О наилучшем полиномиальном приближении функций в весовом пространстве Бергмана

В настоящее время достигнут значительный прогресс в решении задач нахождения точных значений наилучших полиномиальных приближений аналитических в единичном круге функций и вычисления точных значений n-поперечников классов аналитических функций в различных функциональных пространствах (см., например, [1-12] и приведенную там литературу). Представленные в настоящей работе результаты продолжают и развивают исследования в указанном направлении.

Пусть C — множество комплексных чисел. N — множество натуральных чисел ii Z+ — множество целых положительных чисел.

Известно, что аналитическая в единичном круге U = {z G C : |z| < 1} функция

∞ f (z) = ^ Ckzk, z = pe^, 0 С p< 1, k=0

принадлежит весовому пространству Бергмана Bq,Y, 1 С q С го, с конечной нормой [8]

^{l f} ^ B^q’Y = (2П // Y^{(|z|)|f(z)|q da})    < ^го, ^1С q ^{С го},

(U)

где y (|z|) ^— положительная интегрируемая весовая функция, da — элемент площади, и интеграл понимается в смысле Лебега.

Очевидно, что норму (1) можно записать в виде llf IlBq.Y = ^ 2П j JГ pY(p)|f (peit)|q dpdt\    < ”.

Через f^z) = дтf(pe’'t')/dt'r обозначим производную r-го порядка функции f(z) = f (pci1) по аргумепту t. При этом f‘(z) = f'(z) • zi,   f^(z) = {fy-1)(z)};,   r > 2.

Величины

"(/IM в

q,γ

= sup ^f«(. + h) - /Д»^ |h|Сt

q,γ,

"2 (СД, 2У в = sup ^f

"(fH) в.

q,γ

и "2 (far), 2t^ в  обладают всеми свойствами модуля непрерывности и мо-

дуля гладкости (см., например, [13]).

Для любых п Е N 11 ak G C, k = 0,1,..., n, символом

Pn = Pn(z) : Pn(z) =    akzk k=0

обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п.

Величину

En(f )Bq,Y =inf {|f — Pn-1|Bq,Y : Pn-1(z) G Pn-1} назовем наилучшим приблимсением функции f (z) G Bq,Y, 1 С q С го, множеством Pn-1.

Через B_q,Y,R (1 С q С го, 0 < R С 1) обозначим пространство Бергмана B_q,Y аналитических в круге |z| С R функций f (z), для которых

If (-)lBq,Y,R = If(R-)lB_q,Y< го, 1 С q С го, 0 С 1.

В работе [11] доказано, что для произвольной функции f (z) G Bq,_Y,R, 1 C q C то, 0 < R C 1, У которой производная fr^z) G B_q,Y, 1 C q C то, при любых r, n G N имеют место точные неравенства

En(f)b,,„, C ГпЛ/)^'                  <²>

π/n n

En(f)„,..,.„ C ^ J ^fpB,^dt.                №

В настоящей работе, исходя из неравенства (2) и (3), мы получим точные оценки величины наилучшего приближения функции f(z) G B_q,Y, 1 C q C то, через усредненные значения модуля непрерывности и модуля гладкости самой функции и ее второй производной f‘(t), а также вычислим точные значения некоторых n-поперечников классов аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана. Отметим, что неравенство (3) является распространением результата Н. П. Корнейчука [14] на случай аналитических в единичном круге функций принадлежащих весовому пространству Бергмана B_q,Y, 1 C q C то.

Приведем необходимые для дальнейшего определения и обозначения. Пусть X — банахово пространство; S — единичный шар в X; M — некоторое выпуклое центральносимметричное подмножество в X; Лп С X — n-мерное подпространство X. Величины bn(M, Bq,Y) = sup { sup{E > 0 : eS П Лп+1 С M} : Лп+1 С Bq,Y}, dn(M,Bq,Y) = inf { sup{inf{\f - g\\Bq,7 : g G Лп} : f G M} : Лп С Bq,Y} называются соответственно бернштейновским и колмогоровским n-поперечниками. Указанные поперечники удовлетворяют неравенству (см. [16])

bn(M,Bq,Y) C dn (M,Bq,Y )•                               (4)

Пусть Ф(и) — положительная неубыва.ющг 1я функция. определенная для и ^ 0 п удовлетворяющая условию lim {Ф(и) : и ^ 0+} = Ф(0) = 0.

Если M — некоторый класс функций, принадлежащий пространству B_q,Y, то через

En(M)BqY := sup {En(f )BqY : f G M} обозначим отклонение множества M С Bq,Y от Положим также множества

0 C t C ⁿ; t > ⁿ •

Л2> n.

