О линейных прообразах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов

Классическая теорема Лебега [2] утверждает, что неубывающая функция у = /(ж) на отрезке [а, Ь\ почти всюду дифференцируема. Это же справедливо и для любых монотонных функций. В многомерном случае понятие монотонности отображения является неоднозначным. Например, отображение / : D ^ Rn называется монотонным по Лебегу, если osc{/, D’} < osc{/, dD’} для всякой подобласти D‘ С D. Здесь osc{/,D‘} = suP 1/(ж) - /Ы|.

x,y ^ D'

В работе В.М. Миклюкова [1] было доказано, что монотонное по Лебегу отображение, принадлежащее весовому пространству Соболева, почти всюду имеет полный дифференциал при определенных условиях на весовую функцию. С другой стороны, понятию монотонности можно придать и другую форму.

Рассмотрим сначала одномерный случай. Будем говорить, что невырожденный отрезок [Ро, Р1 ] числовой прямой имеет положительную ориентацию, если Ро < Р1, и отрицательную ориентацию, если Ро > Р1. Тогда функция у = /(ж), заданная на отрезке [а, 6], является неубывающей, если /(ж) сохраняет ориентацию каждого отрезка [Ро,Р1] С [а, 6]. Пусть в Rn,n > 1 заданы точки Ро, Р1,..., Рп. Выпуклую оболочку этих точек назовем симплексом S = S(Р0,...,Рп). Симплекс называется невырожденным, если векторы Р1 — Ро, Р2 — Ро, ...,Рп — Ро линейно независимы или, что тоже самое, det(p1 — Ро, Р2 — pо, ..., Рп — Ро) = °.

Здесь det^, ( ₂ ,..., ( _п ) обозначает определитель матрицы, столбцами которой являются векторы ( 1 , < 2 , ...,( „ € Rⁿ.

Будем говорить, что невырожденный симплекс S ( Р о , Р ₁ ,..., Р _п ) имеет положительную (отрицательную) ориентацию, если det(Р ₁ — Р _о , Р 2 — Р _о ,..., Р _п — Р _о ) > 0 ( det(^p ₁ — — Р _о ,Р ₂ — Р о ,...,Р _п — Р _о ) < 0 ). Пусть D С Rⁿ — область. Обозначим через S ( D ) совокупность всех симплексов с вершинами из области D .

Зададимся вопросом определения дифференциальных свойств непрерывных отображений / : D >  R" , которые сохраняют ориентацию симплексов из некоторого, заранее данного подмножества множества S (D) . Обозначим множество непрерывных отображений / : D ^ R ⁿ , сохраняющих ориентацию симплексов S € В С S (D) через С в (D) . Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если отображение / € C s ( _D ) ( D ) , то / — аффинное преобразование.

Доказательство. Таким образом, нам нужно доказать, что если непрерывное отображение сохраняет ориентацию произвольного симплекса с вершинами из D, то оно представляет собой аффинное преобразование. Предположим противное. В таком случае найдется некоторая гиперплоскость П С Rn, прообраз /-1(П) которой не лежит ни в какой гиперплоскости. Тогда в прообразе можно найти невырожденный симплекс S = S(Ро,...Рп), Рг € /-1(П), i = 0,1,...,п. Заметим, что симплекс S(/(Ро),/(Р1),..., /(Рп)) является вырожденным. Поскольку симлекс S(Р0, Р1, ...,Рп) невырожденный, то найдется число 5 > 0 такое, что |Рг — Рj| > 5 для всех i = j,i,j = 0,...,п. Пусть ( вектор единичной нормали к П и h > 0 — произвольное число. Предположим, что (п — 1)-мерный симплекс S(/(Ро),...,/(Рп-1)) является невырожденным. Рассмотрим два симплекса S(/(Ро),...,/(Рп) ± h(). Эти симплексы невырождены, причем имеют противоположные ориентации det(/(Р1) — /(Ро),..., /Р — /(Ро), /(Р„) — /(Ро) ± h() =

= det(/(Р 1 ) — /(Р о ),..., /(Р п - 1 ) — /(Р о ), /(Р п ) — /(Р о )) ±

± h • det((/(Р 1 ) — /(Р о ),..., /(Р п - 1 ) — /(Р о ),()) =

= ± h • det((/(Р 1 ) — /(Р о ),..., /(Р п - 1 ) — /(Р о ),<)).

В силу непрерывности / в точке Рп можно найти такое положительное h > 0, что прообразы Р± точек /(Рп) ± h( лежат в 5-окрестности точки Рп. В силу выбора 5 мы можем сделать вывод о том, что ориентации симплексов S(Ро, ■■■Рп-1, Р,±) совпадают. А поскольку образы этих симплексов имеют противоположную ориентацию, то получаем противоречие с предположением / G Cg(D)(D). Если симплекс S(/(Ро),...,/(Рп-1) окажется вырожденным, то в предположении невырожденности (п — 2)-мерного симплекса S(/(Ро),...,/(Рп-2)) будем еще сдвигать точку /(Рп-1) в плоскости П вдоль нормали к симплексу S(/(Ро), •••, /(Рп-2)). Из похожих соображений найдем два симплекса противоположной ориентации, имеющих в прообразе симплексы одинаковой ориентации, что опять будет противоречить условию / G Cg(D)(D). Поступая по индукции, мы придем к случаю, когда /(Ро) = /(Р1) = ... = /(Рп).

