормиро-ванный базис, в котором ненулевые структурные константы алгебры Ли g имеют вид [8]:

c3,2 = A, c1,2 = -AM, c2,3 = B, c4,3 = — BK, c2,3 = —C, c4,3 = CL, где K, L, M ∈ R — произвольные, A, B, C ∈ R и A 6 B 6 C .

В зависимости от знаков чисел A, B и C получаются различные алгебры Ли. Все они с точностью до изоморфизма приведены в таблице 1, основанной на результатах Дж. Милнора о трехмерных унимодулярных алгебрах Ли [11]. Здесь 4A i — коммутативная алгебра Ли, а каждая A 3 _,i есть унимодулярная алгебра Ли размерности 3 (см. [7]).

Таблица 1

Алгебра Ли	Знаки A, B, C
A 1	0, 0, 0
A 3 , 1 ⊕ A 1	0,0, +
A 3 , 4 ⊕ A 1	— ,0, +
A 3 , 6 ⊕ A 1	0, +, +
A 3 , 8 ⊕ A 1	— ,+, +
A 3 , 9 ⊕ A 1	+, +, +

Таблица 2

Алгебра Ли A4,1	Структурные константы c 2,4 = A, c 3,4 = B, c 3,4 = C	Ограничения A > 0, C > 0
A - 2	c 1,4 = -2A, c 2,4 = B, c 2,4 = A, c 3,4 = C,	A > 0, D > 0
	c 3,4 = D, c 3,4 = A
a^ - 1 -“ ,a е ( - 1, 2 ]	c 1,4 = A, c 2,4 = B , c 2,4 = C, c 3,4 = D, c 3,4 = F ,	A > 0, C < 0
	c 3,4 = - A - C
A-6 e,e , в е (0, + ^ )	c 1,4 = —2A, c 2,4 = B, c 2,4 = A + C , c 2,4 = D, c 3,4 = F,	A > 0, D < 0,
	c 3,4 = G, c 3,4 = A - C	G > 0
A4,8	c 2,3 = A, c 2,4 = B, c 2,4 = C, c 3,4 = D, c 3,4 = F,	A > 0, C > 0
	c 3,4 = -C
A4,10	c 2,3 = A, c 2,4 = B, c 2,4 = C, c 3,4 = D, c 3,4 = G	A > 0, C < 0, G > 0

Таблица 3

Алгебра Ли	Структурные константы	Ограничения
A2 L 2 A1	c 1,2 = A, c 1,2 = B	A > 0,B >  0
2Ao	c 1,2 = A, c 1,3 = B, c 1,3 = C, c 4,4 = G, c 1,4 = F(A - D), c 4,4 = D,	A > 0, G > 0
	c 3,4 = -FG,
A3,2 L A1	c 1,3 = c 2,3 = A, c 4,3 = B, c 2,3 = C, c 2,3 = D	A > 0, C > 0
Аз,з L A1	c 1,3 = c 2,3 = A, c 4,3 = B	A > 0, B >  0
A3,5 L A 1	c 1,3 = A, c 4,3 = B, c 2,3 = C, c 2,3 = Aa, c 2,3 = D	A > 0, 0 <  | a| < 1
A a l A1	c 1,3 = c 2,3 = aL, c 2,3 = - AL, c 43 = BL, c 2,3 = L/A, c 43 = CL	L > 0, A > 0, a>0
		Таблица 4
Алгебра Ли	Структурные константы	Ограничения
a ?, 2	c 1,4 = aL, c 2,4 = A(a - 1)L, c 2,4 = c 3,4 = L,	C > 0, L > 0,
	c 3,4 = (B(a - 1) - AC)L, c 3,4 = CL,	a = 0, - 2
A4,3	c 1,4 = L, c 2,4 = AL, c 3,4 = BL, c 3,4 = CL	C > 0, L > 0
A4,4	c 1,4 = c 2,4 = c 3,4 = L , c 2,4 = AL, c 3,4 = BL, c 3,4 = CL,	A > 0, C > 0, L > 0
a , e A 4,5	c 2,4 = A(a - 1)L, c 2,4 = aL, c 3,4 = eL, c 3,4 = C(a — e)L, c 1,4 = L,	L > 0, ав = 0,
	c 3, 4 = (AC(a - 1) + B(e - 1))L, - 1 6 a 6 в 6 1	a + в = - 1
A a , e A4,6	c 1,4 = aL, c 2,4 = AL, c 2,4 = c 3,4 = eL, c 2,4 = - CL , c 3,4 = BL,	C > 0, L > 0, a = 0,
	c 3,4 = CL	в >  0
A4,7	c 1,4 = 2A, c 2,3 = B, c 2,4 = C, c 2,4 = A, c 3,4 = D, c 3,4 = F, c 3,4 = A	A > 0, B > 0, F > 0
A 4,9	c 1,4 = A(e + 1), c 2,3 = B, c 2,4 = C, c 2,4 = A, c 3,4 = D,	A > 0, B > 0,
	c 3,4 = F(1 - в), c 3,4 = Ae	- 1 < в 6 1
A 4,11	c 1,4 = 2Aat c 2,3 = B, c 2,4 = C, c 2,4 = Aa, c 2,4 = - AD, c 3,4 = F,	A > 0, B > 0, D> 0,
	c 3,4 = "A , c 3,4 = Aa	a > 0
A4,12	c 1,3 = c 2,3 = A, c 1,4 = c 2,4 = B, c 1,4 = C, c 2,4 = D, c 3,4 = F,	A > 0, C < 0, D > 0
	c 3,4 = G

