О кусочно-линейных почти-решениях эллиптических уравнений

В работе [2] вводится понятие почти-решения для эллиптических уравнений, которое для уравнения минимальных поверхностей

™=y Д™) •

будет выглядеть следующим образом. Функция / G W ^1,P (Q) называется почти-решением уравнения минимальной поверхности в области Q С R ” , если найдется е >  0 такое, что для любой функции h G С 1 (Q), | h(x) | <  1 в Q выполнено

Ω

(V /, V h ) V 1 + |У / 1 ²

dx

< Е.

Наименьшая из величин е >  0, которую будем обозначать E q ( / ), удовлетворяющая этому определению, называется уклонением почти-решения /(x). Другими словами,

e q ^(/ )=sup У

Ω

(V /, V h) _д

—.        =dx ,

V"1 + |У / 1 ²     ’

где точная верхняя грань берется по всем функциям h G Cd(Q), таким, что | h(x) | <  1 в Q. Отметим, что если функция / G С ² (Q) и E q ( / ) = 0, то функция / является решением уравнения (1) в области Q.

Для получения уравнения, аппроксимирующего уравнение минимальной поверхности, нам потребуется несколько видоизменить приведенное определение для класса кусочно-линейных функций. В связи с этим мы вводим понятие уклонения кусочнолинейного почти-решения, вычисляем его и доказываем, что введенная величина приближает интеграл от модуля средней кривизны графика С ² -гладкой функции.

1. Основные результаты

Пусть область Q представляет собой многогранник, разбитый на тетраэдры Т ^ , к = 1,...,N . Обозначим через P i ,Р ₂ ,...,Р м вершины этих тетраэдров. Символом Р ‘ будем обозначать множество тех вершин, которые расположены внутри многогранника Q, а через Р ‘‘ — множество граничных вершин. Зададим в каждой вершине Р * произвольное значение / _i . На основе этих значений построим кусочно-линейную функцию / ^N (ж) такую, что / ^N (Р * ) = / _i ,i = 1, ...,M . Тогда в каждом тетраэдре Т ^ функция f^N (ж) линейная, поэтому V / ^N (ж) = const в Т ^ .

Через ^(ж), i = 1,...,N , обозначим такую кусочно-линейную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям:

^(ж , ) = 0 при j = i, У i (ж j ) = 1 при j = i.

Тогда очевидно, что м

^{/ N (ж)} = ^ ^/ i ^ i ^(ж), i =1

при этом max | / ^N (ж) | = max | / _i | .

Q                 1 < i < M ^{1 1}

Уклонением почти-решения / ^N будем называть величину

S q ( ^{/ N} )=^suP

Г (V / ^N , V h )

—.     = аж

J V1 + |V / ^N I ²

где точная верхняя грань берется по всем кусочно-линейным функциям вида

м

А(ж) = 52 h i ^ i (ж), i =1

таким, что | A _i | <  1 для всех i = 1,...,M и h _i = 0 для P _i Е Р ‘‘ (то есть для гранич

ных вершин). Таким образом мы сужаем множество функций А(ж), по которым ищется точная верхняя грань. Вычислим уклонение для / ^N по этому определению.

Зафиксируем произвольно i = 1,M. Пусть Т1, Т2,..., Т^ — те тетраэдры, у ко торых вершиной будет точка Pi. Выходящие из этой вершины грани тетраэдра Т*, j = 1, 2, ...,k(i), обозначим Г*1, Г*2, ..., Г*п, и пусть Г*п+1 оставшаяся грань тетраэдра Т*, противоположная вершине Р*. Обозначим через и*1, uj2, ..., ujn, vjn+1 — внешние по отношению к тетраэдру Т нормали этих граней. Так как в тетраэдре функция /N линейна, то V/N = £j = const. Ниже IE| означает (п — 1)-мерную меру множества Е.

Тогда

f VN, Vh)        ^  , У (V/N, V^i) , аж =       A             аж =

Q V I + IV / ^N I ²       внутр. Р .    Q V 1 + I ^V/ ^N I ²

Е  ь. Е /

^Тз

^Е  к Е У ? -V- > а

/    ь. /    —/       dx = внутр. Pi 3=1 V J1 + I ?; I 2 Т

^к(.) п+1    , лг . \

Е ь.ЕЕ+Д внутр. Pi   3=1 1=1 у ¹ + К;Г

[ p. dS = -

3              Т1

Г«, зЬ

^к(.) п      /л. . \

Е ь.ЕЕ -++r;,I.

