О нечетких топологических алгебрах

В данной статье обобщены некоторые результаты из [1] для случая алгебр произвольной сигнатуры. При этом особое внимание уделено унарным алгебрам (т.е. алгебрам, сигнатура которых состоит только из унарных символов). В работе использована терминология [1 - 3].

Напомним необходимые определения из теории нечетких множеств.

Пусть X - произвольное множество. Нечеткое подмножество А в X отождествляется с функцией принадлежности р _л: X—> [0,1].

Нечеткое подмножество А в X пусто тогда и только тогда, когда Ц _А(х) = 0 при любом хеХ.

Если А и В - два нечетких подмножества в X, то

Ас В о (ух^ Х)(р _а(х) <  А _в(х));

А = В o(\jxe Х)(р А(х) = р в(х)).

Объединением двух нечетких подмножеств А и В в X называется такое нечеткое поди C=AjB, что f V хе Х)(р с (х) = тах{р /х), р в(х)}).

Пересечением двух неч'етких множеств А и В в X называется такое нечеткое подмножество D = А о В, что

/V хе Х)(р _D(x) = min{Р _А(х), р _в(х)}).

Будем говорить, что нечеткое подмножество А в X обладает sup свойством, если для каждого подмножества Т с X найдется элемент t₀ е Т такой, что р_А (t₀) = sup р_А (!) .

Пусть а : X —> У - произвольное отображение. Тогда прообразом нечеткого'подмно-жества В в У при отображении а называется такое нечеткое подмножество а'( В ) в X, что Ра^(П)(х) = рв(а(х)) при любом хе X, а образом нечеткого подмножества А в Xпри отображении а - такое нечеткое подмножество а( А) в X, что sup pA(z), если ct 1 (у) = {х\а(х) = у} непусто, Ра1А1(У) = \:=-“'(>>

-в остальных случаях.

Нечеткие подалгебры

Пусть <Х, Q > - алгебра сигнатуры Q и А - нечеткое подмножество в X. Тогда А будем называть нечеткой подалгеброй алгебры <Х, Q >, если для каждой операции Fe О произвольной арности п при любых x_v,x,,...,x„ е X справедливо неравенство

/7_Я (^(х,, х₂,..., х„ )) > т/л / р_А ( х,), р_А (х,) р_А (х„)} .

Предложение 1. Пусть а - гомоморфизм алгебры <Х, Q >  произвольной сигнатуры Q в алгебру <У, Q >  и В - нечеткая подалгебра алгебры . Тогда прообраз а"'(В) -нечеткая подалгебра алгебры <Х, Q >.

Доказательство. Пусть Fe Q - произвольная сигнатурная операция арности п и х^х,х„еХ. Тогда имеем

Д„-V вУ ^F(^x\ - ^х2- • • • -*„)) = Мв(а( ^f(F ■ *2 ^х„))) = P_B(^F(^a(^xx).a(^xi)«(^х» ))) ^

• >    min {ц_в(а( х, )),ц_в(a(xj)ц_в(а(х„))} = min{ В_а-._(В)(У ).М_а-_(В/^хг ).--:В_а-₍в/^х» > }•

Предложение 2. Пусть а - гомоморфизм унарной алгебры <Х, Q > в алгебру < У, Q >  и А - нечеткая подалгебра алгебры <Х, Ci >. Тогда образ а( А) - нечеткая подалгебра алгебры .

Доказательство. Пусть Fed и yeY. Если при этом а"Чу) = 6, то В^аЧу) = 0 и значит - ц_и(А)(F(у)) > ц_а(А1(у).

Пусть теперь а*^х(у)Фй. Тогда a~^x(F(y)) ф 0 . Следовательно,

ВанЧ^УУ)- sup BaU)^ sup f_a(F(z))> sup p_A(F(z))> sup p_A(z) = p_a(A)(y). tea 4F(y))          F( z)ea~4 F( y))               zea Чу)               zea'4у)

Это означает, что а(Л) является нечеткой подалгеброй алгебры .

Для алгебр произвольной сигнатуры справедливо следующее:

Предложение 3. Пусть а - гомоморфизм алгебры <Х, d > произвольной сигнатуры Q на алгебру  и А - нечеткая подалгебра алгебры , обладающая sup свойством. Тогда образ а(А) - нечеткая подалгебра алгебры .

Предложение 3 доказывается аналогично предложению 3.5 из [1].

Нечеткие топологические подалгебры

Нечеткой топологией на множестве X называется такое семейство т нечетких подмножеств в X, что справедливы следующие условия:

• 1)    если с е [ОД] и k_v(x) = с для каждого х е X , то к_с е т;

• 2)    если А, В е т, то А п В е т ;

• 3)    если А, е г при всех j е J , то U А ет .

