О матричном операторе Римана в пространстве гладких вектор-функций

Будем пользоваться стандартными обозначениями N , Z , R , C для множеств натуральных, целых, вещественных, комплексных чисел соответственно. Положим также

Z + = {j e z : j >  0 } , Z - = Z \ Z ₊ , r = { z E C : | z | = 1 } ,

D ⁺ = {z E C : | z | < 1 } , D ^- = { z E C : | z | > 1 } .

Пусть n E N , будем рассматривать декартову степень C n как банахово пространство относительно покоординатных линейных операций и евклидовой нормы. Пусть A — коммутативная банахова алгебра. Через M n ( A ) обозначим банахову алгебру матриц порядка n со стандартными операциями и некоторой матричной нормой. В частности, рассматривая M n (C) , будем считать, что введена операторная норма.

Для банахова пространства B введем следующие линейные многообразия B -значных функций, определенных на Г :

Cm(Г,B) = L({) = £ aj{, aj 6 B : £(j| +1)mh«j || < ^, { 6 Г L m 6 Z+; j∈Z                j∈Z c“(Г,B) = Q cm(г,в), m∈Z+ считая, что в этих множествах линейные операции определены поточечно. Хорошо известно, что C“(Г,B) является счетно-нормированным пространством с определяющей системой полунорм

» A({) » m = £(j | + 1) ” « a j II , m 6 Z + .

j ∈ Z

Введем в пространстве C “ (Г,B) операторы проектирования

P ± : P ±( £ aj j = £ aj { j∈Z          j∈Z± и положим

C + ° (r,B) = P ⁺ (C “ (Г,B)), C “ (Г,B) = P ^- (C “ (Г,B)), C “ (Г,B) = B ф C “ (Г,B ).

В этой работе рассматривается оператор линейного сопряжения

Ra,b : C ' I,C n) ^ C ' I,C n), Ra,b = A({)P+ + B ({)P-, в предположении, что A({),B({) 6 C“(Г ,Mn(C)). Уравнение Ra,b^ = f принято называть задачей Римана в связи с тем, что впервые уравнение такого рода было приведено Б. Риманом (см. [1]). Задаче Римана и оператору RA,B посвящено большое число работ (см. [1–9, 12] и цитируемые там работы). Наиболее полные результаты относительно задачи Римана и соответствующего оператора были получены в банаховых пространствах г¨ельдеровых и суммируемых вектор-функций. В этих случаях для широкого класса коэффициентов A({), B({) была построена полная теория Нетера. Именно, показано, что необходимым и достаточным условием н¨етеровости оператора RA,B является невырожденность коэффициентов для всех { 6 Г. В терминах правой канонической факторизации матрицы-функции A({)B-1({) эффективно описаны ядро, коядро оператора Ra,b, построен обобщенный обратный оператор, найдена формула для индекса ind Ra,b = —ind^er det A({) + ind^er det B({).

В пространстве гладких вектор-функций C “ (Г, C ⁿ ) оператор Римана также рассматривался (см. [7, 10, 11] и цитируемые там работы). В результате был получен критерий н¨етеровости этого оператора. Оказалось, что н¨етеровы в пространствах гладких вектор-функций операторы Римана могут иметь коэффициенты с вырождениями на Г специального типа. Точнее, оператор R a,b нетеров в пространстве C “ (Г, C n ) тогда и только тогда, когда каждая из функций det A({) , det B ({) имеет на Г разве лишь конечное число нулей конечных порядков. Однако удобной формулы для подсчета индекса, аналогичной приведенной выше, найдено не было. В предлагаемой работе получена такая формула для индекса оператора R a,b : C “ (Г, C n ) ^ C “ (Г, C n ).

2.    Вспомогательные результаты

Некоторые из приводимых ниже результатов известны или могут быть легко получены так же, как и в случаях пространств г¨ельдеровых или суммируемых вектор-функций. В связи с этим ниже мы приводим лишь доказательства нестандартных утверждений.

Вместе с оператором R A_,B будем рассматривать пару операторов Т¨еплица

T A : С “ (Г, C n ) ^ С “ (Г, C n ), т + = P ⁺A« )I,

T - : С “ (Г, C n ) ^ С “ (Г, C n ), T - = P - B «) I.

