О локально конечных $ \ pi$-разделимых группах

Пусть п — некоторое множество простых чисел, п⁰ — его дополнение во множестве всех простых чисел. Группа называется п- группой, если она периодическая и порядок каждого ее элемента делится только на простые числа из п. Группа называется п-разделимой, если она обладает конечным нормальным рядом, каждый фактор которого является п-группой или п⁰-группой. Такой ряд называется п-рядом. а. п-длипой п-разделимой группы называется наименьшее из возможных чисел нетривиальных п-факторов во всех рядах этой группы.

Для конечных групп понятие п-разделимой группы ввел С. А. Чунихин [3] вместе с определениями п-отделимой и п-разрешимой группой. Согласно Чунихину, конечная группа G называется п-разделимой, если любой ее главный фактор является либо п-группой, либо п⁰-группой. Он а называется п-отделимой, если порядок любого ее главного фактора делится не более, чем на одно простое число из п; наконец, G называется п-разрешимой, если она одновременно является п-разрешимой и п-отделимой группой. Ее главный фактор является либо п⁰-группой, либо р-группой для некоторого р G п. По теореме Томпсона — Фейта [4] конечная п-разделимая группа G является п- или п⁰-разрешимой, более того, если она не является п- или п⁰-группой, то она р-разрешима для некоторого простого числа р, делящего порядок G, т. е. любой ее главный фактор является р- или р⁰-группой. Конечные п-разделимые группы интенсивно изучались на протяжении всех лет развития теории конечных групп, начиная с классических работ Чунихина [3] и Ф. Холла. [5] (см. [1], обзоры [2, 6, 7] и литературу в них).

Локально конечные п-разделимые группы, которым посвящена настоящая работа, до настоящего времени практически не изучались. Основным нашим результатом является следующая

Теорема. Пусть G — локально конечная п-разлелнмая группа mm — натуральное число. Ели п-лыша любой конечной полгруппы из G нс прсьосколит m. то п-ллииа G не прсьосколит m.

1.    Основные обозначения и предварительные результаты

Для периодической группы G и множества т простых чисел обозначим через O_n (G) наибольшую нормальную т-подгруппу группы G, т. е. произведение всех ее нормальных т-подгрупп. Далее, пусть O_n,_no (G) — полный прообраз в G группы O_no (G/O_n (G)), О_п,_по,_п(G) — полный прообраз в G группы O_n (G/O_n,_no (G)) и т. д.

Ряд

1 = Po(G) 6 No(G) 6 P (G) 6 N1 (G) 6 • • • 6 Pn(G) 6 Nn(G) 6 ...        (1)

называется верхним т-рядом группы G, если

No(G) = On (G), P (G) = On,n0 (G), N1(G) = On,n0,n(G),

• а. для i >  1 Pi(G) — полный прообраз в G группы O_n(G/N_i-1(G)). Ni (G) — полный прообраз в G ГрУППЫ O_n0 (G/Pi (G)).

Лсмма 1. (а) Если 1 = P_o 6 N_o 6 P1 6 N1 6 • • • 6 Pn 6 Nn 6 ... - ряд нормальных подгрупп группы G. в котором для любого i Ni/Pi - т⁰-группа. P_i+1/Ni - т-группа. то Pi⁶ PG       „                         ,,

• (о) Если группа G т-разделпма. то ее верхний т-рьin (1) доход пт до G. и если N_m-1(G) = Pm(G) 6 Nm (G) = G, то т-длина G равна m.

• (в) Если H - подгруппа группы G. то H П Pi(G) 6 Pi(H )• H П Ni(G) 6 Ni(H )• лля всех i > 0.

И Если H - полгруппа пли фактор-группа т-равлелпной группы G. то H т-разде-.иша п ее т-лыша нс превосходит т-длииы G.

C (а) Иидажния по i

По определению Po = Po(G), No 6 No(G)-  Пусть для некоторого i Pi 6 Pi(G),

No 6 No(G) Тогда Ni 6 Ni(G) П Pi₊1(G). откуда

(Ni(G)Pi+1 )/Ni(G) ‘ Pi+1/(Ni(G) П Pi+1) ‘ (Pi+1/Ni)/((Ni(G) П Pi+1)/N).

Таким образом. (Ni(G)Pi+1 /Ni (G)) изоморфна <1 >актор-группе т-группы Pi+JNi ii. следовательно, является т-группой.