При этом нечеткие подмножества, принадлежащие т , называются открытыми в г .

Для каждого нечеткого подмножества А во множестве X и любой нечеткой топологии г на X семейство пересечений А с открытыми в г нечеткими подмножествами множества X называется индуцированной топологией на А и обозначается через т _А. Пара (А, т _д) называется нечетким подпространством пространства (X, т ).

Отображение а;Х-^¥,Г№ (Х,т) и (Y,ct) - нечеткие топологические пространства, называется нечетким непрерывным, если а"^х(Т) е т при любом Тест.

Пусть (А,т_Д) и (В,ст_в) - нечеткие подпространства пространств (Х.т) и (Y,ct), соответственно а - отображение X в У и а( А) с В . Тогда а - относительно нечеткое непрерывное отображение (А,т_д) в (В,ст_в), если а 'А') п А е т_А для любого У е ст_в.

Напомним, что если <Х, Q > - произвольная алгебра, F е d - n-арная операция, ХрХ,..... х_пЧеХ и i е [1,2,....п} , то унарная операция F_{rx хх х} ; X —> X , заданная по правилу

Заметим, что если при этом п = I , то каждая элементарная трансляция, задаваемая операцией F, совпадает с F.

Пусть теперь т - нечеткая топология на X и А - нечеткая подалгебра алгебры <Х, Q >. По аналогии с определением 3.6 из [1] будем называть А нечеткой топологической подалгеброй, если все элементарные трансляции вида F_{Vx х}_ _х , где F е Ci, п - арность операции У и х_рх₂.....x„_, е X , являются относительно нечеткими непрерывными отображениями (А,т_а) в (А, т_Д).

Предложение 4. Пусть а - гомоморфизм алгебры <Х, Ci > в алгебру < У, Ci >, т и ст -нечеткие топологии на X и У, соответственно т = а*'(ст) и В - нечеткая топологическая подалгебра алгебры ■ Тогда а~'(В) - нечеткая топологическая подалгебра алгебры <Х, П >.

Доказательство. Зафиксируем произвольную операцию F e Ci и элементы ХрХ,,...^,^! е X , где п - арность операции F. Покажем, что F_{Vx хх х} - относительно нечеткое непрерывное отображение (а^-х(B),T_a-_llB)) в (а"^х(В),т'_а_"_1(В)’У. Действительно, пусть U ет_а__1(В). Тогда Д^>„   _1ПН<)А = №,( F _х_ _{Х; х-} /у)) = Ff у.х^х, х,,^)).

Согласно теореме 3.7 из [1] существует нечеткое подмножество К е<т_н , для которого a^VV) = U . Следовательно, справедливы равенства

P_Fiy „ _   /У) = А^,./ ^F(У- ^Л"|■ ^з.....У,-1 )) = В_г(а(Р(у,х_х,х_г.....х_мЧ))) =

JU)™yB) = aX«_(I1№,j_а(Х11,(У))па-'(В).           (1)

Кроме того, отображение F^, ^ _1а(х,, _а(х, ^ : (В,ст_в) -> (В,сг_в) является относительно нечетким непрерывным, поскольку В - нечеткая топологическая подалгебра алгебры <У, Q >. Это означает, что

^Fv_a(Xl,_aW ....._а,г„/^п8е^.                      (2)

Так как а - нечеткое непрерывное отображение <Х, Q > в <У, Q > и а(сГ^х(В)) о В, то а - относительно нечеткое непрерывное отображение («"'(B),-^., ) в (В,о_в) в силу леммы 2.1 из [1].

Отсюда ct"'(F"^x_a(Xi)alXi)....._{а(х a}(V)г\В)г\а"^х(В)& т_а__1(В) ввиду (2). С другой стороны, "" 7 F"'_a(x. _)а(Х;) _а, _Х{/ПюаЧВ^а Ч F~^x_{al х}. _)а,, _а, _х , / V ) п В) n а ~ 7 В) и значит -F_{r Vi Л v} ДС^гэа (5)ет_аЧ(Д) согласно (1). Таким образом, а"^х(В) - нечеткая топологическая подалгебра алгебры <Х, Q >.

Унаром называется унарная алгебра с одной операцией.

Пример. Покажем, что существуют унары и , гомоморфизм а : X -> У , нечеткие топологии г и ст = «(г) на Хи У, соответственно, и нечеткий топологический подунар А унара такие, что ц_л(х) = \ при любом хеХ , но а(А) не является нечетким топологическим подунаром унара .

Действительно, пусть - однопорожденный бесконечный унар с операцией f а- порождающий элемент этого унара, <  Yf> - двухэлементный унар, порождаемый каждым своим элементом, Y = {c,d} и гомоморфизм a:X^Y задан по правилу с, если п = 0(mod2), d, если n = \(mod2).

