О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями

Рассмотрим сингулярный интеграл с весовой функцией

S(у, ж) = ¹ [p^(t) ^t)- dt,  x G (-1,1),                       (1)

π t-x

- 1

где ^(t) — плотность, удовлетворяющая условию Гельдера [4], а p(t) = (1 — t) ^а (1 + t) ^e (а, в > —1) — весовая функция. Как известно (см. [1, 2, 5]), многочлены Якоби

nn

Р П^{а,в )} = ^Л(1 — х) ^{- а} (1 + х) ^{- в} (1 — x) ^{a +} n (1 + x) ^{e + n}             (2)

2 ^п П!                         dX n L                          J

являются ортогональными с весом p(x) = (1 — х) ^а (1 + х) ^в на отрезке [—1,1]. Кроме сингулярного интеграла (1) рассмотрим несобственный интеграл

I(f ) = П У p(x)f (х) dx.

- 1

Для таких интегралов построены квадратурные формулы (см. [1, 2]) наивысшей алгебраической степени точности вида

П j p(x)f (х)

- 1

dx = XX A k f (x k )+ R n (f), k=1

где в роли узлов X k (k = 1, 2,..., n) используются нули многочлена Якоби, коэффициенты A _k (k = 1, 2, . . . , n) вычисляются по формуле

д 1 Ь      РП^а'^в (х)     я

Ak = ^_ / P(x)-----------",—^---- dx.

k П jj^ \x — X k )p 0 <^a,^{e )} (X k )

В классических работах [3, 4] для p(x) = (1—x)a(1+x)e рассматриваются случаи (а = — 2, в = 2), (а = — 2, в = — 2), (а = 0, в = 0), (а = 2, в = — 2)• Они встречаются чаще всего на практике. Для последнего случая а = 2, в = - 2 [1] получена квадратурная формула п / rmf (x) dx=2+. X sin2 mf (xk)+R- f ),         (5)

— 1                            k=1

где R - (f) = ₂ 2 n ₍ ¹ _{2 - )} , f ^{(2 - )} (n), —1 < П <  1; x k = cos 22+- (k = 1, 2,... ,n) — корни ортогонального многочлена;

P - ⁰ ’ ^{5; — 0} ’ ⁵⁾ (x) =

(2 _n )! sin ^ ^{2 -}+ ¹ arccos x

2 ² - (n!) ²

• arccosx sin 2

.

Для случая а = — 2 , в = 2 , т. е. для интеграла

¹     т+~^{f ( x )} dx                            ⁽⁶⁾

nJ у 1 — x

- 1

таких формул нет, но рекомендована подстановка [2] x = —t, после чего интеграл сво- дится к виду п у rmf(—x) dx,

- 1

который можно вычислять по формуле (5).

Далее мы решаем задачу: построить для интеграла (6) квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности.

Сперва построим ортогональные многочлены на отрезке [—1,1] с весовой функцией p(x) = \j Т — x . Этот многочлен обозначим через P-( ^{0 , 5,0 , 5)} (x), тогда для любого многочлена Q(x) степени меньше n должно быть выполнено условие ортогональности

Z Д + Хp( - ^{0 , 5;0 , 5)} (x)Q(x) dx = [(1+ x)Pf ^{0 , 5;0} ’ ⁵⁾ (x)Q(x)          =0.

1 — x                                                1 — x ²

- 1                                  - 1

Рассмотрим многочлен S(x) = (1 + x)P ^{( 0 , 5,0 , 5)} (x). Степень его равна (n + 1) и он

ортогонален на [—1, 1] с весом

' 1 — x ²

всякому многочлену Q(x) степени меньше n. Если

его разложить по многочленам Чебышева первого рода T k (x) (k = 1, 2,..., n), то в разло-

жении, ввиду указанной ортогональности, должны обратиться в нуль все коэффициенты при многочленах Tk (x) до степени n—1 включительно и разложение должно иметь форму S(x) = CnTn(x)+C- +1T-+i(x). Кроме того, так как S(x) должно нацело делиться на 1+x, при x = —1 должно быть S(—1) = C-T-(—1) + C-+1T-+1 (—1) = (—1)n(C- — C-+1) = 0.

Поэтому C n+1 = C n и

P ,( ^{— 0 , 5;0 , 5)} (x) = C -

T -+1 (x) + T - (x) x + 1

Из свойств старших коэффициентов ортогональных многочленов имеем

C

(2n)!

