О краевой задаче Римана для функций многих комплексных переменных, голоморфных в кратнокруговых областях $\ bbb C^n $
Автор: Нелаев А.В.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.4, 2002 года.
Бесплатный доступ
Автором продолжено исследование свойств функций многих комплексных переменных, представимых интегралом типа Темлякова I рода с n-круговой определяющей областью D типа A: D={z\in\Bbb C^n: c_1|z_1|+...+c_n|z_n|0,...,c_n>0}. Математический аппарат рассматриваемого интеграла применятся к постановке и решению задачи линейного сопряжения (пространственной задачи Римана).
Короткий адрес: https://sciup.org/14318064
IDR: 14318064
Текст научной статьи О краевой задаче Римана для функций многих комплексных переменных, голоморфных в кратнокруговых областях $\ bbb C^n $
Теория краевых задач для аналитических функций одного комплексного переменного ([3, И]) нашла многочисленные применения как в самой математике (сингулярные интегральные уравнения, уравнения типа свертки и др.), так и в решении прикладных вопросов (в теории упругости, гидроаэродинамике, теории переноса частиц, теории массового обслуживания и т. д.). При решении одномерных краевых задач основным математическим аппаратом является интеграл типа Коши.
Начиная с середины XX века сильно возрос интерес к теории функций многих комплексных переменных. Эта теория в работах научных школ академиков Н. Н. Боголюбова, В. С. Владимирова, Ю. В. Линника получила эффективные приложения в квантовой теории поля [2] и математической статистике [6]. В последние годы описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей, математической физики, которые соответствующим преобразованием Фурье приводятся к многомерным краевым задачам линейного сопряжения (пространственной задаче Римана).
Установленные А. А. Темляковым в 1954 году интегральные представления голоморфных функций для ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей и развитый на их базе математический аппарат интегралов типа Темлякова (см., например, [4, 18]) явились той основой, на которой Г. Л. Луканкин (см., например, [7-9]) и его ученики (В. И. Боганов, И. Н. Виноградова, X. П. Дзебисов, С. Ю. Колягин и др.) начали исследования по разработке теории краевых задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных, голоморфных в двоякокруговых областях.
Параллельно велись работы по распространению интегральных представлений Темлякова в пространство С” (п > 2). На этом пути польские математики 3. Опи-ал и Ё. Сичак [19] получили интегральную формулу (п-мерный аналог интегралов Темлякова) для введенного ими класса ограниченных выпуклых полных п-круговых областей типа (Т). И. И. Баврин (см. [1]) с помощью созданного им метода интегро-дифференциальных операторов голоморфных функций установил для этих областей ряд интегральных представлений более общей природы.
Автором, с помощью развиваемого метода линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами (см. [13]), были исследованы [12] интегралы типа Темлякова и Темлякова — Баврина с определяющими областями D Е (Т).
В настоящей статье продолжена разработка математического аппарата интеграла типа Темлякова I рода с определяющей n-круговой (п > 2) областью D типа А. Этот аппарат применяется для постановки и решения однородной и неоднородной задач линейного сопряжения в С”.
§1. Исследование поведения интеграла типа Темлякова I рода с определяющей областью D Е (Т) типа А
Важным подклассом областей типа (Т) являются области D типа А'.
D = {г ЕС" : cil^il 4----- V cn\zn\ < 1, щ,... ,сп > 0}.
Рассмотрим интеграл типа Темлякова I рода с определяющей областью D типа А:
РИ = _2_[м[^д [
^=1
где к = щ^! + с2г2е-гб2 4----+ спгпе~гвп.
9 = (92,... ,9п), 0 < 0j < 2%, j = 2,п, т = (ть ... ,т„) Е А, А — (п — 1)-мерный симплекс, т. е.
