О надгруппах унипотентной подгруппы группы Шевалле ранга 2 над полем
Автор: Нужин Яков Нифантьевич, Осетрова Татьяна Александровна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.17, 2015 года.
Бесплатный доступ
Описаны подгруппы группы Шевалле ранга 2 над полем, содержащие ее унипотентную подгруппу.
Группа шевалле над полем, унипотентная подгруппа
Короткий адрес: https://sciup.org/14318502
IDR: 14318502
Текст научной статьи О надгруппах унипотентной подгруппы группы Шевалле ранга 2 над полем
Далее Ф — приведенная неразложимая система, корней. П = {ri,..., ri} — множество ее фундаментальных корней, Ф+ — множество положительных корней относительно П. Пусть Ф(F) — группа Шевалле типа Ф paiira l над полем F. Грэлта Ф(F) порождается корневыми подгруппами
Xr = {xr(t) : t E F}, r E Ф, где xr(t) — соответствуюпщй корневой элемент в группе Ф(F). Нам потребуются следующие естественные подгруппы группы Ф(F):
унипотентная подгруппа.
U = hXr : r e Ф+), мономиальная подгруппа.
N = h n (t) : r E Ф, t E F *i, диагональная подгруппа.
H = hhr (t) : r E Ф, t E F Ди борелевская подгруппа.
B = UH.
Здесь hMi — подгруппа, порожденная множеством M, F* — мультипликативная группа поля F ii nr(t) = xr(t) x-r(-1-1) xr(t), hr(t) = nr(t) nr(—1).
Положим также nr = nr (1),
I = {1, 2,...,l}.
Надгруппы борелевской подгруппы B и сопряженные с ними называются параболическими. В силу известного результата Ж. Титса параболические подгруппы, содержащие подгруппу B. исчерпываются подгруппами Pj. J С I. где
P j = hB,nr j : j Е J ).
Используя только каноническое разложение элементов группы Шевалле над полем, получен следующий частичный результат.
Теорема 1. Пусть M — подгруппа щэуппы Шевалле Ф(F) ранга 2 над полем, содержащая унипотентную подгруппу U. Тогда для подходящей диагональной подгруппы Нм 6 Ни некоторого подмножества J С I подгруппа M совпадает с группой
P j,m = hU, nrj, Нм : j Е J ).
Авторы предполагают, что аналог теоремы 1 справедлив для всех групп лиева типа над полями. Для группы Шевалле типа Ai это следует из результатов статьи Д. А. Су-пруненко [1], в которой описаны надгруппы унитреугольной подгруппы общей линейной группы над произвольным телом.
1. Обозначения и предварительные результаты
Все обозначения и определения, указанные во введении, используются и далее. Запись A 6 B означает, что A есть подгруппа группы B.
Через N± обозначим подгруппу порожденную мономиальными элементами nr = nr(1) = xr(1) x-r(—1) xr(1), r Е Ф, а через H± обозначим подгруппу порожденную диагональными элементами hr(—1) = nr;, r Е Ф.
Ясно, что N = HN ± = N ± Н. Следующие равенства обычно называются разложениями Брюа
Ф(F) = BNB = UNU = UHN ± U = UN ± HU.
Таким образом, любой элемент g Е Ф(F) представляется в виде g = u1nhu2, где ui,U2 Е U, n Е N±, h Е H. (1)
Лемма 1. Пусть П — база системы корней Ф. Тогда группа Шевалле Ф(F) над полем F порождается корневыми подгруппами Xr. r Е П U —П.
C Пусть G = hXr : r Е П U — П). Тогда нс пгруппа hnr : r Е П) л еж нт в Gii совпадает с N±. так как фактор-группа N±/Н± изоморфна группе Вейля W тыпа Ф. которая порождается фундаментальными отражениями wr, r Е П. Группа N± действует сопряжениями транзитивно на корневых подгруппах, индексированных корнями одинаковой длины, по правилу:
nwXrn
i
w
Xw(r),
где n w — прообраз элемента w группы Вейля W при гомоморернзме N ± ii a. W. Таким образом, G содержит все корневые подгруппы Xr и, следовательно, совпадает со всей группой Шевалле Ф(F). B
Положим Ф = — Ф+ 11 V = (Xr : r Е Ф ).
Лемма 2. Пусть M — полгруппа q)уппы Шевалле Ф(F) ранга 2 нал полем F. со держащая унипотентную подгруппу U = (Xr : r Е Ф+). Тогда, если корневые элементы xr (1) 11 xs(1) лежат в M для r,s Е Ф- таких. т ito либо {r, s}. либо {r, —s} есть база системы корней Ф. то M = Ф( F ).
