О матричном операторе Римана в пространстве гладких вектор-функций
Автор: Пасенчук Александр Эдуардович, Серегина Виктория Викторовна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.21, 2019 года.
Бесплатный доступ
В пространстве гладких на единичной окружности вектор-функций рассматривается матричный оператор линейного сопряжения, порождаемый краевой задачей Римана. Предполагается, что коэффициенты краевой задачи являются гладкими матрицами-функциями. Вводится и изучается понятие гладкой вырожденной факторизации типов "плюс" и "минус" гладкой матрицы-функции. В терминах вырожденных факторизаций даются необходимые и достаточные условия нетеровости рассматриваемого матричного оператора Римана в пространстве гладких вектор-функций. Для гладкой на окружности функции, имеющей не более чем конечное число нулей конечных порядков, вводится и изучается понятие сингулярного индекса, обобщающее понятие индекса невырожденной непрерывной функции. Для нетерового матричного оператора Римана получена формула для вычисления индекса этого оператора, совпадающая с общеизвестной аналогичной формулой в случае, когда коэффициенты оператора Римана невырождены.
Оператор, риман, нетеровость, гладкий, индекс, формула
Короткий адрес: https://sciup.org/143168807
IDR: 143168807 | DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36461
Текст научной статьи О матричном операторе Римана в пространстве гладких вектор-функций
Будем пользоваться стандартными обозначениями N , Z , R , C для множеств натуральных, целых, вещественных, комплексных чисел соответственно. Положим также
Z + = {j e z : j > 0 } , Z - = Z \ Z + , r = { z E C : | z | = 1 } ,
D + = {z E C : | z | < 1 } , D - = { z E C : | z | > 1 } .
Пусть n E N , будем рассматривать декартову степень C n как банахово пространство относительно покоординатных линейных операций и евклидовой нормы. Пусть A — коммутативная банахова алгебра. Через M n ( A ) обозначим банахову алгебру матриц порядка n со стандартными операциями и некоторой матричной нормой. В частности, рассматривая M n (C) , будем считать, что введена операторная норма.
Для банахова пространства B введем следующие линейные многообразия B -значных функций, определенных на Г :
Cm(Г,B) = L({) = £ aj{, aj 6 B : £(j| +1)mh«j || < ^, { 6 Г L m 6 Z+; j∈Z j∈Z c“(Г,B) = Q cm(г,в), m∈Z+ считая, что в этих множествах линейные операции определены поточечно. Хорошо известно, что C“(Г,B) является счетно-нормированным пространством с определяющей системой полунорм
» A({) » m = £(j | + 1) ” « a j II , m 6 Z + .
j ∈ Z
Введем в пространстве C “ (Г,B) операторы проектирования
P ± : P ±( £ aj j = £ aj { j∈Z j∈Z± и положим
C + ° (r,B) = P + (C “ (Г,B)), C “ (Г,B) = P - (C “ (Г,B)), C “ (Г,B) = B ф C “ (Г,B ).
В этой работе рассматривается оператор линейного сопряжения
Ra,b : C ' I,C n) ^ C ' I,C n), Ra,b = A({)P+ + B ({)P-, в предположении, что A({),B({) 6 C“(Г ,Mn(C)). Уравнение Ra,b^ = f принято называть задачей Римана в связи с тем, что впервые уравнение такого рода было приведено Б. Риманом (см. [1]). Задаче Римана и оператору RA,B посвящено большое число работ (см. [1–9, 12] и цитируемые там работы). Наиболее полные результаты относительно задачи Римана и соответствующего оператора были получены в банаховых пространствах г¨ельдеровых и суммируемых вектор-функций. В этих случаях для широкого класса коэффициентов A({), B({) была построена полная теория Нетера. Именно, показано, что необходимым и достаточным условием н¨етеровости оператора RA,B является невырожденность коэффициентов для всех { 6 Г. В терминах правой канонической факторизации матрицы-функции A({)B-1({) эффективно описаны ядро, коядро оператора Ra,b, построен обобщенный обратный оператор, найдена формула для индекса ind Ra,b = —ind^er det A({) + ind^er det B({).
