О конформном множителе в конформном уравнении Киллинга на 2-симметрическом пятимерном неразложимом лоренцевом многообразии
Автор: Андреева Т.А., Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.25, 2023 года.
Бесплатный доступ
Конформно киллинговы векторные поля являются естественным обобщением киллинговых векторных полей и играют важную роль в исследовании группы конформных преобразований многообразия, потоков Риччи на многообразии, теории солитонов Риччи. Псевдоримановы симметрические пространства порядка k, где k≥2, возникают в исследованиях по псевдоримановой геометрии и в физике. В настоящее время они исследованы в случаях k=2,3 Д. В. Алексеевским, А. С. Галаевым и другими. В случае малых размерностей эти пространства и векторные поля Киллинга на них изучались Д. Н. Оскорбиным, Е. Д. Родионовым и И. В. Эрнстом. Солитоны Риччи являются обобщением эйнштейновых метрик на (псевдо)римановых многообразиях и их уравнение изучалось на различных классах многообразий многими математиками. В частности, Д. Н. Оскорбиным и Е. Д. Родионовым было найдено общее решение уравнения солитона Риччи на 2-симметрических лоренцевых многообразиях малой размерности, доказана локальная разрешимость этого уравнения в классе 3-симметрических лоренцевых многообразий. В случае постоянства константы Эйнштейна в уравнении солитона Риччи, векторные поля Киллинга позволяют найти общее решение уравнения солитона Риччи, отвечающее данной константе. Однако, для различных значений константы Эйнштейна, роль полей Киллинга играют конформно киллинговы векторные поля. Поэтому возникает потребность в их изучении. В данной работе исследован конформный аналог уравнения Киллинга на пятимерных 2-симметрических неразложимых лоренцевых многообразиях, исследованы свойства конформного множителя конформного аналога уравнения Киллинга на них. Построены нетривиальные примеры конформно киллинговых векторных полей с переменным конформным множителем.
Конформно киллинговы векторные поля, лоренцевы многообразия, k-симметрические пространства, киллинговы векторные поля, солитоны риччи
Короткий адрес: https://sciup.org/143180470
IDR: 143180470 | DOI: 10.46698/f6017-0875-0171-y
Текст научной статьи О конформном множителе в конформном уравнении Киллинга на 2-симметрическом пятимерном неразложимом лоренцевом многообразии
Векторные поля Киллинга порождают алгебру Ли группы движений многообразия и традиционно привлекают внимание математиков [1]. Естественным обобщением данных полей являются конформно киллинговы векторные поля, алгебра Ли которых соответствует группе конформных преобразований многообразия.
-
# Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант № 22-21-00111 «Псевдори-мановы многообразия с ограничениями на тензор Риччи».
-
© 2023 Андреева Т. А., Оскорбин Д. Н., Родионов Е. Д.
-
2. Основные определения и обозначения
Важным приложением конформно киллинговых векторных полей являются солитоны Риччи, которые впервые были рассмотрены Р. Гамильтоном в процессе исследования потоков Риччи на многообразиях. Солитоны Риччи являются обобщением эйнштейновых метрик на (псевдо)римановых многообразиях и их уравнение изучалось на различных классах многообразий многими математиками. В частности, было найдено общее решение уравнения солитона Риччи на 2-симметрических лоренцевых многообразиях малой размерности, доказана локальная разрешимость этого уравнения в классе 3-симметриче-ских лоренцевых многообразий. В случае постоянства константы Эйнштейна в уравнении солитона Риччи, векторные поля Киллинга позволяют найти общее решение уравнения солитона Риччи, отвечающее данной константе [2].
Ранее было описано общее решение конформного аналога уравнения Киллинга на неразложимом симметрическом четырехмерном лоренцевом многообразии [3]. Кроме того описаны конформно-киллинговы векторные поля на пятимерных локально неразложимых 2-симметрических лоренцевых многообразиях в локальных координатах, открытых А. С. Галаевым и Д. В. Алексеевским, при условии постоянного конформного множителя [4, 5]. В данной работе исследованы свойства конформного множителя конформного аналога уравнения Киллинга на пятимерных 2-симметрических лоренцевых многообразиях. Приведем предварительные определения и факты.
Определение 1. Псевдоримановым многообразием называется гладкое многообразие M , на котором задан гладкий невырожденный симметричный метрический тензор g. Если метрический тензор имеет сигнатуру (1,n — 1), то (M, g) называется лоренцевым многообразием .