C Из предположений леммы еле дует, что для некоторой базы {r, s} спетемь i корней Ф в M лежит п<здгруппа ( nr,ns Y которая совпадает с N ±. Так казс группа N ± действует сопряжениями транзитивно на корневых подгруппах, индексированных корнями одинаковой длины. II U 6 M. то II V 6 M. Отсюда M = Ф(F ). B
C ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1. Пусть {a, b} — база спетемы корней Ф ранга, 2. причем a — короткий корень. Переформулируем теорему 1 в следующем более удобном для доказательства, виде.
Если полгруппа M группы Шевалле Ф(F) ранга 2 нал полем F содержит унипо тентную подгруппу U, то либо M = Ф(F), либо M совпадает с одной из собственных подгрупп (U, H m ), (U, na, H m ) или (U, np H m ^ для подходящей диагональной подгруппы H m 6 H.
Если элемент g вида (1) лежит в M. то nh Е M и. следовательно.
nhXr h-1n-1 = nXrn- 1 6 M для всех r Е Ф+. (2)
Далее каждый из трех типов A2, B2, G2 системы корней ранга 2 рассматривается отдельно.
Тип А2- В этом случае U = XaXbXa+b ii так как труппа Вейля типа A2 есть диэд-ральная группа порядка 6, то для элемента n из представления (1) возможны следующие шесть случаев: 1) n = 1; 2) n = na; ■ 3) n = nb. 4) n = na+b. 6) n = nanp 6) n = nna.
Предположим, что для всех элементов g подгруппы M, не лежащих в подгруппе U, возможен только один из перечисленных выше шести случаев для элемента n из представления элемента g в виде (1).
-
1) В этом случае, очевидно, M = ( U,H m i для некоторой подгруппы H m 6 H.
-
2) В силу (2)
nUn- 1 = naXa Xb Xa+bn-1 = X-aXa+b Xb 6 M.
Следовательно. M = ( U,na, H m i для некоторой подгруппы H m 6 H.
-
3) Аналогично предыдущему случаю
nUn- 1 = nbXaXbXa+bn- 1 = Xa+bX-bXa 6 M.
Следовательно. M = (U, nb ,H m i для некоторой подгруппы H m 6 H.
-
4) В силу (2)
nUn-1 = na+bXaXbXa+bn-^b = X-bX-aX-a-b = V 6 M.
Следовательно. M = Ф(F).
-
5) В этом случае в силу (2)
nXbn-1 = nanbXbn-1n-1 = X-a-b 6 M, nXa+bn-1 = nanbXa+bn-1n-1 = X-a 6 M.
Так как {—a — b, a} — база системы корней типа A2. то по .темме 2 M = Ф(F).
Случай 6) подобен случаю 5), так как n b n a = n a n b h для некоторого h Е Н ±.
Если в M есть два элемента gi 11 g2. в представлении (1) которых элемент n такой как в случае 2) и 3) соответственно, то X -a ,X -b 6 M и по лемме 1 M = Ф(F).
Таким образом, для типа A2 теорема 1 доказана.
Тип B2. В этом случае U = X a X b X a + ь X 2 a + b 11 так как труп па Вейля типа B2 есть диэдральная группа порядка 8, то для элемента п из представления (1) возможны следующие восемь случаев: 1) n = 1; 2) п = na; 3) n = ny 4) n = n a ny 5) n = n b ny
-
6) n = n a + b'. 7) n = n 2 a + b- 8) П = n a n a + b-
- Предположим, что для всех элементов g подгруппы M, не лежащих в подгруппе U, возможен только один из перечисленных выше восьми случаев для элемента n из представления элемента g в виде (1).
-
1) В этом случае, очевидно, M = { U,H m ) для некоторой подгруппы Н м 6 Н.
-
2) Так же как и для типа A2 в этом случае M = h U, n a , Н м ) для некоторой подгруппы HM 6 H „ .
-
3) Аналогично предыдущему случаю M = h Un, Нм ) для некоторой подгруппы H M 6 H
-
4) В силу (2)
nX b n -1 = n a n b X b n b -1 n a -1 = X -2 a - b 6 M, nX a + b n - 1 = n a n b X a + b n - 1 n - 1 = X - a 6 M.
Так как {-2a — b, a} — база системы корней типа B2. то по .темме 2 M = Ф(F).
Случай 5) подобен случаю 4), так как n b n a = n a n b h для некоторого h Е Н ±.
-
6) В силу (2)
nX b n -1 = n a + b X b n a - + 1 b = X -2 a - b 6 M, nX a + b n-1 = n a + b X a + b n-^ = X — a — b 6 M.
Так как {—2a — b,a + b} — база системы корней типа B2. то по .темме 2 M = Ф(F).
-
7) В силу (2)
nX a n — 1 = n 2 a + b X an^ + b = X - a - b 6 M, nX 2 a + b n - 1 = n 2 a + b X 2 a + b n - ^^ + b = X — 2 a — b 6 M.