А = {т : Ti 4-----4 т„ = 1, тх > 0,... , тп > 0}
= {т : тх = 1 - т2----- Тп1 ^... ,тп) Е А*},
А* = {(т2,..., т„) : 0 < т2 < 1, 0 < т3 < 1 - т2,... , 0 < т„ < 1 - т2
т„-1},

и окружность г/ = 1 ориентирована как обычно в положительном направлении.
Будем предполагать, что плотность интеграла (2) f^T,9,i^ есть функция класса ц (J^T,9,Tf^, т. е. определена и непрерывна по совокупности аргументов на множестве
М = {(т, 0,ц) : т Е А, 0 ^ 9j ^ 2тг, г/ = 1,7 = 2,п}
2тг-периодична по 9j, j = 2,п, и удовлетворяет по г/ условию Гёльдера На (0 < а > 1), а именно
^т.е,^- fVT191O
РИ = _1_иб [ -£!Ма,, х ' (2тг)иг J J i]-u
I’vH1
где ^(0,7/) = //(тДд/) dwT.
Как было установлено в [12], определяемые интегралом (3) функции являются голоморфными в области Рив неограниченных областях
Е„ = {г 6 С" : сМ\ " С1Ы-----с_1|^_1| - с,+1|^+1|----- cu\zu\> 1}, (4)
v = 1,п, неголоморфными, вообще говоря, в C"\(D U Si U • • • U S„) и непрерывными во всем пространстве С”, за исключением расположенных на соответствующих координатных плоскостях окружностей
В„ = ^еС : г = (0,... , 0, ^, 0,... , 0), \zv\ = с"1}, v = 1ДГ, (5)
называемых окру леностями особенностей интеграла (3) (легко видеть, что в их точках тождественно по всем 0j выполняется равенство u = 1).
Внутренний интеграл в (3) (по г/) будем в дальнейшем понимать как особый (сингулярный) в смысле главного значения по Коши.
Отметим, что сопряжение области D с каждой из областей Ev происходит по соответствующей окружности BV1 v = Eri.
Для случая пространства трех комплексных переменных С3 расположение образов областей Si,S2 и S3 в «абсолютном октанте» проиллюстрировано на рис. 1.
|z3 | E3 c 1 3 B3 /1 \ D 0 / / / / / / 1 c1 B1 / / / E1 z ' Рис.1. Введем обозначение 1 Г ^Md = Г Ф+(0^): 2тп J т] — и 1 Ф- (0, и), Ы = 1 |
1 c2 E B2 |z2 | если и < 1, если и > 1, |


и будем называть функции Ф+(Д и) и Ф-(0, и) определяющими функциями интеграла типа Темлякова I рода (3).
Учитывая, что всюду в области D тождественно по всем 0j выполняется неравенство a < 1, а в областях Ev ^v = 1,п) — неравенство u > 1, заключаем, что в D справедлива формула
W = — [ Ф+(Дн)М, (6)
а в Ev — формула
W = * [ ф"^,^аШ9. (?)
Без ограничения общности рассуждений, далее для определенности будем считать и = 1 и коэффициент щ = 1 (к области типа А общего вида легко перейти элементарным преобразованием подобия). Пусть точка Д = (r/i,0,... , 0) Е В^. Обозначим
^+(Д) = lim Е^, Е"^= lim F(z), мх = а _. = щ.
z—>zi z—>zi z —zi z£D z£Ei
Теорема 1. Если функция р^0,т^ такова, что интеграл J v’^^ dr] имеет рав- постепенно абсолютно непрерывные (п — 1)-кратные интегралы по 9 у у = 2,п, и сингулярный интеграл ^7 f v^^ dr] (|ai = 1) существует почти всюду на окружности \л\ = 1
особенностей В^, то интеграл типа Темлякова I рода почти всюду на В^ имеет конечные пределвные значения из областей D и Е^, вычисляемые по формулам f+^ = tA^ /Аше / ^^^ + 7Т^т / ^е^Шв1 (8) (2тг)пг J J 1] - щ (2л)" 1 J
Ы = 1
F"^ = -^(da)e [ ^^dr]-—^ [р^щИ^ (9) (2л)"г J J 1] - тц (2л)" 1 J
И = 1
причем эти значения не зависят от пути приближения точки z к z^ Е By.