В пространстве гладких вектор-функций C “ (Г, C n ) оператор Римана также рассматривался (см. [7, 10, 11] и цитируемые там работы). В результате был получен критерий н¨етеровости этого оператора. Оказалось, что н¨етеровы в пространствах гладких вектор-функций операторы Римана могут иметь коэффициенты с вырождениями на Г специального типа. Точнее, оператор R a,b нетеров в пространстве C “ (Г, C n ) тогда и только тогда, когда каждая из функций det A({) , det B ({) имеет на Г разве лишь конечное число нулей конечных порядков. Однако удобной формулы для подсчета индекса, аналогичной приведенной выше, найдено не было. В предлагаемой работе получена такая формула для индекса оператора R a,b : C “ (Г, C n ) ^ C “ (Г, C n ).
2. Вспомогательные результаты
Некоторые из приводимых ниже результатов известны или могут быть легко получены так же, как и в случаях пространств г¨ельдеровых или суммируемых вектор-функций. В связи с этим ниже мы приводим лишь доказательства нестандартных утверждений.
Вместе с оператором R A,B будем рассматривать пару операторов Т¨еплица
T A : С “ (Г, C n ) ^ С “ (Г, C n ), т + = P +A« )I,
T - : С “ (Г, C n ) ^ С “ (Г, C n ), T - = P - B «) I.
Лемма 1. Пусть A(^),B(£) G C“(Г, Mn(C)). Оператор Ra, в нетеров тогда и только тогда, когда нетеров каждый из операторов Т д и T-. При выполнении этих условий ind Ra,b = ind Т+ + ind Т—.
⊳ Утверждение леммы является следствием того факта, что каждый из операторов P - A(^)P + , P + B(^)P - компактен в пространстве C “ (Г, C n ) (см., например [7]), а оператор P + A(^)P + + P - B(^)P - есть прямая сумма операторов Т д , Т - . >
Следующее утверждение носит, по-существу, алгебраический характер. Мы формулируем его для оператора Теплица с гладким матричным символом, рассматриваемого в одном из пространств С “ (Г, C n ) .
Теорема 1. Пусть A(^) G C “ (Г, M n (C)). Оператор Т ± нетеров тогда и только тогда, когда в пространстве С “ (Г, C) нетеров оператор Т ± д.
⊳ Рассмотрим квадратную матрицу порядка n , составленную из линейных ограниченных операторов, действующих в некотором топологическом пространстве. Будем считать, что элементы этой операторной матрицы коммутируют с точностью до компактных слагаемых. Тогда с точностью до компактных слагаемых для этой матрицы определены алгебраические дополнения, определитель, присоединенная матрица. Для операторной матрицы U через U ∇ обозначим определенную с точностью до компактного слагаемого присоединенную матрицу. Условимся писать A = B(mod K ) , если оператор A — B компактен. Нетрудно видеть, что
(I + k)V = I (mod K), U ^U=UUV = Endet U (mod K), где k — компактный оператор, а En — единичная матрица порядка n. Отметим также, что если элементы операторных матриц U, V попарно коммутируют по модулю компактных операторов, то (UV)V = VVUV(mod K).
Будем рассматривать оператор T + как операторную матрицу, элементами которой являются одномерные операторы Теплица с гладкими символами. Поскольку такие операторы коммутируют с точностью до компактного оператора, то ввиду сделанных замечаний имеем
(T A ) V T+ = T+jT+j V = E n r +et A|(| (mod K).
Если предположить теперь, что оператор T+etA^^^ нетеров, а R — его регуляризатор, то, очевидно, операторы (REn)(T+')V, (T+')V(REn) являются левым, правым регуляри-заторами, соответственно, оператора Т+. Обратно, если оператор Т + нетеров и Q его регуляризатор, то ^Тд = Тд^ = I (mod K). Нетрудно убедиться в том, что элементы операторной матрицы Q с точностью до компактного оператора попарно коммутируют и коммутируют в том же смысле с элементами Т+. Но, тогда в силу сделанных замечаний
(QT A + ) V = (T + ^) V = I (mod K ) или (T A + ) V Q V = ^(Т +Е = I (mod K ).
Последнее означает, что оператор (T +E нетеров и регуляризатором для него является оператор Q E Ввиду справедливости равенства (Т д^ Т д =Т д ( T A +E = EZ .д ^(mod K ) оператор E n T ^et A ^ ^ ) является нетеровым как композиция нетеровых операторов. Последнее эквивалентно нетеровости оператора Т ± д. >
Определение 1. Будем говорить, что матрица-функция A(€) G C ° (Г,М П (С)) допускает гладкую правую (левую) вырожденную факторизацию типа минус, если
A«) = A-(e)D(e)A+ «) (A(0 = A' € D € A (О), где
1)A + «) G GC ° (Г,M n (C)) ;
-
2) A - (€) G С -° (Г,М П (C)) , для любого ^ q G D - матрица A - (€ q ) обратима, и если (A -О-1 = E jG Z + B j О, € ^ ^ , то найдутся c> 0 и m Q G Z + так, что ||B j || < c(j + 1) m 0;
-
3) D(€) = E j =1 € K j P j , причем P j = diag(0,..., 0,1, 0,... , 0) , K j G Z , j = 1, 2,... , n .
