О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями
Автор: Хубежты Шалва Соломонович, Плиева Любовь Юрьевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.13, 2011 года.
Бесплатный доступ
Рассматриваются сингулярные интегралы с весовыми функциями. Строятся квадратурные формулы для сингулярных интегралов. Доказываются новые формулы обращения, аналогичные формулам для сингулярных интегралов с Чебышевскими многочленами. Указываются применения построенных квадратурных формул к численному решению сингулярных интегральных уравнений.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318348
IDR: 14318348
Текст научной статьи О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями
Рассмотрим сингулярный интеграл с весовой функцией
S(у, ж) = 1 [p(t) ^t)- dt, x G (-1,1), (1)
π t-x
- 1
где ^(t) — плотность, удовлетворяющая условию Гельдера [4], а p(t) = (1 — t) а (1 + t) e (а, в > —1) — весовая функция. Как известно (см. [1, 2, 5]), многочлены Якоби
nn
Р Па,в ) = ^Л(1 — х) - а (1 + х) - в (1 — x) a + n (1 + x) e + n (2)
2 п П! dX n L J
являются ортогональными с весом p(x) = (1 — х) а (1 + х) в на отрезке [—1,1]. Кроме сингулярного интеграла (1) рассмотрим несобственный интеграл
I(f ) = П У p(x)f (х) dx.
- 1
Для таких интегралов построены квадратурные формулы (см. [1, 2]) наивысшей алгебраической степени точности вида
П j p(x)f (х)
- 1
dx = XX A k f (x k )+ R n (f), k=1
где в роли узлов X k (k = 1, 2,..., n) используются нули многочлена Якоби, коэффициенты A k (k = 1, 2, . . . , n) вычисляются по формуле
д 1 Ь РПа'в (х) я
Ak = _ / P(x)-----------",—^---- dx.
k П jj^ \x — X k )p 0 <a,e ) (X k )
В классических работах [3, 4] для p(x) = (1—x)a(1+x)e рассматриваются случаи (а = — 2, в = 2), (а = — 2, в = — 2), (а = 0, в = 0), (а = 2, в = — 2)• Они встречаются чаще всего на практике. Для последнего случая а = 2, в = - 2 [1] получена квадратурная формула п / rmf (x) dx=2+. X sin2 mf (xk)+R- f ), (5)
— 1 k=1
где R - (f) = 2 2 n ( 1 2 - ) , f (2 - ) (n), —1 < П < 1; x k = cos 22+- (k = 1, 2,... ,n) — корни ортогонального многочлена;
P - 0 ’ 5; — 0 ’ 5) (x) =
(2 n )! sin ^ 2 -+ 1 arccos x
2 2 - (n!) 2
• arccosx sin 2
.
Для случая а = — 2 , в = 2 , т. е. для интеграла
1 т+~f ( x ) dx (6)
nJ у 1 — x
- 1
таких формул нет, но рекомендована подстановка [2] x = —t, после чего интеграл сво- дится к виду п у rmf(—x) dx,
- 1
который можно вычислять по формуле (5).
Далее мы решаем задачу: построить для интеграла (6) квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности.
Сперва построим ортогональные многочлены на отрезке [—1,1] с весовой функцией p(x) = \j Т — x . Этот многочлен обозначим через P-( 0 , 5,0 , 5) (x), тогда для любого многочлена Q(x) степени меньше n должно быть выполнено условие ортогональности
Z Д + Хp( - 0 , 5;0 , 5) (x)Q(x) dx = [(1+ x)Pf 0 , 5;0 ’ 5) (x)Q(x) =0.
1 — x 1 — x 2
- 1 - 1
Рассмотрим многочлен S(x) = (1 + x)P ( 0 , 5,0 , 5) (x). Степень его равна (n + 1) и он
ортогонален на [—1, 1] с весом
' 1 — x 2
всякому многочлену Q(x) степени меньше n. Если
его разложить по многочленам Чебышева первого рода T k (x) (k = 1, 2,..., n), то в разло-
жении, ввиду указанной ортогональности, должны обратиться в нуль все коэффициенты при многочленах Tk (x) до степени n—1 включительно и разложение должно иметь форму S(x) = CnTn(x)+C- +1T-+i(x). Кроме того, так как S(x) должно нацело делиться на 1+x, при x = —1 должно быть S(—1) = C-T-(—1) + C-+1T-+1 (—1) = (—1)n(C- — C-+1) = 0.
Поэтому C n+1 = C n и
P ,( — 0 , 5;0 , 5) (x) = C -
T -+1 (x) + T - (x) x + 1
Из свойств старших коэффициентов ортогональных многочленов имеем
C
(2n)!
