О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями

Автор: Хубежты Шалва Соломонович, Плиева Любовь Юрьевна

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 2 т.13, 2011 года.

Бесплатный доступ

Рассматриваются сингулярные интегралы с весовыми функциями. Строятся квадратурные формулы для сингулярных интегралов. Доказываются новые формулы обращения, аналогичные формулам для сингулярных интегралов с Чебышевскими многочленами. Указываются применения построенных квадратурных формул к численному решению сингулярных интегральных уравнений.

Короткий адрес: https://sciup.org/14318348

IDR: 14318348

Текст научной статьи О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями

Рассмотрим сингулярный интеграл с весовой функцией

S(у, ж) = 1 [p(t) ^t)- dt,  x G (-1,1),                       (1)

π t-x

- 1

где ^(t) — плотность, удовлетворяющая условию Гельдера [4], а p(t) = (1 — t) а (1 + t) e (а, в > —1) — весовая функция. Как известно (см. [1, 2, 5]), многочлены Якоби

nn

Р Па,в ) = ^Л(1 — х) - а (1 + х) - в (1 — x) a + n (1 + x) e + n             (2)

2 п П!                         dX n L                          J

являются ортогональными с весом p(x) = (1 — х) а (1 + х) в на отрезке [—1,1]. Кроме сингулярного интеграла (1) рассмотрим несобственный интеграл

I(f ) = П У p(x)f (х) dx.

- 1

Для таких интегралов построены квадратурные формулы (см. [1, 2]) наивысшей алгебраической степени точности вида

П j p(x)f (х)

- 1

dx = XX A k f (x k )+ R n (f), k=1

где в роли узлов X k (k = 1, 2,..., n) используются нули многочлена Якоби, коэффициенты A k (k = 1, 2, . . . , n) вычисляются по формуле

д 1 Ь      РПа'в (х)     я

Ak = _ / P(x)-----------",—^---- dx.

k П jj^ \x — X k )p 0 <a,e ) (X k )

В классических работах [3, 4] для p(x) = (1—x)a(1+x)e рассматриваются случаи (а = — 2, в = 2), (а = — 2, в = — 2), (а = 0, в = 0), (а = 2, в = — 2)• Они встречаются чаще всего на практике. Для последнего случая а = 2, в = - 2 [1] получена квадратурная формула п / rmf (x) dx=2+. X sin2 mf (xk)+R- f ),         (5)

1                            k=1

где R - (f) = 2 2 n ( 1 2 - ) , f (2 - ) (n), —1 < П <  1; x k = cos 22+- (k = 1, 2,... ,n) — корни ортогонального многочлена;

P - 0 5; 0 5) (x) =

(2 n )! sin ^ 2 -+ 1 arccos x

2 2 - (n!) 2

• arccosx sin 2

.

Для случая а = — 2 , в = 2 , т. е. для интеграла

1     т+~f ( x ) dx                            (6)

nJ у 1 — x

- 1

таких формул нет, но рекомендована подстановка [2] x = —t, после чего интеграл сво- дится к виду п у rmf(—x) dx,

- 1

который можно вычислять по формуле (5).

Далее мы решаем задачу: построить для интеграла (6) квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности.

Сперва построим ортогональные многочлены на отрезке [—1,1] с весовой функцией p(x) = \j Т x . Этот многочлен обозначим через P-( 0 , 5,0 , 5) (x), тогда для любого многочлена Q(x) степени меньше n должно быть выполнено условие ортогональности

Z Д + Хp( - 0 , 5;0 , 5) (x)Q(x) dx = [(1+ x)Pf 0 , 5;0 5) (x)Q(x)          =0.

1 — x                                                1 — x 2

- 1                                  - 1

Рассмотрим многочлен S(x) = (1 + x)P ( 0 , 5,0 , 5) (x). Степень его равна (n + 1) и он

ортогонален на [—1, 1] с весом

' 1 x 2

всякому многочлену Q(x) степени меньше n. Если

его разложить по многочленам Чебышева первого рода T k (x) (k = 1, 2,..., n), то в разло-

жении, ввиду указанной ортогональности, должны обратиться в нуль все коэффициенты при многочленах Tk (x) до степени n—1 включительно и разложение должно иметь форму S(x) = CnTn(x)+C- +1T-+i(x). Кроме того, так как S(x) должно нацело делиться на 1+x, при x = —1 должно быть S(—1) = C-T-(—1) + C-+1T-+1 (—1) = (—1)n(C- — C-+1) = 0.

Поэтому C n+1 = C n и

P ,( 0 , 5;0 , 5) (x) = C -

T -+1 (x) + T - (x) x + 1

Из свойств старших коэффициентов ортогональных многочленов имеем

C

(2n)!

