О локально конечных $ \ pi$-разделимых группах
Автор: Журтов Арчил Хазешович, Селяева Зулиха Борисовна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.17, 2015 года.
Бесплатный доступ
Доказана ограниченность $\pi$-длины локально конечной $\pi$-разделимой группы $G$ натуральным числом $m$, при условии ограниченности $\pi$-длины любой конечной подгруппы $G$ числом $m$.
Локально-конечная группа, $\pi$-разделимые группы, $\pi$-длина группы
Короткий адрес: https://sciup.org/14318496
IDR: 14318496
Текст научной статьи О локально конечных $ \ pi$-разделимых группах
Пусть п — некоторое множество простых чисел, п0 — его дополнение во множестве всех простых чисел. Группа называется п- группой, если она периодическая и порядок каждого ее элемента делится только на простые числа из п. Группа называется п-разделимой, если она обладает конечным нормальным рядом, каждый фактор которого является п-группой или п0-группой. Такой ряд называется п-рядом. а. п-длипой п-разделимой группы называется наименьшее из возможных чисел нетривиальных п-факторов во всех рядах этой группы.
Для конечных групп понятие п-разделимой группы ввел С. А. Чунихин [3] вместе с определениями п-отделимой и п-разрешимой группой. Согласно Чунихину, конечная группа G называется п-разделимой, если любой ее главный фактор является либо п-группой, либо п0-группой. Он а называется п-отделимой, если порядок любого ее главного фактора делится не более, чем на одно простое число из п; наконец, G называется п-разрешимой, если она одновременно является п-разрешимой и п-отделимой группой. Ее главный фактор является либо п0-группой, либо р-группой для некоторого р G п. По теореме Томпсона — Фейта [4] конечная п-разделимая группа G является п- или п0-разрешимой, более того, если она не является п- или п0-группой, то она р-разрешима для некоторого простого числа р, делящего порядок G, т. е. любой ее главный фактор является р- или р0-группой. Конечные п-разделимые группы интенсивно изучались на протяжении всех лет развития теории конечных групп, начиная с классических работ Чунихина [3] и Ф. Холла. [5] (см. [1], обзоры [2, 6, 7] и литературу в них).
Локально конечные п-разделимые группы, которым посвящена настоящая работа, до настоящего времени практически не изучались. Основным нашим результатом является следующая
Теорема. Пусть G — локально конечная п-разлелнмая группа mm — натуральное число. Ели п-лыша любой конечной полгруппы из G нс прсьосколит m. то п-ллииа G не прсьосколит m.
1. Основные обозначения и предварительные результаты
Для периодической группы G и множества т простых чисел обозначим через On (G) наибольшую нормальную т-подгруппу группы G, т. е. произведение всех ее нормальных т-подгрупп. Далее, пусть On,no (G) — полный прообраз в G группы Ono (G/On (G)), Оп,по,п(G) — полный прообраз в G группы On (G/On,no (G)) и т. д.
Ряд
1 = Po(G) 6 No(G) 6 P (G) 6 N1 (G) 6 • • • 6 Pn(G) 6 Nn(G) 6 ... (1)
называется верхним т-рядом группы G, если
No(G) = On (G), P (G) = On,n0 (G), N1(G) = On,n0,n(G),
-
а. для i > 1 Pi(G) — полный прообраз в G группы On(G/Ni-1(G)). Ni (G) — полный прообраз в G ГрУППЫ On0 (G/Pi (G)).
Лсмма 1. (а) Если 1 = Po 6 No 6 P1 6 N1 6 • • • 6 Pn 6 Nn 6 ... - ряд нормальных подгрупп группы G. в котором для любого i Ni/Pi - т0-группа. Pi+1/Ni - т-группа. то Pi6 PG „ ,,
-
(о) Если группа G т-разделпма. то ее верхний т-рьin (1) доход пт до G. и если Nm-1(G) = Pm(G) 6 Nm (G) = G, то т-длина G равна m.
-
(в) Если H - подгруппа группы G. то H П Pi(G) 6 Pi(H )• H П Ni(G) 6 Ni(H )• лля всех i > 0.