2 2 - (n!) 2 ‘
Если положить x = cos — и воспользоваться тем, что T k (x) = cos(k arccos x) = cos k—, то для изучаемого полинома Якоби получаем
p( - 0,5;0,5)( \ _ (2 n )! cos ^^ —
.
n ( x ) 2 2 n (n!) 2 cos 2
Корни его есть
2k - 1
xb = cos ------П k 2n + 1
-
(k = 1, 2,... , n).
Используя многочлены (8), получим следующую квадратурную формулу наивысшей алгебраической степени точности [10]
1 1 ZT+x
- \ i----f(x) dx = nJ V 1 — x
- 1
2n + 1
n
X cos 2 (^n+ij 7( x k ) + R ')-
где
R n (f)=
^ff (2 "+). —1 <«< 1. 2 2 n (2n)!
Введем обозначения
S n (x) =
sin 2n+ —
■ о sin 2
2n+1
, Cn(x) = ----2—, cos 2
где — = arccos x. Ниже приводятся конкретные многочлены
C o (x) = 1;
C 1 (x) = 2x — 1;
C 2 (x) = 4x 2 — 2x — 1;
C a (x) = 8x 3 — 4x 2 — 4x + 1;
C 4 (x) = 16x 4 — 8x 2 — 12x 2 + 4x + 1;
С з (х) = 32x 5 — 16x 4 — 32x 3 + 12x 2 + 6x — 1;
S o (x) = 1;
S 1 (x) = 2x + 1;
S 2 (x) = 4x 2 + 2x — 1;
S 3 (x) = 8x 3 + 4x 2 — 4x — 1;
S 4 (x) = 16x 4 + 8x 2 — 12x 2 — 4x + 1;
S 5 (x) = 32x 5 + 16x 4 — 32x 3 — 12x 2 + 6x + 1;
обращения:
где T n (x) = cos(narccos x), U n (x) = шева I-го и II-го рода [5].
sin((n+1) arccos x) √ 1 - x 2
— ортогональные многочлены Чебы-
Нами доказана следующая
Теорема. Для многочленов S n (x) и C n (x) справедливы следующие формулы обра-
щения
1 Г / 1+7 C n (t) nJ у 1 — tt — x
- 1
dt = S n (x),
1 / JE! ++ dt nJ V 1 + 11 — x
- 1
—C n (x) (—1 < x < 1, n = 0,1, 2,...).
C Применим упомянутое выше представление
( T n (x)+T n+i (x)
n lx 1+ x получаем
1 1
1 J . ' 1 Tn(t)+ Tn+1(t) dt = 1 / 1 Tn(t)+ Tn+1(t) dt nJ у 1 — tt — x 1 + t nJ ^1 — t2
-1
Отсюда, используя формулы (11), имеем
1 г / 1+7C n (t) nJ V 1 — t t — x
- 1
dt = U n - 1 (x) + U n (x),
из которой после некоторого упрощения с учетом x = cos 6, получаем
1 Г /1 + t Cn(t) dt sin nd + sin(n + 1)d nJ V 1 — tt — x V1 — cos2 d
- 1
sin ( 2 n+ 1 arccos x
sin (2 arccos x)
S n ( x ) .
Аналогично из представления
S n ( x )
T n (x) — T n+1 (x) 1— x
c учетом (11) получаем
1 / JE Sn(x) dt nJ V 1 + t t — x
- 1
1 / Tn(t) — Tn +1 (t) dt = U n - 1 (x) — U n (x)
nJ V1 — t 2 t — x
- 1
sin nd — sin(n + 1)d sin d
—
cos 2 n+ 1 d cos 2
—C n (x). ▻
Далее, для сингулярных интегралов с весовыми функциями p(x) =
V1 - x и p ( x ) =
1+x
1 — x
построены следующие квадратурные формулы:
1 / /Г+7^tt dt = X (—l)k Jd—xi nJ V 1 — tt — x 2n + 1 x — xk
— 1 k=1
x cos
2k — 1
π
2(2n + 1)
[ C n (x) + ^ k (x)] ^(x k ) + R n (+; x),
где |
P k (x) = X A . C^ — A k C; (x k ),
2k — 1 „ 4 2 2k — 1
k 2n + 1 , k 2n + 1 2(2n + 1) ’ 1 г /Г—7 ^(0 dt 2 у <- 1) k У 1 — x k nJ V1+ tt — x 2n +1 x — x k /-..x - I k= r (14) X sin 2n + 1 [ S n (x) + P k (x)] ^(x k ) + R n (^; x), |
где |
Pk (x) = XX A ct -S nM — A k S n (x k ), x x σ 2kn 4 2 kn xk = cos------, Ak =------sin ------. k 2n + 1, k 2n + 1 2n + 1 |
Дадим оценку погрешности полученных квадратурных формул.
