О мерах механического движения

Величины количество движения и кинетическая энергия содержат одни и те же параметры – массу и скорость и являются мерой движения инертного тела. Далее рассматривается единый формализованный подход к обоснованию этих и других величин.

1. Формальный аналог волновой функции

Уравнение равномерного движения инертного тела может быть последовательно преобразовано следующим образом:

A0 =—v m v h2

i

_   — ( mv t - m vr )

-² Ce ^й

x—. (4) m

Правые части (3) и (4) с учетом множителей равны, поэтому левые образуют следующее уравнение:

50 h^ - h— = —A0.

5 1    m

Это уравнение почти идентично уравнению Шредингера для свободной частицы

r = r o + v t ,                (1)

5T   h2

i h =-- AT , 5 1    2 m

r₀ =- ( v t - r ), —m v r₀ = —( mv ² 1 - m vr ),

0                h 0 h i                    i2

—p x       —( mv t - m vr)

Ce ^h    = Ce ^h         = 0 ( r , t ).    (2)

где T - волновая функция [1]. Уравнение (6) отличается от уравнения (5) тем, что в знаменателе правой части стоит множитель 2.

ФАВФ (2), прообразом которой является (1), почти идентичен волновой функции

Здесь r – радиус-вектор, определяющий местонахождения тела в ℜ ³ , v – скорость тела, m – масса тела, p – импульс, ħ – постоянная Планка.

Последняя величина является формальным аналогом волновой функции (ФАВФ). Для нее справедливы выражения:

i mv ²

- (     t - m vr)

T = Ce h 2

.

Построение прообраза волновой функции подобно прообразу ФАВФ дает формулу

i „ - ^— ( mv ² 1 - m vr )

- -mv ² Ce ^й h

x i h ,

v r = r + t . 0 2

Это выражение существенно не совпадает с (1).

Недостатком уравнения (5) является отсутствие информации о скорости тела. Этот недостаток легко исправим. Вместо (3) и (4)

можно использовать другие производные. Это не должны быть производные одного порядка, иначе теряется информация о массе тела.

d 2 ® dt²

1 i

2 4_Г -i ( mv ¹ - m ^{vr )}

—m v Ce й h'

x i h ,

i          - - ( mv ² 1 - m vr )

V®=—mv Ce h h

x ( - mv ² v ) .

Эти два выражения порождают еще одно дифференциальное уравнение для ФАВФ (ДУФАВФ)

• 3.    Третье ДУФАВФ

Далее для упрощения прямолинейное движение рассматривается в ℜ1. Сопоставление выражения d3® dx3

i ₂

i ~ ~    — ( mv 1 - mvx )

- 4 m3 v3 Ce h h3

и (7) дает уравнение

. d2® vv d3®

- —г = h-- 3- ,

di m dx'

52®      2

ih—— = - mv d 12

v V® .

Волновой аспект последнего выражения лежит за рамками настоящей работы. В то же время результатом синтеза (8) как ДУФАВФ, учитывающего скорость частицы, является возникновение величины mv ² v . Ее физический смысл рассмотрен ниже.

которое характеризуется появлением величины mv ^{- 1}. Представление о физическом смысле этой величины может быть установлено, в частности, из примера центрального удара двух шаров, один из которых первоначально покоился. При этом

m 1 v 11 = m 1 ^v 12 + m 2 v 2

m ₁

m ₂

2. Движение кинетической энергии

v ₂

^v 11 ^-

v ₁₂

Начало исследованиям движения энергии положил Н.А. Умов [2]. Кинетическая энергия инертного тела, движущегося со скоростью v , локализована в самом теле. Это очевидным образом следует из возможности ее преобразования при взаимодействии с другими телами [3–5]. Таким образом, кинетическая энергия движется со скоростью v .

Вектор Умова в дифференциальной форме может быть записан в виде dU = wdv, где w – объемная плотность энергии.

Применительно к кинетической энергии dU =—dv,

2V    , mv2

U =---v, 3!V где V – объем тела.

Таким образом, величина mv2 v = 3!FU характеризует движение кинетической энергии, и выражение (8) не лишено физического смысла.

При равенстве масс шаров v12 = 0, v2

= v ₁₁, и левая часть (10) равна mv ¹.

• 4.    Ранги меры движения

Определение. Мера движения ранга n – это величина

p(n) = knmvn, где kn – безразмерный коэффициент.

Мера движения любого ранга определяется соответствующим ДУФАВФ.

В таблице представлены ранги меры движения и порождающие их ДУФАВФ.

Меры движения по рангам	ДУФАВФ
p ( n ) = k n mv n	dn -1®        d n -2® ( - 1) ni h 00 = mv n d 1n - 1           5 xn - 2 при n >  2
p (3) = k 3 mv 3	d 2 ®    з 5® - 1h—— = mv — d 12         d x
p (2) = k 2 mv 2	d®     2~ ih— = mv ® d t
p (1) = k 1 mv1	d®   ~ - 1h— = mv ® d x

Окончание таблицы

p (0) = k 0 mv0	d 2 ©   5© i n—— = m— d x 2       d t
p (-1) = k _1 mv	d 3 ©      d 2 © _ i n—— = mv —;-dx3           d t2
p ( _ 2) = k _ 2 mv “2	d 4 ©     _2 d 3 © i n—- = mv —7- dx 4          d t3
p ( _ 3) = k _ 3 mv 3	d5©      _3 d4© _ i n—— = mv —7- dx5         dt4
p ( _ n ) = k _ n mv~n	d n +2©         dn +1© ( _ 1) ni h d—© = mv-n ©- © d xn + 2            d t n + 1 при n >_ 1

• 5.    О мерах движения третьего и произвольного ранга

Мера движения нулевого ранга (масса) является производной по скорости от меры движения первого ранга (количества движения), которая в свою очередь является производной от меры движения второго ранга (кинетической энергии) ( k 0 = 1, k 1 = 1, k 2 = ½). Индуктивно можно предположить, что мера движения второго ранга является производной от меры движения третьего ранга. Действительно, из уравнения (9) следует:

UV = p (3) = mvL .

3!

Обобщение на произвольный неотрицательный ранг имеет вид n (n)   mvn p           I .

n !

p ( n ) = dp ( n + 1) dv

Таким образом, ДУФАВФ являются обоснованием не только количества движения и кинетической энергии, но и мер движения других рангов.