внутр. Pi   3=11= V1 +I?; I²

Последнее слагаемое в сумме по / равно нулю, так как функция ip. = 0 на грани Г;_п+1. Преобразуем данное выражение следующим образом

п

∑︁

1=1

<5 -У.)

-1 + nil²

П+¹  (5. у.

I г;, I = Е             I г;, I

=1 1 +151²

-

$ -уМ_г.  . ₌

/-------------^{1 г} ;п+1¹

V1 +1512

п + 1 _Г

= Е

^{1 1}rⁱ, зЬ

<^ dS

V1+1 ?; । ²

-

EE^l

-1 + 1 5 1²

I г;„±11 = j 6Т*

<5-у)_dS<5-Уп±31_г

-1 + I 5} 1²        -1 + I ?31² '

<?; .у1«±1>, _г.

/--------------^{I г} ;п±1^I-

V¹+ к; ।²

так как интеграл равен нулю по формуле Гаусса — Остроградского. Поэтому приходим к равенству

Q

(V/^, Vb)

—.     = dx =

V1 +1V/^N1²

_л                          ^к(.⁾

-1 Е ь. Е внутр. Pi   ;=1

(?. ,У}п±1)

-^{1 +} к; ।²

I г;„±11.

Тогда

^=(/) s ^ Е внутр. Pi

к(г)

∑︁

;=1

(?. ,у}п±1)

-1 +1?; 1²

I г;„±11

Очевидно, что неравенство превращается в равенство для такой функции Ь, которая в граничных вершинах равна нулю, а во внутренних вершинах равна

/ к(.)

Ь. = sgn I J2

;=1

S2JyWl\

/---------------^{I г} ;п±1^I I '

V 1 + i ?; । 2

Таким образом, справедливо утверждение.

Теорема 1. Уклонение почти-решения /^N уравнения минимальной поверхности вычисляется по формуле

=₀(/^N)= ;

к(.)

Е  Е =?;

внутр. Pi

;=1

<?; -у;.±1>_г.    ,

/           : ^IГ;п±1^I•

V 1+i ?; ।²

Замечание. Аналогичным образом можно вычислить уклонение почти-решения для других дифференциальных уравнений. Например, уклонение кусочно-линейного почти-решения /^N(х) уравнения Лапласа А/ = 0 вычисляется по формуле

1                          fc(i)

еш^N) = - Е Е <3,vj„+1 >|г;„₊1Ь ^- внутр. Pi j=1

Выясним, как себя ведет величина 6q(/n) при N ^ то на следующем частном примере. Рассмотрим квадрат Q = [0; 1] х [0; 1]. Зафиксируем N и разобъем квадрат Q на квадраты прямыми х = Xi = y = Pi = 4-, i, j = 0,1,2, ...,N.

⁶    AT" У   ^j J    AT "   7 У     1111

Каждый из полученных квадратов разобъем на два треугольника диагональю, проведенной с нижнего левого угла в верхний правый угол. Пусть в квадрате [0; 1] х [0; 1] задана дважды непрерывно дифференцируемая функция U(x,y). Далее обозначим через uⁿ(x,y) кусочно-линейную функцию, которая определяется значениями в вершинах сетки следующим образом

Uij = U(xi ,yj).

Вычислим уклонение почти-решения uⁿ(х) по формуле (2). Фиксируем i, 1 < i< < N — 1, и j, 1 < j < N — 1. К вершине (x₆,yj) примыкают 6 треугольников:

^Т1 : (X,yj), ^(xi+1^,yj+1⁾, ^(xi,Уз+1)

^Т2^{: (x}i ,yj ), ^(xi ^,Уз ₊ 1), ^(хг-1,Уз )

^T3^{: (x}i,yj), ^(xi-1 ,yj), ^(xi-1^,yj-1)

^T5^{: (x}i ,yj), ^(xi ^,Уj-1^{), (x}i+1,yj) Используя равенство (2), получаем

^T4^{: (x}i,yj), ^(xi-1^,Уj-1^{), (x}i,yj-1)

^T6 ^{: (x}i,yj), ^(xi+1,yj), ^(xi+1^,yj+1⁾.