-
< Доказательство теоремы основано на формулах Сохоцкого для определяющих функций:
lim Ф+(Д и) = Ф+(0, гр) = —dr] +
Z->Z1 2тп J 7] — Г]12
ZGD 1^1 = 1
lim Ф (0,н) = Ф (Уд/1) = тДт / dr] — г/1). > z^ii 2тп J 7] — Г/1
zGEi |^| = i
Теорема 2. Пределвные значения интеграла типа Темлякова I рода (3) из областей D и Ei в точках окружностей В^ удовлетворяют условию Гёльдера Н\, причем А = а, если 0 < а < 1, и А = 1 — о, если а = 1, где о — сколь угодно малое положи-телвное число.
-
< Доказательство теоремы сводится к проверке выполнимости для любой пары точек z'^ = (гф 0,... , 0), Д' = (Д', 0,... , 0) G Bi неравенств
|в+(Д)-в+(Д') <к\ч'х-ч';\\ (ю)
\f-^-f-^\<<-<. ▻ (и)
Рассмотрим теперь вопрос о поведении интеграла (3) на множестве бесконечно удаленных точек пространства С (это множество состоит из точек (zi,..., zn), у которых хотя бы одна координата равна оо) при стремлении к ним из области Е^.
Пусть р > 1 — произвольное положительное число. Тогда для области
Е1,р = {z ECn : |^i - c2\z2\-----cn\zn \ > р} тождественно по всем Ор] = 2,п, выполняется неравенство и > р. Следовательно, если z G EiiP, то
-
^М= (^т/^(».")^«. (12)
где Ф" (0, и) = ^ ^, = 1 ^ d^ hl > Р-
Далее, пусть точка z стремиться к бесконечно удаленной точке из области EiiP (понятно, что это не может быть точка, у которой ограничена первая координата) и р ^ р0 = | + 1, где б — сколь угодно малое положительное число, с = sup {|Д0, г/) : 0 ^ 0j ^ 2тг, j = 2,п, г/ = 1}. Тогда Ф”(0,и) < б и, следовательно,
IWm / ^^(h^l^^T^^T / d^=§. (13)
(2тг)п 1 J 1 (2тг)п 1 J
Полученное неравенство показывает, что в бесконечно удаленных точках при стремлении к ним произвольным способом из области Ецр интеграл типа Темлякова I рода (3) обращается в нуль.
Определение 1. Будем говорить, что функция /(г) есть функция класса (Т), если она:
-
1) непрерывна во всем пространстве Сп за исключением точек окружностей Bv ^ = 1,™);
-
2) голоморфна в D U Ei U • • • U Ер
-
3) неголоморфна, вообще говоря, в Cn\(D U Ei U • • • U Еп)-
-
4) /(г) имеет конечные предельные значения в точках окружностей Bv при стремлении точки z к zv = (0,... , 0, с”1^^, 0,... , 0) Е Bv ^\цр\ = 1) из D и Ev.
Следствие 1. Всякая функция, определяемая интегралом типа Темлякова I рода (3) принадлежит классу (Т).
-
§2 . Постановка и решение однородной задачи линейного сопряжения в классе функций (Т)
Постановка задачи. Пусть в пространстве С” задана область D типа А'.
D = {г G С" : \zT \ + c2\z2\ А -----h с„ z„ < 1, с2 > 0,... , сп > 0}.
Требуется найти функцию / (г) класса (Т), исчезающую в бесконечно удаленных точках при стремлении к ним из области Ei, удовлетворяющую в точках окружности Bi = {г Е С” : z = zi = (щ, 0 ... , 0), щ = 1} краевому условию
Л^СЫ/"1^),
где
/ Л1) = hm /(г), / (zj = hm /(г), zED z£Ei а функция G^]i) определена на окружности В^, нигде на ней не обращается в нуль и удовлетворяет условию Гёльдера, причем ее индекс х = IndG(r/i) > 0.
