О мультипликаторах пространства целых функций, задаваемого нерадиальным двучленным весом

Пусть и и v — неотрицательные возрастающие на [0, го) функции, растущие на бесконечности быстрее ln t. Полагаем u(z) : = u(|z|) при всех z Е C и v(x) : = v(|x|) при всех x Е R. По и и v и числам r и s из (0, го) определим банахово пространство целых в C функций

H ru,sv ^: = |f ^Е H^{( C ) :} kfk ru, sv ^: = sup /_R )          <  ^ГО

^C e r u(Re z ) + sv (nm z )

При фиксированных p и q из (0, го] введем линейное пространство p, q u, v :

и

H ru, sv

r

Пространства такого вида играют значительную роль в теории распределений Шварца, ее обобщениях и приложениях. Это связано с тем, что для ряда пространств Фреше E бесконечно дифференцируемых функций преобразование Фурье — Лапласа функционалов

F : ^ Е E' -—» y(z) : = ^(e-iz’), z Е C, устанавливает топологический изоморфизм между сильным сопряженным с E пространством Eb и HpV при подходящем выборе u, v, p и q. В частности, при u(t) = ln(1 +1), v(t) = t и p = q = го последнее утверждение следует из теоремы Пэли — Винера — Шварца, а для других u, v, p и q из ее аналогов [1–6].

(с) 2008 Абанин А. В.

∞, ∞

Заметим, что при p = q = сю пространство Hu,V является алгеброй относитель-∞, ∞ но операций поточечного сложения и умножения функций. Поэтому для Hu, v имеет смысл исследовать задачу об описании замкнутых главных идеалов. Напомним, что главным идеалом этой алгебры, натянутым на элемент µ ∈ Hu∞, v, ∞ , называется идеал вида 1ц : = {^f : f G HU,V“}. В радиальном случае, когда u = v, каждый главный идеал замкнут в Hu∞, v, ∞ [7, предложение 4]. При отказе от радиальности последнее утверждение не всегда верно. Поэтому имеет смысл рассмотреть задачу об описании всех замкнутых H∞, ∞ u, v при условии, когда имеется существенная нерадиальность, состоящая в предположении, что u(t) = o(v(t)) при t ^ ю. Она рассматривалась Л. Эренпрайсом [8], Р. Майзе, Б. А. Тейлором и Д. Фогтом [9] для конкретных и и v(t) = t. Наиболее общие результаты были получены З. Моммом в [10]. Он дал полное описание замкнутых главных идеалов алгебры HU,V“ при условии, что v — выпуклая на [0, ю) функция, и что на бесконечности имеют место следующие асимптотические равенства:

ln t = o(u(t));(1)

u(2t) = O(u(t));(2)

v(2t) = O(v(t));(3)

u(t) = o(v(t))-                                                (4)

В настоящей работе при тех же ограничениях, что и в [10], и дополнительном требовании о том, что u(e x) — выпуклая на R функция, исследуются те же, что и в [10], вопросы для пространства H U^V^q , где 0 < q < ю. Это пространство уже не является алгеброй. Поэтому аналог задачи о главных идеалах выглядит для него следующим образом. Рассмотрим оператор Л ц : f ^ ^f умножения на фиксированную целую функцию ^. Требуется установить, когда образ пространства H U,V^q относительно отображения Л _ц замкнут в H u^∞, v^{, q} . Ясно, что прежде, чем изучать замкнутость µ · H u^∞, v^{, q} , следует дать описание всех тех целых функций µ , для которых µ · H u^∞, v^{, q} ⊂ H u^∞, v^{, q} (другими словами, мультипликаторов H u^∞, v^{, q} ). Именно этим двум вопросам и посвящено основное содержание работы. Кроме того, приводятся приложения к задаче о сюръективности оператора свертки в пространствах ультрадифференцируемых на интервале функций типа Берлинга.

^^е*

H ru, sv

^:= ^ff ^{G H ( C ) : |f | ru},s^{v :} = z up _e ru(!f+sV(lm z)

< ∞

.

В самом деле, положим H^q := I I      Hru sv и наделим это линейное простран,           r

6 r 1 (u(max(| Rez|, | Imz|)) + 1) 6 r 1 (u(Rez) + u(Imz) + 1).

Возьмем si так, чтобы s < si < q. Из (4) следует, что существует такое C > 0, что u(t) 6 sr-s v(t) + C при всех t > 0. Тогда для любых z E C ru(z) + sv(Imz) 6 u1(Rez) + s1v(Imz) + (C + 1)r1.

