О наилучшем восстановлении семейства операторов на классе функций по неточно заданному их спектру
Автор: Абрамова Е.В., Сивкова Е.О.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.26, 2024 года.
Бесплатный доступ
В работе рассматривается однопараметрическое семейство линейных непрерывных операторов в L2(Rd) и ставится задача об оптимальном восстановлении оператора при данном значении параметра на классе функций, преобразования Фурье которых интегрируемы в квадрате со степенным весом (пространства такой структуры играют важную роль в вопросах вложения функциональных пространств и теории дифференциальных уравнений) по следующей информации: о каждой функции из этого класса известно (вообще говоря, приближенно) ее преобразование Фурье на некотором измеримом подмножестве Rd. Построено семейство оптимальных методов восстановления операторов при каждом значении параметра. Оптимальные методы не используют всю доступную информацию о преобразовании Фурье функций из класса, а используют только информацию о преобразовании Фурье функции в шаре с центром в нуле максимального радиуса, обладающего тем свойством, что его мера равна мере его пересечения с множеством, где известно (точно или приближенно) преобразование Фурье. В качестве следствий доказанного результата получено семейство оптимальных методов восстановления решения уравнения теплопроводности в Rd в данный момент времени при условии, что о начальной функции, принадлежащей указанному классу, известно точно или приближенно ее преобразование Фурье на некотором измеримом множестве, а также семейство оптимальных методов восстановления решения задачи Дирихле для полупространства на гиперплоскости по преобразованию Фурье граничной функции, принадлежащей указанному классу, которое известно точно или приближенно на некотором измеримом множестве в Rd.
Оптимальное восстановление, оптимальный метод, экстремальная задача, преобразование фурье, уравнение теплопроводности, задача дирихле
Короткий адрес: https://sciup.org/143182363
IDR: 143182363 | УДК: 517.9 | DOI: 10.46698/z4058-1920-7739-f
On the best recovery of a family of operators on a class of functions according to their inaccurately specified spectrum
The paper considers a one-parameter family of linear continuous operators in L2(Rd) and poses the problem of optimal reconstruction of the operator for a given value of a parameter on a class of functions whose Fourier transforms are square integrable with power weight (spaces of such a structure play an important role in questions of embedding function spaces and the theory of differential equations) using the following information: about each function from this class is knows (generally speaking, approximately) its Fourier transform on some measurable subset of Rd. A family of optimal methods for restoring operators for each parameter value is constructed. Optimal methods do not use all the available information about the Fourier transform of functions from the class, but use only information about the Fourier transform of a function in a ball centered at zero of maximum radius, which has the property that its measure is equal to the measure of its intersection with the set, where is known (exactly or approximately) Fourier transform of the function. As a consequence, the following results were obtained: a family of optimal methods for recovery the solution of the heat equation in Rd at a given time, provided that the initial function belongs to the specified class and its Fourier transform is known exactly or approximately on some measurable set, and also a family of optimal methods for reconstructing the solution of the Dirichlet problem for a half-space on a hyperplane from the Fourier transform of a boundary function belonging to the specified class, which is known exactly or approximately on some measurable set in Rd.
Список литературы О наилучшем восстановлении семейства операторов на классе функций по неточно заданному их спектру
- Стейн И. М., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.
- Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory / Eds. C. A. Micchelli and T. J. Rivlin. N.Y.: Plenum Press, 1977. P. 1-54. DOI: 10.1007/978-1-4684-2388-4_1.
- Melkman A. A., Micchelli C. A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal. 1979. Vol. 16, № 1. P. 87-105.
- Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on optimal recovery // Lecture Notes Math. Berlin: Springer-Verlag, 1985. Vol. 1129. P. 21-93. DOI: 10.1007/bfb0075157.
- Traub J. F., Wozniakowski H. A General Theory of Optimal Algorithms. N.Y.: Acad. Press, 1980.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функцион. Анализ и его прил. 2003. Т. 37, № 3. С. 51-64. DOI: 10.4213/faa157.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функцион. анализ и его прил. 2010. Т. 44, № 3. C. 76-79. DOI: 10.4213/faa2999.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. О восстановлении операторов сверточного типа по неточной информации // Труды МИАН. 2010. Т. 269. С. 181-192.
- Magaril-Il'yaev G. G., Sivkova E. O. Optimal recovery of the semi-group operators from inaccurate data // Eurasian Math. J. 2019. Vol. 10, № 4. P. 75-84. DOI: 10.32523/2077-9879-2019-10-4-75-84.
- Сивкова Е. О. Оптимальное восстановление семейства операторов по неточным измерениям на компакте // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, № 2. С. 124-135. DOI: 10.46698/b9762-8415-3252-n.
- Magaril-Il'yaev G. G., Osipenko K. Yu., Tikhomirov V. M. On optimal recovery of heat equation solutions // Approximation Theory: A Volume Dedicated to B. Bojanov / Eds. D. K. Dimitrov, G. Nikolov and R. Uluchev. Sofia: Marin Drinov Acad. Publ. House, 2004. P. 163-175.
- Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным // Владикавк. мат. журн. 2004. Т. 6, № 4. С. 55-62.
- Балова Е. А. Об оптимальном восстановлении решений задачи Дирихле по неточным исходным данным // Матем. заметки. 2007. Т. 82, № 3. С. 323-334. DOI: 10.4213/mzm3846.
- Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 5. С. 37-54. DOI: 10.4213/sm7301.
- Абрамова Е. В. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле по неточно заданному спектру граничной функции // Владикавк. мат. журн. 2017. Т. 19, № 4. С. 3-12. DOI: 10.23671/VNC.2018.4.9163.
- Балова Е. А., Осипенко К. Ю. Оптимальные методы восстановления решений задачи Дирихле, точные на подпространствах сферических гармоник // Матем. заметки. 2018. Т. 104, № 6. С. 803-811. DOI: 10.4213/mzm11784.
- Абрамова Е. В., Магарил-Ильяев Г. Г., Сивкова Е. О. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле для полупространства по неточным измерениям // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60, № 10. С. 1711-1720. DOI: 10.31857/S0044466920100038.
