О корректной разрешимости задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения

Установление корректной разрешимости математических задач является одним из основных условий при их численной реализации. Начиная с работы С.Г. Крейна. [8], метод теории полугрупп стал одним из важнейших при исследовании корректной разрешимости начально-краевых задач для эволюционных уравнений и его приложений к решению задач для уравнений с частными производными. Этой тематике посвящены работы математиков Воронежской и Челябинской школ. В этом числе важное место занимают работы Г.А. Свири-дюка [10] и его учеников по уравнениям Соболевского типа, относящихся к классу уравнений с особенностью.

В настоящей заметке метод теории полугрупп применяется к исследованию корректной разрешимости задач Коши для обобщенного телеграфного уравнения с коэффициентами, имеющими особенность.

Как известно (см. например [3, с. 90]) телеграфное уравнение записывается в виде

Для уравнения (1) ставится задача, о нахождении решения, удовлетворяющего условиям Коши

ш (0 , x ) = ф ( x ) ,

Эш ( t, x ) ∂t

= ф ( x ) • t =0

(0 • 2)

Решение ищется в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций и с помощью метода Римана выписывается в явном виде (см. [3, с. 92]).

При этом вопрос устойчивости решения в зависимости от начальных данных, требующий использования соответствующих метрических пространств в [3], не обсуждается. Между тем, этот вопрос является наиболее важным при корректной численной реализации решения задачи, когда его существование единственности доказано.

В настоящей заметке методами теории полугрупп линейных преобразований, разработанной в работах [1, 4-9], устанавливается равномерно корректная разрешимость задачи Коши в Lp -весовых пространствах для некоторого класса дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и для которых уравнение (1) является частным случаем.

1. Необходимые определения и факты

Здесь мы придерживаемся терминологии и фактов изложенных, в [1, 4-9].

Пусть E — банахово пространство с нормой || • || е = || • ||-

Определение 1. Семейство T = {T(t), 0 < t < то} линейных и ограниченных операторов из E в E называется Cо-полугруппой (сильно непрерывной полугруппой), если

1) sup ^{|T (} t ) ф^ < ^то , ф ^€ E

\\ф\\< 1

Ф Т ⁽⁰⁾ ф = ф,

• 3)    T ( t + s ) ф = T ( t ) T ( s ) ф,

^} t lim IT ( t ) ф — ф| = 0, для всех ф € E.

T — называется сжимаю щей полугруппой, если IT ( t ) ф| < |ф| для всех t >  0. ф € E.

В соответствии с К. Иосидой [5] сжимающие ( C о)-полугруппы относятся к классу равномерно непрерывных полугрупп. Такие полугруппы используются в дальнейшем.

Определение 2. Для ( C о) -полу группы определяется произ водящий оператор (генератор) как предел

Au = J^ir7^{[ T (} t ) ^— I ^] Ф^{,                                (1} • 1)

ti 0+ t

I — тождественный оператор. Таким образом, A — линейный оператор с областью опре деления D(A) = {ф € E; t lim 1 [T(t) — I]ф} существует в E. Оказывается D(A) плотно в

E.

Для ф € D (A) опера торы A и T (t) коммутирутот. то есть AT (t) ф = T (t) Aф. при этом справедливо равенство dT (t)

— ф = AT ⁽ t ) .                                  ⁽¹ . ²⁾

Отсюда следует представление для производящего оператора

AФ =

dT ( t ) dt ^φ

= T ‘ (0) ф. t =о

(1 . 3)

Определение 3. ( CоУгруппой на E называется семейство операторов T = {T ( t ) : t € R удовлетворяющим условиям определение 1, в которых R ⁺ = [0 , то ) заменяется на R = ( —то, то ).

Генератор A ( C о)-группы T ( t ) нa E определяется равенством (1.1), причем речь идет о двустороннем пределе при t ^ 0.

В.А. Костин, А.В. Костин, С. Бадран

Замечание 1. A — генератор ( C о)-группы тогда и только тогда, когда ±А порождает

( C о)-по.тугруппу T± ( t ). В этом случае

T ⁽ t Н T- ( t ) :

t >  0; t <  0 -

(1 . 4)

Определение 4. Сильно непрерывной операторной косинус-функцией называется семейство операторов C = {C ( t ) : t Е R } С B ( E ), удовлетворяющее условиям

ф) C ( t + s ) + C ( t — s ) = 2 C ( t ) C ( s )

• (6 ) C (0) = I

(ш) C ( t ) ф — непрерывная функция для каждого ф Е E.

Определение 5. Генератором A операторной косинус-функции C называется оператор A = C‘‘ (0). Его областью определения является множество тех ф Е E. для которых функция C ( t ) дваж:ды дифферющирусма о точке- t = 0. (дператюрные косипус-функции C и ( Cофполугруппы T связаны между собой формулой [4, с. 178]

1     f°°    s 2

(1 - 5)

T ( t ) ф = ~nt у    e ⁴ t C ( s ) фds-

В дальнейшем нам понадобится следующее (см. [4, с. 179]).