Решение. Учитывая, что функции, определяемые интегралом типа Темлякова I рода (3), являются функциями класса (Т) будем искать решение задачи в виде интеграла (3). Подставляя в соотношение (14) предельные значения интеграла (3), выраженные по формулам (8) и (9), получим
--^— /dwg / ^^'^ ^ + ^ Г ^q^dwe
(2тг)иг J J q- qi (2тг)п 1 J
^=1
= Л/х) •

^^- dq - ^ [ tp^ q^dwg
i] - qx (2%)" 1 J
ИЛИ
2 I M^)J^ = 0
2 • (2%)" J V ггг J q — qi
Ы=1
Отсюда следует, что
I t^Ldq = W1qiy (15)
th J q - qi
Vn\=l где функция A(0,r/i), предполагаемая непрерывной по совокупности аргументов и удовлетворяющей по щ условию Гёльдера, независимому от 9^ j = 2,п, является решением уравнения J X^qi] dug = 0, а коэффициент 2 в правой части взят для удобства дальнейших выкладок.
Решать полученное сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши (15) будем тем же способом, каким решают характеристическое уравнение в теории функций одного комплексного переменного (см. [3, §21]). Рассмотрим с этой целью интеграл типа Коши
f тАРЩ (16)
2тп J 7] — и
|7?| = 1
где и = Z! Е c2z2e г6- А----+ cnzne г8п
Учитывая равенство Рпц.^ u = ?ц и используя формулы Сохоцкого для интеграла (16), перепишем уравнение (15) в виде
<Ж,т/1) + С(?/х) • У?(0,7/1) + 2Ф+(0,7/Х) - <^(0,7/1)
- СЫ • F^T]^ " 2G(t/i) ■ Ф-(0,/,1) = 2А(0,7/х), или, что тоже самое,
Ф+(Ж) = С(7/1).ф"(0,7/1) + А(0,7/1).
Таким образом, решение сингулярного интегрального уравнения (15) (а значит и поставленной однородной задачи линейного сопряжения) свелось к решению задачи Римана с краевым условием (17). Решение этой задачи, учитывая, что х > О, имеет вид
Х^ Г Х^Од])
7?| =
dp
т) — и
+ Х(и) • Px_i^u^
где ег+("), если u < 1, гМ = 2- I 'XiEXM^
Ркг J ц — и Ы=1
и-х • ег W, если u > 1,
РИ-1И — полином степени не выше х — 1 с произвольными комлексными переменными (при х = 1 РИ-1^ = Со; при х = 0 полагаем РИ_1^ = 0).
Итак, найдены определяющие функции Ф±(0,и) интеграла (3). Далее, используя формулу (18), по формулам (6) и (7) (последняя записана относительно Еф) получаем решение поставленной задачи.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Вычислив с помощью формул Сохоцкого предельные значения определяющих функций, можно найти плотность интеграла типа Темлякова I рода (р^Од^, где y(0,7/i) = Ф+(0,r/i) — Ф“ (0,7/1), а значит по формуле (3) и решение поставленной однородной задачи линейного сопряжения.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Наличие в найденном решении задачи полинома РИ_1^ с произвольными коэффициентами и некоторой неизвестной функции А(0, ?/) указывают на неоднозначность решения. Решение задачи станет вполне определенным, если наложить на искомую функцию С+(г) = F^ (или F-^ = F^) х независимых условий.
z£D z£Ei
Например, это можно сделать следующим образом: задать в начале координат (где 77 = 0) значение определяющей функции Ф+(0,и) и всех ее производных по и до порядка х — 1 включительно. Это позволит найти коэффициенты полинома P^_i(tz).
