О надгруппах унипотентной подгруппы группы Шевалле ранга 2 над полем

Далее Ф — приведенная неразложимая система, корней. П = {ri,..., ri} — множество ее фундаментальных корней, Ф+ — множество положительных корней относительно П. Пусть Ф(F) — группа Шевалле типа Ф paiira l над полем F. Грэлта Ф(F) порождается корневыми подгруппами

Xr = {xr(t) : t E F}, r E Ф, где xr(t) — соответствуюпщй корневой элемент в группе Ф(F). Нам потребуются следующие естественные подгруппы группы Ф(F):

унипотентная подгруппа.

U = hXr : r e Ф⁺), мономиальная подгруппа.

N = h n (t) : r E Ф, t E F *i, диагональная подгруппа.

H = hhr (t) : r E Ф, t E F Ди борелевская подгруппа.

B = UH.

Здесь hMi — подгруппа, порожденная множеством M, F* — мультипликативная группа поля F ii nr(t) = xr(t) x-r(-1-1) xr(t), hr(t) = nr(t) nr(—1).

Положим также nr = nr (1),

I = {1, 2,...,l}.

Надгруппы борелевской подгруппы B и сопряженные с ними называются параболическими. В силу известного результата Ж. Титса параболические подгруппы, содержащие подгруппу B. исчерпываются подгруппами Pj. J С I. где

P j = hB,nr j : j Е J ).

Используя только каноническое разложение элементов группы Шевалле над полем, получен следующий частичный результат.

Теорема 1. Пусть M — подгруппа щэуппы Шевалле Ф(F) ранга 2 над полем, содержащая унипотентную подгруппу U. Тогда для подходящей диагональной подгруппы Нм 6 Ни некоторого подмножества J С I подгруппа M совпадает с группой

P j,m = hU, nrj, Нм : j Е J ).

Авторы предполагают, что аналог теоремы 1 справедлив для всех групп лиева типа над полями. Для группы Шевалле типа Ai это следует из результатов статьи Д. А. Су-пруненко [1], в которой описаны надгруппы унитреугольной подгруппы общей линейной группы над произвольным телом.

1. Обозначения и предварительные результаты

Все обозначения и определения, указанные во введении, используются и далее. Запись A 6 B означает, что A есть подгруппа группы B.

Через N± обозначим подгруппу порожденную мономиальными элементами nr = nr(1) = xr(1) x-r(—1) xr(1), r Е Ф, а через H± обозначим подгруппу порожденную диагональными элементами hr(—1) = nr;, r Е Ф.

Ясно, что N = HN ± = N ± Н. Следующие равенства обычно называются разложениями Брюа

Ф(F) = BNB = UNU = UHN ± U = UN ± HU.

Таким образом, любой элемент g Е Ф(F) представляется в виде g = u1nhu2,   где ui,U2 Е U, n Е N±, h Е H.                   (1)

Лемма 1. Пусть П — база системы корней Ф. Тогда группа Шевалле Ф(F) над полем F порождается корневыми подгруппами Xr. r Е П U —П.

C Пусть G = hXr : r Е П U — П). Тогда нс пгруппа hnr : r Е П) л еж нт в Gii совпадает с N±. так как фактор-группа N±/Н± изоморфна группе Вейля W тыпа Ф. которая порождается фундаментальными отражениями wr, r Е П. Группа N± действует сопряжениями транзитивно на корневых подгруппах, индексированных корнями одинаковой длины, по правилу:

nwXrn

i

w

Xw(r),

где n _w — прообраз элемента w группы Вейля W при гомоморернзме N ± ii a. W. Таким образом, G содержит все корневые подгруппы Xr и, следовательно, совпадает со всей группой Шевалле Ф(F). B

Положим Ф = — Ф⁺ 11 V = (Xr : r Е Ф ).

Лемма 2. Пусть M — полгруппа q)уппы Шевалле Ф(F) ранга 2 нал полем F. со держащая унипотентную подгруппу U = (Xr : r Е Ф+). Тогда, если корневые элементы xr (1) 11 xs(1) лежат в M для r,s Е Ф- таких. ^т ito либо {r, s}. либо {r, —s} есть база системы корней Ф. то M = Ф( F ).

C Из предположений леммы еле дует, что для некоторой базы {r, s} спетемь i корней Ф в M лежит п<здгруппа ( nr,ns Y которая совпадает с N ±. Так казс группа N ± действует сопряжениями транзитивно на корневых подгруппах, индексированных корнями одинаковой длины. II U 6 M. то II V 6 M. Отсюда M = Ф(F ). B

C ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1. Пусть {a, b} — база спетемы корней Ф ранга, 2. причем a — короткий корень. Переформулируем теорему 1 в следующем более удобном для доказательства, виде.