И Если H - полгруппа пли фактор-группа т-равлелпной группы G. то H т-разде-.иша п ее т-лыша нс превосходит т-длииы G.
C (а) Иидажния по i
По определению Po = Po(G), No 6 No(G)- Пусть для некоторого i Pi 6 Pi(G),
No 6 No(G) Тогда Ni 6 Ni(G) П Pi+1(G). откуда
(Ni(G)Pi+1 )/Ni(G) ‘ Pi+1/(Ni(G) П Pi+1) ‘ (Pi+1/Ni)/((Ni(G) П Pi+1)/N).
Таким образом. (Ni(G)Pi+1 /Ni (G)) изоморфна <1 >актор-группе т-группы Pi+JNi ii. следовательно, является т-группой.
Поскольку (Ni(G)Pi+1 )/Ni(G) E G/Ni (G). то (Ni(G)Pi+1 )/N(G) 6 On(G/Ni(G)). t. e. Ni(G)Pi+1 6 Pi+1, otk уда Pi+1 6 Pi+1(G). Аналогично доказывается, что Ni+1 6 Ni+1 (G)
-
(б) Пусть G — т-разделимая группа. Это означает, что в ней существует ряд нормальных подгрупп 1 = Po 6 No 6 P1 6 N1 6 • • • 6 Pm 6 Nm = G, для которых Ni/Pi — т0-группа. a. Pi+1/N1 — т-группа при всех i > 0. Ввпбсрсм этот ряд так. htoobi m было наименьшим из возможных.
Покажем, что число m равно т-длине G.
По пункту (a) G = Nm 6 Nm(G). т. о. Nm(G) = G. Если при этом Nm-1(G) = Pm(G). то G/Pm-1 яв.тяотся т0-группо11. т. о. Nm-1(G) = G ii ряд Po(G) 6 No(G) < ••• <
Nm(G) = G имеет т-длину равную m.
-
(в) Индукция по i. Понятно, что HПNo(G) — норма.тьиая тДтодгруппа в H. поэтому H П No(G) 6 No(H). ii лемма справедлива для i = 0.
Пусть для некоторого i H П Pi(G) 6 Pi (H)- H П Ni(G) 6 Ni(H). Тогда (Pi+1(G) П H)/Ni(H) — норм;етьиая в H/Ni(H) подгруппа. Для любого x G Pi+1 (G) П H. no onpe-делешно Pi+1 (G). суше*•твует т-ниело n. для которого xn G Ni(G) П H 6 Ni(H ). поэтому (Pi+1(G) П H)/Ni(H) яв.лястоя т-подгруппой. что означает (Pi+1(G) П H)/Ni(H) 6
On(H/Ni(H )), т. е. Pi+1 (G) П H 6 Pi+1(H ). Теперь аналогично доказывается, что Ni+1(G) П H 6 Ni+i(H ). Это заканчивает доказательство пункта (в).
-
(г) Если H — подгруппа G. то по (в) H = H П Nm(G) 6 Nm(H ). г,де m — п-длина G. поэтому Nm(H ) = H. т. е. H п-разлелима. п-длииы. не превосходящей m.
Пуств H = G/K. Т(>гда 1 = K/K 6 N1(G)K/K 6 Р1 (G)K/K 6 ••• 6 G/K - п-рял H. п-длина которого не превосходит п-длины G. Поэтому H п-разделима. и ее п-ллтша. не превосходит п-ллтшы G. Пункт (г) доказан. B
Лемма 2 (теорема Цассенхауза [8, теоремы Т.18.1 и Т.18.2] с учетом [4]). Пусть N — нормальная подгруппа конечной группы G и (| N | , | G : N |) = 1. Тогда в G существует дополнение к N и все дополнения к N сопряжены в G.
Группа. G называется примаркой. если существует такое простое число р. что порядок каждого элемента группы G — степень р. Элемент g группы называется примарным, если его порядок равен степени некоторого простого числа.
Следующие простые замечания хорошо известны.
Лемма 3. (а) (замечание Фраттини). Если H - конечная нормальная подгруппа группы ОпР- садовская подгруппа H. то G = HNG(P ).