Определение 2. Псевдориманово многообразие (M,g) называется симметрическим порядка k, если
Vk R = 0, Vk-1R = 0, где к ^ 1 и R — тензор кривизны (M, g), а V — связность Леви-Чивиты.
Заметим, что лоренцевы k-симметрические пространства существуют при всех к ^ 2. Для римановых многообразий из условия V k R = 0 вытекает VR = 0.
Локально неразложимые 1-симметрические лоренцевы многообразия описаны Кахе-ном и Уоллахом в [6], 2-симметрические лоренцевы многообразия исследованы в работах [7–9]. Отметим, что они являются многообразиями Уокера [10, 11].
Определение 3. Гладкое полное векторное поле K на (псевдо)римановом многообразии (M , g) называется полем Киллинга, если выполняется равенство
Lkg = 0, где LKg — производная Ли метрического тензора вдоль поля K .
Определение 4. Гладкое полное векторное поле K на (псевдо)римановом многообразии (M , g) называется конформно киллинговым векторным полем, если выполняется равенство
LKg = f (pH где Lkg — производная Ли метрического тензора вдоль поля K, p Е M, а f (p) — гладкая вещественная функция на многообразии.
Из теоремы Ву (см. [12]) следует, что любое лоренцево многообразие локально может быть представлено в виде прямого произведения некоторого риманова многообразия (M i ,g i ) и локально неразложимого лоренцева многообразия (M 2 ) 9 2 )- Все рассматриваемые далее лоренцевы многообразия предполагаются локально неразложимыми.
С помощью теоремы А. С. Галаева и Д. В. Алексеевского (см. [7]) можно выбрать систему локальных координат (v, x, y, z, u) на M, где (M,g) — неразложимое неприводимое лоренцево пятимерное многообразие, такую, что g = 2dudv + dx2 + dy2 + dz2 + (Hiiox2 + 2H120 xy + 2H130 xz + Н220У2 (1)
+ 2H230yz + H330Z2 + x2 UH111 + y2 UH221 + z2 UH331 )du2, где Hii1 — ненулевые действительные числа, а Hij0 — произвольные константы.
-
3. Конформно киллинговы векторные поля
Вид конформного множителя f (p) в уравнении конформного уравнения Киллинга L x g = f (p)9 зависит от того, является ли метрика конформно плоской. Путем прямых вычислений компонент тензора Вейля метрики (1) доказывается следующая лемма.
Лемма. Равенство тензора Вейля метрики (1) нулю W = 0 равносильно условиям H 111 = H 221 = H 331 , H 110 = H 220 = H 330 , а H 120 = H 130 = H 230 = 0-
Далее перейдем к анализу уравнения конформно киллингова поля. Зафиксируем точку p G M и рассмотрим уравнение L k g = f • g в локальных координатах (1). Согласно результатам работы [13] гладкая функция f зависит только от переменной u, поэтому можем положить f = dFuu ) для некоторой функции F (u). Обозначим координаты векторного поля K через V(v, x, y, z, u), X(v, x, y, z, u), Y (v, x, y, z, u), Z (v, x, y, z, u), U (v, x, y, z, u) (V , X, Y , Z, U — гладкие функции),
H = Hiiox2+2Hi2oxy+2Hi3oxz+H22oy2+2H23oyz+H33oz2 + x2uHm + y2uH22i + z2uH33i, тогда получим систему уравнений:
' 2U v = 0;
U x + X v = 0; U y + Y v = 0; U z + Z v = 0;
X y + Y x = 0; X z + Z x = 0; Z y + Y z = 0;
-
< -f + 2X x = 0; -f + 2Yy = 0; -f + 2Z z = 0; (2)
-
-f + U u + V v = 0; H • U x + X u + V x = 0;
-
H • U y + Y u + V y = 0; H • U z + Z u + V z = 0;
-
_ - f • H + 2U u • H + 2V u + X • H x + Y • H y + Z • H z + U • H u = 0.
Рассмотрим все уравнения, кроме последнего. Из них, следуя рассуждениям работы [14], получаем
U = F (u),
X = 1 dF^u) x + Ciy + C2z + b i (u),
-
2 du
-
< Y = -C1x + — —,^ y + C 3 z + b 2 (u), 2 du
+ C 4 ,
Z = - C 2 x - C 3 y + Л — z + b 3 (u),
-
2 du
db 1 (u) db 2 (u) db 3 (u) x 2 + y 2 + z 2 d 2 F(u)
-
. du x du y du z 4 du 2
где C i — произвольные константы, а b i (u) — гладкие функции.
