О множестве значений функции Эйлера

Как известно, (см. например, [1]), функция Эйлера Дт), где m > 1 — целое положительное число, выражает число целых положительных чисел отрезка [1,т], взаимно простых с т.

Известно, что если т = р^р^" • • -P_k^k — каноническое разложение т на простые множители, то

Насколько нам известно, по настоящее время не изучено множество

{<р(т) | т Е N}.(2)

Теорема 1. Существуют сколь угодно большие четные числа Тп, для которых уравнение

ДД = 2п, ж Е N(3)

не имеет решения.

Предварительно докажем три вспомогательных предложения.

Лемма 1. Если р — простое число такое, что 2р + 1 — составное, то уравнение

у(ж) = 2р, ж Е N(4)

неразрешимо.

Доказательство. Пусть

X=PT-PT---Pkk

— каноническое разложение ж на простые множители. Тогда, согласно (1) и (4), имеем:

(pi - 1)(р₂ - 1) ... (p_k - W"¹ -р^"¹ ■ ■ -р^"¹ = 2р.              (5)

Поскольку 2 и р — простые числа и р ^ 7, то к ^ 2. Пусть к = 2. Тогда равенство (5) примет вид:

(рт-ЦЦз-ЦрЦ^.рД-1 = 2р.                (5Ц

1-54

Б. Г. Тасоев что при pi > 2 невозможно, так как левая часть (5Д делится на 4, в то время как правая часть не делится на 4. Положим pi = 2. Тогда «1 должно равняться 1 и равенство (5Д примет вид:

(р2-1)-р“2"1 = 2р, (52)

откуда следует, что а2 < 2. Пусть а2 = 2. Тогда из (52) следует, что

(р2 - 1)^2 = 2р.

Но, поскольку р₂ > pi = 2 — простое число, то р₂ делит р, и, следовательно, р₂ = р и р₂ — 1 = 2, т. е. р^ = 3. Откуда следует, что р = 3, что невозможно.

Пусть теперь а₂ = 1. Тогда равенство (5₂) примет вид: р₂ — 1 = 2р, откуда р₂ = 2р + 1, что, по условию, невозможно, т. к. 2р + 1 — составное.

Остается рассмотреть случай: к = 1. Тогда из (5) следует:

(pi - 1) -р"^{1 1} = 2р.

(5з)

Очевидно, «1 — 1^1 при рх > 2. Предположим, что «1 = 2. Тогда

(pi - l)pi = 2р, откуда следует, что р делится на pi, т. е. р = рх и рх = 3. А это означает, что р = 3, что невозможно.

Пусть теперь «i = 1, pi > 2. Тогда из (5з) имеем: pi — 1 = 2р, откуда pi = 2р + 1, что невозможно, т. к. по условию, 2р + 1 — составное число.

Положим теперь pi = 2. Тогда равенство (5з) примет вид:

2"¹"² = р.

Но, поскольку, р — простое число, то «1 = 3 и р = 2, что также невозможно. Лемма доказана.

Лемма 2. Нечетное число 21 + 1, I Е N тогда и только тогда является составным, когда I = 2uv + u + v, где и и v — целые положительные числа.

Доказательство. Пусть 2Z +1 — составное. Тогда его можно представить в виде

21 + 1 = (2м + 1)(2и + 1), или, что то же самое,

21 + 1 = 2(2uv + u + и) + 1, откуда следует, что I = 2uv + u + v.

Обратно, пусть I = 2иг + и + v. Тогда

21 + 1 = 2(2uv + и + v) + 1 = (2u + 1)(2и + 1)

— составное число.

Лемма 3. Множество простых чисел р, таких, что 2р+1 — составное, бесконечно.

О множестве значений функции Эйлера

1-55

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р — простое число. Рассмотрим число 2р+ 1. Согласно лемме 2, для того, чтобы оно было составным, необходимо и достаточно, чтобы простое число р было вида "Zut + u + и, т. е. р = (2и + 1)и + и. Придавая и значения 1,2,3,..., получим бесконечное число арифметических прогрессий

Зи + 1, 5и + 2, 7и + 3, 9v + 4, каждая из которых, в силу теоремы Дирихле (см. [2]), содержит бесконечное число простых чисел.

Доказательство теоремы следует из лемм 1 и 3.