(sin t)* = ^in t,

Для любых r G Z+ и n G N определим классы функций

{n/n f (z) G B„y : J' Ш(fУ't')вqY dt C Ф (ПП) .

2.    Основной результат

Теорема 1. Для произвольной функции f (z) G BqY 1 C q C го, и любого заданного h G (0, n/(2n)] имеет место точное неравенство

En(f )Bq, 7 C 2nj z h ^ (f:. 2T)Bq,Y (1 - ™2hT)dT 0 2h + ([ u(f, 2t)Bq-y sin ^T dT 2h                     2h 0 и знак равенства в неравенстве (5) реализует функция fo(z) = zn G Bq,Y, 1 C q C го.

<1 Введем в рассмотрение оператор

h

ππ

F^(fa^,t) = ^   (^fa^{(t + T) +}fa^{(t - T})) COS ^T^T dT.

4h                            2h

Используя неравенство (2) при R = r = 1, запишем оценку вд к, c n Ewaк-, c 1 (E„ (fa - F

Так как fa (t) - f (fa. t) = 4 ) (-fa (t+t )+2/; «> - fa (t - t ))«» At л       m

4h                                      2h то, интегрируя правую часть равенства (7) по частям и применяя обобщенное неравен ство Минковского (см., например, [15])

b

У f М dt

a

b с j Bf (-,t)»p dt.

1 C p < го,

будем иметь wa (•) - f (fa, •)!!

Bq, y

h j (faa‘(t+t ) - fa(t - t )) (1 - sin 2hT) dT

Bq, y

h с 2 у iif"(^+t ) - fa(^- t)0Bq, 7 (1- sin2hT) dT-

Аналогичным образом методом интегрирования по частям получаем

IF (fa )IIb,

h

/ (fa (t+^т) - fa ⁽t -^т)) cos ^п-т dr

2h                             2h

Bq,Y

h

¹ (^ПГ) [ ^{(f (t + т}) ^—f^{(t — т})) ^{sin dт}

2 X 2 h                                 2 h

Bq,Y

h

< 2 (2h Y j "^{f (t+т})^{- f (t - т}^a,^sin 2^^т*•

Из неравенства (6) с учетом неравенств (9) и (10) и определения модуля непрерыв

ности следует, что

h

C

En(f И,.

+

h

C

-

^{т )|}Bq ,y 0 - ^Sin2h^T)^dr

2 h                                               1

(^Г J ”^{f(+ т}) -^f • ^т ■ ^sin5h^тdr

h

¹ — ^sin^^т) ^{dт +} (^У /^{ш (f ;2т)}B^

π

'-^^SiП2h^rdr/'

чем и завершаем доказательство теоремы 1. Знак равенства для функции fo(z) = zn в соотношении (5) проверяется непосредственным вычислением. >

Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедливо неравенство

En(f)b-y

<

n/(2n)

i j _Ш⁽Ц^2т )B,Y_t

(1 — sin пт) dт + n²

n/(2n)

j^ш(^f;2т)b,„

sin пт dт

.

Теорема 2. Для произвольной f (z) G Bq,Y, 1 C q ^ го, и любого h E (0,n/(2n)), n E N, справедливо точное неравенство

h п 1                            п

En^(fK.Y^C 2hn2 ■ П—2    "² О"^;2т|BqY (1 ^{— sin}2h^т) ^dт

h

+

( ^ )² /^2 ^{(f ;2т})Bq, Y sin ^^Tdr 0

и знак равенства в (11) реализует функция fo(z) = zⁿ.

<1 Введем в рассмотрение оператор

h

F ⁽fay t) =    • -^ / (fa^,(t^+т)⁺fa^,(t -^т)) (1 - sin ^п-^r") ^dт•

2h п — 2                                2h

Из неравенства (2) при R = 1 и r = 2 запишем следующее соотношение:

En(fк,. < 1 Ив,.,< 1 (Hf- - F (f^B^ + IF Щ)||в, J.      (12)

Используя вышеприведенное рассуждение, оценим каждое слагаемое в правой части (12). С этой целью разность f"(t) — F(f,t) представим в следующем виде:

h fa — F (faa.‘) = — 2h(n — 2) У (f«‘(t + т) — 2fa-'(t) + f"'(t - T)) (1 - Sin 2hT) dT"     ^'^

Оценим равенство (13) по норме lf"—F (ОД, q, У h

< 2h(nⁿ— 2) / ^^f"^{(t + Т}) ^{— 2f}"^{(t)+ f}"^{(t — Т} )^B,^ (1 ^— ^ЗГ)^{т 1141}

Переходим к оценке второго слагаемого в неравенстве (12). Дважды выполняя интегрирование по частям и используя неравенство (8), получаем

IF (f" )^B.