Если полгруппа M группы Шевалле Ф(F) ранга 2 нал полем F содержит унипо тентную подгруппу U, то либо M = Ф(F), либо M совпадает с одной из собственных подгрупп (U, H m ), (U, na, H m ) или (U, np H m ^ для подходящей диагональной подгруппы H m 6 H.

Если элемент g вида (1) лежит в M. то nh Е M и. следовательно.

nhXr h^-1n^-1 = nXrn^{- 1} 6 M для всех r Е Ф⁺.                 (2)

Далее каждый из трех типов A2, B2, G2 системы корней ранга 2 рассматривается отдельно.

Тип А₂- В этом случае U = XaXbXa+b ii так как труппа Вейля типа A2 есть диэд-ральная группа порядка 6, то для элемента n из представления (1) возможны следующие шесть случаев: 1) n = 1; 2) n = na; ■ 3) n = nb. 4) n = na+b. 6) n = nanp 6) n = nna.

Предположим, что для всех элементов g подгруппы M, не лежащих в подгруппе U, возможен только один из перечисленных выше шести случаев для элемента n из представления элемента g в виде (1).

• 1)    В этом случае, очевидно, M = ( U,H m i для некоторой подгруппы H m 6 H.

• 2)    В силу (2)

nUn^{- 1} = naXa Xb Xa₊bn-¹ = X-aXa₊b Xb 6 M.

Следовательно. M = ( U,na, H m i для некоторой подгруппы H m 6 H.

• 3)    Аналогично предыдущему случаю

nUn^{- 1} = nbXaXbXa+bn^{- 1} = Xa+bX-bXa 6 M.

Следовательно. M = (U, nb ,H m i для некоторой подгруппы H m 6 H.

• 4)    В силу (2)

nUn^-1 = na+bXaXbXa+bn-^b = X-bX-aX-a-b = V 6 M.

Следовательно. M = Ф(F).

• 5)    В этом случае в силу (2)

nXbn-1 = nanbXbn-1n-1 = X-a-b 6 M, nXa+bn-1 = nanbXa+bn-1n-1 = X-a 6 M.

Так как {—a — b, a} — база системы корней типа A2. то по .темме 2 M = Ф(F).

Случай 6) подобен случаю 5), так как n b n _a = n a n b h для некоторого h Е Н ±.

Если в M есть два элемента gi 11 g2. в представлении (1) которых элемент n такой как в случае 2) и 3) соответственно, то X _-a ,X _-b 6 M и по лемме 1 M = Ф(F).

Таким образом, для типа A2 теорема 1 доказана.

Тип B2. В этом случае U = X a X b X a + ь X 2 a + b 11 так как труп па Вейля типа B2 есть диэдральная группа порядка 8, то для элемента п из представления (1) возможны следующие восемь случаев: 1) n = 1; 2) п = na; 3) n = ny 4) n = n a ny 5) n = n b ny

• 6)    n = n a + b'. 7) n = n 2 a + b- 8) П = n a n a + b-

• Предположим, что для всех элементов g подгруппы M, не лежащих в подгруппе U, возможен только один из перечисленных выше восьми случаев для элемента n из представления элемента g в виде (1).

• 1)    В этом случае, очевидно, M = { U,H m ) для некоторой подгруппы Н м 6 Н.

• 2)    Так же как и для типа A2 в этом случае M = h U, n _a , Н м ) для некоторой подгруппы HM 6 H                       „         .

• 3)    Аналогично предыдущему случаю M = h Un, Нм ) для некоторой подгруппы H M 6 H

• 4)    В силу (2)

nX b n ^-1 = n a n b X b n _b ^-1 n _a ^-1 = X -2 a - b 6 M, nX a + b n ^{- 1} = n a n b X a + b n - 1 n - ¹ = X - a 6 M.

Так как {-2a — b, a} — база системы корней типа B2. то по .темме 2 M = Ф(F).

Случай 5) подобен случаю 4), так как n b n _a = n _a n b h для некоторого h Е Н ±.

• 6)    В силу (2)

nX b n ^-1 = n a + b X b n _a ^- ₊ ¹ _b = X -2 a - b 6 M, nX a + b n-1 = n a + b X a + b n^-^ = X — a — b 6 M.

Так как {—2a — b,a + b} — база системы корней типа B2. то по .темме 2 M = Ф(F).

• 7)    В силу (2)

nX a n — 1 = n 2 a + b X an^ + b = X - a - b 6 M, nX 2 a + b n ^{- 1} = n 2 a + b X 2 a + b n - ^^ + b = X — 2 a — b 6 M.