Поскольку (Ni(G)Pi+1 )/Ni(G) E G/Ni (G). то (Ni(G)Pi+1 )/N(G) 6 On(G/Ni(G)). t. e. N_i(G)Pi+₁ 6 Pi+1, otk уда Pi+1 6 Pi+₁(G). Аналогично доказывается, что Ni+1 6 Ni+1 (G)

• (б)    Пусть G — т-разделимая группа. Это означает, что в ней существует ряд нормальных подгрупп 1 = Po 6 No 6 P1 6 N1 6 • • • 6 Pm 6 Nm = G, для которых Ni/Pi — т⁰-группа. a. Pi+₁/N₁ — т-группа при всех i > 0. Ввпбсрсм этот ряд так. htoobi m было наименьшим из возможных.

Покажем, что число m равно т-длине G.

По пункту (a) G = Nm 6 N_m(G). т. о. N_m(G) = G. Если при этом N_m-1(G) = P_m(G). то G/P_m-1 яв.тяотся т⁰-группо11. т. о.  N_m-1(G) = G ii ряд Po(G) 6 No(G) < ••• <

Nm(G) = G имеет т-длину равную m.

• (в)    Индукция по i. Понятно, что HПNo(G) — норма.тьиая тДтодгруппа в H. поэтому H П No(G) 6 No(H). ii лемма справедлива для i = 0.

Пусть для некоторого i H П Pi(G) 6 Pi (H)- H П Ni(G) 6 Ni(H). Тогда (Pi₊1(G) П H)/Ni(H) — норм;етьиая в H/Ni(H) подгруппа. Для любого x G Pi+1 (G) П H. no onpe-делешно Pi+1 (G). суше*•твует т-ниело n. для которого xⁿ G Ni(G) П H 6 Ni(H ). поэтому (Pi+1(G) П H)/Ni(H) яв.лястоя т-подгруппой. что означает (Pi+1(G) П H)/Ni(H) 6

O_n(H/Ni(H )), т. е. Pi+1 (G) П H 6 Pi+1(H ). Теперь аналогично доказывается, что Ni+1(G) П H 6 Ni+i(H ). Это заканчивает доказательство пункта (в).

• (г)    Если H — подгруппа G. то по (в) H = H П Nm(G) 6 Nm(H ). г,де m — п-длина G. поэтому N_m(H ) = H. т. е. H п-разлелима. п-длииы. не превосходящей m.

Пуств H = G/K. Т(>гда 1 = K/K 6 N1(G)K/K 6 Р1 (G)K/K 6 ••• 6 G/K - п-рял H. п-длина которого не превосходит п-длины G. Поэтому H п-разделима. и ее п-ллтша. не превосходит п-ллтшы G. Пункт (г) доказан. B

Лемма 2 (теорема Цассенхауза [8, теоремы Т.18.1 и Т.18.2] с учетом [4]). Пусть N — нормальная подгруппа конечной группы G и (| N | , | G : N |) = 1. Тогда в G существует дополнение к N и все дополнения к N сопряжены в G.

Группа. G называется примаркой. если существует такое простое число р. что порядок каждого элемента группы G — степень р. Элемент g группы называется примарным, если его порядок равен степени некоторого простого числа.

Следующие простые замечания хорошо известны.

Лемма 3. (а) (замечание Фраттини). Если H - конечная нормальная подгруппа группы ОпР- садовская подгруппа H. то G = HNG(P ).

• (в)    Если G - конечная группа н для каждого простого числа pi. деляшего |G|. Pi означает ее некоторую спловскую рдполгружпу то G = hP₁ ,Р₂,... ,Рд...,Р^. г,тс s - число простых делителей порядка группы G.

Если группа. Л действует па группе B. то обозначим через Cb (Л) подгруппу {b Е B : b^a = b для всех a Е Л}. а. ч<трез [B, A] подгруппу

<[b,a] = b^-1b^a : b Е B, a Е Л} .

Заметим, что если при этом B и A — подгруппы некоторой общей группы, то Cb (A) — обычный централизатор A в B, а [B, A] — обычный взаимный коммутант B и Л.

Лемма 4. Пуств р - простое число. Л - р⁰-группа, действующая па конечной р-группе Р.

• (а)    [9. теорема. 3.3.1]. Если Р - элементарная абелева. и Р₀ - Л-иивариаитиая подгруппа в Р. то Р = Р₀ х Р1. г,те Р1 Л-пивариаптиа.

• (и)    [9. теорема 5.3.5]. Р = Cp(A) • [Р, Л]. В частности, если [Р, Л] 6 Ф(Р). то Р = Cp(A).

• (в)    [9. теорема 5.3.С]. [[Р, Л],Л] = [Р, Л].

Лемма 5. Если N - пормадвпая подгруппа конечной группы G п G/N разрешима, то сутпествует разрешимая подгруппа H. для которой G = NH.

