О кратных нулях одной целой функции, важной для теории обратных задач

Исследуется характер нулей одной целой функции, возникшей в теории линейных обратных задач для дифференциальных уравнений второго порядка. Функция является трансцендентной, элементарной, нецелого порядка ρ=1/2. Она простым образом зависит от комплексного параметра p. Спрашивается, возможны ли значения p, при которых функция имеет кратные нули? В работе найден полный ответ на поставленный вопрос и показано, что существует счетное множество значений p=pn∈C∖{0}, при каждом из которых изучаемая целая функция помимо бесконечного числа простых нулей имеет в точности один нуль кратности два. Дано описание как самого множества таких значений pn, так и соответствующих кратных нулей. Итоговый результат выражен в терминах корней трансцендентного уравнения shz=z, анализу которого посвящен заключительный раздел работы. Здесь анонсированы новые "неасимптотические" оценки, применимые ко всем корням уравнения в области z≠0 и дающие для этих корней весьма точные зоны локализации. Численные расчеты подтверждают наши аналитические выводы. Имеются полезные связи с теорией распределения нулей целых функций типа Миттаг-Леффлера и с некоторыми спектральными задачами из математической физики.