-
(в) Если G - конечная группа н для каждого простого числа pi. деляшего |G|. Pi означает ее некоторую спловскую рдполгружпу то G = hP1 ,Р2,... ,Рд...,Р^. г,тс s - число простых делителей порядка группы G.
Если группа. Л действует па группе B. то обозначим через Cb (Л) подгруппу {b Е B : ba = b для всех a Е Л}. а. ч<трез [B, A] подгруппу
<[b,a] = b-1ba : b Е B, a Е Л} .
Заметим, что если при этом B и A — подгруппы некоторой общей группы, то Cb (A) — обычный централизатор A в B, а [B, A] — обычный взаимный коммутант B и Л.
Лемма 4. Пуств р - простое число. Л - р0-группа, действующая па конечной р-группе Р.
-
(а) [9. теорема. 3.3.1]. Если Р - элементарная абелева. и Р0 - Л-иивариаитиая подгруппа в Р. то Р = Р0 х Р1. г,те Р1 Л-пивариаптиа.
-
(и) [9. теорема 5.3.5]. Р = Cp(A) • [Р, Л]. В частности, если [Р, Л] 6 Ф(Р). то Р = Cp(A).
-
(в) [9. теорема 5.3.С]. [[Р, Л],Л] = [Р, Л].
Лемма 5. Если N - пормадвпая подгруппа конечной группы G п G/N разрешима, то сутпествует разрешимая подгруппа H. для которой G = NH.
C Очевидно, G = NG. Пусть H — подгруппа наименьшего порядка, для которой G = NH. Если N П H ^ Ф(Н). то сутпествует максималытая подгруппа Hi 6 H. для которот! N П H ^ H1. т. с. hN П H, H1 i = H. Но тогда G = NH = N •hN П H,H1) = NH1. вопреки ввтоору H. Таким образом. H П N 6 Ф(H) тшльпотенттта ii H разрешима. B
Если H — нормальная подгруппа группы G, N 6 K 6 G и L 6 G, то централизатором K/N в L назовем подгруппу Cl(K/N ) = {x Е L : [k,x] Е N для всех k Е K }.
Лемма 6. Пусть G - локально конечная п-раздедимая группа.
(а') Если Ono (G) = 1. то CG(On (G) 6 On(G).
Л^ CG(On,n0 (G)/On0(G)) 6 Оп,п0(G).
C (а) Положим K = On (G)Cg(Оп (G)). Тогда K — характеристическая подгруппа в G II On (G) = On (K ). Поскольку Ono (K ) — порашльная п0-подгрг-ппа в G. то Ono (K ) 6 Опо (G) = 1. По пункту (г) леммы 1 K п-разделима. Если K = On (K ) = On(G), то M = Оп,по(K ) = On (K ). Поскольку Cg ( Оп (G)) D Gn K/Cg (Оп (G)) явля ется п-группой, как фактор-группа п-группы On(G). то вес п0-элемс1 гты из M содержатся в CG(On (G)).
Пусть х. у ~ п0-элсмс1 гты из M. По условию группа U = hx, у} конечна. По лемме 1 (в) U = Оп,по (U) и On(U) 6 Z (U). По лемме 2 U = On(U) х H, где H — п0-группа, поэтому х, у G H, U = H и hx, у} является п0-группой. Таким образом, произведение любых двух п0-элеме1 гтов из M является п0-элементом, т. е. совокупность Mo вссх п0-элсмс1 гтов из M составляет подгруппу, которая характеристична в M, следовательно, инвариантна в G II содержится в Опо(G) = 1. Поэтому Mo = 1 1i M = On (K ): противоречие.
(б) Если c G CG(On,no(G)/Ono(G)), to в G/Ono(G) элемент COno(G), централизует On(G/Ono(G)). По пункту (а), примененному к G/Ono(G) COno(G) G On(G/Ono(G)) = On,no (G)/ono (G). Поэтому c G On,no (G) B
2. Доказательство теоремы
Лемма 7. Если G - локально конечная группа, для которой G = O n,no (G) и CgO ( G )) 6 Ono ( G ). to для любого p-элеыеита a G G\On ( G ). г,те p G п. пайдетея нетривиальный примарный элемент b G On ( G ) такой, что ha,b} = B ( a), уце B - примерная группа, <а} действует петривиалт.по п неприводимо на B/ Ф( B ) н. в частности. b G [ B, hai ].