2 ² - (n!) ² ‘

Если положить x = cos — и воспользоваться тем, что T k (x) = cos(k arccos x) = cos k—, то для изучаемого полинома Якоби получаем

p( - 0,5;0,5)( \ _   ^{(2 n )! cos} ^^ ^—

.

n ^{( x )}     2 ^{2 n} (n!) ²    cos ²

Корни его есть

2k - 1

xb = cos ------П k      2n + 1

-

(k = 1, 2,... , n).

Используя многочлены (8), получим следующую квадратурную формулу наивысшей алгебраической степени точности [10]

1 1 ZT+x

-   \ i----f(x) dx = nJ V 1 — x

- 1

2n + 1

n

X ^cos 2 (^n+ij 7⁽ x ^{k ) +} R ')-

где

R n (f)=

^ff ⁽² "+). —1 <«< 1. 2 ^{2 n} (2n)!

Введем обозначения

S n (x) =

sin 2n+ —

■ о sin 2

2n+1

, Cn(x) = ----2—, cos 2

где — = arccos x. Ниже приводятся конкретные многочлены

C o (x) = 1;

C ₁ (x) = 2x — 1;

C 2 (x) = 4x ² — 2x — 1;

C a (x) = 8x ³ — 4x ² — 4x + 1;

C ₄ (x) = 16x 4 — 8x ² — 12x ² + 4x + 1;

С з (х) = 32x 5 — 16x 4 — 32x 3 + 12x ² + 6x — 1;

S o (x) = 1;

S 1 (x) = 2x + 1;

S ₂ (x) = 4x ² + 2x — 1;

S 3 (x) = 8x ³ + 4x ² — 4x — 1;

S ₄ (x) = 16x 4 + 8x ² — 12x ² — 4x + 1;

S 5 (x) = 32x 5 + 16x 4 — 32x 3 — 12x ² + 6x + 1;

обращения:

где T _n (x) = cos(narccos x), U _n (x) = шева I-го и II-го рода [5].

sin((n+1) arccos x) ^√ 1 - x ²

— ортогональные многочлены Чебы-

Нами доказана следующая

Теорема. Для многочленов S n (x) и C n (x) справедливы следующие формулы обра-

щения

1 Г / 1+7 C n (t) nJ у 1 — tt — x

- 1

dt = S n (x),

1 / JE! ++ dt nJ V 1 + 11 — x

- 1

—C n (x) (—1 < x < 1, n = 0,1, 2,...).

C Применим упомянутое выше представление

₍      T n (x)+T n+i (x)

n lx       1+ x получаем

1     1

1 J .     ' 1 Tn(t)+ Tn+1(t) dt = 1 /    1 Tn(t)+ Tn+1(t) dt nJ у 1 — tt — x 1 + t          nJ ^1 — t2

-1

Отсюда, используя формулы (11), имеем

1 г / 1+7C n (t) nJ V 1 — t t — x

- 1

dt = U n - 1 (x) + U n (x),

из которой после некоторого упрощения с учетом x = cos 6, получаем

1 Г /1 + t Cn(t) dt   sin nd + sin(n + 1)d nJ V 1 — tt — x         V1 — cos2 d

- 1

sin ( ² n+ ¹ arccos x

sin (2 arccos x)

S n ( x ) .

Аналогично из представления

S n ( x )

T n (x) — T n+1 (x) 1— x

c учетом (11) получаем

1 / JE Sn(x) _dt nJ V 1 + t t — x

- 1

¹ /         ^{Tn(t) — Tn +1 (t)} dt = U n - 1 (x) — U n (x)

nJ V1 — t ²      t — x

- 1

sin nd — sin(n + 1)d sin d

—

cos ^{2 n}+ ¹ d cos 2

—C n (x). ▻

Далее, для сингулярных интегралов с весовыми функциями p(x) =

V1 - x и p ^{( x )} =

1+x

1 — x

построены следующие квадратурные формулы:

1 / /Г+7^tt dt =     X (—l)k Jd—xi nJ V 1 — tt — x     2n + 1       x — xk

_— 1                              k=1

x cos

2k — 1

π

2(2n + 1)

[ C n (x) + ^ k (x)] ^(x k ) + R n (+; x),

где

P k (x) = X A . C^ — A k C; (x k ), 1     x    x ст 2k — 1      „       4      2 2k — 1 xk = cos------ n,  Ak =------cos —-------n; k        2n + 1 , k    2n + 1     2(2n + 1) ’ 1 г /Г—7 ^(0 dt 2 у <- 1) k У 1 — x k nJ V1+ tt — x     2n +1         x — x k                    /-..x - I                              k= r                                       (14) X sin 2n + 1 [   S n (x) + P k (x)] ^(x k ) + R n (^; x),

где

Pk (x) = XX A ct -S nM — A k S n (x k ), x x σ 2kn            4     2 kn xk = cos------, Ak =------sin ------. k       2n + 1, k    2n + 1     2n + 1

Дадим оценку погрешности полученных квадратурных формул.