Лемма 2. Для произвольного скалярного произведения (• , •} на четырехмерной действительной неразложимой унимодулярной алгебре Ли g существует (• , ^-ортонормиро-ванный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 2 [8].

Лемма 3. Для произвольного скалярного произведения (• , •} на четырехмерной действительной разложимой неунимодулярной алгебре Ли g существует (• , ^-ортонормиро-ванный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 3 [9] .

Лемма 4. Для произвольного скалярного произведения (• , •} на четырехмерной действительной неразложимой неунимодулярной алгебре Ли g существует (• , ^-ортонорми-рованный базис с ненулевыми структурными константами, приведенными в таблице 4 [9] .

Сформулируем основной результат.

Теорема 1. Пусть G — вещественная 4-мерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда

• 1)    W + = 0 в том и только том случае, если W = 0 ;

• 2)    W - = 0 в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий: либо W = 0 , либо алгебра Ли группы G есть одна из алгебр следующего списка: алгебра Ли А ^ 9 ( - 1 < в 6 1) с набором структурных констант с 1 ₄ = 2А , с 2 3 = c 2 4 = С 3 4 = А > 0 , в = 1 или с 1,4 = с 2,з = 2A , с 2,4 = с 3,4 = А > 0 , в = 1 ; алгебра Ли А ^ 11 (а > 0) с набором структурных констант с 1 4 = 2Аа, с 2 3 = с 2 4 = с 3 4 = Аа, с% 4 = -с² 4 = -А, А >  0 или с 1 ₄ = с 2 з = 2Аа, с 2 ₄ = с 3 ₄ = Аа, с 2 ₄ = -с² ₄ = -А, А >  0 .

C Фиксируя базис работы [8] на 4-мерной унимодулярной разложимой алгебре Ли и применяя формулы (6) и (7), определяем элементы блоков W ⁺ и W ^- в матрице оператора кривизны (4):

w + = W ₄ = g( АС - 2А ² - 2А 2 М ² + С ² + В ² + АВ + С 2 L ² + В ² К ² - 2CB),

W + = w - = -(АС + А ² + А ² M ² - 2С ² + В ² - 2АВ - 2С 2 L ² + В ² К ² + СВ ), 22       55     6                                                                                           '

W 3+ = W — = 6(А ² + А ² М ² + С ² - 2АС - 2В ² + АВ + С ² L ² - 2В ² К ² + СВ ), W + = 4(2AMCL - ВКА + СВК ), W + = 4(CLB - ACL - 2АМВК ), W +3 = 4 (АМВ - САМ + 2BKCL), W —5 = 4 (2 AMCL + ВКА - СВК ), W 46 = 4(2АМВК - CLA + CLB ), W 56 = 4( АМВ - 2BKCL - САМ ).

Находим решения систем уравнений W ⁺ = 0 и W - = 0 относительно структурных констант A , B , C , K , L , M . Получаем, что решения данных систем уравнений совпадают и равны:

• 1.    А = В = С = 0, К, L, М G R .