Так как {—2a — b,a + b} — база системы корней типа B2. то по .темме 2 M = Ф(F).

В случае 8) nUn^-1 = nana+bUna^n^¹ = V 6 M и, следовательно, M = Ф(F).

Если в M есть два элемента gi 11 g2. в представлении (1) которых элемент n такой как в случае 2) и 3) соответственно, то X _-a ,X — b 6 M и по лемме 1 M = Ф(F).

Таким образом, для типа B2 теорема 1 доказана.

Тип G2. В этоэI случае U = X _a X b X a + b X _2a + b X 3 a + b X 3 a +2 b 11 так как группа Вейля типа G2 есть диэдральная группа порядка 12, то для элемента n из представления (1) возможны следующие 12 случаев:

• 1)    n = n a n b.

• 2)    n = (na П ь ) ² = n a n a + b.

• 3)    n = (na П ь ) ³ = (nana+b >a n, = n 2 a + b Пь'.

• 4)    П = (na П ь) 4 = (nanb)^-2 = n a + b n _a.

• 5)    П = (naПь)⁵ = (nanb)^-1 = П ь П^

• 6)    n = (naПь)⁶ = 1:

• 7)    n = (na П ь) п ь = n a-

• 8)    n = (nana+b)nb = n a n b n a = n 3 a + b-

• 9)    П = (n2a+b П ь) п ь = n 2 a +b'.

• 10)    П = ( П а + Ь П а) П Ь = П а + Ь П ь П а + Ь = П 3 а +2 Ь-

• 11)    П = (nbna)nb = Па+b:

• 12)    n = nb.

Здесь последние шесть случаев получены соответственно из первых шести умножением на элемент nb, причем равенства в этих 12 случаях выполняются по модулю диагональных элементов из подгруппы H ^±

Предположим, что для всех элементов g подгруппы M, не лежащих в подгруппе U, возможен только один из перечисленных выше 12 случаев для элемента n из представления элемента g в виде (1).

• 1)    В силу (2)

nXbn-1 = ПаПьХьП—1П—1 = X-3a-b 6 M, nXa+b П-1 = ПаПьХа+ьП—1П—1.

Так как {-3a — b, a} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).

• 2)    В силу (2)

nXa+bп-1 = ПаПа+ьХа+ьП-+ьП-1 = X-2a-b 6 M, nXbn-1 = ПаПа+ьХьП-+ьП-1 = X-3a-2b 6 M.

Так как {—3a — 2b, 2a + b} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).

В случае 3) nUn ^{- 1} = n ₂a + b nbUn^-1n_2a¹+b = V 6 Мн. следовательно. M = Ф(F).

Случай 4) подобен случаю 2), так как n a + b n _a = n a n a + b h для некоторого h Е Н ±.

Случай 5) подобен случаю 1), так как n b n a = n a n b h для некоторого h Е Н ±.

• 6)    В этом случае, очевидно, M = ( U,H m ) для некоторой подгруппы Н м 6 Н.

• 7)    Так же как и для типа А₂ в этом случае M = (U, n_a, Нм ) для некоторой подгруппы H M 6 H

• 8)    В силу (2)

nX2a+bn-1 = n3a+bX2+n-+b = X-a 6 M, nX3a+bn-1 = n3a+bХза+b^^+b = X-3a-b 6 M.

Так как {—3a — b, a} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 М = Ф(F).

• 9)    В силу (2)

nXan-1 = n2a+bXan^b = X-a-b 6 M, nX3a+bn-1 = n2a+bX3a+bn2-a1+b = X-3a-2b 6 M.

Так как {—3a — 2b, a + b} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).

• 10)    В силу (2)

nXbn-1 = n3a+2bXbn-+2b = X-3a-b 6 M, nXa+bn-1 = n3a+2bXa+bn-^ = X-2a-b 6 M.

Так как {—3a — b, 2a + b} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).

И) В силу (2)

nX b n ^{- 1} = n a + b X b n a +¹ b = X - 3 a - 2 b 6 M, nX a + b n-¹ = n a + b X a + b n a^ = X - a - b 6 M.

Так как {—3a — 2b, a + b} — база системы корней типа G2. то по .темме 2 M = Ф(F).

• 12)    Так же как и для типа A2 в этом случае M = (U, п ь , Н м ) для некоторой подгруппы H M 6 H

Если в M есть два элемента gi 11 g2. в представлении (1) которых элемент n такой как в случае 7) и 12) соответственно, то X -a ,Х -ь 6 M и по лемме 1 M = Ф(F).

Таким образом, для типа G2, а следовательно, и в полном объеме теорема 1 доказа-

B