C Очевидно, G = NG. Пусть H — подгруппа наименьшего порядка, для которой G = NH. Если N П H ^ Ф(Н). то сутпествует максималытая подгруппа Hi 6 H. для которот! N П H ^ H1. т. с. hN П H, H1 i = H. Но тогда G = NH = N •hN П H,H1) = NH1. вопреки ввтоору H. Таким образом. H П N 6 Ф(H) тшльпотенттта ii H разрешима. B

Если H — нормальная подгруппа группы G, N 6 K 6 G и L 6 G, то централизатором K/N в L назовем подгруппу Cl(K/N ) = {x Е L : [k,x] Е N для всех k Е K }.

Лемма 6. Пусть G - локально конечная п-раздедимая группа.

(а') Если O_no (G) = 1. то C_G(O_n (G) 6 O_n(G).

Л^ CG(On,n0 (G)/On0(G)) 6 Оп,п0(G).

C (а) Положим K = O_n (G)Cg(О_п (G)). Тогда K — характеристическая подгруппа в G II O_n (G) = O_n (K ). Поскольку O_no (K ) — порашльная п⁰-подгрг^-ппа в G. то O_no (K ) 6 О_по (G) = 1. По пункту (г) леммы 1 K п-разделима. Если K = O_n (K ) = O_n(G), то M = О_п,_по(K ) = O_n (K ). Поскольку Cg ( О_п (G)) D Gn K/Cg (О_п (G)) явля ется п-группой, как фактор-группа п-группы O_n(G). то вес п⁰-элемс1 гты из M содержатся в CG(O_n (G)).

Пусть х. у ~ п⁰-элсмс1 гты из M. По условию группа U = hx, у} конечна. По лемме 1 (в) U = О_п,_по (U) и O_n(U) 6 Z (U). По лемме 2 U = O_n(U) х H, где H — п⁰-группа, поэтому х, у G H, U = H и hx, у} является п⁰-группой. Таким образом, произведение любых двух п⁰-элеме1 гтов из M является п⁰-элементом, т. е. совокупность Mo вссх п⁰-элсмс1 гтов из M составляет подгруппу, которая характеристична в M, следовательно, инвариантна в G II содержится в О_по(G) = 1. Поэтому Mo = 1 1i M = O_n (K ): противоречие.

• (б)    Если c G CG(O_n,_no(G)/O_no(G)), to в G/O_no(G) элемент CO_no(G), централизует O_n(G/O_no(G)). По пункту (а), примененному к G/O_no(G) CO_no(G) G O_n(G/O_no(G)) = O_n,_no (G)/o_no (G). Поэтому c G O_n,_no (G) B

2. Доказательство теоремы

Лемма 7. Если G - локально конечная группа, для которой G = O _n,_no (G) и CgO ( G )) 6 O_no ( G ). to для любого p-элеыеита a G G\O_n ( G ). г,те p G п. пайдетея нетривиальный примарный элемент b G O_n ( G ) такой, что ha,b} = B ( a), уце B - примерная группа, <а} действует петривиалт.по п неприводимо на B/ Ф( B ) н. в частности. b G [ B, hai ].

C По ус. tobiito а нс централизует O_no (G). поэтому найдется b G O_no (G). для которого [b, а] = 1. По лемме 3 (б) b = bi... bs, г де bi,..., bs — примарные элементы и каждый из них является степенью b.

Понятно, что вес bi прппа,дтежат O_no (G) ii [bi, а] = 1 для искоторого i G {1,...,s}. поэтому можно считать, что b примарен. Положим H = hb, а}. По пункту (в) леммы 6 H = G П H = О_П0,_п(G) П H 6 О_П0,_п(H), т. е. О_по,_п(Н) = H и b G O_n(G) П H 6 O_n(H). По условию H = hb, а} — конечная группа. Выберем b так. чтобы порядок H был иаи-мсныннм. Очевидно H = B • hai. г,де B = hbx : х G haii 11 B = O_no (H). Кромс того, hai — силовская подгруппа в B. Пусть P — некоторая силовская подгруппа в B. По замечанию Фраттини (лемма 3 (a)) H = BNh (P). В частности, Nh (P) содержит силовскую подгруппу, сопряженную с hai. Поэтому а G Nh (ph) для пекоторого h G H. Таким образом, для каждого простого p G п⁰, делящего порядок B, а нормализует некоторую силовскую p-подгруппу S_p ii з B. Если а пептрализует каждую подгруппу S_p. то а централизует B. что противоречит выбору элемента b. Таким образом, а нормализует, но не централизует некоторую силовскую подгруппу P из B. В силу минимальности порядка H B = P и по пункту (б) леммы 4 B = [B, ha}]. Кроме того, ha} действует нетривиально на В/Ф(В). Если ha} действует приводимо на В/Ф(В), то по лемме 4(a)

В/Ф(В) = В1/Ф(В) х В2/Ф(В), где Bi и B2 — собственные а-инвариантные подгруппы группы B. В силу минимальности порядка H такая ситуация невозможна, т. е. ha} действует неприводимо и нетривиально на. В/Ф(В). B

Пусть G — локально конечная п-раздслимая группа, п-длины m.