Числа K j G Z , j = 1,2, ...,n , называются частными индексами соответствующей факторизации.
Тот факт, что матрица-функция A(€) G C ° (Г, M n (C)) допускает гладкую правую вырожденную факторизацию типа минус будем обозначать A(€) G Fact - (к, C ° (Г, M n (C))), к = (k i , K 2 ,..., к п ) . Число к - (A) = Ej =i K j называть суммарным индексом правой вырожденной факторизации типа минус. Обозначения A(€) G Fact - (к, C ° (Г,М П (C))), K l - (A) будем применять в случае гладкой левой вырожденной факторизации типа минус.
Определение 2. Будем говорить, что матрица-функция A(€) G C ° (Г, M n (C)) допускает гладкую правую (левую) вырожденную факторизацию типа плюс, если
A(€) = A-(€)D(€)A+ (€) (A(€) = 'G € D' € AО, где
1)A - (€) G GC °° (Г, M n (C)) ;
-
2) A + (€) G С ° (Г,М П (C)) , для любого € q G D + матрица A + (€ q ) обратима, и если (A+O - 1 = E je z + B j € j ,€ ^ 0 , то найдутся c > 0 и m Q G Z + так, что | B j || < c(j + 1) m 0;
-
3) D(€) = E n =1 € K j P j , причем P j = diag(0,..., 0,1, 0,... , 0) , K j G Z, j = 1, 2,..., n .
Числа K j G Z , j = 1, 2, . . . , n , называются частными индексами соответствующей факторизации.
Тот факт, что матрица-функция A(€) G C ° (Г, M n (C)) допускает гладкую правую вырожденную факторизацию типа плюс будем записывать следующим образом: A(€) G Fact + (K,C ° (Г,М П (C))), к = (k i ,K 2 ,...,K n ) . Число k + (A) = Ej =i K j называется суммарным индексом правой вырожденной факторизации типа плюс.
При n = 1 левые и правые гладкие вырожденные факторизации совпадают, поэтому в этом случае будем пользоваться обозначением A(€) G Fact ± (K, C ° (Г, C)) .
Из данных выше определений следует, что A(€) G Fact - (к, C ° (Г,М П (С))) тогда и только тогда, когда (A(€)) T G Fact - (к, C ° (Г,М П (С))) и A(€ -1 ) G Fact i+ ( - к, C ° (Г,М П (С))) .
Лем где D ( c |
iма 2. Оператор T + : С “ (Г, C n ) ^ С “ (Г, C n ) (T D : С ~ (Г, C n ) ^ С “ (Г, C n )), ) = En =1 C K j P j , нётеров и при этом имеют место равенства
K j > 0 ' K j < 0
|
Лем T + + (T B |
iма 3. Если A + (C) Е GC + o (Г,M n (C)) (B — (C) Е GC 2o (Г,M n (C))), то оператор - ) обратим и при этом (4 + ) —1 = T A + ) -1 ((T B— - ) —1 = T ( B - ) -i )■ |
Лемма 4. Пусть A (C) Е С-°(Г,М п (C)), для любого C 0 Е D матрица A (^ 0 ) обратима и если (A - (C)) -1 = j^ Zz + B+ B j C —j , C ^ то и при этом ^B j || ^ c(j + 1) m 0 для некоторых c > 0 и m o Е Z + , тогда оператор Т^ - обратим.
<1 Поскольку для любого ф Е C n , k Е Z + , имеет место равенство
P + (A — (C)) — ^C k = P +
(Ек jez+
B j φξ j - k
)=Е
/ j=0
B j φξ j - k ,
то оператор P + (A - (C)) -1 P + в силу линейности определен на всех многочленах с коэффициентами из C n . Кроме того, для каждого такого многочлена ф(С) справедливы легко проверяемые равенства
Т + - P + (A — (C)) - 1 ф(С) = P + (A — (C)) —1 Т + - Ф(С) = Ф(С)
Таким образом, ввиду того, что множество многочленов с коэффициентами из C n всюду плотно в С ^ ° (Г, C n ) , достаточно доказать, что оператор P + (A — (C)) — 1 P + : С ^ ° (Г, C n ) ^ С ^ (Г, C n ) ограничен в пространстве С “ (Г, C n ) .