Лемма 1. Пусть A(^),B(£) G C“(Г, Mn(C)). Оператор Ra, в нетеров тогда и только тогда, когда нетеров каждый из операторов Т д и T-. При выполнении этих условий ind Ra,b = ind Т+ + ind Т—.

⊳ Утверждение леммы является следствием того факта, что каждый из операторов P - A(^)P ⁺ , P + B(^)P - компактен в пространстве C “ (Г, C n ) (см., например [7]), а оператор P + A(^)P ⁺ + P - B(^)P - есть прямая сумма операторов Т д , Т ^- . >

Следующее утверждение носит, по-существу, алгебраический характер. Мы формулируем его для оператора Теплица с гладким матричным символом, рассматриваемого в одном из пространств С “ (Г, C n ) .

Теорема 1. Пусть A(^) G C “ (Г, M _n (C)). Оператор Т ± нетеров тогда и только тогда, когда в пространстве С “ (Г, C) нетеров оператор Т ± д.

⊳ Рассмотрим квадратную матрицу порядка n , составленную из линейных ограниченных операторов, действующих в некотором топологическом пространстве. Будем считать, что элементы этой операторной матрицы коммутируют с точностью до компактных слагаемых. Тогда с точностью до компактных слагаемых для этой матрицы определены алгебраические дополнения, определитель, присоединенная матрица. Для операторной матрицы U через U ^∇ обозначим определенную с точностью до компактного слагаемого присоединенную матрицу. Условимся писать A = B(mod K ) , если оператор A — B компактен. Нетрудно видеть, что

(I + k)V = I (mod K), U ^U=UUV = Endet U (mod K), где k — компактный оператор, а En — единичная матрица порядка n. Отметим также, что если элементы операторных матриц U, V попарно коммутируют по модулю компактных операторов, то (UV)V = VVUV(mod K).

Будем рассматривать оператор T + как операторную матрицу, элементами которой являются одномерные операторы Теплица с гладкими символами. Поскольку такие операторы коммутируют с точностью до компактного оператора, то ввиду сделанных замечаний имеем

₍T A ) V T+ = T+jT+j V = E n r +et A_{|(| (}mod K).

Если предположить теперь, что оператор T+etA^^^ нетеров, а R — его регуляризатор, то, очевидно, операторы (REn)(T+')V, (T+')V(REn) являются левым, правым регуляри-заторами, соответственно, оператора Т+. Обратно, если оператор Т + нетеров и Q его регуляризатор, то ^Тд = Тд^ = I (mod K). Нетрудно убедиться в том, что элементы операторной матрицы Q с точностью до компактного оператора попарно коммутируют и коммутируют в том же смысле с элементами Т+. Но, тогда в силу сделанных замечаний

(QT A + ) ^V = (T + ^) ^V = I (mod K ) или (T A + ) ^V Q ^V = ^(Т +Е = I (mod K ).

Последнее означает, что оператор (T +E нетеров и регуляризатором для него является оператор Q E Ввиду справедливости равенства (Т д^ Т д =Т д ( T A +E = EZ ._д ^(mod K ) оператор E n T ^et A ^ ^ ) является нетеровым как композиция нетеровых операторов. Последнее эквивалентно нетеровости оператора Т ± д. >

Определение 1. Будем говорить, что матрица-функция A(€) G C ° (Г,М _П (С)) допускает гладкую правую (левую) вырожденную факторизацию типа минус, если

A«) = A-(e)D(e)A+ «) (A(0 = A' € D € A (О), где

1)A ⁺ «) G GC ° (Г,M n (C)) ;

• 2)    A ^- (€) G С -° (Г,М _П (C)) , для любого ^ q G D - матрица A ^- (€ q ) обратима, и если (A -О-¹ = E _jG Z ₊ B j О, € ^ ^ , то найдутся c> 0 и m Q G Z ₊ так, что ||B j || <  c(j + 1) m ⁰;

• 3)    D(€) = E j =1 € ^{K j} P j , причем P j = diag(0,..., 0,1, 0,... , 0) , K j G Z , j = 1, 2,... , n .

Числа K j G Z , j = 1,2, ...,n , называются частными индексами соответствующей факторизации.