Пусть e ₁ ,...e _n — ортонормированный базис в Rⁿ и h > 0 . Рассмотрим два симплекса с вершинами в точках S (/(Р _о ) + he ₁ ,...,/ (Р _о ) + he _n-1 ,/ (Р _о ) ± he _n ). Ясно, что их ориентации противоположны. В силу непрерывности / в точке Р _о можно подобрать такое h > 0 , что прообраз вершины /(Р _о ) ± he , лежит в 5 -окрестности точки Р , . В этом случае, как и выше, мы можем сделать вывод, что симплексы с вершинами, являющимися прообразами вершин /(Р _о ) + he ₁ ,..., / (Р _о ) + he _n-1 , / (Р _о ) ± he _n , имеют одинаковую ориентацию. Получим противоречие с условием / G C g( _D ) ( D ). Значит прообраз всякой гиперплоскости лежит в некоторой гиперплоскости. Отсюда следует аффинность отображения / . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть некоторое подмножество симплексов Н с S (D) открыто и / G G С ( D ) . Рассмотрим некоторую гиперплоскость L с Rⁿ. Тогда не существует симплекса S (Р _о , • •,P _n ) G Н такого, что Р , G / ^-1 (L) для г = 0,1, ...,п.

Доказательство. Предположим противное, то есть предположим, что найдется S (Р о ,.., Р „ ) G Н такой, что Р , G / ^-1 (L) г = 0,1, ...,п .

Пусть Р ' = /(Р , ) . Тогда S(P 0 , ...,Р „ ) — вырожденный симплекс. Для всех е >  0 , не ограничивая общности, будем считать, что симплексы

S± = S(Ро,..., Р^, Р^ ± еС), где С — нормаль к L невырождены. Ясно, что ориентации этих симплексов противоположны. Положим

М ± = U { х е / ^-1 ( Р’„ ± еС) } .

1 > е > о

Множества М ± замкнуты, причем Р _п G М ± .

Рассмотрим окрестность V ( Р _п ) точки Р _п , такую, что У Р G V ( Р _п ) симплекс S ( Ро,..., Р _п-1 , Р ) имеет ту же ориентацию, что и симплекс S ( Ро,..., Р _п ). Поскольку множество Н открыто, то найдется окрестность U ( S ( Ро,..., Р _п )) С Н .В частности, можно найти такую окрестность V ' (Р _п ) С V(Р _п ) , что У Р G V ' (Р _п ) S (Р_о, •••,P _n- 1 ,P ) G U ^( Р_о, •••,P „ )) .

Пусть

Р ⁺ G М ⁺ П { V ' (Р „ ) \ Р „ } ,

Р ^- G M ^- П { V ‘ (Р „ ) \ Р „ } .

Таким образом, симплексы S ( P ₀ ,..., Р _п-1 , Р + ) и S ( Р о ,..., Р _п-1 ,Р - ) принадлежат Н и имеют одинаковую ориентацию. Так как Р ± G М ± , то З г ₊ ,г - > 0 такие, что /^{(Р + )} = р ^ + _{е +} • £ , /^{(Р - )} = ^Р ^ — е - • £ . Но симплексы ^S (^, ...^,Р ^ — 1 ^,Р ^ + в ₊ • () и S ( Р ‘ ,..., Р П - 1 , Р п — е - • £) имеют разные ориентации. Таким образом, мы пришли к противоречию с условием теоремы о том, что / G С ( Н ) . Теорема доказана.

Перейдем к рассмотрению случая п = 2 . Рассмотрим два числа ^/2 < а < Р < ^ . Через S _a ,p ( D ) С S ( D ) обозначим множество треугольников с тупым углом 7 таким, что а < 7 < Р .

Теорема 3. Пусть отображение / G С д _аР ( d ) ( D ) , где D область в К². Тогда, если прообраз прямой L С К ² нигде не плотен, то он представим в виде объединения счетного или конечного числа локально-липшицевых кривых.

Доказательство. Пусть L — прямая и ее прообраз / ^-1 (L) нигде не плотен. Из теоремы 2 видно, что на прообразе нельзя найти тройку точек Р₀,Р ₁ ,Р ₂ , образующую треугольник из S _a ,p (D) . Из этого следует, что контингенция множества / ^-1 (L) в любой своей точке не может содержать два луча с углом 7 между ними, для которого выполняется неравенство % — Р < 7 < ^ - а . Значит в каждой точке контингенция множества / ^-1 ( L ) не есть вся плоскость. Тогда, согласно теореме 3.6 из [3], получаем требуемое утверждение непосредственно.

Результаты данной работы анонсированы в [4].