Отсюда получаем
∞
∞
< Ej + 1)’”E IB- »Vk| j^Z+ k=j
||P +(A-O-M{)||,m = Ej + 1)m Y-Bk-jVk j^Z+ k=j kk
= E
ib
ii
E
^ C E (k + 1)m+m0 + 1|Vk I = |v(C)|m+mo + 1. ▻ kez+
Лемма 5. Пусть A + (£) Е С + ° (Г,М П (C)), для любого £ g Е D + матрица A + (£ g ) обратима и если (B + (£)) -1 = 52j G z + B j £ j , £ ^ 0 и при этом ^B j || ^ c(j + 1) m 0 для некоторых c > 0 и m g Е Z + , тогда оператор T A + обратим.
Лемма 6. Если A«) Е Fact±(«,C~(Г,МП(C))) (Fact±(K,C“(Г, Mn(C)))), то det A(£) Е Fact± (k±(A), C“(Г,C)) (Fact±(k±(A),C“(Г,C))).
<1 Предположим, для определенности, что A(£) Е Fact+(K, C“(Г,МП(С))). Тогда det A(£) = det A-(£) det D(£) det A+(£). При этом det A-(£) = 0, £ Е D- ввиду обратимости в С—°(Г,МП(C)) матрицы-функции A-(£). Ясно, что тогда det A-(£) Е GCSO(Г, C). Кроме того, очевидно, det D(£) = E Kj = k+(A).
j =i
В силу условия 2) определения вырожденной факторизации типа плюс А + (£) Е С +° (Г, M n (C)) , для любого £ g Е D + матрица A + (£ g ) обратима, и если
(A+(£))-1 = VB£j, £ ^ 0, jez+ то iBj|| ^ c(j + 1)m0 для некоторых c > 0 и mg Е Z+. Из обратимости матрицы A+(£g), £о Е D+, следует, что det A+(£) = 0, £ Е D+. Кроме того, очевидно,
(det A + (£)) -1 = det(A + (£)) -1 = det
С E B j j •
\je z + /
£ ^ 0.
Тогда по определению определителя n! n
(detA+(£))-1 =£(-1)s<-kIf] £(Bi)k„k£\ k=1 k=11EZ+ где через (B)km обозначены элементы матрицы B с номерами k, m, а через s(^k) — четность перестановки k ^ s(^k). Из последнего равенства следует, что n!
(det A+ (£))-1 = £d, £j, где dj = £ £(-1)s('k 1 U(Bs> )k-k • jGZ+ si+s2 + ...+sn=j k=1
Какова бы ни была матричная операторная норма из неравенства |Bj || ^ c(j + 1)m0 следует, что |(Bj)km| ^ c(j + 1)m0 для любых k, m. Но тогда n!
| d j | =
Е Е (-1)s("k ’ n n! < E EIIl(Bsj)k-kI < cn(n! + 1)(j + 1)nm0 si+s2+...+sn=j k=1 k=1 По определению это означает, что det A(£) Е Fact+(Kr(A),C“(Г, C)). > Лемма 7. Если A(i) = A (£)D(£)A+(£)(A(£) = A+(£)D(£)A (i)), где A±(i) G С“(Г, Cn), то + + + + —- —- —-— TA = TA- TD TA+ (TA = TA+ TD TA-)• Следствие 1. Если A(i) G Factr (к, C“(Г,Mn(C))) (B(i) G Fact+(K, C“(Г, Mn(C)))), то оператор TA (T-) нётеров и при этом ind TA = -Kr (A) = —к (det A) (indTB = kA (B) = k+ (det B))•
3. Гладкие факторизации, н¨етеровость, индекс Теорема 2. Матрица-функция A(i) G C“(Г, Mn(C)) допускает одну из гладких вырожденных факторизаций тогда и только тогда, когда функция det A(i) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. ⊳ Будем, для определенности рассматривать случай правой вырожденной факторизации типа плюс. Необходимость. Если A(i) G Fact+(K, C“(Г,МП(С))), к = (ki, K2, • • •, кп), то из равенства A(i) = A-(£)D(£)A+ (i) в силу свойств определителя следует, что det A(i) = det A-(£)£K det A+«), где к = ]T Kj = k+(A) j=i Согласно лемме 7 полученное равенство является гладкой вырожденной факторизацией типа плюс функции det A(i) с индексом факторизации к+(А). Покажем, что из последнего условия вытекает, что det A(i) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Предположим противное, т. е. что det A(i) G Fact+(K, C“(Г, C)), но имеет более чем конечное число нулей конечных порядков. Это означает, что либо A(£) имеет нуль бесконечного порядка в некоторой точке io G Г, либо — бесконечное число нулей. Поскольку в последнем случае точка сгущения нулей является нулем бесконечного порядка, то достаточно предполагать, что A(i) имеет нуль бесконечного порядка в некоторой точке io G Г. По определению вырожденной факторизации типа плюс det A-(i) G GC00(Г, C). Но тогда функция det A+(i) обязана иметь в точке io G Г нуль бесконечного порядка. По определению нуля бесконечного порядка (dldetA+OX =0, i ^о,!