Опорной последовательностью G при m > 1 назовем набор примарных элементов ai, bi,..., bm-i, am, обладающий следующими свойствами:

• (1)    для i = 1,... ,m: ai Е P_i(G)\P_i-i (G): д.ля j = 1,... ,m — 1: bj E Nj (G)\Nj_-i(G):

• (2)    для i = 2,...,m подгруппа Hi = (ai,bi-i) iв Pi = Pi(G)/Pi-i (G) г.ye at = Pi-1 (G) • ai. bi-i = Pi-i(G) • bi-i. pa.виа Bi-i(ai). где Bi-i = (Ь-^ : x E haii) — примерная. haii действует нетривиалг>no ii неприводимо па Bi/Ф(B). a. b_i-i E [Bi, haii]: в частности. b_i-i E [(bi-_i : x E hai}) , haii] P_i-i(G).

• (3)    для j = 1,...,m — 1 подгр>уппа Li = j,aj iв Nj = Nj (G)/Nj_-i(G). г,де bj = Nj_-1(G)bj . aj = Nj_-1(G)aj. pa.вна. Aj (bj). где группа Aj = (aj | x E jbj^ — примерна. hbj i действует нетривиалг>no ii неприводимо па Aj /Ф(Aj) 11 aj E [Aj, hbj i]. В частности. aj E [(aj | x E (bj )), hbj i] • Ni-i(G).

Если же п-ддина G равна 1. то опорной последовательностью G назовем набор на одного элемента ai. г,де ai — любой прима.]лиыИ элемент на Pi (G)\No(G).

Доказательство теоремы разделим на. две леммы.

Лемма 8. Для любой локально конечной п-разделимой группы п-длины m и любого примарного элемента a E Pm (G)\N_m-i (G) существует опорная последовательность a_i, b_i,..., am. для к< эторой am = 0.

C Иидукпня по m. Заключение очевидным образом верно при m = 1. Паятв m >  1

II Pm = Pm(G)/Pm-i (G). ОчевНДИО. Pm = On,n (Pm) II On (P m) = 1-По лемме 6 (а) (с заменой п на п⁰) Cpm (O_no (P_m)) 6 O_no (P_m).

Положим am = a, a = Pm-ia. По лемме 6 (в) найдется нетривиальный примарный элемент b E Ono (Pm). для юуторого (a, b) = B(a). B = (b  | x E hai ) — примерная группа и действует нетривиально и неприводимо на B, и b E [B, hai] = [B, hai]. Пусть bm-i — примарный п]юобраз элемента, b в G. Понятно, что bm-i E Nm-i(G)\Pm-i(G).

Аналогично, по лемме 6 (б) (с заменой п на п0), в Pm-i(G)\Nm-2(G) найдется при-марный элемент am-i- ДЛЯ КС>торого Qm-i = am-iNm-2- bm-i = bm-iNm-2 порождают подгруппу Lm-i, свойства которой перечислены в определении опорной последователь ности.

Лемма 9. Если A = {ai, bi,..., bm-i, am} - опорная последовательность локально конечной п-разделимой группы G п-длииы m и A 6 H 6 G. то п-ллшю H равна m п A является опорной последователвиоствю группа! H. В частности, в группе G есть конечная подгруппа п-длины m.

C По лемме 1 (в) H = HПG = HПNm+_i(G) 6 Nm+_i(H). поэтому Nm+_i(H) = 1. т. е. H п-разделима и ее п-длина не превосходит m. По определению опорной последовательности ai E Pi(G) П H 6 Pi(H) и ai E Po(H) = 1- Предположим, что для некоторого i E {1,... ,m — 1} ai E Pi(H)\Pi-i(H)- Так как q- E [ha^ | x E hbi ii, hbii] Ni-i(G). т о bi E Ni-i(H). miанс ai E (Ni-i(H)Ni-i(G)) П H = Ni-i(H)((Ni(G)) П H) 6 Ni(H)Ni(H) = Ni(H): npoTiiBopcHiie. Поскольку bi E (Ni(G)) П H 6 Ni(H). bi E Ni(H)\Ni-i(H)•

Аналогично, ai+i E Pi+i(H)\Pi(H). Эти рассуждения показывают по индукции, что для всех i E {1,...,m} элемент ai E Pi(H)\Pi-i(H), a bi E Ni(H)\Ni-i(H)•

Таким образом, выполнен пункт (1) определения опорной последовательности для H. Остальные пункты проверяются непосредственно. Лемма, доказана. Она. завершает доказательство теоремы. B