Найдем, например, коэффициент Со- Пусть задано значение Ф+(0, u) |и_0 = Ф+(0,О). Из формулы (18) следует, что
Ф+(О) _ 1 Г W + г
Х+(0) 2тп J Х+^ 7/ 1
177| = 1
Интегрируя данное соотношение по 9^ 7 = 2, п, в пределах от 0 до 2тг и учитывая, что
J А (0, г/) dwg = 0, получаем
1 Г Ф+(О) , (27г)"-1 J Х+(0)
Vz^^ b^-^
ИЛИ
F+(0) ^W
так как F+(0) = ^Vi J Ф+(0, 0) dwg.
Далее, для нахождения функции А(0,г/) надо решать уравнение (19), в котором Со определяется по формуле (20).
-
§3 . Постановка и решение неоднородной задачи линейного сопряжения в классе функций (Т)
Постановка задачи. Пусть в пространстве С” задана область D типа А. Требуется найти функцию /(г) класса (Т), исчезающую в бесконечно удаленных точках при стремлении к ним из области Е^ и удовлетворяющую в точках окружности В^ краевому условию
/+(Д) = С(щ)/-(Д)+д(щ), (21)
где функции G^q^ и g(r/i) определены и удовлетворяют условию Гёльдера на окружности В^, причем G^q^ нигде на В^ не обращается в нуль.
Решение. Будем искать решение задачи в виде интеграла типа Темлякова I рода (3). Подставляя формулы предельных значений этого интеграла (8) и (9) в краевое условие (21), получаем
—Д— f dwg I ^е,Т1^ d-q + 1 f tp^^^dwg
(2тг)пг J J 9 - 91 (2тг)п 1 J
Ы = 1
ИЛИ
= G^ •

^^- d-q - / p^ ib dwg
9 - qx (2?r)n 1 J
+ gbb
, .„V, / [u+g^ • ■^’и)+1 °ы /
17/| = l
P ^Pl) , 9 , X
-------dq - 2g(r/i) 9 - 91
dwg = 0.
Отсюда следует, что
(1 + О(7/1))^(Дщ) + ^— ^M [ ^Ldq иг J q - qi
\g\ = l
= 2(g(r/1) + A1(0,r/1)), (22)
где Ai(0,r/i) — некоторая функция, предполагаемая непрерывной по совокупности аргументов и удовлетворяющей по qi условию Гёльдера, независимому от 9, является решением уравнения J Ai(0,r/i) dwg = 0.
Полученное уравнение (22) есть сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши, решать которое будем тем же способом, каким решают характеристическое уравнение в теории функций одного комплексного переменного ([3, §21]). Рассмотрим с этой целью интеграл типа Коши (16). Учитывая равенство lim и = тц и используя формулы Сохоцкого для интеграла (16), перепишем уравнение (22) в виде
^(0,01) + G(7)i)^(0,7?i) + 2Ф+(0, 7/1) - Д0,7/1)
- 6'(7/1))(0,7/1) - 2С'(7/1)Ф" (0,7/1) = 2(д(?/1) + А1 (0, 7/1))
или
Ф+(0,7/1) = СД/^Ф (0,7/1) + Дщ) + Ai(0,7/i).
Решение сингулярного интегрального уравнения (22), а значит и поставленной неоднородной задачи линейного сопряжения, свелось, таким образом, к решению задачи Римана с краевым условием (23).
Рассмотрим два возможных случая.
-
1) Пусть х = JndG(7/i) > 0. Тогда решение задачи имеет вид
Ф(6,„) = АМ [ +
V ; 2тп J У+(7/) 7/ -и V И h
Ы = 1
где

если u < 1, если u > 1,
ГЫ = ф [ МТ* • 0(^)1 д,.
2тп J ц — и Ы = 1
РХ-1М — полином степени не выше х — 1 с произвольными комплексными коэффициентами (при х = 0 полагаем РИ_1Н = 0).