2 2 - (n!) 2

Если положить x = cos — и воспользоваться тем, что T k (x) = cos(k arccos x) = cos k—, то для изучаемого полинома Якоби получаем

p( - 0,5;0,5)( \ _   (2 n )! cos ^^

.

n ( x )     2 2 n (n!) 2    cos 2

Корни его есть

2k - 1

xb = cos ------П k      2n + 1

-

(k = 1, 2,... , n).

Используя многочлены (8), получим следующую квадратурную формулу наивысшей алгебраической степени точности [10]

1 1 ZT+x

-   \ i----f(x) dx = nJ V 1 — x

- 1

2n + 1

n

X cos 2 (^n+ij 7( x k ) + R ')-

где

R n (f)=

^ff (2 "+). —1 <«< 1. 2 2 n (2n)!

Введем обозначения

S n (x) =

sin 2n+

■ о sin 2

2n+1

, Cn(x) = ----2—, cos 2

где — = arccos x. Ниже приводятся конкретные многочлены

C o (x) = 1;

C 1 (x) = 2x — 1;

C 2 (x) = 4x 2 — 2x — 1;

C a (x) = 8x 3 — 4x 2 — 4x + 1;

C 4 (x) = 16x 4 — 8x 2 — 12x 2 + 4x + 1;

С з (х) = 32x 5 — 16x 4 — 32x 3 + 12x 2 + 6x — 1;

S o (x) = 1;

S 1 (x) = 2x + 1;

S 2 (x) = 4x 2 + 2x — 1;

S 3 (x) = 8x 3 + 4x 2 — 4x — 1;

S 4 (x) = 16x 4 + 8x 2 — 12x 2 — 4x + 1;

S 5 (x) = 32x 5 + 16x 4 — 32x 3 — 12x 2 + 6x + 1;

обращения:

где T n (x) = cos(narccos x), U n (x) = шева I-го и II-го рода [5].

sin((n+1) arccos x) 1 - x 2

— ортогональные многочлены Чебы-

Нами доказана следующая

Теорема. Для многочленов S n (x) и C n (x) справедливы следующие формулы обра-

щения

1 Г / 1+7 C n (t) nJ у 1 — tt x

- 1

dt = S n (x),

1 / JE! ++ dt nJ V 1 + 11 — x

- 1

—C n (x) (—1 < x < 1, n = 0,1, 2,...).

C Применим упомянутое выше представление

(      T n (x)+T n+i (x)

n lx       1+ x получаем

1     1

1 J .     ' 1 Tn(t)+ Tn+1(t) dt = 1 /    1 Tn(t)+ Tn+1(t) dt nJ у 1 — tt — x 1 + t          nJ ^1 — t2

-1

Отсюда, используя формулы (11), имеем

1 г / 1+7C n (t) nJ V 1 — t t — x

- 1

dt = U n - 1 (x) + U n (x),

из которой после некоторого упрощения с учетом x = cos 6, получаем

1 Г /1 + t Cn(t) dt   sin nd + sin(n + 1)d nJ V 1 — tt — x         V1 — cos2 d

- 1

sin ( 2 n+ 1 arccos x

sin (2 arccos x)

S n ( x ) .

Аналогично из представления

S n ( x )

T n (x) — T n+1 (x) 1— x

c учетом (11) получаем

1 / JE Sn(x) dt nJ V 1 + t t — x

- 1

1 /         Tn(t) Tn +1 (t) dt = U n - 1 (x) — U n (x)

nJ V1 — t 2      t — x

- 1

sin nd — sin(n + 1)d sin d

cos 2 n+ 1 d cos 2

—C n (x).

Далее, для сингулярных интегралов с весовыми функциями p(x) =

V1 - x и p ( x ) =

1+x

1 x

построены следующие квадратурные формулы:

1 / /Г+7^tt dt =     X (—l)k Jd—xi nJ V 1 — tt — x     2n + 1       x — xk

1                              k=1

x cos

2k — 1

π

2(2n + 1)

[ C n (x) + ^ k (x)] ^(x k ) + R n (+; x),

где

P k (x) = X A . C^ — A k C; (x k ),

  • 1     x    x ст

2k — 1      „       4      2 2k — 1

  • xk = cos------ n,  Ak =------cos —-------n;

k        2n + 1 , k    2n + 1     2(2n + 1) ’

1 г /Г—7 ^(0 dt 2 у <- 1) k У 1 — x k

nJ V1+ tt — x     2n +1         x x k                    /-..x

- I                              k= r                                       (14)

X sin 2n + 1 [   S n (x) + P k (x)] ^(x k ) + R n (^; x),

где

Pk (x) = XX A ct -S nM — A k S n (x k ), x x σ

2kn            4     2 kn

xk = cos------, Ak =------sin ------.

k       2n + 1, k    2n + 1     2n + 1

Дадим оценку погрешности полученных квадратурных формул.

