О мощности множества всех множеств в теории множеств с самопринадлежностью

Теория множеств с самопринадлежно-стью описана ранее, см. [1], [2], [3], [4]. Для полноты представлений об упорядоченных структурах остается показать отличие множества всех множеств от самоподобных объектов, рассмотренных ранее [2].

Теорема 1 (о несамоподобии М). Множество всех множеств несамоподобно, т.е. в нем нет структурно изоморфного ему собственного подмножества.

Доказательство. Предположим противное, т. е., что в М есть М 1 , М^М, М 1 =^е М, (М 1 структурно изоморфно М, определение структурного изоморфизма см. в работе [2]), тогда по свойству структурного изоморфизма в М 1 найдется М₂, М₂ =^е М 1 и т. д., образуется бесконечный необрывающийся убывающий ряд структурно изоморфных М множеств М k . Но тогда по свойству структурного изоморфизма РО(М k-1 )=M k и ничто не запрещает строить последователи РО(…) и к М, поскольку свойства М такие, как у М k , что обусловлено структурным изоморфизмом, т.е. есть бесконечный ряд последователей PO^r(M)=M r , но тогда в ряду самоподобных

Результаты оформлены для публикации в связи с НИР №1.15.10, выполняемой при Пермском государственном университет по заданию Федерального агентства по образованию.

множеств М_k, …, M, …, M_r невозможно однозначно выделить объект, обладающий свойством быть множеством всех множеств, что противоречит вышедоказанному свойству единственности М [1]. Теорема доказана. □

Таким образом, количество множеств во множестве всех множеств еще более велико, чем в самоподобном множестве.

Следующий результат уточняет свойство самоподобного множества (определение см. в работе [2]).

Рассмотрим самоподобное множество А, задающее порядок на прямой; обозначим количество объектов в объекте А i (его мощность) через a , |A i |= a , где A i - некоторый недостижимый последователь, содержащийся в А. По изложенным выше соображениям (конечный алфавит обозначений) таких недостижимых последователей обозначениями можно выделить не более чем счетное (строго говоря, конечное) число. Интересен следующий вопрос: сколько объектов находится между A i и A i+1 ?

Поскольку недостижимые последователи структурно изморфны, то их мощности равны: A_i=A i ₊₁=|A j = a . С другой стороны, если между A i и A_i+1 r объектов и r< a , то, так как выделено счетное число А_i, имеем общее число объектов во всей бесконечной цепочке: r - |N< a , что противоречит начальному предположению о том, что |A j |= a . Значит, доказана теорема .

Теорема 2 (о количестве точек на прямой между двумя разными точками). Количество объектов в самоподобном объекте и между любыми его подобъектами, соответствующих различным недостижимым последователям, равно одной величине – мощности этого множества. □

Записывая формально, имеем α + α = α , сложение некоммутативно (не допускает обращения в вычитание, так как убывающие цепи внутренностей не обрываются), т. е. α есть мощность упорядоченного (в простейшем случае – на прямой) континуума.

Следующий вопрос, требующий разрешения, вопрос о мощности множества всех множеств.

По доказанной ранее теореме 1 множество всех множеств несамоподобно, поэтому из предыдущей теоремы 2 очевидно следует, что мощность множества М больше, чем мощность самоподобного множества, |M|= µ > α =|A|, где А самоподобно. Иначе бы существовал изоморфизм М на А (или на подмножество А), что противоречит тому, что в М имеется кроме А бесконечное количество самоподобных объектов. Доказана теорема.

Теорема 3 (о мощности М) . Мощность множества М больше, чем мощность самоподобного объекта. □

Таким образом, мощность множества М является максимальной, однако М не упорядочено отношением принадлежности.

Вопрос о том, имеются ли определенные мощности, промежуточные между мощностью самоподобного множества и мощностью множества всех множеств, является неразрешимым ввиду невозможности структурирования объектов, промежуточных между этими множествами, в виде некоторых последователей.