О максимальных подгруппах полной линейной группы над полем рациональных функций

Настоящая статья посвящена построению класса максимальных подгрупп полной линейной группы G = GL(n, k(x)) степени n над полем рациональных функций fi = k(x) , с коэффициентами из поля k нечетной характеристики, содержащих нерасщепимый максимальный тор T = T (у) , связанный с радикальным расширением K = fi( n/у) степени n основного поля fi = k(x) , где у — неприводимый многочлен в k[x] .

Сформулируем основной результат работы. Элементы матриц тора T = T(у) порождают некоторое подкольцо R(у) поля k(x) . Пусть R _v — подкольцо у -целых дробей рациональных функций (т. е. рациональных функций, у которых знаменатели свободны от у ). Тогда R(у) С R ^ . Через оу обозначим сеть, у которой выше главной диагонали стоит идеал уR ^ , а на главной диагонали и ниже — R ^ . Далее, G(a ^ ) — сетевая группа [1].

Теорема. Для произвольного неприводимого многочлена у группа TG(a y ) является максимальной подгруппой полной линейной группы G = GL(n,k(x)) , не содержащей SL(n, k(x)) .

С каждым вектором x = (x i , X 2 ,...,x n ) € fi n \ 0 связана невырожденная матрица C (x) , элементы которой вычисляются по формулам

(C (x)) j =

{xi+1-j, уxn+i+1— j,

j 6 i;

j >  i + 1.

С каждой матрицей C = C (x) = (c ij ) связана обратная матрица C ^{- 1} = C (y) = (c ij ) , y = (y i ,... ,y _n ) € fi n , где y i = icC^Xjj , причем C ii — алгебраическое дополнение элемента c i i матрицы C = C (x) .

В работе рассматривается унитальное подкольцо R(у) поля fi , порожденное элементами x i y j , ϕx r y s :

R(у) = (x i y j , уx r y s : i + j 6 n + 1, r + s > n + 1, x € fi n \ 0^ _ring , (c) 2010 Джусоева Н. А., Дзигоева В. С., Койбаев В. А.

О максимальных подгруппах полной линейной группы

t n — у — неприводимый многочлен степени n над полем Q [2]. Тогда e i = 9^{г - 1} , 1 6 i 6 n, образует базис радикального расширения K = Q( ^/у) , 9 = n^. поля K = Q(9) над Q . Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор T = T (у) , который является образом мультипликативной группы поля K = Q( -n/у ) при регулярном вложении в G = GL(n,k). В выбранном базисе тор T = T (у) определяется как матричная группа

T = т(у) = { C(x) : x g Q n \ 0 } .

С промежуточной подгруппой H , T 6 H 6 G , содержащей трансвекцию, связаны модули трансвекций ( i = j )

Aij = Aij(H) = {a G Q : tj (a) G H, i = j} и их кольца множителей

R i₃ = R i,- (H ) = R i₃ (A i₃ ) = { A G Q : AA j C A ij } .

Очевидно, что A ij являются подгруппами аддитивной группы Q поля Q (R ij -модули). Положим A i = A ii , 2 6 i 6 n Тогда [3, лемма 2.7.1] справедлива формула

A ij ⁼

A i+1 - j 1       j < i;

^yA n+i+1- j ¹ j >  i + ¹

Положим A i = yA _n и рассмотрим сеть a = (a ij ) = a(A i , A 2 ,..., A n ) , которую мы называем сетью, ассоциированной с подгруппой H .

Элементы матриц тора T = T (у) порождают подкольцо R(y) поля Q . Пусть R — промежуточное подкольцо, R(y) C R C Q . Через ct r обозначим сеть, у которой на главной диагонали и выше стоит идеал ϕR , а ниже диагонали — R , а через σ ^R — сеть, у которой на главной диагонали и ниже стоит R , а выше — yR . Пусть, далее, E ( ct r ) — подгруппа, порожденная всеми трансвекциями из сетевой группы G ( ct r ).

Доказательство нашей теоремы основано на следующей лемме.

Лемма [4, теорема 1] . Пусть H — подгруппа полной линейной группы G = GL(n, Q) , содержащая нерасщепимый максимальный тор T = T (у) . Предположим, что сеть a , ассоциированная с подгруппой H , совпадает с сетью ct r . Тогда произведение TE ( ct r ) является группой и справедливы включения

TE (aR) 6 H 6 N (ctr), где N(aR) = NG(E(aR)) — нормализатор элементарной подгруппы E(aR) в группе G = GL(n, k). Для нормализатора N(aR) справедливо равенство

N (a R ) = TG(a ^R ).