Поэтому |f|riu,s1v 6 e(C+1)ri kfkru,sv для произвольной целой функции f. Значит, Hru, sv ,→ Hr1u,s1v. Отсюда следует, что Hu∞, v q ,→ Hu∞,vq, откуда заключаем окончательно, ∞, q                  ∞, q что Hu, v совпадает с Hu, v поэлементно и топологически.

• 3.    Мультипликаторы

Напомним, что целая функция µ называется мультипликатором некоторого множества H целых функций, если ц • H С H , где ц • H : = { ц f : f E H }. Класс всех мультипликаторов H обозначим символом M(H ). В случае, когда дополнительно известно, что H — локально выпуклое пространство, мультипликатор µ называется непрерывным, если оператор умножения Л ^ действует непрерывно из H в H . Нетрудно видеть, что если при этом топология H мажорирует топологию поточечной сходимости в C, для H имеет место теорема о замкнутом графике и H является ультраборнологическим пространством, то каждый мультипликатор H будет непрерывным. Действительно, пусть сеть (f _a , ц f _a ) _aeA сходится в H х H к элементу (f, g). Тогда, так как топология H мажорирует топологию поточечной сходимости в C, то

g(z) = lim ц(z) f a (z) = ц(z) f (z) V z E C. α

Значит, график оператора Л ^ замкнут. Из того, что топология H мажорирует топологию поточечной сходимости в C, следует еще, что H отделимо. Таким образом, Л ^ — линейный оператор, действующий из пространства H , для которого по предположению справедлива теорема о замкнутом графике, в отделимое ультраборнологическое пространство H и имеющий замкнутый график. Поэтому Л ^ : H ^ H непрерывен.

Вернемся к пространствам вида H u^p,^, v^q . Легко видеть, что топология H u^p,^, v^q мажорирует топологию поточечной сходимости в C. Кроме того, H u^p,^, v^q ультраборнологично как индуктивный предел семейства банаховых пространств. А так как оно, как отмечено выше, является внутренним индуктивным пределом последовательности банаховых пространств, то для него по теореме Гротендика [12, c. 230] справедлива теорема о замкнутом графике. Поэтому каждый мультипликатор пространства H u^p,^, v^q при любых p и q непрерывен. Последнее позволяет нам применить результаты из [13] об описании пространств непрерывных мультипликаторов индуктивных пределов последовательностей банаховых пространств. Нам потребуется следующая лемма.

Лемма. Пусть v — неотрицательная неубывающая выпуклая на [0, го) функция, для которой выполнено условие (3) . Тогда

v(t + 1) = v(t) ( 1 +-- t-^- ) , t ^ го,

и, тем более,

lim t→∞

v(t + 1) ^{v ( t )}

= 1.

C Из выпуклости v на [0, го) следует, что v(t + 1) - v(t) 6 v^2)-v^    v t > 1.

Воспользовавшись (3), имеем при некотором C > 0, что v(t + 1) 6 v(t) + Cv2 + C    Vt > 1.

Учитывая неубывание v, получаем отсюда (5). B

Предложение 1. Пусть u и v — неотрицательные неубывающие на [0, го) функции, v выпукла на [0, го) , u(e x ) выпукла на R и выполнены условия (1) - (4) . Тогда при любом q Е (0, го)

M (H^ q ) = \ [ H ru,™ .

e>0 r>0

C В соответствии с отмеченным выше H-U^Vq = HU,Vq при любом q Е (0, го), причем топология Hu∞, v, q совпадает с топологией внутреннего индуктивного предела последова-∞ тельности банаховых пространств I Hnu (q—q/n^v )   . Далее, заметим, что из выпуклости

,           n=1

v и выпуклости и неубывания u(ex) следует [14, утверждение б) на с. 63 и теорема 2.1.2], что функции v(Im z) и u(z) субгармоничны в C. Поэтому и функции wn(z) : = nu(z) + qq — qqj v(Imz)

субгармоничны в C при любом n. При этом, для всех z из C с |z| > 1 имеем wn(z) : = sup Wn(z + Z) 6 nu(2|z|) + (q — q) v(| Im z| + 1).

IZI61                                         '      n/

Отсюда, учитывая (1), (2) и (5), получаем, что существуют такие m > n и C > 0, что wn(z) + 2ln(1 + |z|2) 6 mu(z) +

(q —

m

v(Im z) + C

∀ z ∈ C.