• 2.    А = В, С = К = М = 0, В, L G

• 3.    А = С, В = L = М = 0, С, К G

• 4.    А = К = L = 0, В = С, С, М G

• 5.    А = В = CL ² + С , К = М = 0, С, L G R .

• 6.    А = С = В + ВК ² , L = М = 0, В,К G R .

• 7.    В = С = А + АМ ² , К = L = 0, А,М G R .

Сопоставляя полученные результаты с данными таблицы 1, получаем, что все четырехмерные действительные разложимые унимодулярные алгебры Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантной римановой метрикой и W ± = 0, исчерпываются следующими алгебрами: 4 А 1 , A 3,6 ® A i , A 3,9 ® A i с ограничениями из леммы 1. Отметим, что для указанных алгебр Ли тензор Вейля W тривиален.

Далее мы последовательно рассмотрим все вещественные четырехмерные унимоду-лярные неразложимые алгебры Ли, чем и завершим доказательство теоремы в унимо-дулярном случае.

Алгебра A 4,1 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и, применяя формулы (6) и (7), вычислим компоненты блоков W ⁺ и W ^- в разложении оператора кривизны. Получаем следующие нетривиальные компоненты:

+    И/^-    1( Z1²    9 R²   9Г’²'!   ТЛ/+ И/^- — 4 / R ² I Л¹²   9 Д ®

W11 = W44 = g (А   2В   2С ),  W22 = W55 = g (В + С   2 А ), w+ = w- = 1(А2 + В2 + С2),  W+ = W- = 1 АВ,  W+ = -W- = -1 АС.

33       66                              ^,       12       45             ^,       13          46

Ввиду того, что структурные константы A и C положительны, ни одна из систем уравнений W + = 0 и W - = 0 решений не имеет.

Алгебра А - 2 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и находим компоненты матриц W ⁺ и W ^- , используя (6) и (7):

W 1+ = W 4 = 6(6A ² + B ² - 2C ² - 2D ² ), W 2+ = W 55 = |(6A ² - 2B ² + C ² + D ² ), W + = W - = 6( — 12A 2 + B ² + C ² + D ² ), W +2 = W - = 2(CB + 2AD),

W + = -W - = 1(5 AC - BD), W + = -W - = - ⁵ AB. 13        46                             23        56

Нетрудно заметить, что при ограничениях на структурные константы A >  0 и D >  0 системы уравнений W + = 0 и W - = 0 не имеют решений.

Алгебра А^ 1 ^а , а Е ( - 1, 2 ] . Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим компоненты блоков W ⁺ и W ^- в разложении оператора кривизны:

W +1 = W 44 = 6(B ² - 2A ² - 2D ² - 2C ² - 2F ² - 8AC), W+ = W 55 = 6(4A ² - 2B ² + D ² - 2C ² + F ² + 4AC), W 3+ = W 66 = 6(B ² + D ² - 2A ² + 4C ² + F ² + 4AC), W 1+ = W 45 = 4(2BD - AF + 2CF), W + = - W 46 = ^(DC - BF - 2AD), W + = - W 56 = 1 B (3A + C ).

Легко проверить, что системы уравнений W ⁺ = 0 и W ^- = 0 не имеют решений в силу ограничений на структурные константы A >  0, C <  0.

Алгебра А 42 ^е,в , в Е (0, + го ). Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим компоненты матриц W ⁺ и W ^- в разложении оператора кривизны:

W 1+ = W 4 = 6(6A ² + B ² - 2F ² - 2C ² - GD + D ² - 2G ² + 12AC),

W 2+ = W —5 = 6(6A ² - 2B ² + F ² - 2C ² - GD - 2D ² + G ² - 12AC),

W + = W - = 1(B ² + F ² - 12A ² + 4C ² + 2GD + D ² + G ² ), 33      66

W+ = W —5 = |(BF + 2AD + 2AG - DC + 2GC), W 1+ = - W 46 = 4 (5AF + CF - BG), W + = - W - = 1(FD - 5AB + BC ). 23        56

Так как A >  0, D < 0 и G >  0, то, как легко заметить, ни одна из систем уравнений W ⁺ = 0 и W ^- = 0 решений не имеет.