Предложение 1. Пусть B порождает ( Cофгруппу T ( t ). Тогда Aa = B ² + al, ( a >  0) порождает операторную косинус-функцию Ca ( t ), и справедливо представление

Ca ( t ) ф = C o( t ) ф ( x ) + at [ ( t ² — s 2) ² 1 1[ a ( t ² — s 2)¹ ] C o( s ) ds, 0

(1 - 6)

где C о( t ) = 2[ T ( t ) + T ( —t )], 1 i( s ) — модифицированная функция Бесселя порядка 1.

Следующие факты связывают понятия ( C о)-полугруппы и ( C о)-косинус-функций с корректной разрешимостью задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве первого и второго порядков.

(1 - 7)

(1 - 8)

u' ( t ) = Au ( t ) , u" ( t ) = Au ( t ) .

Определение 6. Решением уравнения (1.1) на отрезке [0 , t о] называется [1, с. 38] функция u ( t ). удоолстооряющая условиям: 1) u ( t ) Е D ( A ) при всех t Е [0 ,t о]. 2) в каоюдои точке t Е [0 , t о] существует сил иная производная u' ( t ), 3) уравнение (1.5) удовлетворяется при всех t Е [0 ,t о].

Под задачей Коши на [0 , t о] понимают задачу о нахождении решения уравнения (1.5), удовлетворяющее условию

u (0) = u о Е D ( A ) -                                     (1 - 9)

Определение 7. Задача Коши поставлена корректно на отрезке [0 , t о] если: 1) при любом u о Е D ( A ) существует ее единственное решение и это решение непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что из x о(0) ^ 0 следует, что xn ( t ) ^ 0 равномерно по t па каэ1сдом iкомпакте из [0 , t о].

Справедлива теорема [1, с. 64]) о том, что задача (1.7)—(1.9) равномерно корректна тогда и только тогда, когда A является генератором (Cо)- полугруппы T(t), при этом решение имеет вид u (t) = T (t) ф, (1 -10)

и существуют константы M и ш, не зависящие от ф такие, что выполняется оценка hu(t)h< МПф||.

(1 • 11)

Аналогично для уравнения (1.8) решается задача с условиями Коши u (0) = u о,

u' (0) = u i .

(1 - 12)

Эта задача называется равномерно корректной, если существует подпространство M С E такое, что задача (1.8)—(1.12) имеет единственное решение для u о , u i G M, и когда uOn ) , u 1 n ), ( n = 0 , 1 ,... ) являются последовательностью начальных данных в M , стремящихся к нулю, то соответствующее решение u ⁽ n )( t ) стремится к нулю в метрике E , равномерно на каждом компакте из [0 , то ).

Теорема о корректности (Сова, Куреппа, см. [4, с. 176]) утверждает, что задача (1.8)(1.12) равномерно корректна тогда и только тогда, когда A — генератор (Cо)-косинус функции C(t), при этом решение имеет вид u (t) = C (t) ф +

о

C ( s ) ^ds,

(1 - 13)

и при некоторых константах M и ш, не зависящих от ф и Д выполняется оценка he (t) ф^< мПф11-

(1 - 14)

2. Сильно непрерывные Д-полугруппы и А-косинус-функции

Пусть x G (a,b) С R = (—то, то) и функция h(x) непрерывно дифференцируемая, строго монотонно возрастающая и такая, что lim h(x) = —то,          lim h(x) = то.

(2 . 1)

x→a                    x→b

Через Lp,v,h будем обозначать пространства функций ф ( x ), определяемые нормой

|| ф| к р ,л = [ e ex' ⁽ x ⁾ ф ( x ) lpdh| p a

p >  1 , v G R .

(2 . 2)

При t G R и ф G L_p,_v,h рассмотрим семейство операторных функций, заданных выражением

T ( t ) ф ( x ) = ф [ h- ¹( h ( x )+ t )] .                                 (2 . 3)

Справедлива

Теорема 1. Операторное семейство, заданное соотношением (2.3), является сильно непрерывной группой линейных преобразований в пространстве L_p,_v,h.

Доказательство. Для ф G L_pv,h имеем

T ( t ) Фh

p

L p, V,^h

=

a

e^{vh (} x ) | ф [ h- 1( h ( x ) + t )] | ph ( x ) .

(2 . 4)

Замена, h 1 (h(x) + t) = s дает соотношение hT (t) фЬ

p

L P, V, h

= e

νt

/6

a

= e^{vh ( s} ) |ф ( s ) |pdh ( s ) .