Тогда в соответствии с предложением 5 из [13] пространство H u ^∞ , v^{, q} или, что то же самое, H u ^∞ , v^{, q} является густым (см. в связи с этим уточнение в [15] леммы 1 А. В. Абанина из [13], на которую опирается доказательство предложения 5 в [13]). Отсюда по предложению 4 из [13] (с учетом отмеченной выше непрерывности мультипликаторов из M H u ^∞ , v^{, q} ) заключаем, что

M(H^^ q ) = L Е H (C) : (Vn)(3m) sup |^(z)|e ^(n-m)u(z)+( ^1 ^- n ^)v(Imz) < го) =: M. ^,                                          z ∈ C

Легко видеть, что M = П_е>о U_r>o H ru, ev , откуда следует требуемое. B

• 4.    Оператор умножения

Приведем функциональный критерий того, что для данного нетривиального мульти-M ∞, q                         ∞, q                ∞, q

H u, v подпространство µ · H u, v замкнуто в H u, v .

Предложение 2. Пусть µ — нетривиальный мультипликатор из M Hu∞, v, q . Подпространство µ · Hu∞, v, q замкнуто в Hu∞, v, q в том и только в том случае, когда для любых r E (0, го) и s E (0, q) существуют такие ri E (0, го), si 6 (0, q) и C > 0, что sup -z∈C e

If (z)l r i u(Re z)+s i v(Im z)

6 C sup - z ∈ C e

ru

M^{z) f ( z ) |} (Re z)+sv(Im z)

∀ f ∈ H u^∞,v^,q .

C Как отмечено выше, оператор умножения Л ^ действует непрерывно из Н'^','¹ в H u ^∞ , v^q . Кроме того, он инъективен в силу теоремы единственности аналитических функций. Таким образом, при наделении образа µ · H u ^∞ , v^q индуцированной из H u ^∞ , v^q топологией Л ^ : H U,V^q — д • H U^V^q — линейный непрерывный биективный оператор.

Так как Hu∞,vq — (DFS)-пространство, то µ · Hu∞, vq — замкнутое подпространство в H∞,q                                                      ∞,q     ∞,q u,v в том и только в том случае, когда индуцированная в µ · Hu,v из Hu,v топология совпадает в нем с топологией внутреннего индуктивного предела семейства {д • Hrusv : r < го, s < q}. По тем же соображениям, что и для HU^Vq, пространство ind д^Нги sv ,                      r<∞, s

Из сказанного с помощью уже упоминавшейся выше теоремы Гротендика следует, H∞,q              ∞,q                                    ∞,q        ∞,q

U,V замкнуто в Hu,V тогда и только тогда, когда Л^ : Hu,V — д • Hu, V — топологический изоморфизм, что равносильно непрерывности обратного к Л^ оператора Л-1. В свою очередь, непрерывность Л-1 : ind д • Hru sv — ind Hru sv в силу µ                                          µ    r<∞, s

H∞,q u, v и топологии в нем можно ограничиться произвольными последовательностями (rn)n=i и (sn)n=i с rn f го и sn f q).

Из предложения 2 и отмеченной в § 2 возможности замены u(Re z) на u(z) в опре-H∞,q u, v и топологии в нем получаем такое полезное в приложениях следствие.

Следствие. Пусть µ — нетривиальный мультипликатор из M Hu, v, q . Подпространство µ · M Hu, v, q замкнуто в M Hu, v, q в том и только в том случае, когда для любых r E (0, го) и s E (0, q) существуют такие ri E (0, го), si E (0, q) и C > 0, что sup     |f(z)|      6 Csup                 v f E H^’q.                (7)

z^C _eriu(z)+siv(Im z)       —C _eru(z)+sv(Im z)             ^u,^v                     ' '

• 5.    Оператор свертки

Пусть ш : [0, го) — [0, го) — неубывающая на [0, го) функция, для которой lnt = o(ш(t)), ш(2t) = o(ш(t)), ш(t) = o(t) при t — го.

Кроме того, предполагаем, что функция уш(x) := ш(ех) выпукла на R. Полагаем д* (у) := supx>o(xy — уш(x)) при любом у > 0 ( — сопряженная с уш по Юнгу функция). Возьмем q E (0, го) и рассмотрим пространство Е(ш)(—q, q) всех бесконечно дифференцируемых на интервале (—q, q) комплекснозначных функций f, для которых kf kn : = sup sup k>0 |x|6q- n

№1! < го vn E N. en^^⁽n)

Наделим Е(_ш)(-q, q) топологией, задаваемой набором преднорм (к • Hn)^!, вместе с которой оно является пространством Фреше — Шварца ((FS)-пространством). Элементы Е(ш)(—q, q) называются ультрадифференцируемыми на (—q, q) функциями типа Берлин-га. Заметим, что мы не требуем неквазианалитичности класса Е(_ш)(-q, q).