Тот факт, что матрица-функция A(€) G C ° (Г, M _n (C)) допускает гладкую правую вырожденную факторизацию типа минус будем обозначать A(€) G Fact - (к, C ° (Г, M n (C))), к = (k i , K 2 ,..., к _п ) . Число к - (A) = Ej =i K j называть суммарным индексом правой вырожденной факторизации типа минус. Обозначения A(€) G Fact ^- (к, C ° (Г,М _П (C))), K _l ^- (A) будем применять в случае гладкой левой вырожденной факторизации типа минус.

Определение 2. Будем говорить, что матрица-функция A(€) G C ° (Г, M _n (C)) допускает гладкую правую (левую) вырожденную факторизацию типа плюс, если

A(€) = A-(€)D(€)A+ (€) (A(€) = 'G € D' € AО, где

1)A - (€) G GC °° (Г, M n (C)) ;

• 2)    A ⁺ (€) G С ° (Г,М _П (C)) , для любого € q G D ⁺ матрица A ⁺ (€ q ) обратима, и если (A⁺O - 1 = E je z ₊ B j € j ,€ ^ 0 , то найдутся c > 0 и m Q G Z + так, что | B j || <  c(j + 1) m ⁰;

• 3)    D(€) = E n =1 € ^{K j} P j , причем P j = diag(0,..., 0,1, 0,... , 0) , K j G Z, j = 1, 2,..., n .

Числа K j G Z , j = 1, 2, . . . , n , называются частными индексами соответствующей факторизации.

Тот факт, что матрица-функция A(€) G C ° (Г, M _n (C)) допускает гладкую правую вырожденную факторизацию типа плюс будем записывать следующим образом: A(€) G Fact + (K,C ° (Г,М _П (C))), к = (k i ,K 2 ,...,K _n ) . Число k ⁺ (A) = Ej =i K j называется суммарным индексом правой вырожденной факторизации типа плюс.

При n = 1 левые и правые гладкие вырожденные факторизации совпадают, поэтому в этом случае будем пользоваться обозначением A(€) G Fact ± (K, C ° (Г, C)) .

Из данных выше определений следует, что A(€) G Fact - (к, C ° (Г,М _П (С))) тогда и только тогда, когда (A(€)) ^T G Fact - (к, C ° (Г,М _П (С))) и A(€ ^-1 ) G Fact i⁺ ( - к, C ° (Г,М _П (С))) .

Лем где D ( c

iма 2. Оператор T + : С “ (Г, C n ) ^ С “ (Г, C n ) (T D : С ~ (Г, C n ) ^ С “ (Г, C n )), ) = En =1 C K j P j , нётеров и при этом имеют место равенства 1)    dimker Т ^ = — ^^ K j | dimker Т — = ^^ Kj\, K j < 0       '                  K j > 0 2)    dim coker T + = E^ K j 1 dim coker T — = — E^ K j 1, K j > 0       '                        K j < 0 3)    ind T + = — E K j = — k(D) find T - = E K j = k(D)) . j =1                              j =1

Лем T + + (T B

iма 3. Если A + (C) Е GC + o (Г,M n (C)) (B — (C) Е GC 2o (Г,M n (C))), то оператор - ) обратим и при этом (4 + ) —1 = T A + ) -1 ((T B— - ) —1 = T ( B - ) -i )■

Лемма 4. Пусть A (C) Е С-°(Г,М _п (C)), для любого C 0 Е D матрица A (^ 0 ) обратима и если (A ^- (C)) ^-1 = j^ Zz ₊ B₊ B j C ^—j , C ^ то и при этом ^B j || ^ c(j + 1) m ⁰ для некоторых c >  0 и m o Е Z + , тогда оператор Т^ - обратим.

<1 Поскольку для любого ф Е C n , k Е Z + , имеет место равенство

P ⁺ (A ^— (C)) ^— ^C k = P ⁺

(Ек jez+

B j φξ ^{j - k}

)=Е

/    j=0

B j φξ ^{j - k} ,

то оператор P ⁺ (A ^- (C)) ^-1 P ⁺ в силу линейности определен на всех многочленах с коэффициентами из C n . Кроме того, для каждого такого многочлена ф(С) справедливы легко проверяемые равенства

Т + - P ⁺ (A ^— (C)) ^- 1 ф(С) = P ⁺ (A ^— (C)) ^—1 Т + - Ф(С) = Ф(С)

Таким образом, ввиду того, что множество многочленов с коэффициентами из C ⁿ всюду плотно в С ^ ° (Г, C n ) , достаточно доказать, что оператор P ⁺ (A ^— (C)) ^— 1 P ⁺ : С ^ ° (Г, C n ) ^ С ^ (Г, C n ) ограничен в пространстве С “ (Г, C n ) .

