О множествах неединственности для пространств голоморфных функций

DOI:

Как обычно, R и C — множества соответственно всех вещественных и комплексных чисел или их естественные геометрические интерпретации; кроме того, D := {г G G C: |г| < 1} — единичный круг на комплексной плоскости C. Используются определения и понятия из [3; 6; 8; 9], но при необходимости мы их повторяем. Пусть D — область в C. Каждой не более чем счетной последовательности точек Л = {Л^}k=1,2,... С D без точек сгущения в D сопоставляем считающую меру пл, а именно: пл(8) := ^л*.GS 1 — число точек из Л, попавших в S С D . Заметим, что среди точек Л^ могут быть и повторяющиеся. По определению функция пЛ(Л) := пл({Л}) — дивизор последовательности Л, то есть число повторений точки Л G C в последовательности Л. Так, Л G Л, если пл(Л) > 0.

Векторное пространство всех голоморфных в D функций обозначаем как Hol(D). Если не оговорено противное, пространство Hol(D) наделяем топологией равномерной сходимости на компактах из D. Ненулевой функции / G Hol(D) соответствует последовательность нулей Zero у , перенумерованная с учетом кратности.

Последовательность точек Л С D называется подпоследовательностью нулей для подмножества Н С Hol(D), если найдется ненулевая функция / G Н , для которой Л С Zero / в том смысле, что п _Л ( Л ) <  n _Zer o _f ( Л ) для всех Л G D. Если Н замкнуто относительно вычитания, например, векторное подпространство над R , то подпоследовательность нулей для Н называют последовательностью, или множеством, неединственности для Н .

Выпуклый конус всех субгармонических функций в области D С C обозначаем через sbh(D). Субгармоническую функцию, тождественно равную —то на D, обозначаем —^ . Для s G sbh(D) меру Рисса функции s чаще всего будем обозначать как v _s , и наоборот, субгармоническую функцию s в D с мерой Рисса v часто записываем в виде s := s _v . Борелевскую положительную меру (конечную на компактах из D), или меру Радона v [9, Appendix A], называем подмерой для подмножества S С sbh(D), если найдется функция s G S , которая = — га , с мерой Рисса v _s >  v на D. Иначе говоря, v — подмера для S , если для некоторой (любой) субгармонической функции s _v с мерой Рисса v найдется функция v G sbh(D), не равная — га , для которой s := s _v + v G S . Возможность варьирования слов «некоторый» и «любой» в последнем предложении обеспечена «нечувствительностью» неравенств к перекидыванию гармонических слагаемых от одного субгармонического слагаемого к другому.

Для (весовой) функции М: D ^ [—то, +то] со значениями в расширенной вещественной оси [—то, +то] := {—то} U R U {+то} с естественным отношением порядка определим весовой класс субгармонических функций sbh(D; М] := {s G sbh(D): s < М + const на D}, где здесь и далее const — какая-либо постоянная, а «s < М + const на D» означает выполнение поточечных неравенств s(z) < М(z) + const во всех точках z G D. Аналогично, определим весовое пространство голоморфных функций

Hol(D; exp М ] := { / G Hol(D): | / | <  const • exp М на D } .

В разделе 1 рассматривается следующая задача. Пусть N и М — две весовые функции в области D С C и Л — последовательность точек в D. При каких простых соотношениях между N и М некоторая подмера р >  п л для sbh(D; М ] определяет подпоследовательность нулей Л для пространства Hol(D;expN] или, возможно, чуть большего пространства? Более или менее удовлетворительное решение этой задачи позволяет свести исследование подпоследовательностей нулей к гибкому аппарату субгармонических функций, к тому же в классах sbh(D; М], отличных от sbh(D; N]. Также в важном следующем разделе 2 тот же вопрос отдельно комментируется для весовых пространств функций на всей плоскости C , определяемых положительно однородными при показателе р > 0 весовыми функциями.

Авторы глубоко признательны рецензенту за ряд полезных замечаний.