Алгебра A 4 _, 8 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и найдем компоненты блоков W ⁺ и W ^- в разложении оператора кривизны:

W 1+ = W 4 = 6(A 2 + в ² - 2D ² - 2F ² - 2C ² - 3AC),

W 2+ = W -5 = 6(A ² - 2B 2 + D ² + F ² - 2C ² + 3AC ),

W 3+ = W 66 = |(B ² - 2A 2 + D ² + F ² + 4C ² ),

W1+ = 4(2BD - AF + 2CF ), W 1+ = 4(DC - BF - 2AD), W 2+ = 4B(2A + C ), W — = 4(2BD + AF + 2CF ), W ₄₆ = 4( - DC + BF - 2AD), W 56 = |B(2A - C ).

Поскольку A и C положительны, то системы уравнений W ⁺ = 0 и W - = 0 не имеют решений.

Алгебра A 4 _, 10 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 2 и вычислим компоненты блоков W ⁺ и W ^- в разложении оператора кривизны. Соответственно, имеем

W +1 = W - = 6(A ² + B ² - 2D ² - 2G ² + C ² - GC ),

W +2 = W ^— = 6 (A ² - 2B ² + D ² + G ² - 2C ² - GC ),

W +з = W - = 6(B ² - 2A 2 + D ² + (G + C ) ² ),

W +2 = 4(2BD - AC - AG), W +3 = - 4 (2AD + BG), W + = 4 (2 AB + DC ),

W 45 = 4 (2BD + AC + AG), W - = - 4 (BG - 2AD), W - = 4 (2AB - DC ).

Очевидно, что системы уравнений W ⁺ = 0 и W - = 0 не разрешимы при заданных ограничениях на структурные константы A >  0, C <  0, G >  0.

Теперь рассмотрим последовательно каждую неунимодулярную разложимую алгебру Ли из таблицы 3.

Алгебра A 2 е 2 A 1 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 3. C помощью формул (6) и (7) определим компоненты W ⁺ и W ^- в разложении оператора кривизны (4).

W 1+ = W 4 = - 3(A ² + B ² ), W 2+ = W -5 = 6(A ² + B ² ), W +з = W 66 = 6(A 2 + B 2 ).

Решая систему уравнений W ⁺ = 0 и W - = 0 относительно структурных констант A, B и принимая во внимание, что A > 0, получим, что настоящие системы уравнений решений не имеют.

Алгебра 2 A 2 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 3. Применяя (6) и (7), находим компоненты W ⁺ и W ^- :

W 1+ = W —4 = |(AD(1 - 2F ² ) - 2G ² + B ² - 2A ² + C ² +D ² + F ² A ² + F 2 D ² - 2F ² G ² + 3AFG),

W 22 = W 55 = 6(A ² - 2AD(F ² + 1) + G ² - 2B 2 - 2C ² + D ² + F ² A ² + F ² D ² + F ² G ² ),

W + = W - = 1(4F ² AD + G ² + AD + B ² + A ² + C ² 33       66     6 '

- 2D ² - 2F ² (A ² + D ² ) + F ² G ² - 3AFG),

W 1+ = 4(FCD - FC A - 2AB + 2BFG - 2GC + BD),

W 1+ = 2(AFD - A 2 F + F 2 GA - F 2 GD - GD),

W 2+ = 4(2BFD - 2BFA - 2CD - FGC - BG + AC ),

W ^— = 4(FCD - FC A - 2 AB - 2BFG + 2GC + BD),

W ₄₆ = |(AFD - A²F - F 2 GA + F 2 GD - GD), W ₅₆ = 4(2BFD - 2BFA - 2CD + FGC + BG + AC ).

Решая системы уравнений W ⁺ = 0 и W ⁶ = 0 относительно структурных констант A, B , C , D , F , G , получим, что данные системы уравнений решений не имеют.

Алгебра А з,₂ е A 1 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 3. С помощью формул (6) и (7) замечаем, что в этом базисе элементы блоков W ⁺ и W ^- равны:

W + = W - = 6(C ² + B ² + D ² ), W + = W - = 6(C ² - 2B ² + D ² ),

W + = W - = 6( - 2C ² + B ² - 2D ² ),

W + = - W ^— = - 1(AB),   W + = W 56 = 1(BC - AD),   W + = W - = - 1(AC + BD).