Теорема. Если плотность ^(t) имеет производные до r-го порядка включительно (г > 1) и ^ ( r ) (t) удовлетворяет условию Гёльдера H (а) (0 < а 6 1) , то для квадратурных формул (13) и (14) справедлива оценка
|S (^x) — S n (^,x)| 6 O
n r+a - l
равномерная для всех —1 6 x 6 1 , где S n (^, x) — соответствующая квадратурная сумма.
C Пусть ^(t) G H r (а). Тогда
y ( t ) = ^ ( x k ) + (t--— ^ 0 ( x k ) + ••• + (t— xkL ^ ( r - 1) ( x k ) 1! (r — 1)!
t
+ (t — X k Y <Л) (x k ) + , (\t — u) r -W — y ( r ) (x k ) ) du.
r! (r — 1)!
x k
Отсюда для остатка квадратурных формул (13) и (14) получаем
1 n
R(^x) = n^
k=0
X k+1 t
(r—ir/ft — xk xk
— y ( r ) (x k )) dudt,
где xo = —1, xn+i = 1 и |^(r)(u) — ^(r)(xk)| 6 A|u — Xk|a. А это или
дает оценку
№,x )| 6 O^n r+O - i) . ▻
Формулы (5), (9), (13) и (14) могут быть успешно применены к численному решению задач плоской теории упругости. Например, задача о трещинах сводится к интегральному уравнению вида [6]:
П /
- 1
^(t) t — x
„ . 1 dt + —
π
j К (AMt)
dt = f (x),
x E ( — 1, l)i
где неизвестная функция ^(t) ищется в виде или
=vT—I
У 0 ( t ) ,
^ ( t ) = vO
^ 0 ( t ) ,
v ( t ) =
2. t' ( t ) '
^(t) = V 1 — t 2 ^ o (t).
В первом случае сингулярное интегральное уравнения (15) примет вид
1 Г / 1+ 1 y o (t) П J V 1 — tt — x
- 1
dt + П j ^ 1 —t K (x,t) ^ o (t) dt = f (x),
- 1
x E ( —1,1).
Используя квадратурные формулы (9) и (13) для (16), получим дискретное уравнение
1 n (—1)kA /1 — x k /2k — 1 X
2- ■ . g x _ x k COS LL ... n) C + «' ■(x k )
4 A о / 2k — 1 \
' 2 . k=1 cos ( 2(2n +1) n)K ( x'x ‘ 1 ^x 6 ) = f ( x ) .
Придавая параметру x последовательно значения x i ,x2,..., x n , x k = cos 2n ,1 П получим систему линейных алгебраических уравнений порядка n х n относительно неизвестных ^ 0 (x i ), ^ o (x 2 ),..., У с (x n ).
Кроме решения уравнения (15) обычно требуется еще вычислить компоненты напряжений и смещений. Они выражаются с помощью интегралов типа Коши
Ф ( z ) =-^ [p( t ) ^(t! dt, z E [ —1 ; 1] .
2ni J t — z
- 1
Следовательно нужно вычислить интегралы типа Коши с весовыми функциями
p(t) = V1+t, p(t) = i/t5 ■ Для указанных интегралов от ортогональных многочленов
S n (x) и C n (x) получены следующие формулы [9]
i(z — Vz2 — 1)n z vz2—! ( +
—
V z2 — 1),
1 / Jin Sn dt ni J V 1 + 11 — z
- 1
i(z — V z^ — 1) n
Vz 2 — 1
(1 + z + pz 2 — 1),
где под Vz 2 — 1 подразумевается фиксированная ветвь, однозначная в плоскости с разрезом вдоль отрезка [—1,1] действительной оси и принимающая на (1, го) действительные значения.
Список литературы О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с весовыми функциями
- Крылов В. И. Приближенные вычисления интегралов.-М.: Наука, 1967.-500 с.
- Крылов В. И., Шульгин Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию.-М.: Наука, 1966.-370 с.
- Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений.-Киев: Наукова думка, 1968.-288 с.
- Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент.-М.: ТОО Янус, 1995.-520 с.
- Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева.-М.: Наука, 1983.-384 с.
- Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацыщин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках.-Киев: Наукова думка, 1976.-444 с.
- Ахиезер Н. И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов//Изв. АН СССР. Математика.-1945.-Т. 9.-C. 275-290.
- Сеге Г. Ортогональные многочлены.-М.: Физматгиз, 1962.-500 c.
- Пыхтеев Г. Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши.-Новосибирск: Наука, 1980.-120 с.
- Плиева Л. Ю., Бесаева З. В. Об одной квадратурной формуле и некоторе ее применение//Тр. междунар. симпозиума (МДОЗМФ-2009).-Харьков-Херсон, 2009.-С. 141-144.