Отсюда получаем

∞

∞

< Ej + 1)’”E IB- »Vk| j^Z+          k=j

||P +(A-O-M{)||,m = Ej + 1)m Y-Bk-jVk j^Z+           k=j kk

= E ib ii E^m»Bk-ji < c e ivki E^m(k - j + i)^mo kez+      j=o                     kez+      j=o

^ C E (k + 1)m+m0 + 1|Vk I = |v(C)|m+mo + 1.  ▻ kez+

Лемма 5. Пусть A + (£) Е С + ° (Г,М _П (C)), для любого £ g Е D ⁺ матрица A ⁺ (£ g ) обратима и если (B ⁺ (£)) ^-1 = 52j _G z ₊ B j £ ^j , £ ^ 0 и при этом ^B j || ^ c(j + 1) m ⁰ для некоторых c > 0 и m g Е Z + , тогда оператор T A ₊ обратим.

Лемма 6. Если A«) Е Fact±(«,C~(Г,МП(C))) (Fact±(K,C“(Г, Mn(C)))), то det A(£) Е Fact± (k±(A), C“(Г,C)) (Fact±(k±(A),C“(Г,C))).

<1 Предположим, для определенности, что A(£) Е Fact+(K, C“(Г,МП(С))). Тогда det A(£) = det A-(£) det D(£) det A+(£). При этом det A-(£) = 0, £ Е D- ввиду обратимости в С—°(Г,МП(C)) матрицы-функции A-(£). Ясно, что тогда det A-(£) Е GCSO(Г, C). Кроме того, очевидно, det D(£) = E Kj = k+(A).

j =i

В силу условия 2) определения вырожденной факторизации типа плюс А ⁺ (£) Е С +° (Г, M n (C)) , для любого £ g Е D + матрица A ⁺ (£ g ) обратима, и если

(A+(£))-1 = VB£j,  £ ^ 0, jez+ то iBj|| ^ c(j + 1)m0 для некоторых c > 0 и mg Е Z+. Из обратимости матрицы A+(£g), £о Е D+, следует, что det A+(£) = 0, £ Е D+. Кроме того, очевидно,

(det A ⁺ (£)) ^-1 = det(A ⁺ (£)) ^-1 = det

С E B j ^j •

\je z +     /

£ ^ 0.

Тогда по определению определителя n!                n

(detA+(£))-1 =£(-1)s<-kIf] £(Bi)k„k£\ k=1          k=11EZ+ где через (B)km обозначены элементы матрицы B с номерами k, m, а через s(^k) — четность перестановки k ^ s(^k). Из последнего равенства следует, что n!

(det A+ (£))-1 = £d, £j, где dj =     £     £(-1)s('k 1 U(Bs> )k-k • jGZ+                       si+s2 + ...+sn=j k=1

Какова бы ни была матричная операторная норма из неравенства |Bj || ^ c(j + 1)m0 следует, что |(Bj)km| ^ c(j + 1)m0 для любых k, m. Но тогда n!

| d j | =

Е     Е (-1)s("k ’ n

n!

< E EIIl(Bsj)k-kI < cn(n! + 1)(j + 1)^nm0

si+s2+...+sn=j k=1 k=1

По определению это означает, что det A(£) Е Fact⁺(Kr(A),C“(Г, C)). >

Лемма 7. Если A(i) = A (£)D(£)A⁺(£)(A(£) = A⁺(£)D(£)A (i)), где A±(i) G

С“(Г, Cn), то

+  + + +   —-  —- —-—

TA = TA- TD TA+  ^(TA = TA+ TD TA-)•

Следствие 1. Если A(i) G Factr (к, C“(Г,Mn(C))) (B(i) G Fact+(K, C“(Г, Mn(C)))), то оператор TA (T-) нётеров и при этом ind TA = -Kr (A) = —к (det A) (indTB = kA (B) = k+ (det B))•

3.    Гладкие факторизации, н¨етеровость, индекс

Теорема 2. Матрица-функция A(i) G C“(Г, M_n(C)) допускает одну из гладких вырожденных факторизаций тогда и только тогда, когда функция det A(i) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков.