N-1

^q("ⁿ ) = 2 E E

i,j=1 1=1

-^ rx у 1 + Vv 2

где

1^| = 1/N, I = 1, 3,4, 6,

Г| = V2/N, I = 2,5,

и градиенты соответствующих линейных функций

£ij   /^Ui+1j+1

⁶¹= I

—

h

^Uij+1 ^Uij+1 ^,

—

h

^Uij ^   6ij = ^ ^Uij

—

^Ui-1j ^Uij+1

—

h,

h

^Uij ^

^Tj = ^Uij

^{— U}i-1j^Uj-1j-1 —

h,

h

^Ui-1j ^    ^ij = ^ ^Uij-1

^{— U}i-1j-1 ^Uij^{— U}ij-1

h

,

h

,

ij = ( ^Ui+1j

⁶⁵      \ I

—

h

Uij Uij

—

^Uij-1

h

A ij _ (Ui+n ,   ⁶⁶      \       ,

—

h

Uij ^Ui+1j+1 ^,

—

h

^Ui+1j-1

где h = 1/N. Нормальные векторы имеют вид v! = (0,1), v2 = (—1/V2,1/V2), v3 = (—1, 0), у? _ (0, -1, p? _ (1/V2, -1/V2), ^ = (1,0)).

Таким образом,

-. N-1 =₀('^N) = 2 E i,j=1

■ij

-

^Uij+1^{— U}ij    ^Uij — ^Ui-1j ^ ^Uij+1 ^{- U}ij    'ij^{- U}i-1j

71+^'?i²   71 +®i²   7¹+®i²   71 + ^’i²

^Uij -1

71+\ai

+

^Ui+1j

-

■ij

-

■ij

-

^Uij -1

^Ui+1j

-

■ij

71 +145’ 1²71 +145” 1^{2 +} 71 + 521²'

Рассмотрим разность

^Uij+1

-

^Uij

-

^Uij

-

^Uij-1 _

71+\«^j\2  7++ki

_ Uij+1

-

^Uij^{- (u}ij

-

Uij -1)

_ ^Uij+1

-

71+717

^{+ (u}ij

-

^Uij -1)

-

71 +1 54 1² 7¹+1 s’ 1

2^Uij^{+ U}ij-1

V1 + 1511

+

(Uij

-

Ui₃-1)( 144 1²

-

I 5i’ I2)

(71 +1 s 1²+71 +1 541²) 7ⁱ+i511²71+1541²

Так как функция u(x, у) дважды непрерывно дифференцируемая, то

^Uij+1

-

2^Uij^{+ U}ij-1    ^(uyy ^(xi^,yj ) ^{+ O(h))h} ,

^Uij

-

Uij-1 _ (Uy(xi,yj) + O(h))h,

^Uij-1

-

Ui-1j-1 _ (u'_x(xi,yj) + O(h))h,

^Ui+1j+1

-

Uij+1 _ (u'_x(xi,yj) + O(h))h,

^Uij+1

-

Uij _ (uy(xi,yj) + O(^))^,

^Uij-1

-

Ui-1j-1 _ u_x(xi,yj-1)h

-

2 ^u_xx^(xi,yj-1^)h2 + ^O(h)h2,

^Ui+1j+1

-

^Uij+1 ^{_ U}'x^(xi, У”+1^{)h +} 2^Uxx^(x1 , У”+1 ^)h2^{+ O(h)h}2

при h ^ 0. Тогда

-

1541² _ (

^Uij -1

-

^Ui-1j-1

h

)■-(

^Uij

-

^Uij -1

h

)︂2_-(︂

^Ui+1j+1

-

h

^Uij+1

)

-

-

^Uij+1

-

h

+

^Uij -1

^Uij

-

)■_ (

^Ui-1j-1

h

+

^Uij

-

^Uij -1

h

+

^Uij+1

-

h

^Ui+1j+1

-

h

^Uij+1

)(

^Uij

)(

^Uij

-

^Uij-1

-

h

+

^Uij -1

-

^Ui-1j -1

-

h

^{_ h(2u}y ^(xi,yj ) ^{+ O(h))(-U}‘‘y ^(xi,yj ) ^{+ O(h)) +}

Поэтому

_ h²

^{+ h(}2«x⁽Xi,yj) ^{+ 0(h))(—}2uXу⁽Xi,yj) ^—«'xx⁽Xi,yj^{) + 0(h)) _}

^—h(2uу ^(xi,yj ⁾«Уу ^(x. ,yj ^{) +} 2«x ^(xi,yj⁾⁽2uXу ^(xi,yj) ⁺«xx^(xi,yj^{)) + 0(h))}.

