О надгруппах цикла, богатых трансвекциями

Говорят, что подгруппа H полной линейной группы G = GL(n, R) порядка n над кольцом R богата трансвекциями , если она содержит элементарные трансвекции t ij (а) = e + ae ij на всех позициях (i, j), i = j, для некоторых a G R, а = 0 [1]. Работа связана с тематикой, предложенной в [1], и посвящена вопросам, связанным с подгруппами, богатыми трансвекциями.

Пусть R — коммутативная область с 1, в которой существует обратимый элемент 0 такой, что элемент 0 — 1 также обратим. Пусть, далее, H = {t ij (а), (п)) — подгруппа полной линейной группы GL(n,R) порядка n над R, порожденная матрицей-перестановкой (п), соответствующей циклу п G S n длины n, и элементарной трансвекцией t ij (а).

Основным результатом является следующая теорема.

• ^# Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, cоглашение № 075-02-2024-1447.

Теорема. Пусть п = (12 ... n) G S n — цикл длины n, a G R, а = 0. Для того чтобы подгруппа (t ij (а), (п) ) полной линейной группы GL(n,R), порожденная матрицей-перестановкой (п) и трансвекцией t ij (а), была богата трансвекциями, необходимо и достаточно, чтобы число i — j было взаимно просто с n.

Следствие. Подгруппы (t 2i (a), (п) ) и {t n1 (a), (п) ) богаты трансвекциями.

В работе определяются слабо насыщенные сети, которые играют важную роль в доказательстве теоремы.

Приняты следующие обозначения: e = e n — единичная матрица порядка n; ej — матрица, у которой на позиции (i,j ) стоит 1 G R, а на остальных местах нули; t ij (£) = e + ^e ij — элементарная трансвекция, £ G R, £ = 0, i = j . Система a = (a ij ), 1 С i,j С n, аддитивных подгрупп кольца R называется сетью [1-2] над кольцом R порядка n, если a ir a rj С a ij при всех значениях индексов i, r, j. I n = { 1, 2,... ,n } — отрезок натурального ряда; для произвольной перестановки w G S n через (ш) обозначается матрица-перестановка, элементы которой определяются формулой (w) ij = d^j ) , где δ _rs — символ Кронекера. Так, например, для цикла

1  2  ...  n — 1  n\ п (1 2 ... n)    (2  3  ... n     1)

длины n матрица-перестановка ( п ) имеет вид

0		0	0    ..	. 0	1
	1	0	0    ..	. 0	0
( п ) =	0	1	0    ..	. 0	0
	... 0	... 0	... .. 0    ..	. ... . 1	... 0

Для матрицы a = (a ij ) и перестановки w G S_n справедливы формулы: ( ^Ш ) ij ⁼ ^Л'Л , ( ^{( w ) a(w)} ) ij = ^a u{i)u{j) .

• 2.    Сети, заданные в клеточной форме

Пусть n = k • m, a = (a ij ) — сеть аддитивных подгрупп коммутативного кольца R с 1 порядка n [1-2]. С разбиением n = m + ... + m (k слагаемых) числа n связана запись сети σ в клеточной форме:

^a = ^{[ a ]}

/ a ¹¹ a ¹² a ²¹ a ²²

... ...

\a ^{k 1} a ^{k 2}

a ^{1 k} \ _a 2 k

...

σ ^kk

где a = [a] = (a ij ), a^lj — квадратные m x m-таблицы аддитивных подгрупп кольца R, 1 С i,j С k. Ясно, что при m = 1, k = n, мы получаем сеть a = (a ij ).

Если S = (s ij ), L = (l ij ) — две квадратные m x m-таблицы аддитивных подгрупп S ij , l ij , 1 С i,j С m, кольца R, то мы определяем их сумму и произведение естественным способом:

m

^{( S} + L^ ij — s ij + l ij ,

(S • L) ij = Y^S ir • 4.

r=1

Определим произведение двух k х k-таблиц [ст] = (ст ^ij ) и [т] = (т ^ij ) вида (1) следующим естественным способом:

k

(ИМ) ’ = V" ^rт ^rj .

r=1

В частности, тогда при m =1, k = n, мы получаем произведение двух сетей ст = (ст ij ) и т = (T ij ) аддитивных подгрупп порядка n:

n

(стт) ij = ^CT ir т ’ .

r =1

Ясно, что ст = (CT ij ) — сеть ^^ ст • ст С ст.