12        45                     13      56                           23      56

Очевидно, что при имеющихся ограничениях на структурные константы А и С (A> 0, C > 0) системы уравнений W ⁺ = 0 и W ⁶ = 0 не разрешимы.

Алгебра A 3 _, 3 е A 1 . Фиксируем соответствующий ортонормированный базис. Компонентами матриц W ⁺ и W ^- с учетом (6) и (7) являются:

W + = W - = ¹B ² , W + = W - = 1 B ² , W + = W - = - ¹B ² , W + = W - = - ¹ AB.

• 11       44            ^,        22       55            ^,        33       66              ^,        13       46

Решая системы уравнений W ⁺ = 0 и W ⁶ = 0 относительно структурных констант A, B и принимая во внимание, что A > 0, получим одно действительное решение A > 0, B = 0. Заметим, что для данного набора структурных констант тензор Вейля W = 0.

Алгебра А ^ 5 е А 1 , 0 <  | а | < 1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 3. Согласно (6), (7) компоненты блоков W ⁺ и W ^- задаются равенствами:

W + = W - = 6(C ² - 2A ² а + A ² + B ² + a ² A ² + D ² ),

W 2+ = W 55 = |(C ² + A ² а - 2A ² - 2B ² + а ² A ² + D ² ),

W 3+ = W ₆₆ = 6(A ² a - 2C ² + A ² + B ² - 2a ² A ² - 2D ² ),

W i+ = -W - = - 4 aAB, W +3 = W 46 = 4(BC - AD), W +3 = - W - = - |(CA + DB).

Нетрудно заметить, что ни одна из систем уравнений W ⁺ = 0 и W - = 0 не имеет решений при заданных ограничениях на структурные константы A, B , C , D и параметр α леммы 3.

Алгебра А ^ 7 е A 1 , a > 0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем соответствующий ортонормированный базис. Используя равенства (6), (7), находим компоненты W ⁺ и W ^- :

W 1+ = W 4 =    (1 + A 4 + B ² A ² + C ² A ² - 2A ² ),

(1 - 2A ⁴ - 2B ² A ² + C ² A ² + A ² ),

W 2+2 = W - = 6A

W 33 = W - = 6A( — 2 + A 4 + B^A^ - 2C ² A ² + A ² ),

G ²                            G ²

W 1+ = - W 45 = — _T(aB + CA), W + = W - = - 4A (aCA - B ), W + = -W - = G ( - a + A ² a - CBA).

23        56

Решая системы уравнений W ⁺ = 0 и W - = 0 относительно структурных констант A, B , C , L и параметра α, для каждой из них получим следующее действительное решение:

A = 1, B = 0, C = 0, — >  0, a> 0.

Отметим, что для данного набора структурных констант тензор Вейля W тривиален.

Рассмотрим теперь последовательно каждую неунимодулярную неразложимую алгебру Ли из таблицы 4, что завершит доказательство теоремы.

Алгебра A 42 , a = 0, a = - 2. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4. С учетом (6) и (7) нетривиальные компоненты блоков W ⁺ и W ^- имеют вид:

W 1+ = W 4 = — (4B AC - 4BaAC + 2C ² + a - a ² + 2A ² a

- A ² a ² - A ² + 2A ² C ² - 4B ² a + 2B ² a ² + 2B ² ),

L ²

W ₂+ = W ^- = — (2BAC + C ² - 2BaAC - a + a ² + 4A ² a

- 2A ² a ² - 2A ² + A ² C ² - 2B ² a + B ² a ² + B ² ),

L ²

W ₃+ = W 66 = — (2BAC - 2BaAC + C ² + 2a - 2 a ² - 2A ² a

+A ² a ² + A ² + A ² C ² - 2B ² a + B ² a ² B ² ^ ,

W 1+ = W 45 = - — (aC - 2ABa ² + 4ABa - 2AB + 2A ² aC - 2 A ² C - 2C),

L ²                                         L ² A

W 13 = - W 46 = _T (aAC + 3Ba - B - 2Ba²), W 2+ = - W - = -4-(2a - 1)(a - 1).

Нетрудно проверить, что системы уравнений W ⁺ = 0 и W ⁺ = 0 не имеют решений при заданных ограничениях C > 0, — > 0, a = 0, - 2 на структурные константы A, B , C , L и параметр α.