Подставляя полученные выражения в последнее уравнение (2), получаем:
dFM ( Нщ ux 2 + H 221 uy 2 + H 331 uz 2 + H 110 X 2 du
+ 2H i2o xy + 2H 130 XZ + Н 220 У 2 + 2H 23o yz + H 330 Z 2 )
+
(1 dF (u) \ 2 du
x + C i У + C2Z + bi(u)
} (2Hn i ux + 2H iio x + 2Н 120 У + 2H i3o z )
+ f - C i x + 2 dFduu ) У + C 3 Z + b 2 (u) ) ( 2H 22i uy + 2H 120 X + 2Н220У + 2H 230 Z )
+ f — C2x — C3y + — —z + b3(u)) (2H33iuz + 2H130x + 2H230y + 2H330z) 2 du x2 + y2 + z2 d3F(u) 2 d2bi(u) 2 d2b2(u) 2 d2b3(u)
2 du 3 du2 Ж du 2 У du2
+ ( H iii x 2 + Н 221 У 2 + H 33i z 2 ) F (u) = 0.
Далее покажем, что в случае, когда тензор Вейля метрики (1) нетривиален, это равенство dF ( u )
может выполняться только для постоянной функции f = dU ' .
Теорема. Пусть M — 2-симметрическое пятимерное неразложимое лоренцево многообразие с метрикой (1) , тензор Вейля которого не равен 0 . Тогда конформный множитель f (p) конформного аналога уравнения Киллинга L x g = f (p)g постоянен.
⊳ Левая часть уравнения (4) является полиномом относительно переменных x , y , z , его коэффициенты при x 2 , y 2 и z 2 должны обращаться в ноль:
-
—1 ^ГГ + dFTu) (2Hiiiu + 2Hiio) — 2C1H120 — 2C2Hi30 + HmF(u) = 0,(5)
2 dudu
-
— 2 , 3 +--"7^" (2H22iu + 2H220) + 2CiH120 — 2C3H230 + H221F(u) = 0,
-
2 dudu
-
— 2 , 3 +--4—^ (2H33iu + 2H330) + 2C2H130 + 2C3H230 + H331F(u) =0.
-
2 dudu
Теперь выпишем почленные разности полученных уравнений:
—du^- ((2H iii — 2H 221 )u + 2H 110 — 2H 220 ) + (H iii — H 22i )F(u) — 4C i H i20 — 2C 2 H 130 + 2C3a23 = 0,
—du^- ((2Hiii — 2H33i)u + 2H110 — 2H330) + (Hiii — H33i)F(u) — 2C1H120 — 4C2H130 — 2C3H230 = 0, dF^uu) ((2H221 — 2H331 )u + 2H220 — 2H330) + (H221 — H33i)F(u) + 2CiHi20 — 2C2H130 — 4C3H230 = 0.
Рассмотрим эти три уравнения в разных случаях.
Случай 1: Hiii = H 221 = H 33i .
При Hiii = H221 = Нзз1 рассматриваемые уравнения примут вид dF (u) du
(2Hii0 - 2H220) - 4CiHi20 - 2C2Hi30 + 2C3H230 = 0, dF^u) (2Hiio - 2H330)
- 2C 1 H 120 - 4C 2 H 130 - 2C 3 H 230 = 0,
dF (u) du
(2H 220 - 2H 330 ) + 2C1H120 - 2C 2 H 130 - 4C 3 H 230 = 0.
Из этого следует, что при Нш = H221 = H331, Ho = Hjj0, i = j Е {1, 2, 3}, dF (u) du
= const.
Случай 2.
Вторым случаем рассмотрим ситуацию, если один из H ii1 не равен остальным. Для определенности будем считать H111 = H 221 и H111 = H 331 . Тогда поделим (7) на Ищ - H 221 , а (8) на Hui — H 331 :
dF (u) du
2 H 110 - 2 H 220 - 4 C 1 H 120 - 2 C 2 H 130 + 2 C 3 H 230
2u + ~Б----Б -- + F (u) +------- Й----Й---------
H 111 - H 221 H 111 - H 221
— (2u + D2) + F(u) + E2 = 0, du dF (u)
откуда сразу следует постоянство функции du .