^,^ ;=£о Тогда det A+(i) = (i — £q)zAA(£), где A+(£) G С+°(Г, C), каково бы ни было l G Z+. По определению вырожденной факторизации типа плюс (det A+(i))-1 = £ Bjij, i ^ 0, jez+ и при этом |Bj| < c(j + 1)m0 для некоторых c > 0 и mQ G Z+. Очевидно, имеет место равенство A+(i)(det A+(i))-1= (i — io)-1, i ^ 0, Поскольку A+ (4) G С“(Г, C), а коэффициенты Фурье (det A+(4)) 1растут не быстрее, чем (j + 1)m0 , где j — номер коэффициента, то и коэффициенты ряда Фурье функции A+(4)(det A+(4))-1также растут не быстрее, чем (j + 1)m0. С другой стороны, (4 —€о) l = (-4o)-l (1 - 4-14) ∞ ' = (-«o)-lEcj+j-i4o-j4j. j=o и, следовательно, A+OA+ (4)) ∞ 1 ^-E Cj+j-16-j 4. j=o Таким образом, если ∞ A+(4)(det A+ (4))-1 = V-- 4j, j=o то cj = Clj+j -14o-j (-4o )-l. Воспользовавшись формулой Стирлинга, будем иметь |ci _ exP(l —1) ji-1 1 j1 (l — 1)l-1V2n(l — 1) 3 ‘ Отметим, что в произведенных выкладках l G Z+ — произвольно. Выбрав l = mo + 2, получим exp(mo + 1) |cj |~ ^mjm0+1, ^m (mo + 1)m0+1^2n(mo + 1) Но последняя эквивалентность противоречит тому, что коэффициенты cj должны расти не быстрее, чем (j + 1)m0. Полученное противоречие доказывает необходимость. Достаточность. Пусть det A(4) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Пользуясь методом отщепления нулей (см. [1, 2, 7]), представим матрицу-функцию A(4) в виде A(4) = Ao(4)^+(4), где A(4) G C“(Г,МП(С)), fi+(4) G С“(Г,МП(С)). При этом det Ao(4) = 0, 4 G Г, а detQ+(4) = Пк(4 - Zk)nk, где {zk} — множество всех нулей функции det A(4) на окружности Г. Хорошо известно, что матрица-функция Ao (4) допускает стандартную (невырожденную) правую факторизацию Ao(4) = B-(4)D(4)B+(4). Полагая A-(4) = B-(4), A+(4) = B+(4)^+(4), получим правую вырожденную факторизацию типа плюс матрицы-функции A(4). > Следствие 2. Суммарные индексы правой и левой вырожденных гладких факторизаций матрицы-функции A(4) G C“(Г, Mn(C)) одного типа совпадают и равны индексу факторизации того же типа функции det A (4). Теорема 3. Пусть A(4) G C“(Г, Mn(C)). Оператор TA (T-) нётеров в пространстве С“(Г, Cn) (С“(Г, Cn)) тогда и только тогда, когда матрица-функция A(4) допускает правую (левую) гладкую вырожденную факторизацию типа минус (плюс) в алгебре C“(Г, Mn(C)). При выполнении последнего условия indT+ = —Kr (A) (indTA = k+(A)). ⊳ Достаточность теоремы вытекает из лемм 3–8. Необходимость является следствием теоремы Б. Зильбермана [12] и теоремы 1. ⊲ Следствие 3. Пусть А(4),В(4) Е C“(Г, Mn(C)) и каждая из функций det А(4), det B(4) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. Тогда indRa,в = —к (det А) + K+(det B). Замечание 1. Достаточность теоремы 3 может быть доказана независимо от результата Б. Зильбермана, но более громоздко (см. [12]). Определение 3. Сингулярным индексом функции А(4) Е C“(Г, C), имеющей конечное число нулей конечных кратностей, будем называть число Kc(A) = - v.p. [ A|2 d^. ni J A(4) г Пусть А(4) Е C“(Г, C) и имеет на Г конечное число нулей Zk порядков nk, к = 1, 