-
2) Пусть х = JndG(7/i) < 0. Тогда решение задачи имеет вид
хн Г gW + ^1(0,0) . dg
2ivi J X+H 7/ — и
Ы = 1
Отметим следующее обстоятельство. Неоднородная задача Римана в случае х < — 1, вообще говоря, неразрешима. Для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие х| условий:
/ ^ДД’ -у-^-о. *=1.2.....и.
Ы = 1
Итак, найдены определяющие функции Ф+(0,и) и Ф-(0,и), задаваемые формулой (24), если х > О, или формулой (25), если х < 0. Подставляя их в формулы (6) и (7) получим решение поставленной задачи.
Замечание 3. Решение поставленной неоднородной краевой задачи можно найти в виде интеграла типа Темлякова I рода (3) с плотностью ip^g), где y(0,r/i) = Ф+(0,г/1) — Ф-(0,г/1), а Ф+(0,г/1) и Ф"(0,г/х) есть предельные значения определяющих функций, вычисленные по формулам Сохоцкого.
Замечание 4. Если для нахождения решения краевой задачи используется формула (24), то решение зависит от полинома Ри_1^ с произвольными комплексными коэффициентами и некоторой неизвестной функции Ai(0,r/). Решение задачи станет вполне определенным, если наложить на искомую функцию F+^ (или F~ (г)) х независимых условий. Это, например, можно сделать так: задать в начале координат (где и = 0) значение определяющей функции Ф+(0,и) и всех ее производных по и до порядка х — 1 включительно. Это позволит найти коэффициенты полинома Px_i^nY
Найдем, например, коэффициент Со Пусть задано значение Ф+(0,и)|и_о = Ф+(0,О). Из формулы (24) следует, что
Ф+ (6», 0) = 1 Г д^д) + Ax(0,r/) dg ~
Х+(0) 2тп J Х+^ ' г/ *
Ы = 1
Интегрируя это соотношение по 9^ j = 2,п, в пределах от 0 до 2% и учитывая, что J Ai(0,r/i) dwg = 0, получаем
1 Г / ф+ (0,0) 1 Г д^ dg
(27г)»-1 J I Х+(0) ” 2^" У 7
Ы=1
т. е.
= F+(0) 1 Г д^) dg
° Х+(0) 2тп У Х+^ ' г/ ’
M=i поскольку
^+(0) = / Ф+(0,О)М.
(2тг<)п 1 J
Подставив значение коэффициента Со в соотношение (26), получаем уравнение для нахождения функции Ai(0,r/):
1 Г Х^блЙ dg Ф+(0,О)-F+(0)
2^7 J Х+^ ' V “ Х+(0) '
Ы = 1
Если же решение краевой задачи находится с использованием формулы (25) (т. е. индекс х < 0), то это решение будет содержать неизвестную функцию Ai(0, г/). В этом случае для получения определенного решения надо на функцию F*^ (или F“(^)) наложить одно условие. Например, так же, как в рассмотренном случае, можно задать в начале координат (где и = 0) значение определяющей функции Ф+(0,О). Тогда для нахождения функции Ai(0,r/) следует рассмотреть уравнение
Следствие 2. В случае G^i) = 1 неоднородная задача линейного сопряжения обращается в задачу о скачке с краевым условием
/+(я) - /"(^1) = эЫ-
-
§4. Прибавление
Отметим, что краевые задачи линейного сопряжения, близкие по постановке к рассмотренным выше, но решение которых ищется в классах функций, определяемых различными интегралами типа Темлякова — Барвина, были изучены в совместных работах автора и его учеников.
Так, в совместном с А. Е. Луковниковым исследовании 2000 года [15], получившем дальнейшее развитие в его диссертационной работе [10], были рассмотрены однородная и неоднородная задачи, в которых решение искалось в классе интегралов типа Темлякова — Барвина I рода первого порядка
* Ьлаш, г ^^ (27)
О М = 1
где u = ci^i + c^ez^e-1®- + • • • + cnezne~l9n.