Случай 2.1: D1 = D2.
Вычтем второе из полученных выражений из первого:
— ( D i - D 2 ) + E i - E 2 = 0.
du
Так как Di = D2, то dF (u)
—---= const.
du
Случай 2.2: D i = D 2 .
Вычтем из (5) домноженного на H 221 (6) домноженное на H 111 :
d 3 Fu) H 2 H 22 + dlduu) (2H 22iHuo - 2HiiiH22o)
-
- 2C i (H iii + H 22i )H i20 - 2C 2 H 22i H i30 + 2 С з Н 111 Н 230 = 0.
Из (7) выразим производную F (u) через F (u) и вычислим из полученного выражения поочередно вторую и третью производную:
dF (u) F (u)(H iii - H 221 ) + 4C i H 120 + 2C 2 H 130 - 2C 3 H 230
du 2u(Hiii - H221) + 2H110 - 2H220 2u(H111 - H221) + 2H110 - 2H220 , d2Fi(u) __F(u)(Hiii - H221)
du 2 ( 111 221 ) к (2u(H iii - H 221 )+2 H iio - 2H220) 2
- 4C1 H 120 + 2C 2 H 130 - 2 c 3 H 230
(2u(H 111 — H 221 ) + 2H 110 — 2H 220 ) 2
d 3 F(u) .2 ( 3F(u)(Hiii — H 221)
du 3 ( 111 221 ) k(2u(Hn i - H 221 )+2H iio - 2H 220 ) 3
+ _^2 С 1 Н 120_ +_6 С 2 Н 130_ +_34 С з Н 230_
(2u(h 111 - H 221 ) + 2H 110 - 2H 220 ) 3
Подставив эти выражения в (10) получим
P1(u)F (u) + P2(u) = 0, где Pi(u) — некоторые непостоянные многочлены от u, коэффициенты которых выражаются через Hijk и Ci .
Отсюда можно заметить, что F (u ) — рациональная функция. Однако уравнение (10) с помощью линейной подстановки сводится к однородному дифференциальному уравнению третьего порядка с постоянными коэффициентами и поэтому его решением не может быть рациональная функция. Значит, F (u ) — постоянная функция. >
-
4. Конформно плоский случай
Теперь приведем пример метрики вида (1) с тривиальным тензором Вейля, допускающей непостоянный конформный множитель в уравнении конформно киллингова поля, и определим вид этого множителя. Положим g = dvdu + dx2 + dy2 + dz2 + dudv + ua(x2 + y2 + z2) du2, где a — произвольная постоянная. Уравнение (5) примет следующий вид:
-
- 1 d 3 FM + 2<.udFM + aF (u) = 0.
2 du 3 du
Из этого уравнения F (u) выражается как:
F(u) = C5AiryAi( - (-a)3u)2 + СбА1гуВ1( - (-a)3u)2 + C7AiryAi( - (-a)3u)AiryBi( - (-a)3u), где AiryAi(u), AiryBi(u) — частные решения дифференциального уравнения yM - uy = 0 называемого уравнением Эйри. Это простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный. Для действительных u функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом:
AiryAi(u)
∞
П / cos ( ?+ut )
dt.
Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода AiryBi(u), у которой при x → -∞ колебания имеют ту же амплитуду, что и у AiryAi(u), но отличаются по фазе на π/2. Для действительных u функция Эйри 2-го рода выражается интегралом:
∞
AiryBi(u)
- t 3 3 +ut +sin t 3 3 +ut
dt
(см. подробнее [15]).
В данном случае векторное поле вида (3), где b1 =C8AiryAi( — (-a) 1 u) + C9 AiryBi( — (-a)3 u), b2 =C1oAiryAi( — (—a)3 u) + C11AiryBi( — (—a)3 u),
Ь з =C 12 AiryAi ( — ( — a) 3 u) + C 13 AiryBi ( — ( — a) 3 u ) , является решением уравнения L X g = f (p)g для системы координат (1). А конформный множитель примет следующий вид:
f(u) = — 2C 5 AiryAi ( — ( — a) 1 u ) ( — a) 3 • AiryAi ( 1, — ( — a) 3 u)
— 2С б AiryBi ( — ( — a) 3 u) ( — a) 3 • AiryBi ( 1, — ( — a) 3 u)
— C 7 ( — a) 3 AiryAi ( 1, — ( — a) 3 u) • AiryBi ( — ( — a) 1 u)
— C 7 AiryAi ( — ( — a) 3 u) ( — a) 3 • AiryBi ( 1, — ( — a) 3 u) .