Алгебра А 43 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Нетривиальными компонентами матриц W ⁺ и W ^- согласно (6), (7) являются

W 1+ = W -4 = -т(A 2 - 2B ² + 1 - 2C 2 ), W + = W 55 = --- (2A 2 - B ² - 1 - C 2 ),

L ²                                     L ²

W + = W 66 = -g-(A 2 + B 2 - 2 + C 2) , W +2 = W 45 = _T(2AB - C ),

_L 2                                          ₁

W +з = - W - = - — (2B + AC ), W + = - W - = 2L 2 A.

Очевидно, что системы уравнений W ⁺ = 0 и W - = 0 неразрешимы при имеющихся ограничениях C >  0, L >  0 на структурные константы A, B , C , L.

Алгебра А 44 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Заметим, что в данном базисе согласно (6) и (7) компоненты блоков W ⁺ и W ^- соответственно равны:

W +1 = W -4 = — ( A ² - 2B 2 - 2C 2 ), W + = W 55 = - — (2A ² - B ² - C 2 ),

W +з, = W - = — (A ² + B ² + C 2 ), W +2 = W - = _T(C + 2AB),

_- 2                                           ₁

W +з = - W 46 = - _T(AC + B), W + = - W - = - L 2 A.

Легко заметить, что системы уравнений W ⁺ = 0 и W - = 0 не имеют решений, удовлетворяющих условиям леммы 4.

Алгебра А ^^ , ав = 0, - 1 6 а 6 в 6 1, а+в = - 1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4 и, применяя (6), найдем элементы матрицы W ⁺ в разложении оператора кривизны.

W 1+ = - — (2A ² C ² а ² - 4A 2 C ² а - 1 + 2в 2 - а ² - 4B² в

-4ACаB - 4ACBв + 2B ² в ² + 2A 2 C ² + 4ACаBв + 4ACB + 2A ² а

- A ² а ² 2а - ав + 2C ² в ² + 2C ² а ² - в - A ² + 2B ² - 4C ² ав),

W 2+ = — (1 - 2A ² C ² а + A 2 C ² а ² + в ² - 2B ² в - 2ACаB - 2ACBв

+B ² в ² + A 2 C ² + 2ACB + 2ACаBв + 4A ² а - 2A ² а ² + а + ав + C ² в ² + C ² а ²

- 2в - 2A ² + B ² - 2C ² ав - 2а ² ),

W 3+ = —( в ² - 2A ² C ² а - 2 + A 2 C ² а ² - 2B ² в - 2ACаB

-2ACBв + B ² в ² + A 2 C ² + 2ACB + 2ACаBв - 2A ² а + A ² а ² + а

-2ав + C ² в ² + C 2 а ² + в + A 2 + B ² - 2C ² ав + а ² ),

W 1+ = ^(2A ² Cа ² - 4A ² Cа + 2AаBв + Cв

-2AаB + 2A ² C - 2ABв + 2AB - Cа + 2Cа ² - 2Cав ),

W +3 = — ( аBв - 2 AC а - аB + ACав + 2B + 2 AC - 2Bв - AC в),

AG ²

^W 23 = ^^{( в} - ^{2)( а} - 1),

Аналогично, используя (7), заключаем, что W 4 = W 1+ , W 55 = W 22 , W 66 = W 33 , W - = W + , W - = -W + и W ^- = -W + .

5       12      6         13      56         23

Непосредственно проверяется, что системы уравнений W ⁺ = 0 и W ^- = 0 при заданных ограничениях L >  0, ав = 0, а + в = — 1, — 1 6 а 6 в 6 1 на структурные константы A , B , C , L и параметры α , β имеют единственное действительное решение

A,B,C Е R , L> 0, а = в = 1.

Отметим, что для данного набора структурных констант тензор Вейля W тривиален.