2,... , s, соответственно. Назовем число n(A) = ^2k=1nk суммарным числом нулей этой функции. Лемма 8. Пусть А(4) Е C“(Г, C) и п(А) < то, а s Ag(4) = A«) П« — Zk)-nk Е C“(Г, C) k=1 s A1«) = А«)П (1 — zk4-1) k=1 -nk ∈ C∞ (Г, C)) и не обращается в нуль на Г. Тогда имеет место равенство кс(А) = n(A) + 2 ind А°(4) (кс(А) = —n(A) + 2 ind Ai (^)). ger ger <1 Воспользуемся тем, что для невырождающейся, дифференцируемой на Г функции ,»! А«№ = 2 ind A (4) ni J ag(4) ger г и тем, что для фиксированного Zk Е Г справедливо равенство Г d4 . v.p. ------= ni. ξ - zk r Тогда 1 г A‘(4)d4 1 f A’(4Ш 1 \^ f nkd4 Kc (A) = —v.p. --777^ = —v.p. —Г7Т7--1--: / v.p. 7----- = 2 ind Aq (4) + n(A). cV ni 1 J A(4) ni 1 J Ag(4) nif^ P J 4 — Zk ger 0 " v 7 r r k=1 r Доказательство второй формулы аналогично приведенному. ⊲ Нетрудно заметить, что если функция А(4) Е C“(Г, C) имеет конечное число нулей конечных кратностей, то А(4) Е Fact±(K±,C“(Г, C)) и при этом, S К+ = indgAg(4), Ag(4) = А(4) П(4 — 4k)-nk, k=1 К- = indgА1(4), Ai(4) = А(4) П(1 — 4k4-1)-nk. k=1 Принимая во внимание лемму 8, последним формулам можно придать следующий вид: кс(А) = n(A) + 2к+, kc(A) = — n(A) + 2к-. Таким образом, индексы вырожденной факторизации функции A(^) G C“(Г, C), в случае ее существования, могут быть найдены следующим образом: к± = 2 (кс(A) Т n(A)). Таким образом, доказано следующее утверждение. Лемма 9. Функция A(^) G Fact±(K±,C“(Г, C)) тогда и только тогда, когда эта функция имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. При выполнении последнего условия индексы вырожденных факторизаций могут быть найдены по формулам к± = 2 (кс(А) Т n(A))- Теорема 4. Пусть A(£),B(£) G C“(Г,МП(C)). Оператор Ra,b : C“(Г, Cn) ^ C“(Г, Cn) нётеров тогда и только тогда, когда каждая из функций det A(^), det B(£) имеет на Г не более чем конечное число нулей конечных порядков. При выполнении этих условий индекс оператора может быть найден по формуле ind Ra,b = — ^ (Kc(det A) + n(det A)) + ^ (Kc(det B) — n(det B)).
Список литературы О матричном операторе Римана в пространстве гладких вектор-функций
- Gahov F. D. Boundary Value Problems. N.Y.: Dover, 1990. 561 p.
- Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 599 с.
- Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970. 252 с.
- Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.
- Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев: Штиинца, 1973. 426 с.
- Симоненко И. Б. Некоторые общие вопросы краевой задачи Римана // Изв. АН СССР. 1968. Т. 32, № 5. C. 1138-1146.
- Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. 493 с.
- Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. M.: Высш. шк., 1991. 210 c.
- Волевич Л. З., Гиндикин С. Г. Обобщенные функции и уравнения в свертках. М.: Наука, 1994. 336 с.
- Дыбин В. Б., Карапетянц Н. К. Применение метода нормализации к одному классу бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1967. № 10. C. 39-49.
- Зильберман Б. О сингулярных операторах в пространствах бесконечно дифференцируемых и обобщенных функций // Мат. исследования. Кишинев: Штиинца, 1971. Т. 6, № 3. C. 168-179.
- Пасенчук А. Э. Дискретные операторы типа свертки в классах последовательностей со степенным характером поведения на бесконечности. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2013. 279 с.