-
5. Заключение
В данной работе исследованы конформно киллинговы векторные поля на пятимерных 2-симметрических неразложимых лоренцевых многообразиях. Установлено, что конформный множитель конформного аналога уравнения Киллинга на них зависит от поведения тензора Вейля. Кроме того, в случае равенства нулю тензора Вейля, построены нетривиальные примеры конформно киллинговых векторных полей с переменным конформным множителем.
Список литературы О конформном множителе в конформном уравнении Киллинга на 2-симметрическом пятимерном неразложимом лоренцевом многообразии
- Berestovskii V. N., Nikonorov Yu. G. Riemannian Manifolds and Homogeneous Geodesies.—Cham: Springer, 2020.—XXII+482 pp.—(Springer Monographs in Mathematics).
- Оскорбин Д. Н., Родионов Е. Д. Солитоны Риччи и поля Киллинга на обобщенных многообразиях Кахена — Уоллаха // Сиб. матем. журн.—2019.—Т. 60, № 5.—C. 1165-1170. DOI: 10.33048/smzh.2019.60.513.
- Андреева Т. А., Балащенко В. В., Оскорбин Д. Н. Конформно-киллинговы поля на симметрических лоренцевых многообразиях малой размерности // Труды семинара по геометрии и математическому моделированию.—2020.—Т. 6.—C. 19-25.
- Hall G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity.—2004.—440 p.—(World Sei. Leet. Notes Phys. Vol. 46). DOI: 10.1142/1729.
- Андреева Т. А., Балащенко В. В., Оскорбин Д. Н., Родионов Е. Д. Конформно киллинговы векторные поля на 2-симметрических пятимерных лоренцевых многообразиях // Изв. Алтайск. гос. ун-та.—2021.—Т. 117, № 1.—С. 68-71. DOI: 10.14258/izvasu(2021)1-11.
- Cahen M., Wallach N. Lorentzian symmetric spaces // Bull. Amer. Math. Soc.—1970.—Vol. 76, № 3.— P. 585-592. DOI: 10.1090/S0002-9904-1970-12448-X.
- Galaev A. S., Alexeevskii D. V. Two-symmetric Lorentzian manifolds // J. Geometry Phys.—2011.— Vol. 61, № 12.—P. 2331-2340. DOI: 10.1016/j.geomphys.2011.07.005.
- Blanco O. F., Sanchez M., Senovilla J. M. Structure of second-order symmetric Lorentzian manifold // J. Eur. Math. Soc.—2013.—Vol. 15, № 2.—P. 595-634. DOI: 10.4171/JEMS/368.
- Galaev A. S., Leistner T. Holonomy groups of Lorentzian manifolds: classification, examples, and applications // Recent Developments in Pseudo-Riemannian Geometry.—2008.—P. 53-96. DOI: 10.4171/051.
- Walker A. G. On parallel fields of partially null vector spaces // Quart. J. Math.—1949.—Vol. os-20, № 1.—P. 135-145. DOI: 10.1093/qmath/os-20.1.135.
- Brozos-Vazquez M., García-Río E., Gilkey P., Nikcevic S., Vázquez-Lorenzo R. The geometry of Walker manifolds.—Morgan & Claypool Publ., 2009.—179 p.—(Synthesis Lect. Math. Statistics). DOI: 10.2200/S00197ED1V01Y200906MAS005.
- Wu H. On the de Rham decomposition theorem // Illinois J. Math.—1964.—Vol. 8, № 2.—P. 291-311. DOI: 10.1215/ijm/1256059674.
- Hall G. S. Conformal symmetries and fixed points in spacetime // J. Math. Phys.—1989.—Vol. 31, № 5.—P. 1198-1207. DOI: 10.1063/1.528753.
- Blau M., O'Loughlin M. Homogeneous plane waves // Nuclear Phys.—2003.—Vol. 654, № 1-2.— P. 135-176. DOI: 10.1016/S0550-3213(03)00055-5.
- Федорюк М. В. Эйри функции // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов.—М.: Советская энциклопедия, 1985.—С. 939-941.