Далее, клеточную таблицу (1) ст = [ст] = (ст ^ij ) назовем сетью порядка k, если ст^ггст^г’ С ст^г’ при всех 1 С i,r,j С k. Ясно, что [ст] = (ст ^ij ) является сетью ^^ [ст] • [ст] С [ст].

Из формулы [ст • ст] = [ст] • [ст] (см. [3, гл. 1, § 1]) вытекает следующая лемма.

Лемма 1. Пусть n = k • m. Таблица ст = (ст ij ) аддитивных подгрупп Cт ij кольца R порядка n является сетью тогда и только тогда, когда таблица

[ст] = ([ст] rs ) = (ст ^rs ), 1 С r, s С k, квадратных mxm-таблиц ст^г ’ является сетью порядка k (см. (1)).

• 3.    Слабо насыщенные сети

Приступим теперь к определению блочных сетей, которые мы будем рассматривать в нашей работе.

Итак, пусть n = km, k,m ^ 2. Представим таблицу т = (r ij ) аддитивных подгрупп T ij кольца R порядка n в виде блочной таблицы порядка k вида (1), на каждой позиции которой стоит квадратная таблица τ ^ij порядка m , в которой на диагонали стоит R , а на остальных местах 0.

Пример. Рассмотрим пример этой конструкции, таблица т 1 для n = 6, m = 2, k = 3 и т ₂ для n = 6, m = 3, k = 2:

R	0	R	0	R	0	R	0	0	R	0	0
0	R	0	R	0	R	0	R	0	0	R	0
R	0	R	0	R	0	0	0	R	0	0	R
т 1 =   0	R	0	R	0	R	,    т 2 = R	0	0	R	0	0
R	0	R	0	R	0	0	R	0	0	R	0
0	R	0	R	0	R	0	0	R	0	0	R

Предложение 1. Построенная таблица τ является сетью порядка n.

• <1 Доказательство вытекает из леммы 1. Действительно, таблица т имеет клеточный вид [т] = (т ^ij ): это квадратная таблица порядка k, у которой на каждой позиции (i, j) стоит m x m-таблица т ^ij , в которой на диагонали стоит кольцо R, а на остальных местах 0. Ясно тогда, что для любых i, r, j мы имеем т ^ir т ^rj = т ^ij . Следовательно, клеточная таблица [т] = (т ^ij ) является сетью порядка k, а потому по лемме 1 т = (т ij ) является сетью порядка n. >

• 4.    Группа, порожденная циклом и трансвекцией

Сеть из предложения 1 будем называть слабо насыщенной .

Пусть а = (a ij ) — произвольная сеть аддитивных подгрупп a ij коммутативного кольца R. В кольце M(n, R) всех квадратных матриц порядка n над R рассмотрим подкольцо M (а) = {a = (a ij ) € M(n,R) : a ij € a ij } . Множество e + M (а) = { e + a : a € M(а)} является мультипликативной системой. Максимальная подгруппа G(a) полной линейной группы GL(n,R), содержащаяся в e + M (а), называется сетевой группой [2]. Через N(а) обозначим нормализатор сетевой подгруппы G(a) в полной линейной группе GL(n,R).

Предложение 2 [4, теорема 1] . Пусть п = (12 ... п) — цикл длины n = km и т = (T ij ) — слабо насыщенная сеть порядка п. Тогда циклическая матрица-перестановка (п) нормализует сетевую группу G ( t ).

Лемма 2 [2, предложение 5] . Пусть R — произвольное кольцо, в котором существует обратимый элемент 0 такой, что 0 — 1 также обратим, и а — некоторая D-сеть идеалов в R. Всякая трансвекция, содержащаяся в N(а), содержится в G(a).