В работах, написанных в соавторстве с А. С. Якшиной (см., например, [16]), подобные задачи были рассмотрены и решены в классе функций, определяемых интегралом вида (27), но в котором u = и^^) = с^е81 z-v + с^е8- z^e-16- + • • • + cne8" zne~lSn , где показатели 51,... , 5П представляют собой набор из нулей и единиц, причем нулю равны 5Р1,... , 5„к (щ < z/2< • • • < Щ, 2 < k < п — 1), а единице — все остальные показатели.
Отметим, наконец, что автором в 2001-2002 годах произведена постановка и указано решение соответствующих краевых задач в классах функций, определяемых интегралом типа Темлякова I рода с более широким, чем n-круговые определяющие области D типа А, классом круговых определяющих областей.
Список литературы О краевой задаче Римана для функций многих комплексных переменных, голоморфных в кратнокруговых областях $\ bbb C^n $
- Баврин И. И. Операторный метод в комплексном анализе.-М.: Изд-во МПГУ "Прометей", 1991.-200 с.
- Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных.-М.: Наука, 1964.-411 с.
- Гахов Ф. Д. Краевые задачи. 3-е изд.-М.: Наука, 1977.-640 с.
- История отечественной математики.-Киев: Наукова думка, 1970.-Т. 4.-Кн. 1.-С. 193-295.
- Какичев В. А. Краевые задачи для функций, аналитических в биобластях//Вестн. Новгородского ун-та им. Ярослава Мудрого. Естественные и технические науки.-1995.-№ 1.-С. 110-114.
- Линник Ю. В. Статистические задачи с мешающими параметрами.-М.: Наука, 1966.-342 с.
- Луканкин Г. Л. Об однородной задаче линейного сопряжения//Учен. зап. МОПИ.-1970.-Т. 269.-С. 15-22.
- Луканкин Г. Л. О неоднородной задаче линейного сопряжения//Теория функций, функциональный анализ и их приложения/сб. трудов.-М., 1973.-Вып. 15(1).-С. 45-52.
- Луканкин Г. Л. Пространственная задача линейного сопряжения//Вестн. МАН ВШ.-1998.-№ 4(6).-С. 82-90.
- Луковников А. Е. Исследование свойств интегральных голоморфных функций в $\Bbb C^n$ и решение многомерных краевых задач линейного сопряжения//Автореф. дисс. на соиск. степ. канд. физ.-мат. наук.-М., 2000.
- Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968.-511 с.
- Нелаев А. В. Операторная связь между некоторыми интегралами//Математический анализ и теория функций/Респ. сб. трудов.-М., 1973.-Вып. 1.-С. 169-178.
- Нелаев А. В. Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами в исследовании комплексных интегралов в $\Bbb C^n$//Математика. Компьютер. Образование/Сб. науч. трудов.-М.: Прогресс-Традиция, 2000.-Вып. 7, Ч. 2.-С. 444-451.
- Нелаев А. В. Пространственная краевая задача линейного сопряжения для функций, голоморфных в кратнокруговых областях $\Bbb C^n$.-М.: Прогресс-Традиция, 2001.-Вып. 8, Ч. 2.-С. 406-414.
- Нелаев А. В., Луковников А. Е. Краевые задачи линейного сопряжения в $\Bbb C^n$ для функций, голоморфных в кратнокруговых областях.-М., 2000.-19 с. Деп. в ВИНИТИ 04.10.2000, № 2542-В00.
- Нелаев А. В., Якшина А. С. О неоднородной краевой задаче Римана для функций многих комплексных переменных, голоморфных в кратнокруговых областях.-М.: Прогресс-Традиция.-С. 415-423.
- Темляков А. А. Интегральные представления аналитических функций двух комплексных переменных//Учен. зап. МОПИ.-1954.-Т. 21.-С. 7-21.
- Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных.-М.: Физматгиз, 1962.-419 с.
- Opial Z., Siciar J. Jntegral formulas for functions holomorphic in convex n-circular domains//Zesz. Nauk. Univ. Jagiell.-1963.-V. 9, № 77.-P. 67-75.