Из [6, теорема 6.5.1] следует, что преобразование Фурье — Лапласа функционалов устанавливает топологический изоморфизм между сильным сопряженным с Е(_ш)(-q, q) пространством Е(0_Ш)(-q, q) и пространством Иф,',⁴, где u(t) : = ^(t) и v(t) = t, для которого будем использовать специальное обозначение Hω^q. Ясно, что для данных u и v выполнены все предположения, перечисленные во введении.

Зафиксируем произвольный нетривиальный мультипликатор µ пространства Hωq . Из предложения 1 следует, что M(Н%) = Пе>с Н• Заметим, что НШ С НШ при любом Е £ (0, q). Отсюда за счет стандартных рассуждений следует, что если обозначить через см функционал из Е(ш) (—q, q), преобразование Фурье — Лапласа которого совпадает с ц, то правило f £ E^Q-q,q)1—* (T.f)(x): = h^,f(x + •))

определяет линейный непрерывный оператор из Е(_ш)(-q, q) в Е(_ш)(-q, q), который называется оператором свертки, порожденным мультипликатором µ. При этом, сопряженный с Тц оператор ТЦ отождествляется с оператором умножения Л_ц: НШ ^ НШ. Поскольку Лц инъективен, то ТЦ(Е(_Ш)(-q, q)) плотно в Е(_ш)(-q, q). В силу общих результатов теории двойственности [16, теорема 8.6.13] заключаем тогда, что оператор Т_ц : Е(_ш)(-q, q) ^ Е(_ш)(—q, q) сюръективен в том и только в том случае, когда подпространство ЛДНШ) замкнуто в НШ. Таким образом, использовав предложение 2 и следствие из него, приходим к следующему результату.

Предложение 3. Пусть ω удовлетворяет предположениям, приведенным в начале текущего параграфа, и µ — фиксированный нетривиальный мультипликатор пространства НШ. Для того чтобы уравнение T^(f) = g имело решение f £ Е(_ш)(—q, q) для любой правой части g £ Е(_ш)(-q, q), необходимо и достаточно, чтобы для ц выполнялось условие (6) или, что то же самое, (7).

В заключение приведем некоторые комментарии и перечислим задачи, касающиеся затронутых в настоящей статье вопросов.

• 1)    Представляет интерес геометрическая характеризация поведения тех нетривиаль-H∞, q ∞, q

u, v^, , для которых подпространство µ · Hu, v^, замкнуто в Hu^∞, v^{, q}. В случае пространства Hu^∞, v^{, ∞}такая характеризация была дана в [10]. Отметим в связи с этим, что в [17] была получена новая интерпретация основного результата из [10].

• 2)    Напомним, что отличная от тождественного нуля целая функция µ называется делителем класса H целых функций, если справедлива импликация

f £ Н, ^f£ Н(C) =^ ^f£ Н.

µµ

Стандартно устанавливается, что для всякого делителя µ пространства Hu∞, v, q подпространство µ · Hu∞, v, q замкнуто в Hu∞, v, q. Поэтому условие (6), приведенное в предложении 2 (или (7) в следствии из него) является необходимым для того, чтобы µ была делителем Hu∞, v, q . Спрашивается, верно ли обратное? Отметим, что из геометрической характеризации З. Момма в [10] в качестве побочного вывода следует, что это так для главных идеалов алгебры Hu∞, v, ∞ . Альтернативный [10] более прямой путь состо- ит в проверке того, что подпространство {цр : р — полином} плотно в пространстве {ц/ G HU,vVq : f — целая функция} (по этому поводу см., например, [18]).

• 3)    В работе [4] рассматривались пространства E бесконечно дифференцируемых на вещественной оси функций, задаваемые с помощью оценки всех производных через некоторую весовую последовательность положительных чисел и весовую функцию, ограничивающую рост этих производных на бесконечности. С помощью преобразования Фурье — Лапласа функционалов была получена реализация H сопряженного пространства E⁰, которая представляет собой пространство целых функций, задаваемое последовательностью двучленных весов. В качестве приложений были получены достаточные условия сюръективности оператора свертки в исходном пространстве E . Следует отметить, что пространства H из [4] и Hu^p,^, v^qне совпадают ни при каких u, v, p и q.