а(Г(а)) =

Обозначим через г семейство нечетких подмножеств множества X, такое, что

[/его (Ух,у еХ)(p_v(x) + /.^.(у)^ (x = avy = а)).               (3)

Непосредственная проверка показывает, что г - нечеткая топология на множестве X.

Семейство ст всех нечетких подмножеств V множества У, для которых p_v(d)< ц_у(с) является нечеткой топологией на множестве У, причем а = а(т).

Убедимся, что нечеткий подунар А унара с функцией принадлежности, тождественно равной 1, является нечетким топологическим подунаром этого унара. Зафиксируем произвольное нечеткое подмножество Т е т_А . Тогда T=SnA, для некоторого открытого подмножества -Set. Следовательно, при любом х e X получаем В г'п^а^^ Вг'п>^^х^ ⁼ Вт*-f^^{xF =} Ps(f (^ХУ) , и значит - М _Г'_(Т^х* ⁼ Ргчт^У) Для каждого уеХ в силу (3). Отсюда, снова используя (3), имеем р^х(Т) гл А ет_Л. Таким образом, А - нечеткий топологический подунар унара .

Осталось проверить, что а(А) не является нечетким топологическим подунаром унара <У/ >. Пусть Н - такое нечеткое подмножество множества У, что ц_н (с) = 1 и p_H(d) = 0. Тогда Нест_а(4), Однако A^^^j/c; = О _и М_r<н ^(а^^d) ^{= 1}, откуда / ^х(Н)г\а(А) е<т_а(Л). Это означает, что а(А) не является нечетким топологическим подунаром унара <У/ >•

Для любого отображения а : X -> У функция принадлежности р_в нечеткого подмножества В множества X называется а -инвариантной, если импликация а(х)=а.(у)=^> =>р_ъ(х)=\1_ъ(у) справедлива для всех х.уеХ ([2]).

Предложение 5. Пусть а - гомоморфизм алгебры <Х,СХ > в алгебру <У, Q >, т и а -нечеткие топологии на X и У, соответственно т-а^х(сг), А - нечеткая топологическая подалгебра алгебры <Х, О > с а -инвариантной функцией принадлежности р4 . Тогда а(А) - нечеткая топологическая подалгебра алгебры .

Доказательство. Пусть G е О - операция алгебры  произвольной арности п и У м У 2 ’ • • • ’ У п -1 ^е ^ • Поскольку отображение а сюръективно, то при любом i g /1,2,..., п -1} существует элемент х, g X , для которого а(х,) = у,.

Убедимся, что ('. , .......,   - относительно нечеткое непрерывное отображение

(а(А),ст_а(Д))) в (а(А),сг_а( а») ■ Для этого зафиксируем Vес_а1А). Тогда

Па-усе            = Мсг> ,г>(а(х)) = р,-^ v (а(х))) = pv(G(a(x),yx.....у„_{)) =

= Pv(G(a(х),а(х_ха(х,_нХ))) = щЛа(G(х, х,, х,,...,х„_, ))) = р_а__1(Х._?(G(х, х,,х₂.....х„_,)) =

-Р _,_/r./G_{br v v} (х)) = р,._₁     ,     (х) для любого хеХ. Это означает, что

Ct ( I I 1. Л[ .л, О|              , , (Ct t I ))

Отображение а из (A,t_a) в (а(А),ст_а(Л))) является относительно нечетким непрерывным в силу леммы 2.1 из [1]. Поэтому а"'(У)г^Ает₄. Проверим, что а^Л(У ) n А = а~'(У) .

Действительно, ввиду а -инвариантности функции принадлежности р_А получаем М_а-у_а(А))(^х) ⁼ М_а<А>(«(х)) = sup Ра('-) = Р.4<^х), откуда а"*(а(А)) = А.

В связи с тем, что У е а_{а( л},, то У = Т с\а( А) для некоторого нечеткого подмножества Тес и значит -а"'(У) = а^ч(Тг\а(А)) = а^-1(Т)гла^ч(а(А)) = а"'(Т)глА = а~‘П'У^А е г₄.

Отображение G_v._{x x X i} из (А,т_а) в (А,т_л) является относительно нечетким непрерывным, поскольку А - нечеткая топологическая подалгебра алгебры <Х, О >. Следовательно, G^......_v ^(a'VV)) п А е т_А и значит - «"YG'j. (V)) n A g т_а в силу (4).

Кроме того, G”¹,. ...... , фУ)гла( А) = a(a^-1(G;'_Vi      (У)) n A) g т_а по теореме 3.8 из

• [1] . Таким образом, а(А) - нечеткая топологическая подалгебра алгебры <У,О >.