1.    Последовательности неединственности

Пусть S — подмножество расширенной комплексной плоскости С ^ := C U {то} . Для подмножества S С С ^ через clos S и bd S обозначаем соответственно замыкание и границу S в С ^ ; на евклидовом пространстве dist( ^ , • ) — евклидово расстояние между двумя объектами (точками, подмножествами) в евклидовом пространстве (в нашем случае R или С ). Пусть D — область в С . Пусть d: D ^ (0,1] — непрерывная функция, удовлетворяющая условию

• 0 < d(z) < dist(z,bdD), z E D.(1)

Каждой функции N сопоставляем ее усреднение по кругам с центром z радиуса 0 <  < г < dist(z,bdD), обозначаемое как

B(z,r;N) : =—- Г Г N(z + tel6)tdtd9. пг2 00

Весовой функции N : D ^ [ -то , + то ] будем сопоставлять некоторое ее « поднятие » N ^ : D ^ [ -то , + то ], а именно: для каждого z E D полагаем :

• 1)    Если С ^ \ closD = 0 (непустое множество), то полагаем

Nt (z):=B(z,d(z);N) + ln —.(2)

• 2)    Если D = С — комплексная плоскость, то для любого сколь угодно большого числа Р > 0 можем положить

Nf(z):=B(z, (f+^y;N).

Замечание 7. Обратим внимание, что предложенные функции-поднятия N ^ , в отличие от предложенных ранее четырех таких функций (2a)–(2d) в [7, перед теоремой 1], которые здесь не приводятся ввиду громоздкости, значительно тоньше, компактнее и существенно более медленного роста. Таким образом, предлагаемая ниже теорема 1 намного более точная, чем предшествующий ей результат 2015 года [7, теорема 1].

Теорема 1. Пусть D — область в С , функции N,M E sbh(D) , М — N E sbh(D) с мерой Рисса v _м-N , N,M = —га , Л — последовательность точек в D .

Если Л — последовательность неединственности для Hol(D;expN] , то п _л + + v _M—N — подмера для класса sbh(D; М ] .

Обратно, если п _л + v _M - n — подмера для класса sbh(D; М ] , N — непрерывная функция на D , то последовательность точек Л — последовательность неединственности для пространства Hol(D;expN ^ ] с подходящей весовой функцией-поднятием N ^ из (2) при С _х \ clos D = 0 и с функцией-поднятием N ^ при произвольном фиксированным числе Р >  0 из (3) при D = С .

Доказательство. Пусть Л — последовательность неединственности для Hol(D;expN]. Это означает, что для функции / л с Zero^ = Л найдется ненулевая функция h E E Hol(D), для которой произведение / _л h E Hol(D; N ], или log | / _Л | + log | h | <  N . Введем обозначение

S v _M - _N :=M — N E sbh(D).                         (4)

Тогда log | / _л | + log | h | + s _{V M - N} <  N + (M — N ) = M на D, то есть для меры Рисса п _л + v _M-N субгармонической функции log | / _л | + s _{V M - N} нашлась субгармоническая функция v = log | h | = —ю , для которой сумма (log | / _л | + s _{VM - N}) + v принадлежит классу sbh(D; M]. Таким образом, установлено, что п л + v _M-N — подмера для класса sbh(D; M]. Обратно, пусть п л + v _M-N — подмера для класса sbh(D; M]. Это значит, что найдется функция w G sbh(D), с которой в обозначении (4)

log | / л | + S v _{M - N} + w <  M + const на D.

Иначе log |/л| + M — N + w — const < M на D, то есть log |/л| + v

для функции v = w — const G sbh(D), v = —^. Будет использовано следующее предложение.

Предложение 1 ([5, следствие 3]). Пусть D — область в C, удовлетворяющая условию Cro \ closD = 0 с непрерывной функцией d: D ^ (0,1], для которой выполнено условие (1). Для субгармонической в D функции v = —га найдется ненулевая функция h G Hol(D), удовлетворяющая условию log |h(z)| < B(z, d(z); v) + ln

1 d(z)

для всех z G D.

Применим усреднения по шарам к обеим частям

B(z, d(z); log |/л|)+В(z, d(z); v)< В(z, d(z); N), или, в силу субгармоничности log |/1, log |/л| +В(z,d(z); v)< В(z,d(z);N).

Применяя к последнему неравенству соотношение (6) предложения 1, получаем требуемый случай с поднятием N^ из (2), поскольку ненулевая голоморфная функция /лh с подпоследовательностью нулей Л принадлежит уже классу Hol(D;expN^].

Доказательство для случая D = C проводится совершенно аналогично через следующее предложение.

Предложение 2 ([5, следствие 2 с комментарием]). Для любой субгармонической в C функции v = —^ для любого сколь угодно большого числа Р > 0 найдется ненулевая целая функция h G Hol(D), удовлетворяющая условию ln|h(z)| <В(z, (1+1^|)Р;v)

для всех z G C.

