О многочленах наилучшего приближения сегментных функций

Предложен алгоритм поиска многочлена наилучшего приближения для непрерывной многозначной сегментной функции, заданной на совокупности не пересекающихся отрезков X=(⋃n1j1=0[aj1,bj1])∪(⋃nk=0xk) таких, что (⋃n1j1=0[aj1,bj1])∩(⋃nk=0xk)=∅, где не пересекающиеся отрезки [aj1,bj1] и точки xk принадлежат ограниченному отрезку [A,B]⊂R. Считаем, что функции f1 и f2 непрерывны на множестве X, и всюду на X значение функции f1(x) не превосходит значение функции f2(x). Оператор, ставящий в соответствие каждому x∈X отрезок [(x,f1(x)),(x,f2(x))], будем называть сегментной функцией F(x), заданной на X. В силу непрерывности функций f1 и f2 сегментная функция F является h-полунеперывным отображением сверху. Многочлен Pm=∑mi=0aixi наилучшего приближения в метрике Хаусдорфа на множестве X сегментной функции F с вектором коэффициентов a⃗ =(a0,a1,…,am)∈Rm+1 есть решение экстремальной задачи mina⃗ ∈Rm+1maxx∈Xmax(Pm(x)-f1(x),f2(x)-Pm(x)). Методами конструктивной теории функций показано, что для любых непрерывных на X функций f1(x)≤f2(x) существует многочлен наилучшего приближения в xаусдорфовой метрике h-полунепрерывной сверху на множестве X сегментной функции F(x). Предложен алгоритм описания множества Е коэффициентов a⃗ многочленов наилучшего приближения сегментной функции. Получены необходимые и достаточные условия единственности многочлена наилучшего приближения сегментной функции. Приведены результаты численных экспериментов, реализованных с помощью предложенного алгоритма.