Алгебра А ^б , а = 0, в >  0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Используя формулы (6), (7), найдем компоненты W ⁺ и W ^- :

W + = W -4 = 6C 2 (A 2 C ²

- C 2 ав - 2B 2 C ² + C ² а ² + 1 - 2C ⁴ + C 2 ),

W + = W - = —— (2A 2 C ² + C ² ав - B ² C ² - C ² а ² +2 - C ⁴ - C 2 ), 22       55          2

^W 3⁺3 ^{= W} 6^-6 ⁼

—(A 2 C ² + 2C ² ав + B 2 C ² - 2C ² а ² + 1 + C ⁴ - 2C ² ), 6C ²

L ²

W +2 = W -5 = 4C (2ACB + а - C ² а - 2в + 2C 2 в),

L ²                                       L ²

W 13 = ^- W 46 = ^- "4^{( - Вв + AC + 2 а B} )’ W 23 = ^- W 56 = 4C ^{( -B - АСв + 2 АСа )}.

Решаем системы уравнений W ⁺ = 0 и W ^- = 0 относительно структурных констант A, B, C , L и параметров а, в • Учитывая, что C >  0, L >  0, а = 0, в >  0, получаем одно действительное решение

A = B = 0, C = 1, L> 0, а = в > 0.

Заметим, что для данного набора структурных констант тензор Вейля W = 0.

Алгебра А 4,7 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 4 и найдем компоненты блоков W ⁺ и W ^- в разложении оператора кривизны, применяя равенства (6) и (7):

w + = W - = 6(B ² + C ² + 2A ² - 2D ² - 2F ² + 3AB),

W 2+ = W -5 = 6(b ² - 2C ² + 2A ² + D ² + F ² + 3AB),

W ₃+ = W 66 = 6(C ² - 2B ² - 4A ² + D ² + F ² - 6AB),

W 1+ = 4(2CD - BF ), W 1+ = - 4(2BD + 3AD + CF ), W 2+ = 4 C (2B + 3A), W -5 = 4(2CD + BF ), W 46 = - 4(2BD - 3AD - CF ), W - = 4 C (2B - 3A).

Нетрудно заметить, что системы уравнений W ⁺ = 0 и W ^- = 0 не разрешимы при заданных ограничениях на структурные константы A >  0, B >  0, F >  0 .

Алгебра A ^ 9 , - 1 < в 6 1. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Тогда, учитывая (6), получаем:

W 1+ = 6(C ² + B ² + 2А 2 в + 4F ² в - 2F ² в ² - 2F ² - 2D ² + 3ABв ),

W+ = 6( - 2C ² + B ² + 2А 2 в - 2F ² в + F ² в ² + F ² + D 2 + 3AB ),

W 3+ = -(C ² - 2В 2 - 4А 2 в - 2F ² в + F ² в ² + F ² + D ² - ЗАВв - ЗАВ), W +₂ = 4(2CD + AFв ² + AF - BF + BFв - 2AFв),

W +3 = 4( — 2BD - AD - CF + CFe - 2вAD), W + = 4 C (2В + вА + 2А).

Очевидно, что система уравнений W ⁺ = 0 не имеет решений при заданных ограничениях А > 0, В >  0, - 1 < в 6 1.

Применяя равенства (7), находим:

W — = |(С ² + В ² + 2А 2 в + 4F ² в - 2F ² в ² - 2F ² - 2D ² - ЗАВв),

W -5 = -( - 2C ² + В ² + 2А 2 в - 2F ² в + F ² в ² + F2 + D ² - ЗАВ),

W — = -(C ² - 2В ² - 4А ² в - 2F ² в + F ² в ² + F ² + D ² + ЗАВв + ЗАВ),

W — = 4(2CD + AFв ² + AF + BF - BFв - 2AFв ),

W ₄₆ = 4( - 2BD + AD + CF - CFв + 2вAD), W ₅₆ = 4 C(2В - вА - 2А).

Решая систему уравнений W - = 0 относительно структурных констант А, В, C , D, F и параметра β , получаем следующие действительные решения:

• 1.    В = 2А > 0, C = D = 0, F G R , в = 1;

• 2.    В = А > 0, C = D = 0, F G R , в = 1.

Отметим, что для первого набора структурных констант тензор Вейля имеет следующие ненулевые компоненты: W 1212 = W 1234 = W 3124 = W 2424 = W 3434 = А ² , W 1414 = W 1423 = W 2323 = - 2А ² . Для второго набора структурных констант таковыми являются: W 1212 = W 1234 = W 3124 = W 2424 = W 3434 = 2 ^А 2 , W 1414 = W 1423 = W 2323 = ^{- А} 2 .