⊳ Будем, для определенности рассматривать случай правой вырожденной факторизации типа плюс.

Необходимость. Если A(i) G Fact+(K, C“(Г,МП(С))), к = (ki, K2, • • •, кп), то из равенства A(i) = A-(£)D(£)A+ (i) в силу свойств определителя следует, что det A(i) = det A-(£)£K det A+«), где к = ]T Kj = k+(A) j=i

Согласно лемме 7 полученное равенство является гладкой вырожденной факторизацией типа плюс функции det A(i) с индексом факторизации к⁺(А). Покажем, что из последнего условия вытекает, что det A(i) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Предположим противное, т. е. что det A(i) G Fact⁺(K, C“(Г, C)), но имеет более чем конечное число нулей конечных порядков. Это означает, что либо A(£) имеет нуль бесконечного порядка в некоторой точке io G Г, либо — бесконечное число нулей. Поскольку в последнем случае точка сгущения нулей является нулем бесконечного порядка, то достаточно предполагать, что A(i) имеет нуль бесконечного порядка в некоторой точке io G Г. По определению вырожденной факторизации типа плюс det A-(i) G GC⁰⁰(Г, C). Но тогда функция det A⁺(i) обязана иметь в точке io G Г нуль бесконечного порядка. По определению нуля бесконечного порядка

(dldetA+OX    =₀, i ^о,!^,^

;=£о

Тогда det A⁺(i) = (i — £q)^zAA(£), где A+(£) G С+°(Г, C), каково бы ни было l G Z+. По определению вырожденной факторизации типа плюс

(det A+(i))-1 = £ Bjij, i ^ 0, jez+ и при этом |Bj| < c(j + 1)m0 для некоторых c > 0 и mQ G Z+. Очевидно, имеет место равенство

A+(i)(det A⁺(i))^-1= (i — io)^-1, i ^ 0,

Поскольку A+ (4) G С“(Г, C), а коэффициенты Фурье (det A⁺(4)) ¹растут не быстрее, чем (j + 1)^m0 , где j — номер коэффициента, то и коэффициенты ряда Фурье функции A+(4)(det A⁺(4))^-1также растут не быстрее, чем (j + 1)^m0. С другой стороны,

^{(4 —}€о)

l = (-4o)^-l (1 - 4-14)

∞

' = (-«o)-^lEcj+j-i4o-^j4j.

j=o

и, следовательно,

A+OA+ (4))

∞

¹ ^-E Cj+j-16-j 4.

j=o

Таким образом, если

∞

A+(4)(det A+ (4))-1 = V-- 4j, j=o то cj = Clj+j -14o-j (-4o )-l.

Воспользовавшись формулой Стирлинга, будем иметь

_|ci _       ^exP^{(l —}1)       ji-1

¹ j¹    (l — 1)^l-1V2n(l — 1) ³    ‘

Отметим, что в произведенных выкладках l G Z+ — произвольно. Выбрав l = mo + 2, получим exp(mo + 1)

^|cj |~ ^mjm⁰⁺¹,   ^m

(mo + 1)^m0⁺¹^2n(mo + 1)

Но последняя эквивалентность противоречит тому, что коэффициенты cj должны расти не быстрее, чем (j + 1)^m0. Полученное противоречие доказывает необходимость.

Достаточность. Пусть det A(4) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Пользуясь методом отщепления нулей (см. [1, 2, 7]), представим матрицу-функцию A(4) в виде A(4) = Ao(4)^⁺(4), где A(4) G C“(Г,М_П(С)), fi⁺(4) G С“(Г,М_П(С)). При этом det Ao(4) = 0, 4 G Г, а detQ⁺(4) = П_к(4 - Zk)n^k, где {zk} — множество всех нулей функции det A(4) на окружности Г. Хорошо известно, что матрица-функция Ao (4) допускает стандартную (невырожденную) правую факторизацию Ao(4) = B-(4)D(4)B⁺(4). Полагая A^-(4) = B^-(4), A⁺(4) = B⁺(4)^⁺(4), получим правую вырожденную факторизацию типа плюс матрицы-функции A(4). >

Следствие 2. Суммарные индексы правой и левой вырожденных гладких факторизаций матрицы-функции A(4) G C“(Г, M_n(C)) одного типа совпадают и равны индексу факторизации того же типа функции det A (4).