Теорема. Если плотность ^(t) имеет производные до r-го порядка включительно (г > 1) и ^ ( r ) (t) удовлетворяет условию Гёльдера H (а) (0 < а 6 1) , то для квадратурных формул (13) и (14) справедлива оценка

|S (^x) — S n (^,x)| 6 O

n r+a - l

равномерная для всех —1 6 x 6 1 , где S n (^, x) — соответствующая квадратурная сумма.

C Пусть ^(t) G H r (а). Тогда

y ( t ) = ^ ( x k ) + (t--— ^ 0 ( x k ) + ••• + (t— xkL ^ ( r - 1) ( x k ) 1!                         (r — 1)!

t

+ (t X k Y <Л) (x k ) +        , (\t — u) r -W — y ( r ) (x k ) ) du.

r!                   (r — 1)!

x k

Отсюда для остатка квадратурных формул (13) и (14) получаем

1 n

R(^x) = n^

k=0

X k+1                     t

(r—ir/ft — xk                    xk

— y ( r ) (x k )) dudt,

где xo = —1, xn+i = 1 и |^(r)(u) — ^(r)(xk)| 6 A|u — Xk|a. А это или

дает оценку

№,x )| 6 O^n r+O - i) .

Формулы (5), (9), (13) и (14) могут быть успешно применены к численному решению задач плоской теории упругости. Например, задача о трещинах сводится к интегральному уравнению вида [6]:

П /

- 1

^(t) t — x

„ . 1 dt + —

π

j К (AMt)

dt = f (x),

x E ( — 1, l)i

где неизвестная функция ^(t) ищется в виде или

=vT—I

У 0 ( t ) ,

^ ( t ) = vO

^ 0 ( t ) ,

v ( t ) =

2. t' ( t ) '

^(t) = V 1 — t 2 ^ o (t).

В первом случае сингулярное интегральное уравнения (15) примет вид

1 Г / 1+ 1 y o (t) П J V 1 — tt — x

- 1

dt + П j ^ 1 —t K (x,t) ^ o (t) dt = f (x),

- 1

x E ( —1,1).

Используя квадратурные формулы (9) и (13) для (16), получим дискретное уравнение

1 n (—1)kA /1 — x k /2k 1 X

2- ■ . g x _ x k COS LL ... n) C + «' ■(x k )

4 A о / 2k — 1  \

' 2 .   k=1 cos ( 2(2n +1) n)K ( x'x 1 ^x 6 ) = f ( x ) .

Придавая параметру x последовательно значения x i ,x2,..., x n , x k = cos 2n ,1 П получим систему линейных алгебраических уравнений порядка n х n относительно неизвестных ^ 0 (x i ), ^ o (x 2 ),..., У с (x n ).

Кроме решения уравнения (15) обычно требуется еще вычислить компоненты напряжений и смещений. Они выражаются с помощью интегралов типа Коши

Ф ( z ) =-^ [p( t ) ^(t! dt, z E [ —1 ; 1] .

2ni J     t z

- 1

Следовательно нужно вычислить интегралы типа Коши с весовыми функциями

p(t) = V1+t, p(t) = i/t5 ■ Для указанных интегралов от ортогональных многочленов

S n (x) и C n (x) получены следующие формулы [9]

i(z — Vz2 — 1)n z vz2—!  ( +

V z2 — 1),

1 / Jin Sn dt ni J V 1 + 11 z

- 1

i(z V z^ — 1) n

Vz 2 — 1

(1 + z + pz 2 — 1),

где под Vz 2 — 1 подразумевается фиксированная ветвь, однозначная в плоскости с разрезом вдоль отрезка [—1,1] действительной оси и принимающая на (1, го) действительные значения.

Список литературы О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями

  • Крылов В. И. Приближенные вычисления интегралов.-М.: Наука, 1967.-500 с.
  • Крылов В. И., Шульгин Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию.-М.: Наука, 1966.-370 с.
  • Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений.-Киев: Наукова думка, 1968.-288 с.
  • Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент.-М.: ТОО Янус, 1995.-520 с.
  • Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева.-М.: Наука, 1983.-384 с.
  • Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацыщин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках.-Киев: Наукова думка, 1976.-444 с.
  • Ахиезер Н. И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов//Изв. АН СССР. Математика.-1945.-Т. 9.-C. 275-290.
  • Сеге Г. Ортогональные многочлены.-М.: Физматгиз, 1962.-500 c.
  • Пыхтеев Г. Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши.-Новосибирск: Наука, 1980.-120 с.
  • Плиева Л. Ю., Бесаева З. В. Об одной квадратурной формуле и некоторе ее применение//Тр. междунар. симпозиума (МДОЗМФ-2009).-Харьков-Херсон, 2009.-С. 141-144.
Статья научная