Так как {—2a — b,a + b} — база системы корней типа B2. то по .темме 2 M = Ф(F).
В случае 8) nUn-1 = nana+bUna^n^1 = V 6 M и, следовательно, M = Ф(F).
Если в M есть два элемента gi 11 g2. в представлении (1) которых элемент n такой как в случае 2) и 3) соответственно, то X -a ,X — b 6 M и по лемме 1 M = Ф(F).
Таким образом, для типа B2 теорема 1 доказана.
Тип G2. В этоэI случае U = X a X b X a + b X 2a + b X 3 a + b X 3 a +2 b 11 так как группа Вейля типа G2 есть диэдральная группа порядка 12, то для элемента n из представления (1) возможны следующие 12 случаев:
-
1) n = n a n b.
-
2) n = (na П ь ) 2 = n a n a + b.
-
3) n = (na П ь ) 3 = (nana+b >a n, = n 2 a + b Пь'.
-
4) П = (na П ь) 4 = (nanb)-2 = n a + b n a.
-
5) П = (naПь)5 = (nanb)-1 = П ь П^
-
6) n = (naПь)6 = 1:
-
7) n = (na П ь) п ь = n a-
-
8) n = (nana+b)nb = n a n b n a = n 3 a + b-
-
9) П = (n2a+b П ь) п ь = n 2 a +b'.
-
10) П = ( П а + Ь П а) П Ь = П а + Ь П ь П а + Ь = П 3 а +2 Ь-
-
11) П = (nbna)nb = Па+b:
-
12) n = nb.
Здесь последние шесть случаев получены соответственно из первых шести умножением на элемент nb, причем равенства в этих 12 случаях выполняются по модулю диагональных элементов из подгруппы H ±
Предположим, что для всех элементов g подгруппы M, не лежащих в подгруппе U, возможен только один из перечисленных выше 12 случаев для элемента n из представления элемента g в виде (1).
-
1) В силу (2)
nXbn-1 = ПаПьХьП—1П—1 = X-3a-b 6 M, nXa+b П-1 = ПаПьХа+ьП—1П—1.
Так как {-3a — b, a} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).
-
2) В силу (2)
nXa+bп-1 = ПаПа+ьХа+ьП-+ьП-1 = X-2a-b 6 M, nXbn-1 = ПаПа+ьХьП-+ьП-1 = X-3a-2b 6 M.
Так как {—3a — 2b, 2a + b} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).
В случае 3) nUn - 1 = n 2a + b nbUn-1n2a1+b = V 6 Мн. следовательно. M = Ф(F).
Случай 4) подобен случаю 2), так как n a + b n a = n a n a + b h для некоторого h Е Н ±.
Случай 5) подобен случаю 1), так как n b n a = n a n b h для некоторого h Е Н ±.
-
6) В этом случае, очевидно, M = ( U,H m ) для некоторой подгруппы Н м 6 Н.
-
7) Так же как и для типа А2 в этом случае M = (U, na, Нм ) для некоторой подгруппы H M 6 H
-
8) В силу (2)
nX2a+bn-1 = n3a+bX2+n-+b = X-a 6 M, nX3a+bn-1 = n3a+bХза+b^^+b = X-3a-b 6 M.
Так как {—3a — b, a} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 М = Ф(F).
-
9) В силу (2)
nXan-1 = n2a+bXan^b = X-a-b 6 M, nX3a+bn-1 = n2a+bX3a+bn2-a1+b = X-3a-2b 6 M.
Так как {—3a — 2b, a + b} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).
-
10) В силу (2)
nXbn-1 = n3a+2bXbn-+2b = X-3a-b 6 M, nXa+bn-1 = n3a+2bXa+bn-^ = X-2a-b 6 M.
Так как {—3a — b, 2a + b} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).
И) В силу (2)
nX b n - 1 = n a + b X b n a +1 b = X - 3 a - 2 b 6 M, nX a + b n-1 = n a + b X a + b n a^ = X - a - b 6 M.
Так как {—3a — 2b, a + b} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).
-
12) Так же как и для типа A2 в этом случае M = (U, п ь , Н м ) для некоторой подгруппы H M 6 H
Если в M есть два элемента gi 11 g2. в представлении (1) которых элемент n такой как в случае 7) и 12) соответственно, то X -a ,Х -ь 6 M и по лемме 1 M = Ф(F).
Таким образом, для типа G2, а следовательно, и в полном объеме теорема 1 доказа-
B
Список литературы О надгруппах унипотентной подгруппы группы Шевалле ранга 2 над полем
- Супруненко Д. А. Подгруппы полной линейной группы над телом $D$, содержащие группу всех специальных треугольных матриц $U(n,D)$//Докл. АН БССР.-1970.-Т. 14, № 4.-С. 305-308.