2.    Положительно ρ-однородные субгармонические функции

Мы вынуждены повторить и напомнить некоторые сведения, собранные в [7, п. 3.1]. Пусть р G (0, +то). Обозначим через p-shg(C) С sbh(C) множество субгармонических положительно однородных при показателе р функций Н = —га, то есть Н(tz) = = t^pH(z) при всех z G C, t > 0. Через p-trc(R) обозначаем множество 2п-периодических р-тригонометрически выпуклых²функций h: R ^ R, [2-4; 8], полностью определяемых условиями-неравенствами

h(0) sin р(0₂— 01) < h(01) sin р(0₂— 0) + h(0₂) sin р(0 — 01), 01 < 0 < 02 < 01 + ^П.

ρ

Известно, что

• (i)    отображение-расширение ext: h -—>(H: re¹⁰ ^ h(0)r^p, r > 0, 0 G R), функций h: R ^ R задает аддитивную положительно однородную сохраняющую точную верхнюю грань биекцию выпуклых конуса p-trc(R) на конус p-shg(C), и функции из p-shg(C) и p-trc(R) непрерывны [3;5;7-9], [2, § 2.3, I-VI], [4, свойство 9.5, теоремы 9.12];

• (ii)    функция Н G р-shg(C) удовлетворяет локальному условию Липшица в форме (см. [2, § 2.3, IV] и детальнее [4, свойство 9.25 и следствие 9.26 с доказательством])

|Н(z) — Н(w)| < рmaxH(е^1ф) • (max{|z|, М})^р1|z — w|, z,w G C,   (8)

ϕ∈R

• и, как следствие из п. (i), функция h G р-trc(R) удовлетворяет условию Липшица

h(0) — h(^)|< рmaxh(^) • |0 — ^|, 0,^ G R;                (9)

ϕ∈R

• (iii)    в обозначениях из (i)-(ii) плотность меры Рисса dv_Hфункции Н G р-shg(C) в полярных координатах определяется как произведение плотностей мер

dv_H(re⁰) = г^{р 1}dr ® — (h (0) + p²h(0)) d0,  re⁰ G C, r > 0, 0 G R,    (10)

где производные понимаются в смысле теории распределений, или обобщенных функций, а h" + p²h > 0 — положительная 2п-периодическая мера на R.

Пусть h1,h₂ G p-trc(R). Воспользуемся терминологией диссертации А.В. Абанина [1, § 2.5], широко используемой при исследовании абсолютно представляющих систем. Функцию h1 называем р-выпукло дополняемой до h₂, если h₂— h1 G p-trc(R). В этом случае естественно называть и (см. (i)) функцию Н1 := ext h1 G p-shg(C) также р-выпукло дополняемой до Н₂:= ext h₂G p-shg(C). Из (iii) сразу следует, что функция h1 будет р-выпукло дополняемой до h₂, если и только если (h₂— h1)" + р²(h₂— h1) > > 0 в смысле теории распределений, или обобщенных функций, то есть в левой части последнего неравенства выписана положительная 2п-периодическая мера на R.

Теорема 2. Пусть р > 0 и h1 G р-trc(R) — функция, р-выпукло дополняемая до h2 G р-trc(R), то есть Н1 = ext h1 G р-shg(C) — функция, р-выпукло дополняемая до функции Н2 = ext h2 G р-shg(C), а мера v определена через произведение плотностей мер в полярных координатах по правилу (см. и ср. с (10))

dv(re^') = r^p-1 dr 0 — ((^ - M + p²(^ - M) (0) de, re⁶G C, r > 0, 0 G R.

Последовательность точек Л c C — последовательность неединственности для Hol(C; exp Н1], если и только если п_л + v — подмера для класса sbh(C; Н2\.

Доказательство, основанное на теореме 1с М : = Н₂и N : = Н1 и свойствах (8)–(9), опускаем. Оно почти дословно повторяет доказательство [7, теорема 2], где различаются случаи p < 1 и p > 1. Так, в части достаточности в [7, теорема 2] возникала существенная добавка-мультипликатор в виде Hol(C; рexp Н1] с некоторым быстро растущим многочленом р. Такой результат со степенной добавкой значительно ослабляет теорему 2. Ликвидация такого многочлена р в данной здесь теореме 2 достигается за счет очень мало отличающейся от N функции-поднятия N^ из (3) этой функции N.

Замечание 8. Возможны обобщения результатов статьи для функций нескольких комплексных переменных, что предполагается проделать в ином месте.