C По ус. tobiito а нс централизует Ono (G). поэтому найдется b G Ono (G). для которого [b, а] = 1. По лемме 3 (б) b = bi... bs, г де bi,..., bs — примарные элементы и каждый из них является степенью b.
Понятно, что вес bi прппа,дтежат Ono (G) ii [bi, а] = 1 для искоторого i G {1,...,s}. поэтому можно считать, что b примарен. Положим H = hb, а}. По пункту (в) леммы 6 H = G П H = ОП0,п(G) П H 6 ОП0,п(H), т. е. Опо,п(Н) = H и b G On(G) П H 6 On(H). По условию H = hb, а} — конечная группа. Выберем b так. чтобы порядок H был иаи-мсныннм. Очевидно H = B • hai. г,де B = hbx : х G haii 11 B = Ono (H). Кромс того, hai — силовская подгруппа в B. Пусть P — некоторая силовская подгруппа в B. По замечанию Фраттини (лемма 3 (a)) H = BNh (P). В частности, Nh (P) содержит силовскую подгруппу, сопряженную с hai. Поэтому а G Nh (ph) для пекоторого h G H. Таким образом, для каждого простого p G п0, делящего порядок B, а нормализует некоторую силовскую p-подгруппу Sp ii з B. Если а пептрализует каждую подгруппу Sp. то а централизует B. что противоречит выбору элемента b. Таким образом, а нормализует, но не централизует некоторую силовскую подгруппу P из B. В силу минимальности порядка H B = P и по пункту (б) леммы 4 B = [B, ha}]. Кроме того, ha} действует нетривиально на В/Ф(В). Если ha} действует приводимо на В/Ф(В), то по лемме 4(a)
В/Ф(В) = В1/Ф(В) х В2/Ф(В), где Bi и B2 — собственные а-инвариантные подгруппы группы B. В силу минимальности порядка H такая ситуация невозможна, т. е. ha} действует неприводимо и нетривиально на. В/Ф(В). B
Пусть G — локально конечная п-раздслимая группа, п-длины m.
Опорной последовательностью G при m > 1 назовем набор примарных элементов ai, bi,..., bm-i, am, обладающий следующими свойствами:
-
(1) для i = 1,... ,m: ai Е Pi(G)\Pi-i (G): д.ля j = 1,... ,m — 1: bj E Nj (G)\Nj-i(G):
-
(2) для i = 2,...,m подгруппа Hi = (ai,bi-i) iв Pi = Pi(G)/Pi-i (G) г.ye at = Pi-1 (G) • ai. bi-i = Pi-i(G) • bi-i. pa.виа Bi-i(ai). где Bi-i = (Ь-^ : x E haii) — примерная. haii действует нетривиалг>no ii неприводимо па Bi/Ф(B). a. bi-i E [Bi, haii]: в частности. bi-i E [(bi-i : x E hai}) , haii] Pi-i(G).
-
(3) для j = 1,...,m — 1 подгр>уппа Li = j,aj iв Nj = Nj (G)/Nj-i(G). г,де bj = Nj-1(G)bj . aj = Nj-1(G)aj. pa.вна. Aj (bj). где группа Aj = (aj | x E jbj^ — примерна. hbj i действует нетривиалг>no ii неприводимо па Aj /Ф(Aj) 11 aj E [Aj, hbj i]. В частности. aj E [(aj | x E (bj )), hbj i] • Ni-i(G).
Если же п-ддина G равна 1. то опорной последовательностью G назовем набор на одного элемента ai. г,де ai — любой прима.]лиыИ элемент на Pi (G)\No(G).
Доказательство теоремы разделим на. две леммы.