* q y

7Г

2h ^ п — 2

h

У (^f"G ^{+ т}) ^{— 2f}"⁽^^{) + f}"‘(•^{— т})) (1 ^{— sin}2h^T) d^T 0

Bq, y

Л)2 • _A_

2h п — 2

h

У (^fa^{( + T}) ^— f^{( — T})) COS ^^T dT 0

Bq, Y

= (2L V .

2h    п — 2

h

У^(f (•+^т) -^2f (•)+f (• -^т))^sin ;2h^T d^T 0

Bq, Y

h

< (2h)³ • 7—2 / “^{f (+т)—2f()+f} (•^—т>“b,^sin2h^{T dT}-0

Складывая неравенства (14) и (15), с учетом (12) и определения модуля гладкости функции, получаем

h

1                     п 1

En^(f)b,y< ^2 ||^fa IIb< 7^2 •            ll^f" (* ^{+ T}) — ^2f" (•)+ ^f" (•— ^T)Hb.

^qY 2hn п 2

X

h

(1—sin 2hT)dT+(2h)2 у 8f (•+т)—2f (.)+f(.—т )Ла 0

* q, y

sin — т dT

2h J

7Г

^ 2Ы2

sin "гт) 2h

dT +

h

(2h)2/Ш2 (f;2T)Bq- sin2hTdT

.

Непосредственным вычислением можно показать, что для функции fo(z) = zn € Bq,Y неравенство (11) обращается в равенство. >

Следствие 2. В условиях теоремы 2 справедливо неравенство

En(f)BqY 3 (^

^^^^^^^^г

n/(2n)

2n        Ш2 (^f‘‘; ^2t) Bq Y ^{(1 -} sin n^T) d^T

o

n/(2n)

+ n2 j Ш2 (f ;2t)Bq,y sin nTdT , o в котором равенство достигается на функции fo(z) = zn € Bq,Y•

Теорема 3. Пусть функция Ф(и) для любых A € [0,1], x € [0, п] удовлетворяет неравенству

2_Sin²Па 3 УМ

4     Ф(х)

Тогда справедливы равенства

λ

3 п/2 - (п/2 - 1)A‘

bn (W_tt(^r)(y),Bq,Y,R) = dn (W^^r) =

Rn

4nr-1

• Ф (n).

<1 Соотношение (17) достаточно доказать для случая

R = 1. В силу неравенства

En(f^.R 3 RnEn(f)Bq, Y

и определения класса W^r)^), имеем

dn (Wnr)(Ф),Bq,Y) 3 En (Wnr)(Ф),Bq,Y) 3

4nr-1

• Ф (n),

и оценка сверху для колмогоровского n-поперечника получена.

снизу используем рассуждения работы Л. В. Тайкова [2].

Введем в рассмотрение (n + 1)-мерную сферу полиномов

Для получения оценки

Sn+1 = (pn(z) : ^Pn^B,

^{1 q}’^{Y 3} 4n^r-1

II докажем, что Sn+i С W^r)^). Если m 3 n. то из неравенства

^PnrLtKq^ dt 3 2nr (sin nrr) llPn IlBq.Y получаем

π/mπ/m j црП3 ,t)Bq y dt3 2nr hPn^Bq , y j sin nt dt oo

= 4пг-1|рп|в7 (1 - cos nn) = 2sin2 nnФ (п) • qY        2m/        4mn/

Полагая п/m = Ax, п/n = x, из (20), согласно левой части неравенства (16), будем иметь

π/m j ^(p^BqY dt 3 2sin2 4m • ф (П) =2sin2 ПА ф(х) 3 ф(Ах)=ф (mm) .(21)

o

Пусть теперь m > п. Тогда, вновь используя неравенство (19), получаем

π/m

j Цр^К^ dt = 0

π/n

У «(p^t)

π/m

Bq,Y dt + У Ш(pn?a, t) BqY dt

π/n

< ■             ' © -1) © (1+2

(m - о)-© < ♦ e

Из неравенств (21) и (22) следует, что Sn+i С Wnir)^). Поэтому, согласно известной теореме В. М. Тихомирова [15], получаем

bn (Wa \Ф): Bq,Y) ^ bn (Sn+1, Bq,Y) ^ . r-i Ф f~) •                 (23)

4 IL             IL/

Сравнивая неравенства (18) и (23), с учетом соотношения (4) приходим к равенству (17), чем и завершаем доказательство теоремы 3. >

Замечание. В [2] доказано, что условию (16) удовлетворяет, например, функция Ф*(и) = un/2.

Автор выражает благодарность рецензенту за цепные советы и замечания, использованные в работе.