Алгебра A 4 ц, а >  0. Для рассматриваемого семейства алгебр фиксируем ортонор-мированный базис леммы 4. Применяя (6) и (7) в данном базисе, находим:

W + = —D2 (B ² D ² + C 2 D ² + 2A ² а ² D ² - 2F 2 D ² + A ² D ⁴ - 2А ² + A ² D ² + 3BAаD ² ),

W 2+ = -L (В 2 D ² - 2C ² D ² + 2A ² а ² D ² + F ² D ² - 2A ² D ⁴ + А ² + А ² D ² + ЗВАа D ² ),

W 3+ = - -L.(2B ² D ² - C 2 D ² + 4А ² а ² D ² - А ² - A ² D ⁴ + 2А ² D² + 6BAаD ² - F 2 D ² ),

W + = 4D (2CFD - АВ + AD ² В ), W +3 = 4D (2BFD + 3AаFD + AC ), W 2+ = 4(2BC - ADF + 3CAа),

W ^- = -DD 2 (В 2 D ² + C 2 D ² + 2 А ² a ² D ² - 2F 2 D ² + A ² D ⁴ - 2А ² + A ² D ² - 3BAаD ² ),

W - = ^(B ² D ² - 2C 2 D ² + 2А ² a²D² + F 2 D ² - 2A ² D ⁴ + А ² + A ² D ² - 3BAаD ² ), ⁵⁵    -D ²

W - = - -DD 2 (2В ² D ² - C 2 D ² + 4А ² а ² D ² - А ² - A ² D ⁴ + 2А ² D² - 6BAаD ² - F 2 D ² ), W -5 = 4D(2CFD + АВ - AD ² B), W ₄₆ = 4D( - 2BFD + 3AаFD + AC), W 56 = |(2BC + ADF - 3CAа).

Нетрудно заметить, что система уравнений W + = 0 не имеет решений при заданных ограничениях A >  0, B >  0, D >  0, а >  0, а действительными решениями системы уравнений W - = 0 являются:

• 1.    B = aA >  0, C = F = 0, D = 1;

• 2.    B = 2аА > 0, C = F = 0, D = 1.

Отметим, что для первого набора структурных констант тензор Вейля имеет следующие ненулевые компоненты: W 1212 = W 1234 = W 3124 = W 2424 = W 3434 = 2 А ² а ² , W 1414 = W 1423 = W 2323 = - A ² . Для второго набора структурных констант таковыми являются W 1212 = W 1234 = W 3124 = W 2424 = W 3434 = A 2 ^а 2 , W 1414 = W 1423 = W 2323 = - ² A 2 ^а 2 .

Алгебра A 4 _, 12 . Фиксируем ортонормированный базис леммы 4. Из (6) заключаем, что нетривиальными элементами матрицы W ⁺ являются:

W +1 = 6(D ² + C ² - 2F ² - 2G ² + 2DC),

W + = 6( - 2D ² + C ² + F ² + G ² - DC + 3AC + 3AD),

W 3+ = 6(D ² - 2C ² + F ² + G ² - DC - 3AC - 3AD),

W 1+ = 4(2FD + FC + BG - AF ), W 1+ = 4( - AG - BF - GD - 2GC ),

W + = 2 B (D + C ).

Легко проверить, что система уравнений W + = 0 не имеет решений, удовлетворяющих условиям леммы 4.

Применяя (7), находим компоненты блока W ^- в разложении оператора кривизны:

W - = 6(D ² + C ² - 2F ² - 2G ² + 2DC),

W -5 = 6( - 2D ² + C ² + F ² + G ² - DC - 3AC - 3AD),

W 66 = 6(D ² - 2C ² + F ² + G ² - DC + 3AC + 3AD),

W 45 = 4(2FD + FC + BG + AF ), W ₄₆ = |( - AG + BF + GD + -2GC ),

W 56 = - 2 B(D + C ).

Решая систему уравнений W ^- = 0 относительно структурных констант A, B , C , D, F , G , получаем следующие действительные решения:

A > 0, B E R , C = -D, D> 0, F = G = 0.

Отметим, что для указанного набора структурных констант тензор Вейля W тривиален. Тем самым доказательство теоремы завершено. B