Лемма 8. Для любой локально конечной п-разделимой группы п-длины m и любого примарного элемента a E Pm (G)\Nm-i (G) существует опорная последовательность ai, bi,..., am. для к< эторой am = 0.
C Иидукпня по m. Заключение очевидным образом верно при m = 1. Паятв m > 1
II Pm = Pm(G)/Pm-i (G). ОчевНДИО. Pm = On,n (Pm) II On (P m) = 1-По лемме 6 (а) (с заменой п на п0) Cpm (Ono (Pm)) 6 Ono (Pm).
Положим am = a, a = Pm-ia. По лемме 6 (в) найдется нетривиальный примарный элемент b E Ono (Pm). для юуторого (a, b) = B(a). B = (b | x E hai ) — примерная группа и действует нетривиально и неприводимо на B, и b E [B, hai] = [B, hai]. Пусть bm-i — примарный п]юобраз элемента, b в G. Понятно, что bm-i E Nm-i(G)\Pm-i(G).
Аналогично, по лемме 6 (б) (с заменой п на п0), в Pm-i(G)\Nm-2(G) найдется при-марный элемент am-i- ДЛЯ КС>торого Qm-i = am-iNm-2- bm-i = bm-iNm-2 порождают подгруппу Lm-i, свойства которой перечислены в определении опорной последователь ности.
Лемма 9. Если A = {ai, bi,..., bm-i, am} - опорная последовательность локально конечной п-разделимой группы G п-длииы m и A 6 H 6 G. то п-ллшю H равна m п A является опорной последователвиоствю группа! H. В частности, в группе G есть конечная подгруппа п-длины m.
C По лемме 1 (в) H = HПG = HПNm+i(G) 6 Nm+i(H). поэтому Nm+i(H) = 1. т. е. H п-разделима и ее п-длина не превосходит m. По определению опорной последовательности ai E Pi(G) П H 6 Pi(H) и ai E Po(H) = 1- Предположим, что для некоторого i E {1,... ,m — 1} ai E Pi(H)\Pi-i(H)- Так как q- E [ha^ | x E hbi ii, hbii] Ni-i(G). т о bi E Ni-i(H). miанс ai E (Ni-i(H)Ni-i(G)) П H = Ni-i(H)((Ni(G)) П H) 6 Ni(H)Ni(H) = Ni(H): npoTiiBopcHiie. Поскольку bi E (Ni(G)) П H 6 Ni(H). bi E Ni(H)\Ni-i(H)•
Аналогично, ai+i E Pi+i(H)\Pi(H). Эти рассуждения показывают по индукции, что для всех i E {1,...,m} элемент ai E Pi(H)\Pi-i(H), a bi E Ni(H)\Ni-i(H)•
Таким образом, выполнен пункт (1) определения опорной последовательности для H. Остальные пункты проверяются непосредственно. Лемма, доказана. Она. завершает доказательство теоремы. B
Список литературы О локально конечных $ \ pi$-разделимых группах
- Чунихин С. А. Подгруппы конечных групп.-Минск: Наука и техника, 1964.
- Чунихин С. А., Шеметков Л. А. Конечные группы. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия.-М.: ВИНИТИ, 1971.-С. 7-70.
- Чунихин С. А. О силовских свойствах конечных групп//Докл. АН СССР.-1950-Vol. 73.-C. 29-32.
- Feit W., Thompson J. G. Solvability of groups of odd order. Pacific//J. Math.-1963.-Vol. 13, № 3.-P. 775-1029.
- Hall P. Theorems like Sylow's//Proc. London Math. Soc.-1956.-Vol. 6, № 3.-P. 286-304.
- Khukhro E. I. Problems of bounding the $p$-length and Fitting height of finite soluble groups//J. Sib. Federal Univ. Mathematics & Physics.-2013.-Vol. 6, № 4.-P. 462-470.
- Вдовин Е. П., Ревин Д. О. Теоремы силовского типа//Успехи мат. наук.-2011.-Т. 66, № 5(401).-C. 3-46.
- Huppert B. Endliche Gruppen I.-Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer-Verlag, 1979.
- Gorenstein D. Finite groups.-N.Y.: Chelsea, 1980.