Теорема 3. Пусть A(4) G C“(Г, Mn(C)). Оператор TA (T-) нётеров в пространстве С“(Г, Cn) (С“(Г, Cn)) тогда и только тогда, когда матрица-функция A(4) допускает правую (левую) гладкую вырожденную факторизацию типа минус (плюс) в алгебре C“(Г, Mn(C)). При выполнении последнего условия indT+ = —Kr (A) (indTA = k+(A)).

⊳ Достаточность теоремы вытекает из лемм 3–8. Необходимость является следствием теоремы Б. Зильбермана [12] и теоремы 1. ⊲

Следствие 3. Пусть А(4),В(4) Е C“(Г, Mn(C)) и каждая из функций det А(4), det B(4) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Тогда indRa,в = —к (det А) + K+(det B).

Замечание 1. Достаточность теоремы 3 может быть доказана независимо от результата Б. Зильбермана, но более громоздко (см. [12]).

Определение 3. Сингулярным индексом функции А(4) Е C“(Г, C), имеющей конечное число нулей конечных кратностей, будем называть число

Kc(A) = - v.p. [ A|2 d^. ni J A(4)

г

Пусть А(4) Е C“(Г, C) и имеет на Г конечное число нулей Zk порядков nk, к = 1, 2,... , s, соответственно. Назовем число n(A) = ^2k₌₁nk суммарным числом нулей этой функции.

Лемма 8. Пусть А(4) Е C“(Г, C) и п(А) < то, а s

Ag(4) = A«) П« — Zk)-nk Е C“(Г, C) k=1

s

A1«) = А«)П (1 — zk4-1)

k=1

-nk

∈ C^∞

(Г, C))

и не обращается в нуль на Г. Тогда имеет место равенство кс(А) = n(A) + 2 ind А°(4) (кс(А) = —n(A) + 2 ind Ai (^)). ger                                  ger

• <1 Воспользуемся тем, что для невырождающейся, дифференцируемой на Г функции

,»! А«№ = 2 ind A (4) ni J ag(4)      ger

г и тем, что для фиксированного Zk Е Г справедливо равенство

Г d4 . v.p. ------= ni.

ξ - zk

r

Тогда

1 г A‘(4)d4    1 f A’(4Ш   1 \^ f nkd4

K_c (A) = —v.p. --777^ = —v.p.   —Г7Т7--1--: / v.p. 7----- = 2 ind Aq (4) + n(A).

c^V      ni ¹ J   A(4)     ni ¹ J   Ag(4)    nif^ ^P J 4 — Zk     ger 0 " ^{v 7}

_{r                   r}               k=1    _r

Доказательство второй формулы аналогично приведенному. ⊲

Нетрудно заметить, что если функция А(4) Е C“(Г, C) имеет конечное число нулей конечных кратностей, то А(4) Е Fact±(K±,C“(Г, C)) и при этом,

S

К+ = indgAg(4), Ag(4) = А(4) П(4 — 4k)-nk, k=1

К^- = indgА1(4), Ai(4) = А(4) П(1 — 4k4^-1)^-nk.

k=1

Принимая во внимание лемму 8, последним формулам можно придать следующий вид: к_с(А) = n(A) + 2к⁺, k_c(A) = — n(A) + 2к-. Таким образом, индексы вырожденной факторизации функции A(^) G C“(Г, C), в случае ее существования, могут быть найдены следующим образом: к± = 2 (к_с(A) Т n(A)).

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Лемма 9. Функция A(^) G Fact±(K±,C“(Г, C)) тогда и только тогда, когда эта функция имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. При выполнении последнего условия индексы вырожденных факторизаций могут быть найдены по формулам к± = 2 (кс(А) Т n(A))-

Теорема 4. Пусть A(£),B(£) G C“(Г,МП(C)). Оператор Ra,b : C“(Г, Cn) ^ C“(Г, Cn) нётеров тогда и только тогда, когда каждая из функций det A(^), det B(£) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. При выполнении этих условий индекс оператора может быть найден по формуле ind Ra,b = — ^ (Kc(det A) + n(det A)) + ^ (Kc(det B) — n(det B)).