Теорема. Если плотность ^(t) имеет производные до r-го порядка включительно (г > 1) и ^ ^{( r )} (t) удовлетворяет условию Гёльдера H (а) (0 < а 6 1) , то для квадратурных формул (13) и (14) справедлива оценка

|S (^x) — S n (^,x)| 6 O

n r+^{a -} l

равномерная для всех —1 6 x 6 1 , где S n (^, x) — соответствующая квадратурная сумма.

C Пусть ^(t) G H r (а). Тогда

y ^{( t )} = ^ ^{( x} k ) ⁺ (t--— ^ 0 ⁽ x k ) ⁺ ••• ⁺ (t— xkL ^ ⁽ r ^{- 1) (} x k ) 1!                         (r — 1)!

t

+ ^(t — X ^{k Y} <Л) (x k ) +        , (\t — u) ^{r -}W — y ^{( r )} (x k ) ) du.

r!                   (r — 1)!

x k

Отсюда для остатка квадратурных формул (13) и (14) получаем

1 ⁿ

R(^x) = n^

k=0

X k+1                     t

(r—ir/ft — xk                    xk

— y ^{( r )} (x k )) dudt,

где xo = —1, xn+i = 1 и |^(r)(u) — ^(r)(xk)| 6 A|u — Xk|a. А это или

дает оценку

№,^{x )|} 6 O^n r+O - i) . ▻

Формулы (5), (9), (13) и (14) могут быть успешно применены к численному решению задач плоской теории упругости. Например, задача о трещинах сводится к интегральному уравнению вида [6]:

П /

- 1

^(t) t — x

„ . 1 dt + —

π

j К (AMt)

dt = f (x),

^{x E ( —} 1, l)i

где неизвестная функция ^(t) ищется в виде или

=vT—I

У 0 ^{( t )} ,

^ ^{( t )} = vO

^ 0 ^{( t )} ,

v ^{( t )} =

2. t' ^{( t )} '

^(t) = V 1 — t ² ^ o (t).

В первом случае сингулярное интегральное уравнения (15) примет вид

1 Г / 1+ 1 y o (t) П J V 1 — tt — x

- 1

dt + П j ^ 1 —t K (x,t) ^ o (t) dt = f (x),

- 1

x E ( —1,1).

Используя квадратурные формулы (9) и (13) для (16), получим дискретное уравнение

1 n (—1)^kA /1 — x k /2k _— 1 X

2- ■ . g x _ x k ^COS _LL ... ⁿ) C ⁺ «' ■(x k )

4 A о / 2k — 1  \

' 2 .   k=1 cos ( 2(2n +1) ⁿ)K ⁽ x'x ‘ ¹ ^x ⁶ ) = ^{f ( x )} .

Придавая параметру x последовательно значения x i ,x2,..., x n , x k = cos 2n ,1 П получим систему линейных алгебраических уравнений порядка n х n относительно неизвестных ^ 0 (x i ), ^ o (x 2 ),..., У с (x n ).

Кроме решения уравнения (15) обычно требуется еще вычислить компоненты напряжений и смещений. Они выражаются с помощью интегралов типа Коши

Ф ^{( z )} =-^ [p^{( t )} ^(t! dt, z ^E [ ^—1 ; ^1] .

2ni J     t — z

- 1

Следовательно нужно вычислить интегралы типа Коши с весовыми функциями

p(t) = V1+t, p(t) = i/t5 ■ Для указанных интегралов от ортогональных многочленов

S n (x) и C n (x) получены следующие формулы [9]

i(z — Vz2 — 1)n z vz2—!  ( +

—

V z² — 1),

1 / Jin Sn dt ni J V 1 + 11 — z

- 1

i(z — V z^ — 1) ⁿ

Vz ² — 1

(1 + z + pz ² — 1),

где под Vz ² — 1 подразумевается фиксированная ветвь, однозначная в плоскости с разрезом вдоль отрезка [—1,1] действительной оси и принимающая на (1, го) действительные значения.