(2 . 5)

В.А. Костин, А.В. Костин, С. Бадран

Отсюда следует равенство

- ^νt

(2 - 6)

WT(t)Ф|Lp,v,h = e p IMILp, v, h, дающее норму полугруппы T в Lp,vh.

Далее нетрудно видеть выполнение необходимых групповых сдвигов

1 .T (0) ф = ф,

2 .T ( t + s ) ф = T ( t ) T ( s ) ф.

(2 . 7)

Для доказательства сильно непрерывности имеем

• IT ( t ) ф ( x ) - ф ( x ) Ip _h = Г e^h ( x ) |ф [ h- 1( h ( x ) + t )] - ф ( x)l^pdh. p,ν,h

a

Делая замену h ( x ) = s. получаем

• IT ( t ) ф ( x ) - ф ( x ) IL _h = Г e^vs|ф [ h- 1( t + s )] - ф [ h^- 1( s )] |ds = p,ν,h

  -∞

• = Г e^vsl^ ( t + s ) - ф ( s ) |^pds,

  (2 . 8)

  
  

  -∞

здесь ф ( s ) = ф [ h 1( s )].

Из (2.8), пользуясь непрерывностью Lp -весовых норм, и переходя к пределу при t ^ то в (2.8), получаем

(2 . 9)

Дт IIT(t)ф - Ф|Lp,v,h =0, что и доказывает теорему.

Следствие 1. Семейство преобразований

C ( t ) ф = 2[ T ( t ) ф + T ( -t ) ф ]                             (2 . 10)

является сильно непрерывной косинус-функцией в Lp,v,h. При этом из (2.6) и (2.10) следует оценка

|C ( t ) ф|ь р^ _Л<  ch( Vt ) |ф|_£ р^_Л .                             (2 . 11)

Следствие 2. При t >  0 и V >  0 T ( t ) является сжимаютцей полугруппой T +( t ) с нормой

IT +( t ) iLpvh = ^-^Vt,                                     (2 . 12)

а при v <  0 полугpynna T- ( t ) = T ( -t ) является сснсимаюицей с нормой

IT- ( t ) iLpvh = e^vt.                                      (2 . 13)

Теорема 2. Полугруппы T +( t ), T- ( t ) и косинус-функция C ( t ) имеют своими генераторами операторы, заданные выражениями:

a ) T± (0) ф ( x ) = ±ф ^ = ±|ф = D ±,hф                  (2 . 13)

с областью определения D (D ±,h ) = {ф G L_p,_v,h, dh Е L_p,_v,h}.

b > ^C" (° ф ( x ) = ^x) (^) ' = ^D2. Ф,                  (2 - 14)

с областью определения D (D h ) = {ф G L_p,_v,h, Dh Е L_p,_v,h}.

3.    Дробные степени операторов D±h и Dh

Из равенств (2.12) и (2.13) следует, что, в соответствии с К. Иосидой [5, с. 324], C q- полугруппы T± ( t ) являются равностепенно непрерывными и, таким образом, их генераторы D ±h обладают тем свойством, что для операторов — D ±h определены дробные степени ( — D ±h ) ^а , (0 < а <  1). При этом, операторы D ±h = — ( — D ±h ) являются генераторами C q- полугрупп T± ( t,D±.h )• Отметим, что из результата [6] и (2.12), (2.13) для этих полугрупп следуют оценки

⁽ V ) ^а

^T± ( t, D ±h ) || < e t.                                      (3 . 1)

Вместе с тем для операторов — D ±h определены и отрицательные дробные степени ( — D ±n ) ^а. (0 < а <  1), в соответствии с формулами (5.29) [1, с. 150] имеющие вид

( — d ±а ) ф ( x ) =

1 ^{г( а} )

∞

J о

t^{a 1} T± ( t ) ф ( x ) dt.

(3 . 2)

В нашем случае представление T± (t)ф(x) = ф[h 1(h(x) ± t)] дает следующие виды этих операторов

( — d ; а ) ф ( x ) =

1 ^{г( а} )

∞

J о

t^{a 1} ф [ h 1( h ( x ) + t )] dt =

1 ^{г( а} )

Г [ h ( s ) — h ( x )]

^{a 1} ф ( s ) dh ( s ) ,

.       .                1 ^x

^{( — D} - h ) ф ^{( x} ) =           ^{[ h ( x} ) ^{— h (} s ^{)] 1} ф ⁽ s ) ^{dh (} s ) .

^{Г( а} ) J a

(3 . 3)

(3 . 4)

Используя (2.12), (2.13) и (3.2), получаем оценки при t >  0

∞

I I( — d ; а ) ф||р,^ <           t^a- 1IT +( t ) Idt • W\U,h =

^{г( а} ) q

= Д Г t^{a- 1} e^{- V} tdt-BvBpvh = ( p ) ^а-BvBpvh.               (3 . 5)

!( ^а ) q                             ^v

Аналогично

fl ( - D -a ) «U <  (Л) ^а ' l l*..*

(3 . 6)

Заметим, что операторы ( — D₊ h ) ^a совпадают с интегралами Ja ₊ h при h ( x ) = x, называемыми в [10, с. 248] дробными интегралами функции ф ( x ) по функциям g ( x ) порядка а.