«ij+1

-

«ij     «ij

-

«ij-1 _

---.                 — ---.

V1 + 1811²    v 1 + i 84’1²

′′

«УУ

^ 1 + («i)2 + (« )²

Аналогично,

_ h

′′ xx

^ 1 + («i )²+ («у )²

Рассмотрим разность

«ij+1

^—«ij^{— (}«ij^— V1 + K2’ i²

_ «ij+1^{— 2}«ij⁺«ij-1

V1 + 1821²

'^x.-y)

-

«i+1j

Так как

′ 2 ′′              ′         ′′            ′    ′    ′′

⁽«У ) «УУ⁺ «x «У «ху⁺ «x «У «xx

(1 + («x)2 + («У)²)^3/2

(x^) + 0(h)   . (3)

-

«ij     «ij

-

«i-1j __

-

V1 + 18? 1²    V1 + i 83’1²

^(ж4,Уз )

-

«ij+1

′2′′′′′′′′′

⁽«x) «xx⁺««««У «xу⁺«x«у «уу

(1 + («x)2 + («У У)'³/²

(_Xi,y₃) + 0(h)   . (4)

-

«ij     «ij

-

«ij-1 _

-

V1 + 1821²   V1 + i ^i²

«ij-1)

^{+ (}«ij

-

«ij-1)

+

(«у

-

V1 + \8 2

«.j-1)( K5’I²

-

-

V1 +1851²

I 6T)

(Vi + vs i²+Vi + i«5’ i²) V¹*^’ i²V¹*vsi²

— i ?2^ji²_ («^

-

h

«ij    «ij^—«i-1j A /«i+1j

+ h )

^{- 2}«ij⁺«i-1j h

+

+ ^ ^nij

-

«ij -1

h

+ «ij+1

-

h

«ij^ ^2«ij —

«ij -1

-

h

«ij+1 ^

то, рассуждая так же как и

выше, приходим к равенству

«ij+1

-

«ij

>/1 + 182 1²

-

«ij

-

«ij-1 _

V1 + K5j I²

_ h²

′′

«УУ

У1Т(й[)2"+"(йУ)2

■ ^x-X) ⁺

«Х«у «i_x

-

«Х«У «У‘у

(1 + («4)2 + («У )²)^3/2

(x^) + 0(h)  .

Аналогично,

«i+1j

-

«ij

«ij

-

«i-1j __

-

V1 + 1851²    V1 + i 82’i²

= ^2 [         "‘хх

VV¹+("х)²+к )²

(КОД ) ⁺

^у "Ху

—

"х" "хх

(1 + ("х)²+ ("X )²)³/²

(х^) + 0(h)  .     (6)

Из равенств (3)–(6) получаем

N-1 sq("ⁿ) = h²£ i,j=1

(1 + (" )²)""_х — 2"."'""„ + (1 + ("X)2)"‘L х х у / / хх         х у ху X X Х / / ММ

+ 0(h).

^(х Ку з)

(1 + Н)²+ К )²)³/²

Переходя к пределу при N ^ то в этом равенстве, приходим к следующему утверждению.

Теорема 2. Пусть " G С2(П), П = [0,1] х [0,1]. Тогда lim

N ^^

_£Q("^N)=//

Ω

(1 + (" )²)<_ж— 2"X"X"X_U + (1 + ("X )²)"X‘_U х х у / / хх         х у ху х х хз з уу

(1 + ("х)²+ ("X )²)³/²

dxdy =

= У^ |Q["(x,y)]| dxdy.

Ω

Таким образом, приравняв к нулю уклонение 6q("n), получим систему нелинейных уравнений относительно искомых "tj hij "tj = (^tj,5 + ^tj,6)"t+1j + (l^ij,2 + ^tj,3)"t-1j + (^i.j,1 + ^tj,2)"tj+1 + (^i.j,4 + ^^гj,5')"гj-1, где

^hij,k =   /--------—,

V1 + Iff I²

hij hij,1⁺2P'ij,2^{+ h}ij,3⁺hij,4⁺2P'ij,5⁺hij,6,  ,hj 1, ..., ^{N 1.}

Данная система уравнений, как следует из теоремы 2, аппроксимирует уравнение (1). Отметим, что в работе [1] получена аналогичная система уравнений по девятиточечному шаблону, с помощью которой авторы приближенно находят поверхности минимальной площади.