О критериях устойчивости работы А. М. Ляпунова "Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения"
Автор: Куракин Леонид Геннадиевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.11, 2009 года.
Бесплатный доступ
Рассмотрена задача об устойчивости равновесия автономной системы дифференциальных уравнений в критическом случае двукратного нулевого корня (жорданова клетка). А. М. Ляпунов [1], применяя свой первый метод, получил критерии устойчивости при любых нелинейных вырождениях системы. Большинство из подслучаев, на которые разбивается эта задача, им исследовано также и прямым методом. Функции Ляпунова для остальных подслучаев до сих пор не были построены. В данной работе найдена часть этих функций. Для некоторых вырождений с истемы это позволило предложить новый алгоритм определения устойчивости равновесия. Он задается через алгебраические операции над коэффициентами ряда Тейлора системы, в то время, как алгоритм, указанный А. М. Ляпуновым требует вычисления квадратур.
Устойчивость, критические случаи, функции ляпунова, алгебраический критерий.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318278
IDR: 14318278 | УДК: 531.36
On the stability criteria in A. M. Lyapunov's article "Analysis of one of the partucular cases of the problem of stability of motion"
We consider the problem of stability of an equilibrium of an autonomous system of differential equations in the critical case of a double zero root (Jordan cell). Using his first method A. M. Lyapunov [1] found a criterion of stability for any nonlinear degeneration of the system. He addressed most of the subcases of the problem, using his direct method as well. The Lyapunov functions for all remaining subcases were not constructed yet. In this paper we found these functions in a few cases. This enables us to to propose a new algorithm of determination of equilibrium stability for some degenerations of system. This algorithm is specified by some algebraic operations over the Taylor series coefficients of the system whereas the algorithm by A. M. Lyapunov demands the calculation of quadratures.
Список литературы О критериях устойчивости работы А. М. Ляпунова "Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения"
- Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения//Мат. сб.-1893.-Т. 17, вып. 2.-С. 253-333; см. также: А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения.-М.: Гостехиздат, 1950.-С. 369-450.
- Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1963.-116 с.
- Каменков Г. В. Об устойчивости движения в одном особенном случае//Сб. "Тр. Казанск. авиац. ин-та".-№ 4.-C. 3-18; см. также: Каменков Г. В. Избранные труды. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. T. I.-М.: Наука, 1971.-259 c.
- Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения//Изв. АН СССР. Cер. мат.-1964.-Т. 28, № 6.-С. 1297-1324.
- Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий.-М.: Наука, 1988.-256 с.
- Арнольд В. И. Алгебраическая неразрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову и топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений//Функцион. анализ.-1970.-Т. 4, вып. 3.-С. 1-9.
- Ильяшенко Ю. С. Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений//Мат. сб.-1969.-Т. 99, вып. 2.-С. 162-175.
- Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.-М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985.-Т. 1.-149 c.
- Хазин Л. Г. Замечание к работе Ляпунова "Особенный случай задачи об устойчивости движения".-1980.-20 c.-(Препринт/АН СССР. Ин-т прикладной математики; № 9).
- Хазин Л. Г., Шноль Э. Э. Устойчивость критических положений равновесия.-Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1985.-215 с.
- Куракин Л. Г. О ляпуновской цепочке критериев устойчивости в критическом случае жордановой 2-клетки//Докл. РАН.-1994.-Т. 337, № 1.-C. 14-16.