Частными случаями таких интегралов являются интегралы Эрдейи-Коббера при h ( x ) = x^T ii интегралы Адамара при h ( x ) = ln x. x E (0 , to ) [1. c. 251].

Однако в [3] оценок вида. (3.5), (3.6) не приводится, так как интегралы рассматриваются в нормах пространств L 1, то есть при v = 0. Но эти пространства не инвариантны относительно рассматриваемых операций даже в случае дробных интегралов Римана-Лиувиля (см. утверждение в [10, с. 94]).

4.    Обобщенное телеграфное уравнение

Пусть x E ( a,b ), t E R и D h,_x = дц_x ) • Рассмотрим уравнение

D h, xW ( t, x ) + 2 в D h,xW ( t, x ) = a q ^d ^dtt, x ) + 2 b q ^дШ(^ x ) + c о ш ( t, x ) .          (4 . 1)

В.А. Костин, А.В. Костин, С. Бадран

В случае h ( x ) = x, в = 0 уравнение (4.1) является классическим телеграфным уравнением [3, с. 90].

Решением уравнения (4.1) будем называть функцию ш ( t, x ) дважды непрерывно дифференцируемую по t Е R, x Е ( a,b ) и удовлетворяющую уравнению (4.1).

Для уравнения (4.1) рассматривается задача Коши отыскания решения этого уравнения удовлетворяющего условиям

^{ш (0 ,x} ) = ф ^{( x} ) ,        ...      = ^{ф ( x} ) ,                             ⁽⁴ • ²⁾

^dt t =0

где функции ф ( x ) 1i ф ( x ) такие. что ф Е Lp^h. D h,xф Е Lp^h. Ф Е Lp^h. D h,xф Е Lp^h. Из выше приведенных результатов следует

Теорема 3. Если коэффициенты а о , b о , с о , в такие, что выполняется неравенство

a о ^{( с} о ^{+ в 2)} < ^b 0 ,                                        ⁽⁴ • ³⁾

то задача (4-1) —(4-2) равномерно корректна, и ее решение имеет вид

ш ( t,x ) = e ^a 0 t [ Cf ( t ) ф ( x )+ / Ca ( s ) ф ( s ) ds ] , о

(4 • 4)

где

Ca ( t ) ф ( x ) ф ( x ) = C о( t ) ф ( x ) + at /* ( t ² - s ²) ² 1 1[ a ( t ² - s ²)¹ C о( s ) ф ( x ) , ² Jo

(4 • 5)

здесь

C о( s ) ф ( x ) = |[ T V O q s ) + T ( -VoQs )] ф ( x ) ,

T— полугруппа вида (2.3). a = вого рода.

b 0 -a a ( c o+ в 2)

a ² ₀

, 1 1— модифицированная функция Бесселя nep-

Доказательство. Вводя функцию u (t, x) = e a о t+eh(x) ш (t, x),

приведем задачу (4.1)-(4.2) к виду

д ² u ( t, x ) dt t²

—D h,_xu ( t, x ) + au ( t, x )

u (0 ,x )= eeh(x) ф (x),    ^U = b° eeh(x) ф (x) • dt t=о   aо

При этом, в силу равенств

»u ( t ) »P,„-₆p,h = (^Ь e ^{( v-e}p ) ^{h (} x ) |u ( t,x ) Ipdh ( x ) = a

=

a

e^{vh ( x )} |ш ( t,x ) |^p dh ( x ) = ИшИр„_Л

(4 • 6)

(4 • 7)

(4 • 8)

(4 • 9)

условие (4.2) переходит в условия

||u ⁽⁰ ,^x ) li p, V-Pp,h = || ^ф^Р,V,h,

(4 • 10)

∂u ^∥ ∂t

^p,v-ep,h t=0

b 0

a 0

∥ ψ ∥ p,ν,h ^.

(4 . 11)

Так как оператор / ^D hx является генератором косинусной функции C ( t ) ф ( x ) = 2 [ T ( t ) + T ( —t )] ф, то в силу (1.6) выполняются все условия теоремы корректности Совы и Куреппы. Отсюда следует доказательство теоремы. □

В заключение заметим, что из теоремы 3 следует равномерная корректная разрешимость задачи Коши для классического телеграфного уравнения (0.1), в пространствах L_p,_v с I M I p,_v = [Г е^их1ф ( x ) Ipdx ] p- так как в :этом случае в = 0. h ( x ) = x и. следовательно, условие (4.11) выполняется в силу [3, с. 90, соотношения 10].