Пусть n = mk, m ^ 2, k ^ 2. Мы рассматриваем позицию (mr + 1,1) (1 С r С k - 1). В группе G = GL(mk,R), n = mk ^ 4, рассмотрим подгруппу ( t _mr +1,1 (a), (п) ) , где п = (123 ... mk) — цикл длины n = mk, а € R, а = 0. Мы вновь рассматриваем слабо насыщенную сеть т . А именно, представим таблицу т = (T ij ) аддитивных подгрупп T ij кольца R порядка n в виде блочной таблицы порядка k вида (1), на каждой позиции которой стоит квадратная таблица τ ^ij порядка m , в которой на диагонали стоит R , а на остальных местах 0.

Заметим, что по построению на позиции (mr + 1,1) (1 С r С k — 1) сети т = (T ij ) стоит кольцо R: т _тг +1,1 = R, поэтому элементарная трансвекция t _mr +1,1 (a) содержится в сетевой группе G(т): t _mr +1,1 (a) € G(т). Тогда

< (п),t mr₊₁,₁ (а))С((п),G(т ) ) . (2)

Предложение 3. Пусть R — коммутативная область с 1, в которой существует обратимый элемент в такой, что элемент в — 1 также обратим, n = mk, k,m ^ 2. Тогда группа (G(т ), (п) ) = ( (п) ) G(т) не богата трансвекциями. В частности, группа ( (п), t _{mr +}i,i (a) ) не богата трансвекциями.

• <1 В силу предложения 2 мы имеем (G(т ), (п) ) = ( (п) ) • G(r ) С N (т). Пусть t i2 (^) € ( (п) ) • G(т ) С N (т) для некоторого £ € R. Тогда согласно лемме 2 мы имеем t i2 (^) € G(т ), поэтому £ € т 12 , однако (по построению) т 12 = 0, поэтому £ = 0. Таким образом, в группе ( G(т), (п) ) нет нетривиальных элементарных трансвекций на позиции (1, 2). Следовательно, группа ( G(т), (п) ) не богата трансвекциями. >

• 5.    Доказательство теоремы

Лемма 3 [5, предложение 1] . Пусть п =(12 ... n), H = (t ij (а), (п) ) , n ^ j ^ 2. Положим k = n — j + 2, а = п ^{к - 1} . Тогда имеет место формула

(а)^(а)(а)-1 = ta(i)i(а), где a(j) = 1, i — j = (a(i) — 1)(modn). В частности, если tij(а) € H для некоторых i = j, j ^ 2, то tr1(а) € H для r = a(i), причем

НОД (i — j,n) = НОД (a(i) — 1,n) = НОД (r — 1,n).

Достаточность. По условию перестановка имеет вид п = (12 ... n) G Sn — цикл длины n, далее, для позиции элементарной трансвекции t ij (а) мы имеем НОД (i — j,n) = 1. Тогда подгруппа {t ij (а), (п) ) богата трансвекциями [5, теорема 1].

Необходимость. Предположим, что НОД (i — j,n) = m ^ 2. Нам нужно показать тогда, что для п =(12 ... n) G S _n подгруппа {t ij (а), (п) ) не богата трансвекциями. Согласно лемме 3 мы можем считать, что j = 1, i ^ 2 и НОД (i — 1,n) = m ^ 2 (ясно тогда 3 С i С n - 1).

Так как НОД (i — 1, n) = m ^ 2, то положим i — 1 = mr, n = mk. Заметим, что так как m ^ 2, то 3 С i С n — 1 и, очевидно, k ^ 2.

Для n = km, k,m ^ 2 построим слабо насыщенную сеть (см. §§3 и 4) т = (T ij ). А именно, представим таблицу т = (T ij ) аддитивных подгрупп T ij кольца R порядка n в виде блочной таблицы порядка k вида (1), на каждой позиции которой стоит квадратная таблица т ^ij порядка m, в которой на диагонали стоит R, а на остальных местах 0. Тогда по построению T mr+1,1 = R, но mr + 1 = i, поэтому тц = R. Согласно предложению 3 группа { (п),t _{mr +}1,1 (а) ) не богата трансвекциями. Следовательно, группа { (п),t i1 (а) ) не богата трансвекциями. Теорема доказана.